Формула емкости цилиндрического конденсатора: Ёмкость цилиндрического конденсатора | энергетик

2.4.2. Емкость цилиндрического конденсатора

Цилиндрический
конденсатор представляет собой
устройство из двух цилиндрических
обкладок, имеющих общую ось (коаксиальных
цилиндров), разделенных слоем диэлектрика
цилиндрической формы (рис. 2.5).

Электрическое
поле такого конденсатора представляет
собой суперпозицию двух полей
цилиндрических поверхностей, имеющих
равные по величине, но противоположные
по знаку заряды.

Напряженность
такого электрического поля

.
(2.18)

Разность потенциалов
между обкладками

,
(2.19)

где
R₁
и R₂
– соответственно радиусы внутренней
и внешней обкладок.

Таким образом,

.
(2.20)

При
d = R₂
— R₁
<< R₁

,

где
d = R₂
— R₁
– расстояние между обкладками.

Тогда

.
(2.21)

Следовательно,
при указанных условиях емкость
цилиндрического конденсатора можно
рассчитывать по формуле емкости плоского
конденсатора.

2.4.3. Емкость сферического конденсатора

Сферический
конденсатор представляет собой
устройство, состоящее из двух сферических
поверхностей, которые имеют общий центр
различных радиусов, разделенных
сферическим слоем диэлектрика (рис.
2.6).

Напряженность
электрического поля между обкладками
такого конденсатора

. (2.22)

Разность потенциалов
между обкладками

.(2.23)

Таким образом,

.
(2.24)

При
R₂
— R₁
= d << R₁R₂

. (2.25)

Следовательно,
при указанных условиях емкость
сферического конденсатора можно
рассчитывать по формуле емкости плоского
конденсатора.

2.5. Соединения конденсаторов

Отдельные
конденсаторы обладают определенной
емкостью и могут работать только при
подключении их к характерным для них
напряжениям, которые определяются
свойствами и толщиной диэлектрика.
Если напряжение превышает допустимое
— происходит пробой конденсатора.
Поэтому очень часто из имеющихся в
наличии конденсаторов собирают батарею
необходимой емкости, предназначенную
для работы при более высоких напряжениях.
Существует следующие виды соединения
конденсаторов: последовательное,
параллельное и смешанное.

2.5.1. Последовательное соединение конденсаторов

При
последовательном соединении каждая
из обкладок какого-либо конденсатора
соединяется только с одной обкладкой
другого конденсатора, образуется
цепочка конденсаторов (рис. 2.7). К крайним
обкладкам такой цепочки прикладывается
соответствующее напряжение, под
действием которого происходит
перераспределение электрических
зарядов, при этом заряды на всех
промежуточных обкладках равны по
величине, но чередуются по знаку.

В
результате перераспределения зарядов
заряд батареи (цепочки) равен заряду
одного конденсатора. Напряжение между
обкладками отдельно взятого конденсатора
обратно пропорционально его емкости,
а напряжение батареи равно сумме
напряжений каждого из входящих в батарею
конденсаторов.

Такое
соединение конденсаторов применяется
в тех случаях, когда необходимо получить
емкость, работающую при высоких
напряжениях.

Так как в
рассматриваемом случае

,

а

,

то будем иметь

или

.
(2.26)

Таким
образом, при последовательном соединении
конденсаторов величина, обратная
емкости батареи, равна сумме обратных
величин емкостей отдельных конденсаторов.

Если емкости
отдельных конденсаторов равны:

C₁
= C₂
= C₃
= C_n,

то

,
,
(2.27)

т.
е. при последовательном соединении n
одинаковых конденсаторов, емкость
батареи в n раз меньше емкости одного
конденсатора.

Емкость конденсаторов: определение, формулы, примеры.

Определение 1

Конденсатор – это совокупность двух любых проводников, заряды которых одинаковы по значению и противоположны по знаку.

Его конфигурация говорит о том, что поле, созданное зарядами, локализовано между обкладками. Тогда можно записать формулу электроемкости конденсатора:

C=qφ1-φ2=qU.

Значением φ1-φ2=U обозначают разность потенциалов, называемую напряжением, то есть U. По определению емкость положительна. Она зависит только от размерностей обкладок конденсатора их взаиморасположения и диэлектрика. Ее форма и место должны минимизировать воздействие внешнего поля на внутреннее. Силовые линии конденсатора начинаются на проводнике с положительным зарядом, а заканчиваются с отрицательным. Конденсатор может являться проводником, помещенным в полость, окруженным замкнутой оболочкой.

Выделяют три большие группы: плоские, сферические, цилиндрические. Чтобы найти емкость, необходимо обратиться к определению напряжения конденсатора с известными значениями зарядов на обкладках.

Плоский конденсатор

Определение 2

Плоский конденсатор – это две противоположно заряженные пластины, которые разделены тонким слоем диэлектрика, как показано на рисунке 1.

Формула для расчета электроемкости записывается как

C=εε0Sd, где S является площадью обкладки, d – расстоянием между ними, ε — диэлектрической проницаемостью вещества. Меньшее значение d способствует большему совпадению расчетной емкости конденсатора с реальной.

Рисунок 1

При известной электроемкости конденсатора, заполненного N слоями диэлектрика, толщина слоя с номером i равняется di, вычисление диэлектрической проницаемости этого слоя εi выполняется, исходя из формулы:

C=ε0Sd1ε1+d2ε2+…+dNεN.

Сферический конденсатор

Определение 3

Когда проводник имеет форму шара или сферы, тогда внешняя замкнутая оболочка является концентрической сферой, это означает, что конденсатор сферический.

Он состоит из двух концентрических проводящих сферических поверхностей с пространством между обкладками, заполненным диэлектриком, как показано на рисунке 2. Емкость рассчитывается по формуле:

C=4πεε0R1R2R2-R1, где R1 и R2 являются радиусами обкладок.

Рисунок 2

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Цилиндрический конденсатор

Емкость цилиндрического конденсатора равняется:

C=2πεε0llnR2R1, где l — высота цилиндров, R1 и R2 — радиусы обкладок. Данный вид конденсатора имеет две соосные поверхности проводящих цилиндрических поверхности, как показано на рисунке 3.

Рисунок 3

Определение 4

Важной характеристикой конденсаторов считается пробивное напряжение — напряжение, при котором происходит электрический разряд через слой диэлектрика.

Umax находится от зависимости от толщины слоя и свойств диэлектрика, конфигурации конденсатора.

Электроемкость плоского конденсатора. Формулы

Кроме отдельных конденсаторов используются их соединения. Наличие параллельного соединения конденсаторов применяют для увеличения его емкости. Тогда поиск результирующей емкости соединения сводится к записи суммы Ci, где Ci- это емкость конденсатора с номером i:

C=∑i=1NCi.

При последовательном соединении конденсаторов суммарная емкость соединения всегда будет по значению меньше, чем минимальная любого конденсатора, входящего в систему. Для расчета результирующей емкости следует сложить величины, обратные к емкостям отдельных конденсаторов:

Пример 1

Произвести вычисление емкости плоского конденсатора при известной площади обкладок
1 см2 с расстоянием между ними 1 мм. Пространство между обкладками находится в вакууме.

Решение

Чтобы рассчитать электроемкость конденсатора, применяется формула:

C=εε0Sd.

Значения:

ε=1, ε0=8,85·10-12 Фм;S=1 см2=10-4 м2;d=1 мм=10-3 м.

Подставим числовые выражения и вычислим:

C=8,85·10-12·10-410-3=8,85·10-13 (Ф).

Ответ: C≈0,9 пФ.

Пример 2

Найти напряженность электростатического поля у сферического конденсатора на расстоянии x=1 см=10-2 м от поверхности внутренней обкладки при внутреннем радиусе обкладки, равном R1=1 см=10-2 м, внешнем – R2=3 см=3·10-2 м. Значение напряжения — 103 В.

Решение

Производящая заряженная сфера создает напряженность поля. Его значение вычисляется по формуле:

E=14πεε0qr2, где q обозначают заряд внутренней сферы, r=R1+x — расстояние от центра сферы.

Нахождение заряда предполагает применение определения емкости конденсатора С:

q=CU.

Для сферического конденсатора предусмотрена формула вида

C=4πεε0R1R2R2-R1 с радиусами обкладок R1 и R2.

Производим подстановку выражений для получения искомой напряженности:

E=14πεε0U(x+R1)24πεε0R1R2R2-R1=U(x+R1)2R1R2R2-R1.

Данные представлены в системе СИ, поэтому достаточно заменить буквы числовыми выражениями:

E=103(1+1)2·10-4·10-2·3·10-23·10-2-10-2=3·10-18·10-6=3,45·104 Вм.

Ответ: E=3,45·104 Вм.

формула для расчета электрической емкости

Конденсатор – радиоэлектронный прибор, способный накапливать и отдавать заряд. Как правило, на его корпусе дается информация о его емкости, но иногда требуется самому рассчитать этот номинал. Конденсаторами могут выступать и проводники, они также обладают определенной емкостью. Для расчета существует несколько формул емкости конденсатора, их и рассмотрим.

В чем измеряется емкость конденсатора

Что такое заряд еще проходят в школе, когда эбонитовую палочку натирают о шерстяную ткань и подносят к маленьким кусочкам бумаги. Под действием электромагнитных сил бумага прилипает к палочке. Подобный заряд накапливается в конденсаторе. Но для начала познакомимся с самим конденсатором.

Простейшим конденсатором являются две металлические пластины, разделенные диэлектриком. От качества диэлектрика зависит, как долго энергия заряженного конденсатора может сохраняться. На этих пластинах, они еще называются обкладками, накапливается разноименный заряд. Как это происходит?

Электрический заряд, а в случае с металлами это электроны, способен перемещаться под действием электродвижущей силы (э. д. с.). Подключая металлические пластинки к источнику тока, мы получаем замкнутую цепь, но разделенную диэлектриком. Электростатическое поле проходит этот диэлектрик, замыкая цепь, а электроны, дойдя до препятствия, останавливаются и скапливаются.

Получается, на одной обкладке наблюдается избыток электронов, и эта пластина имеет отрицательный знак, а на другой пластине электронов недостает настолько же, знак на этой обкладке, конечно же, будет положительным.

Вот теперь нужна для определения емкости конденсатора формула, определяющая, какой заряд способен разместится на конкретном конденсаторе.

Много это или мало — емкость в 1Ф? Чтобы конденсатор обладал емкостью в 1Ф, он должен содержать в себе заряд в 1К (кулон) и при этом напряжение между обкладками должно равняться 1 вольту.

Как и любая буквальная емкость один и тот же конденсатор может вмещать разное количество заряда.

Рассмотрим пример.

• В трехлитровую банку входит три литра воздуха. Его хватит для дыхания, допустим, на 3 минуты. Но если воздух закачать под каким-то давлением, то емкость так и останется три литра, однако дышать можно будет дольше. Так устроен акваланг для ныряльщиков. Получается, количество воздуха в банке зависит от давления, которое в ней создается. Точно так же есть некая зависимость между различными силами, влияющими на емкость.

Формула емкости плоского конденсатора

Прежде чем узнать, по какой формуле вычисляется емкость плоского конденсатора, рассмотрим формулу для одиночного проводника. Она имеет вид:

• где Q – заряд,
• φ – потенциал.

Как видно емкость конденсатора, формула которого здесь приведена, будет тем больше, чем больший заряд способен накапливаться на нем при незначительном потенциале. Чтобы легче это было понять, рассмотрим получившие широкое распространение плоские конденсаторы разных размеров.

Для получения качественного конденсатора важны любые мелочи:

1. ровная поверхность каждой обкладки;
2. обе пластинки по всей площади должны располагаться на одинаковом расстоянии;
3. размеры обкладок должны быть строго идентичными;
4. от качества диэлектрика, расположенного между пластинками, будет зависеть ток утечки;
5. емкость напрямую зависит от расстояния между обкладками, чем оно меньше, тем больше емкость.

Теперь обратимся к плоскому конденсатору. Формула определения емкости конденсатора несколько отличается от приведенной выше:

• где S – площадь одной обкладки,
• ε_r — диэлектрическая проницаемость диэлектрика,
• ε₀ — электрическая постоянная,
• d – расстояние между обкладками.

Электрическая постоянная выражается числом 8,854187817×10^-12.

Попробуем разобраться с каждой переменной подробнее. Площадь измеряется в м², точнее, приводится к этой величине. А вот проницаемость диэлектрика может обозначаться по-разному.

В России это ε_r (также означает относительная проницаемость), в англоязычной литературе встречается ε_a (также означает абсолютная проницаемость), а то может и вовсе использоваться без индекса, просто ε. О том, что здесь используется диэлектрическая проницаемость диэлектрика можно понять из контекста.

Дальше идет ε₀. Это уже вычисленное значение, измеряемое в Ф/м. Последняя переменная – d. Измеренное расстояние также приводится к метру. Емкость конденсатора, формула которого сейчас рассматривается, показывает сильную зависимость от расстояния обкладок. Поэтому стараются это расстояние по возможности сокращать. Почему этот показатель так важен?

Идеальными условиями для получения наибольшей емкости – это отсутствие промежутка между обкладками, чего, конечно, добиться невозможно. Чем ближе находятся разноименные заряды, тем сильнее сила притяжения, но здесь возникает компромисс.

При уменьшении толщины диэлектрика, а именно он разделяет разноименные заряды, возникает вероятность его пробоя из-за разности потенциалов на обкладках. С другой стороны, как уже говорилось, при увеличении напряжения увеличивается количество зарядов. Вот и приходится выбирать между емкостью и рабочим напряжением конденсатора.

Есть другая формула для плоского переменного конденсатора:

Здесь диэлектрическая проницаемость обозначена буквой ε, π = 22/7 ≈ 3,142857142857143, d – толщина диэлектрика. Формула предназначена для конденсатора, состоящего из нескольких пластин.

Допустимая толщина диэлектрика d также зависит от ε_r, чем выше коэффициент, тем тоньше можно использовать диэлектрик, тем большую емкость будет иметь конденсатор. Это был самый сложный материал, дальше будет легче.

Формула емкости цилиндрического конденсатора

Теперь поговорим о том, как найти емкость конденсатора цилиндрической формы. К ним относятся конденсаторы, состоящие из двух металлических цилиндров, вставленных один в другой. Для разделения между ними расположен диэлектрик. Формула емкости конденсатора выглядит следующим образом:

Здесь видим несколько новых переменных:

• l – высота цилиндра;
• R₁ и R₂ – радиус первого и второго (внешнего) цилиндров;
• l_n – это не переменная, а математический символ натурального логарифма. На некоторых калькуляторах он имеется.

Всегда нужно помнить, что все величины должны приводиться к единой системе, в приведенной ниже таблице указаны международные системы единиц (СИ).

Из нее видно, что все расстояния нужно приводить к метру.

Еще стоит обращать внимание на качество диэлектрика. Если толщина диэлектрика влияет только на емкость конденсатора, то его качество затрагивает сохранность энергии. Другими словами, конденсатор с качественным диэлектриком будет иметь меньший саморазряд.

Определить качество можно по числу, стоящему возле вещества, чем оно больше, тем лучше качество. Сравнение производится по вакууму, значение которого равно единице.

Формула емкости сферического конденсатора

Последнее что осталось разобрать – формулу определения емкости конденсатора, состоящего из двух сфер. Причем одна сфера находится внутри другой. Формула имеет следующий вид:

Из приведенных переменных здесь все знакомо. Стоит обратить внимание лишь на сам конденсатор.

Кроме своей необычной формы у него есть свои особенности: внутри малой сферы никакого заряда нет, он образуется на внешней части малой сферы и внутренней части большого шара. Также заряд отсутствует и на внешней стороне внешней сферы.

Так же как и все другие конденсаторы, сферы разделены диэлектриком. Толщина и качество диэлектрика оказывают такое же влияние на емкость, как в случае с другими конденсаторами.

После того как были рассмотрены формулы, стоит испробовать их на практике. Рассмотрим, как найти емкость конденсатора каждого вида.

Примеры решения задач

Начнем с плоского конденсатора. Формула для этого вида:

Допустим, у нас есть следующие значения:

• в качестве диэлектрика возьмем слюду толщиной 0,02 мм, ε = 6;
• конденсатор квадратный со сторонами в 7 мм.

Определяем площадь пластин: 7×7 = 49 мм².

Приводим к единой системе: 4,9×10^-5 = 0,000049 м². Толщина диэлектрика 0,02×10^-5 = 0,00002 м. Электрическая постоянная 8,854187817×10^-12.

Подставляем в формулу и высчитываем числитель: 6×8,854187817×10^-12 ×4,9×10^-5, сокращаем и решаем 6×49×8,854187817×10^-17 = 2,603131218198×10^-14.

Делим на толщину диэлектрика: 2,603131218198×10 / 2×10 = 1301,565609099×10 = 1,301565609099×10. Шесть нулей – это тысячи или приставка «микро», получается округлено 1,3 мкФ.

Возможно, при вычислении была допущена ошибка, но это не экзамен по математике. Важно понять сам метод вычисления.

Формула для цилиндрического конденсатора:

Выбираем значения:

• l = 1 см;
• R₁ = 0,25 мм;
• R₂ = 0,26 мм;
• ε = 2.

Подгоняем под единую систему: l — 1 см = 1×10^-2 = 0,01 м; R₁ – 0,25 мм = 0,0025 м; R₂ – 0,26 мм = 0,0026 м.

Подставляем значения в числитель: 2×3,142857142857143×8,854187817×10^-12×2×0,01 1,11×10^-12. Находим знаменатель: 0,26:0,25 = 1,04.

Находим натуральный логарифм, он равен примерно 0,39. Числитель делим на знаменатель: 1,11×10^-12/0,39 = 2,85×10^-12.

Число с 12 нулями это приставка «пико», получаем 2,85 пФ.

Формула для сферического конденсатора:

Выбираем значения:

• ε= 4;
• r₁= 5 см;
• r₂= 5,01 см.

Снова все подгоняем: 5 см = 0,05 м; 5,01 см = 0,0501 м. Заполняем числитель. 4×3,142857142857143×4×8,854187817×10^-12×0,05×0,0501 1,11×10^-12 Вычисляем знаменатель: 0,0501 – 0,05 = 0,01. Производим деление: 1,11×10^-12×0,01 = 1,11×10^-10. Снова получили пикофарады, а именно 1,11 пФ.

Похожие материалы на сайте:

Понравилась статья — поделись с друзьями!

формулы для конденсаторов

Формула и примеры расчета емкостного сопротивления и применение на практике. Характеристика и свойства емкости конденсаторов. Что такое импеданс элемента.

Формулы емкости конденсаторов

Для любого конденсатора справедлива формула:

где C – емкость конденсатора; q – величина заряда одной из обкладок конденсатора; – разность потенциалов между его обкладками.

Емкость конденсатора, между пластинами которого находится диэлектрик (C) (диэлектрическая проницаемость которого равна в раз больше, чем емкость такого же воздушного конденсатора ():

Для расчета емкости плоского конденсатора применяют формулу:

где – электрическая постоянная; S – площадь каждой (или наименьшей) пластины; d – расстояние между пластинами.

Емкость плоского конденсатора, содержащего N слоев диэлектрика (толщина i-го слоя равна , диэлектрическая проницаемость i-го слоя , определяется как:

Электрическая емкость цилиндрического конденсатора вычисляют как:

где l – высота цилиндров; – радиус внешней обкладки; – радиус внутренней обкладки.

Емкость сферического (шарового) конденсатора находят по формуле:

где – радиусы обкладок конденсатора.

Что такое конденсатор?

Конденсатор состоит из двух проводящих пластин, расположенных очень близко друг к другу и разделённых диэлектриком. Применение постоянного напряжения к пластинам вызовет протекание тока и появление на обеих крышках одинаковых по модулю, но противоположных по знаку зарядов: отрицательных – на одной и положительных – на другой. Отключение источника питания приведёт к тому, что заряд не исчезнет моментально, игнорируя явление его постепенной утечки. Затем, если крышки детали подключены к какой-то нагрузке, например, к вспышке, конденсатор разрядится сам и вернёт всю накопленную в нём энергию во вспышку.

Обозначение конденсаторов

Конденсаторы – это пассивные компоненты, которые хранят электрический заряд. Эта простая функция применяется в различных случаях:

• При переменном токе.
• При постоянном токе.
• В аналоговых сетях.
• В цифровых цепях.

Примеры использования приборов: системы синхронизации, формирование сигнала, связь, фильтрация и сглаживание сигнала, настройка телевизоров и радиоприёмников.

Удельная ёмкость конденсаторов

        Конденсаторытакже характеризуются удельной ёмкостью – отношением ёмкости к объёму(или массе) диэлектрика. Максимальное значение удельной ёмкостидостигается при минимальной толщине диэлектрика, однако при этомуменьшается его напряжение пробоя.

Применение на практике

Свойства конденсатора используются при конструировании различных фильтров. Действие ёмкостного сопротивления в этом случае зависит от способа подключения детали:

• Если он присоединён параллельно нагрузке, то получится фильтр, задерживающий высокие частоты. С их ростом падает сопротивление конденсатора. Соответственно, нагрузка на высоких частотах шунтируется сильнее, чем на низких.
• Если деталь подключена последовательно с нагрузкой, то получится фильтр, задерживающий низкие частоты. Эта схема также не пропускает постоянное напряжение.
• Ещё одна область применения — отделение переменной составляющей от постоянной. Например, в оконечных каскадах усилителей звуковой частоты. Чем выше ёмкость, тем более низкую частоту способен воспроизвести подключённый громкоговоритель.

В фильтрах электропитания, наряду с ёмкостным сопротивлением, используется также свойство накопления и отдачи заряда. В момент повышения нагрузки заряженная ёмкость фильтра разряжается, отдавая дополнительную энергию. Она также осуществляет подавление пульсаций и прочих паразитных сигналов, пропуская их через себя и замыкая на общий провод. Таким образом, обеспечивается сглаживание и поддержание напряжения на нагрузке в заданных пределах, и устранение нежелательных междукаскадных связей, вызывающих нестабильную работу.

Измерение сопротивления конденсаторов.

Формулы для расчета емкости соединения конденсаторов

При параллельном соединении конденсаторов суммарная емкость батареи (C) равна сумме емкостей отдельных конденсаторов (), ее составляющих:

Электрическая емкость последовательного соединения конденсаторов может быть вычислена по формуле:

Если последовательно соединены N конденсаторов, с емкостями то емкость батареи вычислим как:

Формула заряда конденсатора

Для выполнения зарядки, конденсатор должен быть подключен к цепи постоянного тока. С этой целью может использоваться генератор. У каждого генератора имеется внутреннее сопротивление. При замыкании цепи происходит зарядка конденсатора. Между его обкладками появляется напряжение, равное электродвижущей силе генератора: Uc = E.

Обкладка, подключенная к положительному полюсу генератора, заряжается положительно (+q), а другая обкладка получает равнозначный заряд с отрицательной величиной (- q). Величина заряда q находится в прямой пропорциональной зависимости с емкостью конденсатора С и напряжением на обкладках Uc. Эта зависимость выражается формулой: q = C x Uc.

В процессе зарядки одна из обкладок конденсатора приобретает, а другая теряет определенное количество электронов. Они переносятся по внешней цепи под влиянием электродвижущей силы генератора. Такое перемещение является электрическим током, известным еще как зарядный емкостной ток (Iзар).

Течение зарядного тока в цепи происходит практически за тысячные доли секунды, до того момента, пока напряжение конденсатора не станет равным электродвижущей силе генератора. Напряжение увеличивается плавно, а потом постепенно замедляется. Далее значение напряжения конденсатора будет постоянным. Во время зарядки по цепи течет зарядный ток. В самом начале он достигает максимальной величины, так как напряжение конденсатора имеет нулевое значение. Согласно закона Ома Iзар = Е/Ri, поскольку к сопротивлению Ri приложена вся ЭДС генератора.

Формула емкости цилиндрического конденсатора

Теперь поговорим о том, как найти емкость конденсатора цилиндрической формы. К ним относятся конденсаторы, состоящие из двух металлических цилиндров, вставленных один в другой. Для разделения между ними расположен диэлектрик. Формула емкости конденсатора выглядит следующим образом:

Здесь видим несколько новых переменных:

• l – высота цилиндра;
• R1 и R2 – радиус первого и второго (внешнего) цилиндров;
• ln – это не переменная, а математический символ натурального логарифма. На некоторых калькуляторах он имеется.

Всегда нужно помнить, что все величины должны приводиться к единой системе, в приведенной ниже таблице указаны международные системы единиц (СИ).

Из нее видно, что все расстояния нужно приводить к метру.

Еще стоит обращать внимание на качество диэлектрика. Если толщина диэлектрика влияет только на емкость конденсатора, то его качество затрагивает сохранность энергии. Другими словами, конденсатор с качественным диэлектриком будет иметь меньший саморазряд.

Определить качество можно по числу, стоящему возле вещества, чем оно больше, тем лучше качество. Сравнение производится по вакууму, значение которого равно единице.

Паразитные параметры конденсаторов

        Реальныеконденсаторы, помимо ёмкости, обладают также собственнымисопротивлением и индуктивностью. С высокой степенью точности,эквивалентную схему реального конденсатора можно представить следующимобразом:

С – собственная ёмкость конденсатора;r – сопротивление изоляции конденсатора;R – эквивалентное последовательное сопротивление;L – эквивалентная последовательная индуктивность.

Основные формулы ёмкости

Базовый расчёт конденсатора предполагает выявление зависимости емкости и заряда, удерживаемого на элементе, а также напряжением на пластинах.

C=QVC=QV

C – емкость, или объём в Фарадах
Q – заряд, удерживаемый на пластинах в кулонах
V – разность потенциалов между пластинами в вольтах

Это уравнение используется для расчета работы, необходимой для зарядки конденсатора и энергии, хранящейся в нем.

Формула энергии

W=∫Q0V dQW=∫0QV dQ

W=∫Q0qC dQW=∫0QqC dQ

W=12CV2

Важно! Необходимо знать, какое влияние конденсатор будет оказывать на любую цепь, в которой он работает. Он не только предотвращает прохождение постоянной составляющей тока сигнала, но и оказывает влияние на любой переменный сигнал.

Реактивное сопротивление

В цепи постоянного тока помимо батареи может присутствовать резистор, который оказывает сопротивление току в цепи. То же справедливо и для схемы переменного тока с элементом, накапливающим заряд. Конденсатор с небольшой площадью пластины позволяет хранить только небольшое количество заряда, и это будет препятствовать протеканию тока. Конденсатор имеет определенное реактивное сопротивление, и оно зависит от его величины, а также от частоты срабатывания. Чем выше частота, тем меньше реактивное сопротивление.

Фактическое реактивное сопротивление можно вычислить по формуле:

Xc = 1 / (2 pi f C)

где

Xc – ёмкостное реактивное сопротивление в Омах.
f – частота в Герцах.
C – ёмкость в Фарадах.

Текущий расчет

Реактивное сопротивление конденсатора, рассчитанное по приведенной выше формуле, измеряется в Омах. Затем ток, протекающий в цепи, может быть рассчитан обычным способом с использованием закона Ома:

V = I Xc

Главный показатель конденсатора

Формула тока утечки конденсатора

Ток утечки конденсатора вполне можно сравнить с воздействием подключенного к нему резистора с каким-либо сопротивлением R. Ток утечки тесно связан с типом конденсатора и качеством используемого диэлектрика. Кроме того, важным фактором становится конструкция корпуса и степень его загрязненности.

Некоторые конденсаторы имеют негерметичный корпус, что приводит к проникновению влаги из воздуха и возрастанию тока утечки. В первую очередь это касается устройств, где в качестве диэлектрика использована промасленная бумага. Значительные токи утечки возникают из-за снижения электрического сопротивления изоляции. В результате нарушается основная функция конденсатора – способность получать и сохранять заряд электрического тока.

Основная формула для расчета выглядит следующим образом: Iут = U/Rd, где Iут, – это ток утечки, U – напряжение, прилагаемое к конденсатору, а Rd – сопротивление изоляции.

Цветовая маркировка конденсаторов

На корпусе большинства конденсаторов написаны их номинальная емкость и рабочее напряжение. Однако встречается и цветовая маркировка. Некоторые конденсаторы маркируют надписью в две строки. На первой строке указаны их емкость (пФ или мкФ) и точность (К = 10%, М – 20%). На второй строке приведены допустимое постоянное напряжение и код материала диэлектрика.

Монолитные керамические конденсаторы маркируются кодом, состоящим из трех цифр. Третья цифра показывает, сколько нулей нужно подписать к первым двум, чтобы получить емкость в пикофарадах. Что означает код 103 на конденсаторе? Код 103 означает, что нужно приписать три нуля к числу 10, тогда получится емкость конденсатора – 10 000 пФ. Конденсатор маркирован 0,22/20 250. Это означает, что конденсатор имеет емкость 0,22 мкФ ± 20% и рассчитан на постоянное напряжение 250 В.

Электромеханические аналогии

В предыдущем листке про самоиндукцию мы отметили аналогию между индуктивностью и массой. Теперь мы можем установить ещё несколько соответствий между электродинамическими и механическими величинами.

Для пружинного маятника мы имеем соотношение, аналогичное (1):

(2)

Здесь, как вы уже поняли, — жёсткость пружины, — масса маятника, и — текущие значения координаты и скорости маятника, и — их наибольшие значения.

Сопоставляя друг с другом равенства (1) и (2), мы видим следующие соответствия:

(3)

(4)

(5)

(6)

Опираясь на эти электромеханические аналогии, мы можем предвидеть формулу для периода электромагнитных колебаний в колебательном контуре.

В самом деле, период колебаний пружинного маятника, как мы знаем, равен:

B соответствии с аналогиями (5) и (6) заменяем здесь массу на индуктивность , а жёсткость на обратную ёмкость . Получим:

(7)

Электромеханические аналогии не подводят: формула (7) даёт верное выражение для периода колебаний в колебательном контуре. Она называется формулой Томсона

. Мы вскоре приведём её более строгий вывод.

Тангенс угла потерь

Потери энергии вконденсаторе определяются потерями в диэлектрике и обкладках. Припротекании переменного тока через конденсатор векторы напряжения и токасдвинуты на угол , где – угол диэлектрических потерь. При отсутствии потерь . Тангенс угла потерь определяется отношением активной мощности Pа креактивной Pр при синусоидальном напряжении определённой частоты.Величина, обратная , называется добротностью конденсатора. Термины добротности и тангенсаугла потерь применяются также для катушек индуктивности итрансформаторов.

Температурный коэффициент ёмкости (ТКЕ) конденсаторов

ТКЕ – коэффициент измененияёмкости в зависимости от температуры. Таким образом значение ёмкости оттемпературы представляется линейной формулой:

        где?T – увеличение температуры в °C или °К относительно нормальныхусловий, при которых специфицировано значение ёмкости. TKE применяетсядля характеристики конденсаторов со значительной линейной зависимостьюёмкости от температуры. Однако ТКЕ определяется не для всех типовконденсаторов. Для характеристики конденсаторов с выраженной нелинейнойзависимостью обычно указывают предельные величины отклонений отноминала в рабочем диапазоне температур.

Как изменяется электроемкость плоского конденсатора. Что такое электроемкость конденсатора? Электрическая емкость цилиндрического конденсатора

Одним их важнейших параметров, при помощи которого характеризуют конденсатор, является его электроёмкость (C). Физическая величина C, равная:

называется емкостью конденсатора. Где q — величина заряда одной из обкладок конденсатора, а — разность потенциалов между его обкладками. Электроемкость конденсатора — это величина, которая зависит то размеров и устройства конденсатора.

Для конденсаторов с одинаковым устройством и при равных зарядах на его обкладках разность потенциалов воздушного конденсатора будет в раз меньше, чем разность потенциалов между обкладками конденсатора, пространство которого между обкладками заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Значит емкость конденсатора с диэлектриком (C) в раз больше, чем электроемкость воздушного конденсатора ():

где — диэлектрическая проницаемость диэлектрика.

Единицей емкости конденсатора считают емкость такого конденсатора, который единичным зарядом (1 Кл) заряжается до разности потенциалов, равной одному вольту (в СИ). Единицей емкости конденсатора (как и любой эклектической емкости) в международной системе единиц (СИ) является фарад (Ф).

Электроемкость плоского конденсатора

Поле между обкладками плоского конденсатора в большинстве случаев считают однородным. Однородность нарушается только около краев. При расчете емкости плоского конденсатора данными краевыми эффектами обычно пренебрегают. Это возможно, если расстояние между пластинами мало в сравнении с их линейными размерами. В таком случае емкость плоского конденсатора вычисляют как:

где — электрическая постоянная; S — площадь каждой (или наименьшей) пластины; d — расстояние между пластинами.

Электрическая емкость плоского конденсатора, который содержит N слоев диэлектрика толщина каждого , соответствующая диэлектрическая проницаемость i-го слоя , равна:

Электрическая емкость цилиндрического конденсатора

Конструкция цилиндрического конденсатора включает две соосных (коаксиальных) цилиндрические проводящие поверхности, разного радиуса, пространство между которыми заполняет диэлектрик. Электрическая емкость такого конденсатора находят как:

где l — высота цилиндров; — радиус внешней обкладки; — радиус внутренней обкладки.

Емкости сферического конденсатора

Сферическим конденсатором называют конденсатор, обкладками которого являются две концентрические сферические проводящие поверхности, пространство между ними заполнено диэлектриком. Емкость такого конденсатора находят как:

где — радиусы обкладок конденсатора.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Рассмотрим два заряженных проводника. Предположим, что все силовые линии, начинающиеся на одном из них, заканчиваются на другом. Для этого, разумеется, они должны иметь равные и противоположные по знаку заряды. Такая система двух проводящих тел называется конденсатором.

Примеры конденсаторов.
Примерами конденсаторов могут служить две концентрические проводящие сферы (сферический, или шаровой, конденсатор), две параллельные плоские проводящие пластины при условии, что расстояние между ними мало по сравнению с размерами пластин (плоский конденсатор), два коаксиальных проводящих цилиндра при условии, что их длина велика по сравнению с зазором между цилиндрами (цилиндрический конденсатор).

Два проводника, образующие конденсатор, называются его обкладками.

Рис. 41. Электрическое поле в сферическом, плоском и цилиндрическом конденсаторах

Во всех таких системах при сообщении обкладкам равных по модулю и противоположных по знаку зарядов электрическое поле практически целиком заключено в пространстве между обкладками (рис. 41). Внешний вид некоторых используемых в технике конденсаторов показан на рис. 42.

Основная характеристика конденсатора — электроемкость или просто емкость С, определяемая как отношение заряда одной из

обкладок к разности потенциалов т. е. к напряжению, между ними:

Распределение зарядов на обкладках будет одинаковым независимо от того, большой или малый заряд им сообщен. Это значит, что напряженность поля, а следовательно, и разность потенциалов между обкладками, пропорциональны сообщенному конденсатору заряду. Поэтому емкость конденсатора не зависит от его заряда.

Рис. 42. Устройство, внешний вид и условные обозначения на электрических схемах некоторых конденсаторов

В вакууме емкость определяется исключительно геометрическими характеристиками конденсатора, т. е. формой, размерами и взаимным расположением обкладок.

Единицы емкости.
В СИ за единицу электроемкости принят фарад Емкостью 1 Ф обладает конденсатор, между обкладками которого устанавливается напряжение 1 В при сообщении заряда 1 Кл:

В абсолютной электростатической системе единиц СГСЭ электроемкость имеет размерность длины и измеряется в сантиметрах:

На практике обычно приходится иметь дело с конденсаторами, емкость которых значительно меньше 1 Ф. Поэтому используются доли этой единицы — микрофарад (мкФ) и пикофарад . Соотношение между фарадом и сантиметром легко установить, учитывая, что

Электроемкость и геометрия конденсатора.
Зависимость емкости конденсатора от его геометрических характеристик легко проиллюстрировать простыми опытами. Воспользуемся для этого электрометром, подключенным к двум плоским пластинам, расстояние между которыми можно изменять (рис. 43). Чтобы заряды пластин были одинаковы и все поле было сосредоточено только между ними, следует заземлить вторую пластину и корпус электрометра. Отклонение стрелки электрометра пропорционально напряжению между обкладками. Если сдвигать или раздвигать пластины конденсатора, то при неизменном заряде напряжение будет соответственно уменьшаться или увеличиваться: емкость тем больше, чем меньше расстояние между пластинами. Аналогично можно убедиться в том, что емкость конденсатора тем больше, чем больше площадь его пластин. Для этого можно просто сдвигать пластины при неизменном зазоре между ними.

Рис. 43. Емкость конденсатора зависит от расстояния между пластинами

Емкость плоского конденсатора.
Получим формулу для емкости плоского конденсатора. Поле между его обкладками однородно за исключением небольшой области вблизи краев пластин. Поэтому напряжение между обкладками равно произведению напряженности поля Е на расстоянии между ними: Для нахождения напряженности поля Е можно воспользоваться формулой (1) § 6, которая связывает Е вблизи поверхности проводника с поверхностной плотностью зарядов с: Выразим а через заряд конденсатора и площадь пластины, считая распределение заряда равномерным, что согласуется с используемым предположением об однородности поля: Подставляя приведенные соотношения в общее определение емкости (1), находим

В СИ, где емкость плоского конденсатора имеет вид

В системе единиц СГСЭ k = 1 и

Емкость сферического конденсатора.
Совершенно аналогично можно вывести формулу для емкости сферического конденсатора, рассматривая электрическое поле в промежутке между двумя заряженными концентрическими сферами радиусов Напряженность поля там такая же, как в случае уединенного заряженного шара радиуса Поэтому для напряжения между обкладками радиусов справедливо

Выражение для емкости получаем, подставляя в формулу (1):

Емкость уединенного проводника.
Иногда вводят понятие емкости уединенного проводника, рассматривая предельный случай конденсатора, одна из обкладок которого удалена на бесконечность. В частности, емкость уединенного проводящего шара получается из (5) в результате предельного перехода что соответствует неограниченному увеличению радиуса внешней обкладки при неизменном радиусе внутренней

В системе единиц СГСЭ, где емкость уединенного шара равна его радиусу. Если проводник имеет несферическую форму, его емкость по порядку величины равна характерному линейному размеру, хотя, конечно же, зависит и от его формы. В отличие от уединенного проводника, емкость конденсатора гораздо больше его линейных размеров. Например, у плоского конденсатора характерный линейный размер равен причем Как видно из формулы (4), при этом

Конденсатор с диэлектриком.
В рассмотренных выше примерах конденсаторов пространство между обкладками считалось пустым. Тем не менее полученные выражения для емкости справедливы и тогда, когда это пространство заполнено воздухом, как это было в описанных простых опытах. Если пространство между обкладками заполнить каким-либо диэлектриком, емкость конденсатора увеличивается. В этом легко убедиться на опыте, вдвигая диэлектрическую пластину в промежуток между обкладками заряженного конденсатора, подключенного к электрометру (рис. 43). При неизменном заряде конденсатора напряжение между обкладками уменьшается, что свидетельствует о возрастании емкости.

Уменьшение разности потенциалов между обкладками при внесении туда диэлектрической пластины свидетельствует о том, что напряженность электрического поля в зазоре становится меньше. Это уменьшение зависит от того, какой именно диэлектрик используется в опыте.

Диэлектрическая проницаемость.
Для характеристики электрических свойств диэлектрика вводят физическую величину, называемую диэлектрической проницаемостью. Диэлектрическая проницаемость — это безразмерная величина, показывающая, во сколько раз напряженность электрического поля в заполненном диэлектриком конденсаторе (или напряжение между его обкладками) меньше, чем в отсутствие диэлектрика при том же заряде конденсатора. Другими словами, диэлектрическая проницаемость показывает, во сколько раз увеличивается емкость конденсатора при заполнении его диэлектриком. Например, емкость плоского конденсатора, заполненного диэлектриком с проницаемостью равна

Приведенное здесь определение диэлектрической проницаемости соответствует феноменологическому подходу, при котором рассматриваются только макроскопические свойства вещества в электрическом поле. Микроскопический подход, основанный на рассмотрении поляризации атомов или молекул, из которых состоит вещество, предполагает исследование какой-либо конкретной модели и позволяет не только подробно описывать электрические и магнитные поля внутри вещества, но и понять, как протекают макроскопические электрические и магнитные явления в веществе. На этом этапе мы ограничиваемся только феноменологическим подходом.

Рис. 44. Параллельное соединение конденсаторов

У твердых диэлектриков значение лежит в пределах от 4 до 7, а у жидких — от 2 до 81. Такой аномально большой диэлектрической проницаемостью обладает обыкновенная чистая вода. Кроме воздушного конденсатора переменной емкости (см. рис. 42), используемого для настройки радиоприемников, все другие применяемые в технике конденсаторы заполнены диэлектриком.

Батареи конденсаторов.
При использовании конденсаторов их иногда соединяют в батареи. При параллельном соединении (рис. 44) напряжения на конденсаторах одинаковы, а полный заряд батареи равен сумме зарядов конденсаторов для каждого из которых, очевидно, справедливо Рассматривая батарею как один

конденсатор, имеем

С другой стороны,

Сравнивая (8) и (9), получаем, что емкость батареи параллельно соединенных конденсаторов равна сумме их емкостей:

Рис. 45. Последовательное соединение конденсаторов

При последовательном соединении предварительно незаряженных конденсаторов (рис. 45) заряды на всех конденсаторах одинаковы, а полное напряжение равно сумме напряжений на отдельных конденсаторах:

С другой стороны, рассматривая батарею как один конденсатор, имеем

Сравнивая (11) и (12), видим, что при последовательном соединении конденсаторов складываются обратные емкостям величины:

При последовательном соединении емкость батареи меньше самой малой из емкостей соединенных конденсаторов.

В каком случае два проводящих тела образуют конденсатор?

Что называется зарядом конденсатора?

Как установить связь между единицами емкости СИ и СГСЭ?

Объясните качественно, почему емкость конденсатора увеличивается при уменьшении зазора между обкладками.

Получите формулу для емкости плоского конденсатора, рассматривая электрическое поле в нем как суперпозицию полей, создаваемых двумя плоскостями, заряженными разноименно.

Получите формулу для емкости плоского конденсатора, рассматривая его как предельный случай сферического конденсатора, у которого стремятся к бесконечности так, что разность остается постоянной.

Почему нельзя говорить о емкости уединенной бесконечной плоской пластины или отдельного бесконечно длинного цилиндра?

Охарактеризуйте кратко различие между феноменологическим и микроскопическим подходами при исследовании свойств вещества в электрическом поле.

Каков смысл диэлектрической проницаемости вещества?

Почему при расчете емкости батареи последовательно соединенных конденсаторов оговаривалось условие, чтобы они предварительно не были заряжены?

В чем смысл последовательного соединения конденсаторов, если оно приводит лишь к уменьшению емкости?

Поле внутри и вне конденсатора.
Чтобы подчеркнуть различие между тем, что называют зарядом конденсатора, и полным зарядом обкладок, рассмотрим следующий пример. Пусть наружная обкладка сферического конденсатора заземлена, а внутренней сообщен заряд д. Весь этот заряд равномерно распределится по внешней поверхности внутренней обкладки. Тогда на внутренней поверхности наружной сферы индуцируется заряд , следовательно, заряд конденсатора равен . А что будет на внешней поверхности наружной сферы? Это зависит от того, что окружает конденсатор. Пусть, например, на расстоянии от поверхности внешней сферы находится точечный заряд (рис. 46). Этот заряд никак не повлияет на электрическое состояние внутреннего пространства конденсатора, т. е. на поле между его обкладками. В самом деле, внутреннее и внешнее пространства разделены толщей металла наружной обкладки, в которой электрическое поле равно нулю.

Рис. 46. Сферический конденсатор во внешнем электрическом поле

Заряд на внешней поверхности обкладки.
Но характер поля во внешнем пространстве и заряд, индуцированный на наружной поверхности внешней сферы, зависят от величины и положения заряда Это поле будет точно таким же, как и в случае, коща заряд находится на расстоянии от поверхности сплошного заземленного металлического шара, радиус которого равен радиусу внешней сферы конденсатора (рис. 47). Таким же будет и индуцированный заряд.

Для нахождения величины индуцированного заряда будем рассуждать следующим образом. Электрическое поле в любой точке пространства создается зарядом и зарядом, индуцированным

на поверхности шара, который распределен там, разумеется, неравномерно — как раз так, чтобы обратилась в нуль результирующая напряженность поля внутри шара. Согласно принципу суперпозиции потенциал в любой точке можно искать в виде суммы потенциалов полей, создаваемых точечным зарядом и точечными зарядами, на которые можно разбить распределенный по поверхности шара индуцированный заряд. Поскольку все элементарные заряды на которые разбит индуцированный на поверхности шара заряд находятся на одинаковом расстоянии от центра шара, то потенциал создаваемого им поля в центре шара будет равен

Рис. 47. Поле точечного заряда вблизи заземленного проводящего шара

Тогда полный потенциал в центре заземленного шара равен

Знак минус отражает тот факт, что индуцированный заряд всегда противоположного знака.

Итак, мы видим, что заряд на наружной поверхности внешней сферы конденсатора определяется тем окружением, в котором находится конденсатор, и не имеет никакого отношения к заряду конденсатора д. Полный заряд внешней обкладки конденсатора, разумеется, равен сумме зарядов ее внешней и внутренней поверхностей, однако заряд конденсатора определяется только зарядом внутренней поверхности этой обкладки, который связан силовыми линиями поля с зарядом внутренней обкладки.

В разобранном примере независимость электрического поля в пространстве между обкладками конденсатора и, следовательно, его емкости от внешних тел (как заряженных, так и незаряженных) обусловлена электростатической защитой, т. е. толщей металла внешней обкладки. К чему может привести отсутствие такой защиты, можно увидеть на следующем примере.

Плоский конденсатор с экраном.
Рассмотрим плоский конденсатор в виде двух параллельных металлических пластин, электрическое поле которого практически целиком сосредоточено в пространстве между пластинами. Заключим конденсатор в незаряженную плоскую металлическую коробку, как показано на рис. 48. На первый взгляд может показаться, что картина поля между обкладками конденсатора не изменится, так как все поле сосредоточено между пластинами, а краевым эффектом мы пренебрегаем. Однако легко видеть, что это не так. Снаружи конденсатора напряженность поля равна нулю, поэтому во всех точках слева от конденсатора потенциал одинаков и совпадает с потенциалом левой пластины. Точно так же потенциал любой точки справа от конденсатора совпадает с потенциалом правой пластины (рис. 49). Поэтому, заключая конденсатор в металлическую коробку, мы соединяем проводником точки, имеющие разный потенциал.

В результате в металлической коробке будет происходить перераспределение зарядов до тех пор, пока не выравняются потенциалы всех ее точек. На внутренней поверхности коробки индуцируются заряды, и появится электрическое поле внутри коробки, т. е. снаружи конденсатора (рис. 50).

Рис. 48. Конденсатор в металлической коробке

Рис. 49. Электрическое поле заряженного плоского конденсатора

Рис. 50. Электрическое поле заряженного конденсатора, помещенного в металлическую коробку

Но это означает, что на внешних поверхностях пластин конденсатора тоже появятся заряды. Так как при этом полный заряд изолированной пластины не меняется, то заряд на ее внешней поверхности может возникнуть только за счет перетекания заряда с внутренней поверхности. Но при изменении заряда на внутренних поверхностях обкладок изменится напряженность поля между пластинами конденсатора.

Таким образом, заключение рассмотренного конденсатора в металлическую коробку приводит к изменению электрического состояния внутреннего пространства.

Изменение зарядов пластин и электрического поля в этом примере может быть легко рассчитано. Обозначим заряд изолированного конденсатора через Заряд, перетекающий на наружные поверхности пластин при надевании коробки, обозначим через Такой же заряд противоположного знака будет индуцирован на внутренних поверхностях коробки. На внутренних поверхностях пластин конденсатора останется заряд Тогда в пространстве между пластинами напряженность однородного поля будет равна в единицах СИ, а вне конденсатора поле направлено в противоположную сторону и его напряженность равна где — площадь пластины. Требуя, чтобы разность потенциалов между противоположными стенками металлической коробки была равна нулю, и считая для простоты расстояния между всеми пластинами одинаковыми и равными то

Этот результат легко понять, если учесть, что после надевания коробки поле существует во всех трех промежутках между пластинами, т. е. фактически имеются три одинаковых конденсатора, эквивалентная схема включения которых показана на рис. 51. Вычисляя емкость получившейся системы конденсаторов, получаем .

Надетая на конденсатор металлическая коробка осуществляет электростатическую защиту системы. Теперь мы можем подносить снаружи к коробке любые заряженные или незаряженные тела и при этом электрическое поле внутри коробки не изменится. Значит, не изменится и емкость системы.

Обратим внимание на то, что в разобранном примере, выяснив все, что нас интересовало, мы тем не менее обошли стороной вопрос о том, какие же силы осуществили перераспределение зарядов. Какое электрическое поле вызвало движение электронов в материале проводящей коробки?

Очевидно, что это может быть только то неоднородное поле, которое выходит за пределы конденсатора вблизи краев пластины (см. рис. 39). Хотя напряженность этого поля мала и не принимается во внимание при расчете изменения емкости, именно она определяет суть рассматриваемого явления — перемещает заряды и этим вызывает изменение напряженности электрического поля внутри коробки.

Почему под зарядом конденсатора следует понимать не полный заряд обкладки, а только ту его часть, что находится на ее внутренней стороне. обращенной к другой обкладке?

В чем проявляется роль краевых эффектов при рассмотрении электростатических явлений в конденсаторе?

Как изменится емкость батареи конденсаторов, если замкнуть между собой обкладки одного из них?

Формула электроемкости следующая.

Измеряется эта величина в фарадах. Как правило, емкость элемента очень мала и измеряется в пикофарадах.

В задачах часто спрашивается, как изменится электроемкость конденсатора, если увеличить заряд или напряжение. Это вопрос с подвохом. Проведем другую аналогию.

Представьте, что речь идет про обычную банку, а не конденсатор. Например, у вас она трехлитровая. Аналогичный вопрос: что произойдет со вместимостью банки, если туда налить 4 литра воды? Разумеется, вода просто выльется, но при этом размеры банки никак не изменятся.

То же самое с конденсаторами. Заряд и напряжение никак не влияют на емкость. Этот параметр зависит только от реальных физических размеров.

Формула будет следующей

Только эти параметры влияют на реальную электроемкость конденсатора.

На любом конденсаторе есть маркировка с техническими параметрами.

Разобраться несложно. Достаточно минимальных знаний по электричеству.

Соединение конденсаторов

Конденсаторы, так же как и сопротивления, можно подключать последовательно и параллельно. Кроме этого, в схемах бывают и смешанные соединения.

Как видите, электроемкость конденсатора в обоих случаях считается по-разному. Это также относится к напряжению и заряду. По формулам видно, что электроемкость конденсатора, вернее, их совокупности в схеме, будет наибольшей при параллельном соединении. При последовательном общая емкость значительно уменьшается.

При подключении последовательно заряд размещается равномерно. Он будет везде одинаков — как суммарный, так и на каждом конденсаторе. А когда соединение параллельное, суммарный заряд складывается. Это важно помнить при решении задач.

Напряжение считается наоборот. При последовательном соединении складываем, а при параллельном оно равно везде.

Здесь приходится выбирать: если вам нужно больше напряжения, тогда жертвуем емкостью. Если емкость, то огромного напряжения не будет.

Виды конденсаторов

Существует огромное количество конденсаторов. Они отличаются как по размеру, так и по форме.

Разумеется, емкость вычисляется у всех по-разному.

Электроемкость плоского конденсатора

Электроемкость плоского конденсатора определяется проще всего. Эту формулу в основном все и помнят, в отличии от других.

Здесь всё зависит от физических параметров и среды между пластинами.

Здесь также большое значение имеет, какой диэлектрик или материал помещен внутрь. Так как деталь имеет размер сферы, ее емкость зависит от радиуса.

В случае с цилиндрической формой, кроме среды внутри, значение имеют радиусы и длина цилиндра.

Подумайте, как изменится электроемкость плоского конденсатора, если на нем будут повреждения? Существуют различные сбои, которые могут повлиять на работоспособность конденсаторов.

Например, они рассыхаются или вздуваются. После этого они становятся непригодными для нормальной работы устройства, куда установлены.

Рассмотрим примеры повреждений и выхода из строя конденсаторов. Вздуться могут все сразу.

Иногда из строя выходят только несколько. Такое бывает, когда конденсаторы разных параметров или качества.

Наглядный пример порчи (вздутие, разрыв и выход наружу содержимого).

Если вы увидите вот такие ленты, это крайняя степень повреждения. Хуже и быть не может.

Если вы заметите на устройстве (например на видеокарте в компьютере) такие вздутые конденсаторы, это повод задуматься о замене детали.

Подобные проблемы можно устранить только заменой на аналогичную деталь. У вас должны совпадать все параметры один в один. Иначе работа может быть некорректной или очень кратковременной.

Менять конденсаторы нужно аккуратно, не повредив платы. Выпаивать нужно быстро, не допуская перегрева. Если вы не умеете этого делать, лучше отнесите деталь в ремонт.

Основной причиной разрушения является перегрев, который возникает в случае старения или большого сопротивления в цепи.

Рекомендуется не затягивать с ремонтом. Поскольку у поврежденных конденсаторов изменяется емкость, устройство, где они расположены, будет работать с отклонением от нормы. И со временем это может стать причиной выхода из строя.

Если у вас на видеокарте вздулись конденсаторы, то их своевременная замена может исправить ситуацию. В противном случае может сгореть микросхема или что-то еще. В таком случае ремонт будет стоить очень дорого или вовсе окажется невозможным.

Меры предосторожности

Выше был приведен пример с банкой воды. Там говорилось, что если воды налить больше, то воды выльется. А теперь подумайте, куда могут «вылиться» электроны в конденсаторе? Ведь он запечатан полностью!

Если вы подадите в цепи больше тока, чем тот, на который рассчитан конденсатор, то как только он зарядится, его излишек попытается выйти куда-то. А пространства свободного нет. Результатом будет взрыв. В случае незначительного превышения заряда хлопок будет небольшой. Но если подать колоссальное количество электронов на конденсатор, его просто разорвет, и диэлектрик вытечет.

Будьте аккуратны!

Плоским конденсатором
обычно называ-ют систему плоских проводящих пластин — обкладок, разделенных диэлектриком. Про-стота конструкции такого конденсатора по-зволяет сравнительно просто рассчитывать его электроемкость и получать значения, совпадающие с результатами эксперимента.

Укрепим две металлические пластины на изоляционных подставках и соединим с электрометром так, что одна из пластин будет присоединена к стержню электромет-ра, а вторая — к его металлическому кор-пусу (рис. 4.71). При таком соединении электрометр будет измерять разность по-тенциалов между пластинами, которые об-разуют плоский конденсатор из двух пла-стин. Проводя исследования, необходимо пом-нить, что

при постоянном значении заряда пластин уменьшение разности потенциалов свидетельствует об увеличении электроем-кости конденсатора, и наоборот.

Сообщим пластинам разноименные заря-ды и отметим отклонение стрелки электро-метра. Приближая пластины друг к другу (уменьшая расстояние между ними), заме-тим уменьшение разности потенциалов. Та-ким образом, при уменьшении расстояния между пластинами конденсатора его элект-роемкость увеличивается. При увеличении расстояния показания стрелки электрометра увеличиваются, что является свидетельст-вом уменьшения электроемкости.

об-ратно пропорциональна расстоянию между его обкладками.

C ~
1 / d
,

где d —
расстояние между обкладками.

Эту зависимость можно изобразить гра-фиком обратной пропорциональной зависи-мости (рис. 4.72).

Будем смещать пластины одну относи-тельно другой в параллельных плоскостях, не изменяя расстояния между ними.

При этом площадь перекрытия пластин будет уменьшаться (рис. 4.73). Увеличение разности потенциалов, отмеченное электрометром, будет свидетельствовать об умень-шении электроемкости.

Увеличение площади перекрытия пластан приведет к увеличению емкости.

Электроемкость плоского конденсатора

про-порциональна площади пластин, которые пере-крываются.

C ~
S,

где S —
площадь пластин.

Эту зависимость можно представить гра-фиком прямой пропорциональной зависи-мости (рис. 4.74).

Возвратив пластины в начальное поло-жение, внесем в пространство между ними плоский диэлектрик. Электрометр отметит уменьшение разности потенциалов между пластинами, что свидетельствует об увели-чении электроемкости конденсатора. Если между пластинами поместить другой диэлек-трик, то изменение электроемкости будет иным.

Электроемкость плоского конденсатора

за-висит от диэлектрической проницаемости ди-электрика.

C
~
ε
,

где ε
— диэлектрическая проницаемость ди-электрика. Материал с сайта

Такая зависимость показана на графике рис. 4.75.

Результаты опытов можно обобщить в ви-де формулы ёмкости плоского конденсатора
:

C =
εε 0
S /
d,

где S
— площадь пластины; d
— расстояние между ними; ε
— диэлектрическая прони-цаемость диэлектрика; ε 0
— электрическая постоянная.

Конденсаторы, которые состоят из двух пластин, в практике применяются очень редко. Как правило, конденсаторы имеют много пластин, соединенных между собой по определенной схеме.

На этой странице материал по темам:

• Решение задач по теме электроемкость плоского конденсатора

• Как влияет диэлектрик на электроёмкость?

• Теория плоских конденсаторов

• График электроемкости плоского конденсатора от площади его пластин

• Заключение по электроемкости

Вопросы по этому материалу:

• Какое строение плоского конденсатора?

• По изменению какой величины в опыте можно делать заключение об изменении электроемкости?

Электричество и магнетизм

Повышения емкости проводника можно достигнуть не только увеличением его размеров, но и за счет приближения к нему другого проводника. Примерами могут служить плоский конденсатор, сферический конденсатор и др. Мы вычислим их емкости, исходя из данных определений и геометрии конденсатора.

Плоский конденсатор (рис. 2.11). 

Рис. 2.12.  Электрическое поле идеального плоского конденсатора

Идеальный плоский конденсатор предста­вляет собой две металлические параллельные пластины, линейные размеры которых много больше расстояния  между ними. Пусть площадь каждой из пластин равна  (рис. 2.12). На одну пластину помещен заряд , на другую —  Если пластины достаточно велики, то их можно считать «бесконечными» в том смысле, что допустимо пренебречь «краевыми» эффектами — распределениями зарядов и конфигурациями полей вблизи их краев.

Тогда заряды распределяются по внутренним поверхностям пластин практически равномерно, с постоянной плотностью. Разность потенциалов между обкладками равна интегралу от напряженности поля, взятому по любому пути между ними:

Рис. 2.12.  Электрическое поле идеального плоского конденсатора

Видео 2.9. Геометрия реального плоского конденсатора и распределение заряда на его пластинах.

Тогда заряды распределяются по внутренним поверхностям пластин практически равномерно, с постоянной плотностью . Разность потенциалов между обкладками равна интегралу от напряженности поля, взятому по любому пути между ними: 

Поле, создаваемое двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными разноименно с одинаковыми плотностями, является одно­родным, и его напряженность равна   (см. (2.3)).

Напряженность поля в пространстве, окружающем пластины, можно считать равной нулю, если пренебречь краевыми эффектами. Интегрируя вдоль силовой линии (которые ортогональны пластинам), получаем

Отсюда находим емкость плоского конденсатора:

Цилиндрический конденсатор. Цилиндрический конденсатор представляет собой два коаксиальных длинных проводящих цилиндра радиусами  и  и длиной . Предполагая, что , мы и в этом случае пренебрегаем краевыми эффектами. Линейная плотность заряда на цилиндрах равна . Мы уже вывели выражение для электрического поля длинного заряженного цилиндра (см. (1.17)):

Электрическое поле направлено по радиусу цилиндров. Интегрируя по этому пути от одной обкладки к другой, находим разность потенциалов между обкладками:

Отсюда следует выражение для емкости цилиндрического конденсатора:

В случае, когда зазор между обкладками  , можно использовать первый член разложения логарифма в ряд Тейлора

что приводит к выражению

В скобках стоит произведение длины окружности цилиндра на его высоту, что равно площади поверхности цилиндра (площади обкладок). Т. о. мы воспроизвели в этом пределе выражение (2.12) для емкости плоского конденсатора.

Сферический конденсатор. Сферический конденсатор образуется двумя концентрическими сферами радиусам  и . Интегрируя вдоль радиуса уже хорошо знакомое выражение

получаем разность потенциалов между обкладками:

откуда

Если внешний радиус бесконечно велик  (физически  это значит, что ), то вычитаемым в знаменателе можно пренебречь, и мы приходим к формуле (2.9) для емкости уединенной сферы. В обратном случае, когда зазор между обкладками  можно положить в числителе  Замечая, что  есть площадь обкладок, мы снова приходим к формуле (2.12).

Видео 2.10. Влияние диэлектрика на распределение зарядов на проводнике и его емкость.

Задача. Конденсатор, используемый в чипе запоминающего устрой­ства компьютера, имеет емкость  и заряжается до разности потенциалов . Каково число  избыточных электронов на его отрицательной обкладке? В какой массе воды полное число всех атомных электронов равно ?

Решение. Заряд конденсатора равен . Чтобы найти число избыточных электронов, надо разделить  на заряд электрона:  Почти два миллиона электронов, много это или мало? Для этого найдем массу воды с тем же числом электро­нов. Молекула воды  содержит два атома  и один атом , то есть всего 10 электронов. Стало быть, в интересующей нас массе воды должно содержаться молекул. Число молекул в одном моле равно  то есть надо взять моля. Молярный вес воды равен  кг/кмоль, так что искомая масса составляет кг, то есть крайне мала.   Миллион частиц — много в мире электронов, но совсем мало в масштабах нашего мира.

Конденсаторы

| на главную |
доп. материалы |
физика как наука и предмет |
электричество и электромагнетизм |

Организационные, контрольно-распорядительные и инженерно-технические услуги
в сфере жилой, коммерческой и иной недвижимости. Московский регион. Официально.

Для того чтобы проводник обладал большой емкостью, он должен иметь
очень большие размеры. На практике, однако, необходимы устройства, обладающие
способностью при малых размерах и небольших относительно окружающих тел
потенциалах накапливать значительные по величине заряды, иными словами, обладать
большой емкостью. Эти устройства получили название конденсаторов.

Если к заряженному проводнику приближать другие тела, то на них
возникают индуцированные (на проводнике) или связанные (на диэлектрике) заряды,
причем ближайшими к наводящему заряду Q будут
заряды противоположного знака. Эти заряды, естественно, ослабляют поле,
создаваемое зарядом Q, т. е. понижают потенци­ал проводника, что приводит
(см. (93.1)) к повышению его электроемкости.

Конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), разделенных
диэлектриком. На емкость конденсатора не должны оказывать влияния окружающие
тела, поэтому проводникам придают такую форму, чтобы поле, создаваемое
накапливаемыми заря­дами, было сосредоточено в узком зазоре между обкладками
конденсатора. Этому условию удовлетворяют: 1) две плоские пластины; 2) два
коаксиальных цилиндра; 3) две концентрические сферы. Поэтому в зависимости от
формы обкладок конденсаторы делятся на плоские, цилиндрические и
сферические.

Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии
напряженности начинаются на одной обкладке и кончаются на другой, поэтому
свободные заряды, воз­никающие на разных обкладках, являются равными по модулю
разноименными зарядами. Под емкостью конденсатора понимается физическая
величина, равная отношению заряда Q,
накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов (j₁—j₂) между его
обкладками:

                                                                    
(94.1)

Рассчитаем емкость плоского конденсатора, состоящего из двух
параллельных металлических пластин площадью S
каждая, расположенных на расстоянии d друг от
друга и имеющих заряды +Q и –Q.
Если расстояние между пластинами мало по сравнению с их линейными размерами, то
краевыми эффектами можно пренебречь и поле между обкладками считать однородным.
Его можно рассчитать используя формулы (86.1) и (94.1). При наличии диэлектрика
между обкладками разность потенциалов между ними, согласно (86.1),

                                                      
(94.2)

где e —
диэлектрическая проницаемость. Тогда из формулы (94.1), заменяя
Q=sS,
с учетом (94.2) получим выражение для емкости плоского конденсатора:

                                                            
(94.3)

Для определения емкости цилиндрического конденсатора, состоящего из
двух полых коаксиаль­ных цилиндров с радиусами r₁
и r₂ (r₂
> r₁), вставленных один в другой,
опять пренебрегая краевыми эффектами, считаем поле радиально-симметричным и
сосредоточенным между цилиндрическими обкладками. Разность потенциалов между
обкладками вычислим по формуле (86.3) для поля равномерно заряженного
бесконечного цилиндра с линейной плотностью t
=Q/l (l—длина
обкладок). При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов

                                                
(94.4)

Подставив (94.4) в (94.1), получим выражение для емкости
цилиндрического конденсатора:

                                                       
(94.5)

Для определения емкости сферического конденсатора, состоящего из
двух концентрических обкладок, разделенных сферическим слоем диэлектрика,
используем формулу (86.2) для разности потенциалов между двумя точками, лежащими
на расстояниях r₁ и
r₂ (r₂
> r₁) от центра заряженной
сферической поверхности. При наличии диэлектрика между обкладками разность
потенциалов

                                                  
(94.6)

Подставив (94.6) в (94.1), получим

Если d=r₂—r₁<<r₁,
то r₂ »
r₁ »
r и C=4pe₀er²/d.
Так как 4pr²
—площадь сферической обкладки, то получаем формулу (94.3). Таким образом, при
малой величине зазора по сравнению с радиусом сферы выражения для емкости
сферического а плоского конденсаторов совпадают. Этот вывод справедлив и для
цилиндрического конденсатора: при малом зазоре между цилиндрами по сравнению с
их радиусами в формуле (94.5) ln (r₂/r₁)
можно разложить в ряд, ограничиваясь только членом первого порядка. В результате
опять приходим к формуле (94.3).

Из формул (94.3), (94.5) и (94.7) вытекает, что емкость
конденсаторов любой формы прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости
диэлектрика, заполняющего пространство между обкладками. Поэтому применение в
качестве прослойки сегнетоэлектриков значительно увеличивает емкость
конденсаторов.

Конденсаторы характеризуются пробивным напряжением —
разностью потенциа­лов между обкладками конденсатора, при которой происходит
пробой — электричес­кий разряд через слой диэлектрика в конденсаторе.
Пробивное напряжение зависит от формы обкладок, свойств диэлектрика и его
толщины.

Для увеличения емкости и варьирования ее возможных значений
конденсаторы соединяют в батареи, при этом используется их параллельное и
последовательное соединения.

1. Параллельное соединение конденсаторов (рис. 144). У
параллельно соединенных конденсаторов разность потенциалов на обкладках
конденсаторов одинакова и равна j_A
– j_B.
Если емкости отдельных конденсаторов С₁, С₂,
…, С_n, то, согласно (94.1), их заряды
равны

а заряд батареи конденсаторов

Полная емкость батареи

т. е. при параллельном соединении конденсаторов она равна сумме
емкостей отдель­ных конденсаторов.

2. Последовательное соединение конденсаторов (рис. 145). У
последовательно соединенных конденсаторов заряды всех обкладок равны по модулю,
а разность потенциалов на зажимах батареи

где для любого из рассматриваемых конденсаторов
Dj_i
= Q/С_i.
С другой стороны,

откуда

т. е. при последовательном соединении конденсаторов суммируются
величины, обратные емкостям. Таким образом, при .последовательном соединении
конденсаторов результирующая емкость С всегда меньше наименьшей емкости,
используемой в батарее.

Емкость цилиндрической емкости зависит от класса 12 по физике CBSE

Подсказка: мы знаем, что $ C = \ dfrac {Q} {V} $, поэтому найдите выражение V через Q (Q — это заряд внутреннего цилиндра) . Рассмотрим гауссовскую цилиндрическую поверхность длины y и воспользуемся законом Гаусса: $ \ phi = \ dfrac {{{Q} _ {enclosed}}} {{{\ varepsilon} _ {\ circ}}} $. Здесь $ {{Q} _ {enclosed}} = \ dfrac {Qy} {L} $. Затем используйте формулу $ \ phi = \ int {\ overrightarrow {E} .d \ overrightarrow {s}} $, найдите электрическое поле в терминах Q, L. Наконец, используйте $ {{V} _ {A}} — {{V} _ {B}} = — \ int \ limits _ {{{r} _ {B}}} ^ {{{r} _ {A}}} {\ overrightarrow {E}.{{{r} _ {A}}} {\ overrightarrow {E} .d \ overrightarrow {r}} $

Полный пошаговый ответ:
Конденсатор — это устройство, которое хранит электрическую энергию в виде электрическое поле, накапливая заряд на своей поверхности.
Емкость C конденсатора определяется как величина заряда Q на положительной пластине, определяемая величиной разности потенциалов V между пластинами. Следовательно, $ C = \ dfrac {Q} {V} $.
Цилиндрический конденсатор длиной L состоит из двух цилиндров радиусами $ {{R} _ {1}} $ и $ {{R} _ {2}} $.Пусть $ {{R} _ {2}} $> $ {{R} _ {1}} $.
Внешний цилиндр заземлен. Цилиндр достаточно длинный, чтобы можно было пренебречь окаймлением электрического поля на концах. Электрическое поле в точке между цилиндрами будет радиальным, а его величина будет зависеть от расстояния от центральной оси.
Рассмотрим гауссову поверхность длины y и радиуса r такую, что $ {{R} _ {2}} $ Поток через плоскую поверхность равен нулю, поскольку векторы электрического поля и площади перпендикулярны друг другу.
Для изогнутой части поток равен $ \ phi = \ int {\ overrightarrow {E} .d \ overrightarrow {s}} = \ int {Eds \ cos \ theta} $, где $ \ theta $ — угол между векторами $ \ overrightarrow {E} $ и $ d \ overrightarrow {s} $.
Поскольку E и ds находятся в одном направлении, $ \ theta = 0 \ Rightarrow \ cos \ theta = \ cos 0 = 1 $.
Следовательно, $ \ phi = \ int {Eds} $.
Поскольку E постоянно (в силу симметрии) на этой поверхности, $ \ phi = E \ int {ds} = EA $… .. (i).
A — общая площадь криволинейной поверхности цилиндра.
Мы знаем, $ A = 2 \ pi ry $.Подставьте значение A в уравнение (i).
Следовательно, $ \ phi = EA = E.2 \ pi ry $ ……. (Ii).
Пусть полный заряд на поверхности внутреннего цилиндра равен Q.
Заряд внутри поверхности равен $ q = \ dfrac {Qy} {L} $.
Из закона Гаусса, $ \ phi = \ dfrac {{{Q} _ {enclosed}}} {{{\ varepsilon} _ {\ circ}}} $ получаем,
$ \ phi = \ dfrac {{{Q } _ {прилагается}}} {{{\ varepsilon} _ {\ circ}}} = \ dfrac {q} {{{\ varepsilon} _ {\ circ}}} = \ dfrac {\ dfrac {Qy} {L }} {{{\ varepsilon} _ {\ circ}}} = \ dfrac {Qy} {L {{\ varepsilon} _ {\ circ}}} $ …… (iii).{{{R} _ {2}}} = \ dfrac {Q} {2 \ pi {{\ varepsilon} _ {\ circ}} L} \ ln \ dfrac {{{R} _ {2}}} { {{R} _ {1}}} $.
Как обсуждалось выше, емкость $ C = \ dfrac {Q} {V} = \ dfrac {Q} {\ dfrac {Q} {2 \ pi {{\ varepsilon} _ {\ circ}} L} \ ln \ dfrac {{{R} _ {2}}} {{{R} _ {1}}}} = \ dfrac {2 \ pi {{\ varepsilon} _ {\ circ}} L} {\ ln \ dfrac {{{ {R} _ {2}}} {{{R} _ {1}}}} $.
Следовательно, емкость цилиндрического конденсатора прямо пропорциональна его длине.
Следовательно, правильный вариант — A.

Примечание. В случае цилиндрического конденсатора заряд сохраняется только на внутреннем цилиндре.Внешний цилиндр заземлен, поэтому на нем не будет заряда. Когда пластина или проводник заземлены, потенциал в этой точке или поверхности считается нулевым.

домашнее задание и упражнения — Как рассчитывается емкость цилиндрического конденсатора?

Я только начал изучать емкость, и в моих лекциях есть раздел о вычислении емкости конденсаторов различных форм в вакууме, например две параллельные пластины и концентрические сферические оболочки.

Для цилиндрического конденсатора, состоящего из длинного цилиндрического проводника с радиусом $ r_a $ и линейной плотностью заряда $ + \ lambda $ и коаксиальной цилиндрической проводящей оболочки с радиусом $ r_b $ и линейной плотностью заряда $ — \ lambda $, чтобы вычислить его емкость на единицу длины , в примечаниях изложены следующие шаги:

• Точка за пределами длинной линии заряда на расстоянии r от оси имеет потенциал $ V = \ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon_0} ln \ frac {r_0} {r} (1) $.Удерживается здесь еще и потому, что заряд на внешнем цилиндре не влияет на поле между цилиндрами.
• Тогда $ V_ {ab} = V_a — V_b = \ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon_0} ln \ frac {r_b} {r_a} $
• Общий заряд $ Q = \ lambda L $ на длине $ L $, поэтому $ C = \ frac {Q} {V_ {ab}} = \ frac {2 \ pi \ epsilon_0L} {ln (r_b / r_a)} $
• Следовательно, $ \ frac {C} {L} = \ frac {2 \ pi \ epsilon_0} {ln (r_b / r_a)} $

Здесь есть пара вещей, которых я не понимаю:

• В первой пуле упоминается, что «заряд на внешнем цилиндре не вносит вклад в поле между цилиндрами».Это правда? Разве напряженность электрического поля не должна удваиваться, поскольку есть и положительный заряд $ + \ lambda $, и отрицательный заряд $ — \ lambda $?
• Второй маркер назначает $ r_b $ как $ r_0 $ и $ r_a $ как $ r $ в уравнении $ (1) $. Почему это так? Насколько я понимаю, $ r_0 $ обозначает произвольное расстояние, на котором $ V_b = 0 $, что предполагает, что потенциал на коаксиальной оболочке равен 0. Почему, скажем, не наоборот? Почему бы нам не принять потенциал на краю внутреннего цилиндра за 0? Приведет ли это к тому, что $ r_b $ и $ r_a $ поменяются местами во дроби? Почему вообще возможно присвоить потенциал коаксиальной оболочке нулю?

Физика для науки и техники II

5.5 Цилиндрический конденсатор от Office of Academic Technologies на Vimeo.

Для демонстраций см .:
http://maxwell.uncc.edu/aktas/PHYS2102nline/index2.html

5.05 Цилиндрический конденсатор

Теперь рассчитаем емкость цилиндрического конденсатора. Как следует из названия, теперь мы имеем дело с конденсатором, который состоит из двух концентрических проводящих цилиндрических поверхностей, скажем так, это большая поверхность или внешняя поверхность и меньшая концентрическая внутренняя поверхность.Отлично. Поэтому наш цилиндрический конденсатор выглядит примерно так. И давайте также дадим некоторые размеры нашему конденсатору.

Предположим, что длина конденсатора равна h, а внутренний радиус равен a, другой радиус равен b. И мы заряжаем наш конденсатор таким образом, что мы подключаем внутреннюю поверхность к положительной клемме источника питания, а внешнюю поверхность — к отрицательной клемме источника питания нашей батареи, скажем. Таким образом, внутренняя пластина будет заряжаться везде положительно, а внешняя пластина будет заряжаться отрицательно.Допустим, величина этого заряда равна плюс q, а внутренняя пластина, минус q, проходит вдоль внешней пластины.

Таким образом, заряжая конденсатор, мы уже выполнили первый шаг по вычислению емкости и говорим, что конденсатор заряжен до нескольких q кулонов. И в качестве второго шага мы рассчитаем электрическое поле между пластинами этого конденсатора, применив закон Гаусса, который был интегралом от E dot dA на замкнутой поверхности, равном чистому заряду внутри объема, окруженного этой замкнутой поверхностью, q, заключенный над Эпсилоном 0.

Опять же, изолирующая среда между этими двумя проводящими пластинами — воздух, поэтому это проводник, а это проводник, например, как алюминиевые пластины. Отлично. Итак, теперь нас интересует электрическое поле между пластинами. Если мы посмотрим на геометрию пластин, мы увидим, что электрическое поле будет исходить от внутренней положительно заряженной пластины и войдет в отрицательно заряженную внешнюю пластину, в данном случае радиально наружу. Следовательно, электрическое поле будет заполнять пространство от положительной пластины до отрицательной в радиальном направлении наружу.

Вся область между пластинами будет заполнена электрическим полем, создаваемым этими двумя заряженными пластинами. Итак, поскольку мы имеем дело с цилиндрической геометрией, мы собираемся выбрать нашу гауссовскую поверхность в форме цилиндра, так чтобы его боковая поверхность проходила через интересующую точку. Нашей точкой интереса в данном случае будет любая точка между пластинами. Давайте выберем эту точку как-нибудь подальше от концов этого цилиндра, где-нибудь примерно посередине в этой точке, стр.Это область между пластинами, и мы выбираем наш гауссов цилиндр, гауссову поверхность в форме цилиндра, так чтобы его боковая поверхность проходила через интересующую точку. Следовательно, это будет что-то вроде этой цилиндрической поверхности.

Теперь, когда мы применяем этот закон Гаусса, чтобы вычислить электрическое поле в этой точке между пластинами, мы собираемся сделать предположение, что мы далеко от конечных точек, и мы собираемся пренебречь конечные эффекты.Пренебрежение конечными эффектами означает, что, конечно, когда мы подойдем к этой верхней границе, электрическое поле здесь не будет направлено радиально наружу, потому что у нас будет электрическое поле, направленное вверх, а результирующее поле будет векторной суммой эти двое. Но мы не будем обращать внимания на эти конечные эффекты. В противном случае мы не сможем применить закон Гаусса, потому что эта цилиндрическая поверхность в этом случае не будет удовлетворять условиям для применения закона Гаусса. Таким образом, мы должны сделать это предположение, и мы скажем, что пренебрегаем концевыми эффектами и предположим, что электрическое поле находится между этими двумя пластинами в радиальном направлении наружу.

Итак, учитывая это, мы можем разделить этот интеграл замкнутой поверхности на сумму открытых поверхностей, которая постепенно образует весь цилиндр. И, как вы помните из цилиндрической геометрии, когда мы применяем закон Гаусса к задаче о бесконечном прямом маршруте, поскольку открытая форма этого цилиндра состоит из поверхности прямоугольного размера и круглых верхней и нижней поверхностей, которые эта прямоугольная поверхность охватывает, можно сказать, что этот интеграл можно выразить как интеграл по верхней поверхности цилиндра, которым является этот.И затем, то есть величина E dA величина.

И если мы посмотрим на угол между E и вектором dA для верхней поверхности, и где электрическое поле находится в этой области прямо здесь, так как для верхней поверхности dA перпендикулярно поверхности вот так, а электрическое поле радиально наружу угол между ними для верхней поверхности составляет 90 градусов.

Итак, у нас будет косинус 90. А поскольку косинус 90 равен нулю, этот интеграл не будет вносить никакого вклада. И плюс такой же для нижней поверхности; интегрируя по нижней поверхности, снова dA перпендикулярно поверхности, направлено вниз, а электрическое поле выходит радиально наружу, заполняя все это пространство.В этой части он будет указывать вот так, и снова угол между ними будет 90 градусов. Так что это тоже не поможет. У нас будет величина E dA, умноженная на косинус 90, что даст нам ноль.

И единственная оставшаяся поверхность — это интеграл боковой поверхности, для боковой поверхности, если мы посмотрим на нашу точку интереса, электрическое поле здесь радиально, и dA снова перпендикулярно поверхности. Следовательно, для этой точки и для всей боковой поверхности угол между вектором электрического поля и вектором увеличивающейся площади поверхности будет просто нулевым градусом.Таким образом, для интеграла боковой поверхности у нас будет EdA, умноженное на косинус 0,

.

Когда мы сложим все эти интегралы по открытой поверхности, то получится интеграл по всей замкнутой поверхности цилиндра. А в правой части у нас будет q, заключенное в эпсилон 0. Косинус 0, опять же, равен 1. И пока мы находимся на боковой поверхности этого гауссовского цилиндра, мы будем находиться на таком же расстоянии от заряд, который он вмещает, который здесь является внутренним цилиндром. Таким образом, электрическое поле на боковой поверхности будет постоянным.Тогда мы можем вынести его за пределы интеграла.

Что ж, двигаясь дальше, у нас будет E-кратный интеграл по боковой поверхности цилиндра, где dA равно q, заключенному над эпсилоном 0. Что ж, если мы посмотрим на нашу форму открытой поверхности этого гауссовского цилиндра здесь, он имеет радиус r; это расположение точки относительно центра. Таким образом, эта сторона будет равна длине окружности либо верхнего круга, либо нижнего круга, что тогда будет равно 2 Pi r, поскольку оно оборачивается вокруг этих кругов.И мы дали размер h для высоты или длины цилиндра. Таким образом, интеграл dA по боковой поверхности, который даст нам площадь боковой поверхности, который будет равен e, умноженному на площадь боковой поверхности, что составляет 2 Pi r h. А в правой части мы заключили q над Эпсилоном 0.

Опять же, q охватывает чистый заряд внутри области, окруженной гауссовой поверхностью, в данном случае это фиолетовый цилиндр. Когда мы смотрим на внутреннюю часть этой области, мы видим, что она охватывает всю внутреннюю поверхность и, следовательно, включает в себя любой заряд, распределенный по этой внутренней поверхности этого конденсатора, и который равен общему заряду вдоль этой поверхности, который это q.

Итак, вычисляя электрическое поле, величина электрического поля становится равной q в течение 2 Pi Epsilon 0 h, умноженных на r. Когда мы смотрим на это выражение как на отличное от конденсатора с параллельными пластинами, мы видим, что это не постоянная величина; он меняется на 1 по r. Другими словами, по мере того, как мы идем от внутренней поверхности к внешней поверхности, от внутренней поверхности к внешней поверхности, напряженность электрического поля уменьшается с 1 по r, с 1 по расстоянию относительно оси цилиндра.

Теперь, когда мы определим величину электрического поля, конечно, его направление радиально наружу от положительной пластины к отрицательной, теперь мы можем перейти к третьему этапу, который вычисляет разность потенциалов между пластинами путем вычисления интеграла, интегральная линия, от положительной к отрицательной пластине e dot dl. Опять же, это интеграл по путям, и мы выберем простейший путь относительно нашего вектора электрического поля. И в этом случае простейший путь — это, по сути, путь, совпадающий с вектором электрического поля.

Ну, это будет радиальный путь, радиально наружу, и поэтому я собираюсь выбрать этот путь, вот так, и он будет совпадать с вектором электрического поля. При этом угол между этими двумя векторами становится равным нулю. И еще кое-что, если посмотреть на геометрию, это радиальное расстояние; электрическое поле направлено радиально наружу, и мы выбираем этот путь также в радиальном направлении. Тогда вектор приращения смещения вдоль этого пути будет dr, поэтому мы заменим dl на dr.

Хорошо. Выберите путь радиально наружу, тогда dl станет равным dr. Теперь рассчитаем разность потенциалов между пластинами цилиндрического конденсатора. V становится равным интегралу от величины E, которая равна q за 2 Pi Epsilon 0 hr, которую мы определили из шага или части два. q более 2 Пи Эпсилон 0 ч умножить на r. И вместо dl мы заменим или используем dr вектор приращения смещения в радиальном направлении. Итак, величина r, поскольку E и dr находятся в одном направлении, следовательно, угол между ними равен 0, косинусу 0.Косинус 0 равен 1, а наша переменная — r. И r меняется, когда мы вернемся к нашей диаграмме. Интеграл берется от положительной пластины к отрицательной пластине, поэтому r будет изменяться от внутреннего радиуса a до внешнего радиуса b.

Итак, границы интеграла перейдут от a к b. И здесь q 2 Pi Epsilon 0 и h постоянны. Мы можем вынести его за пределы интеграла, и остается, что разность потенциалов между пластинами равна q на 2 Pi Эпсилон 0 h, умноженный на интеграл dr по r, проинтегрированный от a до b.Интеграл от dr по r равен ln от r. Двигаясь дальше, у нас будет q больше 2 Pi Epsilon 0 h, умноженное на ln из r, вычисленное в a и d, что будет равно q для 2 Pi Epsilon 0 h, умноженное на ln из b минус ln из a, путем замены границы для r. И поскольку ln b минус ln a равно ln b над a, мы можем, наконец, выразить эту разность потенциалов как q на 2 Pi Epsilon 0 h умножить на ln b над a.

После определения разности потенциалов между пластинами на последнем этапе мы можем вычислить емкость цилиндрического конденсатора по его определению, которое представляет собой отношение величины заряда, хранящегося в пластинах, деленного на, или к разности потенциалов. между пластинами, а именно В.Таким образом, у нас будет q, разделенное на разность потенциалов, которая равна q на 2 Pi Epsilon 0 h, умноженное на ln b на a. Заряды сократятся в числителе и знаменателе, в результате чего емкость цилиндрического конденсатора будет равна 2 Pi Epsilon 0 h, умноженному на 1 на ln или b на a.

Это легко увидеть, как и в случае конденсатора с параллельными пластинами. В цилиндрическом конденсаторе емкость также зависит от физических свойств конденсатора. В данном случае длина равна высоте цилиндрического конденсатора, а также его внутренний и внешний радиус.

Физика для науки и техники II

5.11 Пример из отдела академических технологий на Vimeo.

5.11 Пример

Давайте рассмотрим пример, связанный с концепцией плотности энергии. Предположим, что у нас есть цилиндрический конденсатор радиусами a и b. Я хотел бы показать, что половина накопленной электрической потенциальной энергии находится внутри цилиндра, радиус r которого равен квадратному корню из внутреннего радиуса, умноженного на внешний радиус.

Таким образом, у нас есть цилиндрический конденсатор, и давайте посмотрим, это внешняя поверхность цилиндрического конденсатора, и это внутренняя поверхность цилиндрического конденсатора. Внутренний радиус этого конденсатора равен a, а внешний радиус равен b. Вопрос заключается в том, чтобы найти цилиндрическую область внутри этого цилиндрического конденсатора, такую, чтобы количество хранимой электрической потенциальной энергии в этой области составляло половину общей энергии, хранящейся в электрическом поле этого конденсатора.

Теперь, как вы помните, плотность энергии задается как половина эпсилона, равная нулю, умноженная на квадрат электрического поля между пластинами конденсатора. Предположим, что интересующая нас цилиндрическая область — это область с радиусом r.

Теперь, когда мы заряжаем этот конденсатор, мы знаем, что если мы заряжаем внутренний положительно, а внешний отрицательно, путем подключения к клеммам источника питания, мы собираемся создать разность потенциалов между этими двумя пластинами, и мы также создадим электрическое поле, исходящее от положительной пластины и входящее в отрицательную пластину в радиальном направлении наружу, заполняя область между этими пластинами.

И мы можем вычислить напряженность этого электрического поля, что мы сделали ранее, применив закон Гаусса, и это было e dot da, интегрированное по этому гауссовскому цилиндру, который мы выбираем, используя симметрию задачи, так что его сторона Поверхность проходит через точку интереса, расположенную между пластинами, и мы выбираем это место подальше от концов конденсатора, вы знаете, чтобы иметь возможность применить закон Гаусса, пренебрегая концевыми эффектами, которые мы сделали это ранее. А правая часть закона Гаусса, как вы помните, будет равна q, заключенному в эпсилон-ноль, который представляет собой чистый заряд, заключенный в области, окруженной гауссовым цилиндром, деленный на эпсилон-ноль.

И снова, как вы помните, мы разделили это интегрирование замкнутой поверхности на сумму трех интегралов, взятых по верхней, нижней и боковым поверхностям цилиндра. И когда мы их складываем, мы получаем интеграл по замкнутой поверхности. Таким образом, интегральная над верхней поверхностью EdA, как мы помним, здесь dA была перпендикулярна верхней поверхности, поэтому угол между ними, E и dA составлял 90 градусов, косинус 90 от этого продукта.

И интегрируя по нижней поверхности EdA, мы снова имеем ситуацию аналогичного типа, когда dA направлен вниз, электрическое поле выходит радиально, без учета концевых эффектов.Таким образом, угол между ними снова составляет 90 градусов. Плюс интеграл по боковой поверхности, EdA, и для боковой поверхности, как мы снова видели ранее, e радиально выходит наружу, а dA также перпендикулярно поверхности. Следовательно, угол для боковой поверхности между e и dA всегда равен нулю градусов, а правая часть снова q, заключенная над нулевым эпсилон. Поскольку косинус 90 равен нулю, не будет никакого вклада от интегрирования верхней и нижней поверхностей, кроме вклада, который будет исходить от боковой поверхности, поскольку косинус нуля равен 1, и пока мы находимся вдоль боковой поверхности цилиндра электрическое поле постоянно, его можно вынести за пределы интеграла.А также мы можем легко увидеть, что поскольку этот гауссов цилиндр полностью охватывал внутреннюю заряженную поверхность, и если общий заряд на этой поверхности равен q, то заключенный q просто равен q, и поэтому левая часть, выводящая E наружу, становится E, умноженным на интеграл dA по боковой поверхности, равен q над эпсилон-нулем для правой части.

Интеграл по боковой поверхности, как мы видели ранее, складывает все эти инкрементальные области друг с другом по боковой поверхности и дает нам площадь боковой поверхности цилиндра.Если мы скажем, что высота нашего цилиндрического конденсатора равна h, а радиус цилиндра равен r, то мы можем выразить площадь боковой поверхности как 2 pi r, умноженные на h. Если электрическое поле равно q над нулевым эпсилон, и отсюда электрическое поле оказывается равным q на 2 эпсилон ноль h, умноженное на r.

И, как мы видим, это электрическое поле меняется с радиальным расстоянием. А плотность энергии, по определению, равна половине эпсилон ноль E в квадрате, и поэтому плотность энергии, энергия на единицу объема этого цилиндрического конденсатора, становится равной половине эпсилон ноль E в квадрате, и это q в квадрате на 4 пи. в квадрате эпсилон ноль в квадрате h в квадрате и r в квадрате.

Итак, теперь мы видим, что плотность энергии изменяется на единицу больше r в квадрате. Плотность энергии — это энергия на единицу объема, и эта плотность не постоянна. Если вы вспомните, например, задачу с переменной плотностью заряда, которую мы делали ранее, мы собираемся подойти к этой проблеме аналогичным образом. Сейчас нас интересует энергия. Итак, мы смотрим на количество энергии, хранящейся в этой области, хорошо? И мы говорим, что если общая энергия, накопленная между пластинами этого конденсатора, равна U, мы хотели бы вычислить радиус цилиндра, чтобы энергия, запасенная внутри этого цилиндра, который является областью внутри этого Гауссов цилиндр, будет составлять половину полной энергии.Это то, что нам нужно.

И поскольку наша плотность энергии изменяется с радиальным расстоянием, то, что мы собираемся сделать, в этом случае мы выберем инкрементную цилиндрическую оболочку с очень малой толщиной в радиальном направлении. Что-то вроде этого. И эта оболочка настолько тонка, что мы предположим, что количество энергии, запасенной вдоль этой сферической оболочки, и объем этой сферической оболочки, назовем этот объем db, объемом увеличивающейся цилиндрической оболочки. И предположим, что радиус этой оболочки равен s, а толщина, например, ds, и что это du настолько мало, что мы можем предположить, что эта плотность энергии, которая изменяется в зависимости от квадрата радиального расстояния, остается постоянной на этом расстоянии.Затем мы можем вычислить количество энергии, хранящейся внутри этой цилиндрической оболочки.

И как это вычислить? Энергия, назовем ее d sub u, энергия, запасенная в увеличивающейся цилиндрической оболочке. И это будет равно плотности энергии u, то есть энергии на единицу объема, как вы помните, по определению, умноженной на объем области, которая нас интересует, и это объем увеличивающейся цилиндрической оболочки. Таким образом, это выражение даст нам, сколько энергии находится внутри этой области.В явном виде это будет равняться половине эпсилон ноль q в квадрате на 4 пи в квадрате эпсилон ноль в квадрате h в квадрате r. И это, по сути, плотность энергии u, и давайте определим ее как dv, объем увеличивающейся цилиндрической оболочки.

А давайте посчитаем этот объем. Это инкрементная цилиндрическая оболочка, что-то вроде этого, и нас интересует объем этого цилиндра. Он имеет радиус s и толщину ds. Конечно, поскольку площадь его поперечного сечения постоянна по всей длине, объем этой оболочки dv будет равен площади поверхности, и это будет площадь этого увеличивающегося кольца, равная 2 pi r dr , умноженное на высоту этого цилиндра, и это h.Поскольку здесь мы используем переменную s, давайте заменим эти «r» на ds, а также r в плотности энергии на s. Хорошо, тогда явная форма дополнительной потенциальной энергии, хранящейся внутри объема этой цилиндрической оболочки, будет равна единице на 2 эпсилон ноль q в квадрате на 4 пи в квадрате эпсилон в квадрате нуля h в квадрате s в квадрате, умноженном на dv, объем этого приращения цилиндрическая оболочка, которая равна 2 pi s ds, умноженным на h.

Итак, у нас есть энергия на единицу объема, умноженная на объем, который нас интересует, поэтому объемы уравняются, и в конечном итоге мы получим энергию внутри этой области, энергию, запасенную в этой области.И здесь мы можем отменить одно из этих s, числитель и знаменатель, и мы можем отменить одно из этих h в квадрате с h в числителе, и аналогично, эпсилон ноль отменяется с эпсилон ноль в квадрате, а квадрат пи отменяется этим pi, и мы можем отменить 2 с помощью этого 2. И мы собираемся получить инкрементную потенциальную энергию, хранящуюся внутри объема этой инкрементной цилиндрической оболочки, как q в квадрате, деленное на 4 пи-эпсилон ноль hs ds.

Хорошо. Что ж, это количество энергии, хранящейся в объеме этой увеличивающейся цилиндрической оболочки.Я могу просто пойти дальше и вычислить энергию, запасенную в следующей оболочке и в следующей оболочке, и так далее и так далее, по всей области, которая меня интересует. И эта область расширяется, радиус начинается от a до этого конкретного радиуса r, который я пытаюсь вычислить. Следовательно, если я проинтегрирую это du отсюда, от a до r, тогда я получу количество энергии, хранящейся внутри этого пурпурного цилиндра.

Что ж, я хочу, чтобы эта энергия составляла половину всей энергии, хранящейся в электрическом поле этого конденсатора, и общая энергия может быть получена путем сложения этих «du», дополнительных энергий, хранящихся в этих дополнительных цилиндрических оболочках, начиная с этого от внутреннего радиуса a до внешнего радиуса b.Другими словами, мы имеем здесь, что интеграл du, проинтегрированный от a до r, до радиуса, который нас интересует, мы хотим, чтобы эта энергия была равна половине полной энергии. И полная энергия является интегралом du, количества энергии, хранящейся в этих дополнительных цилиндрических оболочках, интегрированной от a до b, которая даст нам полную энергию, и я хочу, чтобы эта энергия составляла половину этой энергии. Поэтому я делю это на 2.

Хорошо. Давайте теперь вычислим эти интегралы.Интеграл от a до r в квадрате q на 4 пи-эпсилон ноль h, умноженный на s, умноженный на ds, будет равен половине интеграла от a до b из q, возведенного в квадрат 4 пи-эпсилон нуля h s, умноженного на ds. А здесь q в квадрате 4 пи эпсилон ноль h, эти члены постоянны, мы можем вынести их за пределы интеграла для обеих сторон. И после того, как мы вынесем их наружу, мы легко увидим, что, поскольку у нас есть одинаковые члены с обеих сторон, деля обе части уравнения на одни и те же члены, мы можем их исключить.

Итак, мы собираемся закончить тем, что интеграл от a до r от ds по s будет равен половинному интегралу от a до b от ds по s.Двигаясь дальше, интеграл ds по s равен ln от s, и он будет оцениваться в a и r, будет равен половине, снова ln из S, теперь он оценивается в a и b. Подставляя границы, мы получим ln из r минус ln из a, будет равно половине ln из b минус половина ln из a. Если мы оставим ln of r в покое на одной стороне уравнения, переместив ln of a на другую сторону, мы получим, что половина одной половины ln a будет положительной для другой стороны, а минус одна половина ln a даст нам одна половина ln плюс половина ln b.

Мы можем переписать это так, как ln из r равно ln из a в половинных скобках плюс половина ln из b, что равно половине ln из a, умноженного на b. ln числа r будет равно ln умноженного на b в степени половины, и если мы возьмем погруженный логарифм обеих сторон, то получим, что r равно квадратному корню из умножения на b. И это был тот случай, который мы должны были доказать. Действительно, если радиус цилиндра равен квадратному корню из внутреннего радиуса, умноженного на внешний радиус, то количество энергии для этого конденсатора, хранящейся в этой области, будет составлять половину потенциальной энергии, хранящейся между пластинами этого цилиндр.Другими словами, когда мы рассматриваем эту область с таким радиусом, что r равно квадратному корню из a, умноженному на b, внутри этого цилиндра количество запасенной энергии просто равно половине полной энергии, запасенной этим цилиндрическим конденсатором. .

Таким образом, этот пример демонстрирует использование плотности энергии, которую мы определяем как энергию на единицу объема. Это также показывает, как мы подходим к случаям переменной плотности. Это в некотором роде пример того же типа, что и проблема с переменной плотностью заряда.Но здесь вместо переменной плотности заряда мы имеем дело с переменной плотностью энергии. Но математический способ анализа таких проблем практически идентичен.

8.1 Конденсаторы и емкость — Университетская физика, Том 2

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Объясните понятие конденсатора и его емкости
• Опишите, как оценить емкость системы проводов

Конденсатор — это устройство, используемое для хранения электрического заряда и электрической энергии.Конденсаторы обычно состоят из двух электрических проводников, разделенных расстоянием. (Обратите внимание, что такие электрические проводники иногда называют «электродами», но, точнее, это «обкладки конденсатора».) Пространство между конденсаторами может быть просто вакуумом, и в этом случае конденсатор будет известен как «Вакуумный конденсатор». Однако пространство обычно заполнено изолирующим материалом, известным как диэлектрик. (Вы узнаете больше о диэлектриках в разделах, посвященных диэлектрикам, далее в этой главе.) Объем конденсатора определяется свойством, называемым емкостью , емкостью , о котором вы узнаете больше чуть позже в этом разделе.

Конденсаторы

имеют различные применения: от фильтрации статического электричества от радиоприема до накопления энергии в дефибрилляторах сердца. Обычно в промышленных конденсаторах две токопроводящие части расположены близко друг к другу, но не соприкасаются, как на рис. 8.2. В большинстве случаев между двумя пластинами используется диэлектрик. Когда клеммы батареи подключены к первоначально незаряженному конденсатору, потенциал батареи перемещает небольшой заряд величиной Q с положительной пластины на отрицательную.Конденсатор в целом остается нейтральным, но с зарядами + Q + Q и −Q − Q, находящимися на противоположных пластинах.

Рис. 8.2 Оба конденсатора, показанные здесь, были изначально разряжены перед подключением к батарее. Теперь у них на пластинах есть заряды + Q + Q и −Q − Q (соответственно). (a) Конденсатор с параллельными пластинами состоит из двух пластин противоположного заряда с площадью A , разделенных расстоянием d . (b) Катаный конденсатор имеет диэлектрический материал между двумя проводящими листами (пластинами).

Система, состоящая из двух идентичных параллельно проводящих пластин, разделенных расстоянием, называется конденсатором с параллельными пластинами (рис. 8.3). Величина электрического поля в пространстве между параллельными пластинами равна E = σ / ε0E = σ / ε0, где σσ обозначает поверхностную плотность заряда на одной пластине (напомним, что σσ — заряд Q на площадь поверхности A ). Таким образом, величина поля прямо пропорциональна Q .

Рис. 8.3 Разделение зарядов в конденсаторе показывает, что заряды остаются на поверхности пластин конденсатора.Линии электрического поля в конденсаторе с параллельными пластинами начинаются с положительных зарядов и заканчиваются отрицательными зарядами. Величина электрического поля в пространстве между пластинами прямо пропорциональна количеству заряда на конденсаторе.

Конденсаторы с разными физическими характеристиками (такими как форма и размер пластин) накапливают разное количество заряда для одного и того же приложенного напряжения В на своих пластинах. Емкость C конденсатора определяется как отношение максимального заряда Q , который может храниться в конденсаторе, к приложенному напряжению В на его пластинах.Другими словами, емкость — это наибольшая величина заряда на вольт, которая может храниться на устройстве:

Единица измерения емкости в системе СИ — фарад (Ф), названная в честь Майкла Фарадея (1791–1867). Поскольку емкость — это заряд на единицу напряжения, один фарад равен одному кулону на один вольт, или

По определению, конденсатор емкостью 1,0 мкФ может сохранять заряд 1,0 К (очень большой заряд), когда разность потенциалов между его пластинами составляет всего 1,0 В. Следовательно, один фарад является очень большой емкостью.Типичные значения емкости варьируются от пикофарад (1пФ = 10−12Ф) (1пФ = 10−12Ф) до миллифарадов (1мФ = 10−3Ф) (1мФ = 10−3Ф), что также включает микрофарады (1мкФ = 10−6F1мкФ = 10− 6F). Конденсаторы могут быть разных форм и размеров (рис. 8.4).

Рис. 8.4 Это некоторые типичные конденсаторы, используемые в электронных устройствах. Размер конденсатора не обязательно зависит от его емкости. (кредит: Windell Oskay)

Расчет емкости

Мы можем рассчитать емкость пары проводов с помощью следующего стандартного подхода.

Стратегия решения проблем

Расчет емкости

1. Предположим, что конденсатор заряжен Q .
2. Определить электрическое поле E → E → между проводниками. Если в расположении проводников присутствует симметрия, вы можете использовать закон Гаусса для этого расчета.
3. Найдите разность потенциалов между проводниками из
   VB − VA = −ABE → · dl →, VB − VA = −ABE → · dl →,

   8,2

   где путь интегрирования ведет от одного проводника к другому.Тогда величина разности потенциалов равна V = | VB-VA | V = | VB-VA |.

4. Зная В , определите емкость непосредственно из уравнения 8.1.

Чтобы показать, как работает эта процедура, мы теперь вычисляем емкости параллельных пластин, сферических и цилиндрических конденсаторов. Во всех случаях мы предполагаем вакуумные конденсаторы (пустые конденсаторы) без диэлектрического вещества в пространстве между проводниками.

Конденсатор с параллельными пластинами

Конденсатор с параллельными пластинами (рисунок 8.5) имеет две идентичные токопроводящие пластины, каждая с площадью поверхности A , разделенными расстоянием d . Когда на конденсатор подается напряжение В , он сохраняет заряд Q , как показано. Мы можем увидеть, как его емкость может зависеть от A и d , рассмотрев характеристики кулоновской силы. Мы знаем, что сила между зарядами увеличивается с увеличением заряда и уменьшается с расстоянием между ними. Следует ожидать, что чем больше пластины, тем больше заряда они могут хранить.Таким образом, C должно быть больше для большего значения A . Точно так же, чем ближе пластины друг к другу, тем сильнее на них притяжение противоположных зарядов. Следовательно, C должно быть больше для меньшего d .

Рис. 8.5 В конденсаторе с параллельными пластинами с пластинами, разделенными расстоянием d , каждая пластина имеет одинаковую площадь поверхности A .

Определим поверхностную плотность заряда σσ на пластинах как

Из предыдущих глав мы знаем, что, когда d мало, электрическое поле между пластинами довольно однородно (без учета краевых эффектов) и что его величина определяется как

где постоянная ε0ε0 — диэлектрическая проницаемость свободного пространства, ε0 = 8.85 × 10–12Ф / м. Ε0 = 8,85 × 10–12Ф / м. Единица СИ в Ф / м эквивалентна C2 / N · m2.C2 / N · m2. Поскольку электрическое поле E → E → между пластинами однородно, разность потенциалов между пластинами составляет

V = Ed = σdε0 = Qdε0A.V = Ed = σdε0 = Qdε0A.

Следовательно, уравнение 8.1 дает емкость конденсатора с параллельными пластинами как

C = QV = QQd / ε0A = ε0Ad.C = QV = QQd / ε0A = ε0Ad.

8,3

Обратите внимание на это уравнение, что емкость является функцией только геометрии и того, какой материал заполняет пространство между пластинами (в данном случае вакуум) этого конденсатора.Фактически, это верно не только для конденсатора с параллельными пластинами, но и для всех конденсаторов: емкость не зависит от Q или В . При изменении заряда соответственно изменяется и потенциал, так что Q / V остается постоянным.

Пример 8.1

Емкость и заряд в конденсаторе с параллельными пластинами

(a) Какова емкость пустого конденсатора с параллельными пластинами с металлическими пластинами, каждая из которых имеет площадь 1,00 м 21.00м2, разделенных расстоянием 1,00 мм? (b) Сколько заряда хранится в этом конденсаторе, если к нему приложено напряжение 3,00 × 103 В3,00 × 103 В?

Стратегия

Определение емкости C является прямым применением уравнения 8.3. Найдя C , мы сможем найти накопленный заряд, используя уравнение 8.1.

Решение

1. Ввод заданных значений в уравнение 8.3 дает
   C = ε0Ad = (8.85 × 10−12Fm) 1.00m21.00 × 10−3m = 8.85 × 10−9F = 8.85nF.C = ε0Ad = (8.85 × 10−12Fm) 1.00m21.00 × 10−3m = 8 .85 × 10−9F = 8,85 нФ.
   Это небольшое значение емкости указывает на то, насколько сложно изготовить устройство с большой емкостью.
2. Обращение уравнения 8.1 и ввод известных значений в это уравнение дает
   Q = CV = (8,85 × 10–9F) (3,00 × 103 В) = 26,6 мкКл. Q = CV = (8,85 × 10–9F) (3,00 × 103 В) = 26,6 мкКл.

Значение

Этот заряд лишь немного больше, чем в типичных приложениях для статического электричества. Поскольку воздух разрушается (становится проводящим) при напряженности электрического поля около 3.0 МВ / м, на этом конденсаторе больше нельзя накапливать заряд при увеличении напряжения.

Пример 8.2

А 1-Ф конденсатор с параллельными пластинами

Предположим, вы хотите сконструировать конденсатор с параллельными пластинами емкостью 1,0 F. Какую площадь вы должны использовать для каждой пластины, если пластины разделены на 1,0 мм?

Решение

Преобразуя уравнение 8.3, получаем
A = Cdε0 = (1.0F) (1.0 × 10−3m) 8.85 × 10−12F / m = 1.1 × 108m2 A = Cdε0 = (1.0F) (1.0 × 10−3m) 8,85 × 10−12F / m = 1,1 × 108 м2.

Каждая квадратная пластина должна быть 10 км в поперечнике.Раньше было обычным розыгрышем — попросить студента пойти в склад лаборатории и попросить конденсатор с параллельными пластинами 1F, пока обслуживающий персонал не устанет от этой шутки.

Проверьте свое понимание 8.1

Емкость конденсатора с параллельными пластинами составляет 2,0 пФ. Если площадь каждой пластины составляет 2,4 см 22,4 см2, каково расстояние между пластинами?

Проверьте свое понимание 8.2

Убедитесь, что σ / Vσ / V и ε0 / dε0 / d имеют одинаковые физические единицы.

Сферический конденсатор

Сферический конденсатор — это еще один набор проводников, емкость которых можно легко определить (Рисунок 8.dr) = Q4πε0∫R1R2drr2 = Q4πε0 (1R1−1R2).

В этом уравнении разность потенциалов между пластинами равна V = — (V2 − V1) = V1 − V2V = — (V2 − V1) = V1 − V2. Мы подставляем этот результат в уравнение 8.1, чтобы найти емкость сферического конденсатора:

C = QV = 4πε0R1R2R2 − R1.C = QV = 4πε0R1R2R2 − R1.

8,4

Рисунок 8.6 Сферический конденсатор состоит из двух концентрических проводящих сфер. Обратите внимание, что заряды на проводнике находятся на его поверхности.

Пример 8.3

Емкость изолированной сферы

Вычислите емкость одиночной изолированной проводящей сферы радиуса R1R1 и сравните ее с уравнением 8.dr) = Q4πε0∫R1 + ∞drr2 = 14πε0QR1.

Следовательно, емкость изолированного шара составляет

C = QV = Q4πε0R1Q = 4πε0R1.C = QV = Q4πε0R1Q = 4πε0R1.

Значение

Тот же результат может быть получен, если взять предел уравнения 8.4 при R2 → ∞R2 → ∞. Таким образом, одиночная изолированная сфера эквивалентна сферическому конденсатору, внешняя оболочка которого имеет бесконечно большой радиус.

Проверьте свое понимание 8.3

Радиус внешней сферы сферического конденсатора в пять раз больше радиуса его внутренней оболочки.Каковы размеры этого конденсатора, если его емкость 5,00 пФ?

Цилиндрический конденсатор

Цилиндрический конденсатор состоит из двух концентрических проводящих цилиндров (рисунок 8.7). Внутренний цилиндр радиуса R1R1 может быть либо оболочкой, либо полностью твердым. Внешний цилиндр представляет собой оболочку внутреннего радиуса R2R2. Мы предполагаем, что длина каждого цилиндра составляет l и что избыточные заряды + Q + Q и -Q-Q находятся на внутреннем и внешнем цилиндрах соответственно.dr) = Q2πε0l∫R1R2drr = Q2πε0llnr | R1R2 = Q2πε0llnR2R1.

Таким образом, емкость цилиндрического конденсатора составляет

C = QV = 2πε0lln (R2 / R1). C = QV = 2πε0lln (R2 / R1).

8,6

Как и в других случаях, эта емкость зависит только от геометрии расположения проводников. Важным применением уравнения 8.6 является определение емкости на единицу длины коаксиального кабеля , который обычно используется для передачи изменяющихся во времени электрических сигналов. Коаксиальный кабель состоит из двух концентрических цилиндрических проводников, разделенных изоляционным материалом.(Здесь мы предполагаем наличие вакуума между проводниками, но физика качественно почти такая же, когда пространство между проводниками заполнено диэлектриком.) Эта конфигурация экранирует электрический сигнал, распространяющийся по внутреннему проводнику, от паразитных электрических полей, внешних по отношению к проводнику. кабель. Ток течет в противоположных направлениях во внутреннем и внешнем проводниках, при этом внешний провод обычно заземлен. Теперь из уравнения 8.6 емкость коаксиального кабеля на единицу длины равна

.
Cl = 2πε0ln (R2 / R1).Cl = 2πε0ln (R2 / R1).

В практических приложениях важно выбирать конкретные значения C / l . Это может быть достигнуто за счет соответствующего выбора радиусов проводников и изоляционного материала между ними.

Проверьте свое понимание 8.4

Когда цилиндрический конденсатор получает заряд 0,500 нКл, между цилиндрами измеряется разность потенциалов 20,0 В. а) Какова емкость этой системы? (b) Если цилиндры 1.Длина 0 м, каково соотношение их радиусов?

Несколько типов конденсаторов, которые можно использовать на практике, показаны на рис. 8.4. Обычные конденсаторы часто состоят из двух небольших кусочков металлической фольги, разделенных двумя небольшими кусочками изоляции (см. Рисунок 8.2 (b)). Металлическая фольга и изоляция покрыты защитным покрытием, а два металлических вывода используются для подключения фольги к внешней цепи. Некоторые распространенные изоляционные материалы — это слюда, керамика, бумага и антипригарное покрытие Teflon ™.

Другой популярный тип конденсатора — электролитический конденсатор.Он состоит из окисленного металла в проводящей пасте. Основным преимуществом электролитического конденсатора является его высокая емкость по сравнению с другими распространенными типами конденсаторов. Например, емкость одного типа алюминиевого электролитического конденсатора может достигать 1,0 F. Однако вы должны быть осторожны при использовании электролитического конденсатора в цепи, потому что он работает правильно только тогда, когда металлическая фольга находится под более высоким потенциалом, чем проводящая паста. Когда возникает обратная поляризация, электролитическое действие разрушает оксидную пленку.Этот тип конденсатора не может быть подключен к источнику переменного тока, потому что в половине случаев переменное напряжение будет иметь неправильную полярность, поскольку переменный ток меняет свою полярность (см. Схемы переменного тока в цепях переменного тока).

Конденсатор переменного тока (рисунок 8.8) имеет два набора параллельных пластин. Один набор пластин закреплен (обозначен как «статор»), а другой набор пластин прикреплен к валу, который может вращаться (обозначается как «ротор»). Поворачивая вал, можно изменять площадь поперечного сечения в перекрытии пластин; следовательно, емкость этой системы может быть настроена на желаемое значение.Настройка конденсатора находит применение в любом типе радиопередачи и при приеме радиосигналов от электронных устройств. Каждый раз, когда вы настраиваете автомобильное радио на любимую станцию, думайте о емкости.

Рисунок 8.8 В конденсаторе переменного тока емкость можно регулировать, изменяя эффективную площадь пластин. (кредит: модификация работы Робби Спроул)

Символы, показанные на рисунке 8.9, представляют собой схемные изображения различных типов конденсаторов. Обычно мы используем символ, показанный на рисунке 8.9 (а). Символ на Рисунке 8.9 (c) представляет конденсатор переменной емкости. Обратите внимание на сходство этих символов с симметрией конденсатора с параллельными пластинами. Электролитический конденсатор представлен символом на рис. 8.9 (b), где изогнутая пластина обозначает отрицательный вывод.

Рисунок 8.9 Здесь показаны три различных схемных представления конденсаторов. Символ в (а) является наиболее часто используемым. Символ в (b) представляет собой электролитический конденсатор. Символ в (c) представляет конденсатор переменной емкости.

Интересный прикладной пример модели конденсатора взят из клеточной биологии и имеет дело с электрическим потенциалом в плазматической мембране живой клетки (рис. 8.10). Клеточные мембраны отделяют клетки от их окружения, но позволяют некоторым отобранным ионам проходить внутрь или из клетки. Разность потенциалов на мембране составляет около 70 мВ. Клеточная мембрана может иметь толщину от 7 до 10 нм. Рассматривая клеточную мембрану как наноразмерный конденсатор, оценка наименьшей напряженности электрического поля на его « пластинах » дает значение E = Vd = 70 × 10−3V10 × 10−9m = 7 × 106V / m> 3MV / mE. = Vd = 70 × 10−3V10 × 10−9m = 7 × 106V / m> 3MV / m.

Этой величины электрического поля достаточно, чтобы вызвать электрическую искру в воздухе.

Рис. 8.10. Полупроницаемая мембрана биологической клетки имеет разные концентрации ионов на внутренней поверхности, чем на внешней. Диффузия перемещает ионы K + K + (калий) и Cl – Cl– (хлорид) в показанных направлениях, пока кулоновская сила не остановит дальнейший перенос. Таким образом, внешняя поверхность мембраны приобретает положительный заряд, а ее внутренняя поверхность приобретает отрицательный заряд, создавая разность потенциалов на мембране.Мембрана обычно непроницаема для Na + (ионов натрия).

Формулы и калькуляторы емкости

На этой странице представлены формулы и калькуляторы емкостей
различные формы или типы конденсаторов. Это также полезно, если вы
собираетесь использовать свой конденсатор в
Танк LC резонансный
схема.

Емкость конденсаторов с параллельными пластинами

Конденсатор с параллельными пластинами состоит из двух плоских параллельных пластин, которые
электроды, разделенные
диэлектрик
или изолятор.Для формулы и калькулятора здесь пластины могут быть
любой формы, если они плоские, параллельны и вы знаете площадь
тарелки или что-то еще, что нужно, чтобы найти этот район.

Формула емкости конденсатора с параллельными пластинами:

Где:

• ε _r = относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика
  (реже К, диэлектрическая проницаемость)
• ε ₀ = 8.854×10 ^-12 Ф / м (фарад / метр) =
  диэлектрическая проницаемость вакуума или диэлектрическая проницаемость свободного пространства

На схемах показаны конденсаторы с параллельными пластинами разной формы.
пластины, одна прямоугольная и одна круглая. Формула для расчета
площадь прямоугольника:

а формула для вычисления площади круга:

Где π — это число пи, равное 3,14159.

Емкость цилиндрических конденсаторов

Цилиндрический конденсатор состоит из двух цилиндров, также называемых
пластины, которые являются электродами, разделены
диэлектрик
или изолятор.

Формула емкости цилиндрического конденсатора:

Где:

• ε _r = относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика
  (реже К, диэлектрическая проницаемость)
• ε ₀ = 8,854×10 ^-12 Ф / м (фарад / метр) =
  диэлектрическая проницаемость вакуума или диэлектрическая проницаемость свободного пространства

Видео — Как сделать конденсаторы — Низкое напряжение

В этом видео не только показано, как делать конденсаторы, но и
формула емкости в более динамичном формате, чем указано выше.После всего,
если вы делаете конденсатор, вам сначала нужно знать, как
спроектировать конденсатор.

Видео — Как сделать конденсаторы — Высокое напряжение

В этом видео показано, как разработать конденсаторы для высокого напряжения, объясняя,
измерения и построения для напряжения пробоя / диэлектрической прочности, чтобы
что конденсатор может выдерживать желаемое высокое напряжение.

Емкость

концентрических цилиндров — Дэвид Пейс, доктор философии.D.

В этом разделе мы рассчитаем емкость системы концентрических цилиндрических оболочек.

На следующем рисунке представлена ​​геометрия этой темы. Две проводящие и концентрические цилиндрические оболочки, бесконечно длинные, составляют систему с некоторой емкостью C.

Геометрия этой темы. Цилиндрические оболочки бесконечно длинные (хотя и не так нарисованы). Внешняя оболочка имеет радиус b, а внутренняя — радиус a.

Начнем с того, что мы можем определить только емкость на единицу длины, C / L, потому что общая емкость — это нереальное значение.Определение емкости:

где Q — заряд системы, а V — ее потенциал. Из этого выражения видно, что емкость — это количество заряда, которое может храниться в системе, удерживая ее при потенциале V. Заряд — это количество, которое может храниться отдельно, а не только общее. Например, в конденсаторе с параллельными пластинами заряд, используемый в

, равен абсолютному значению количества только на одной из пластин (если бы мы использовали общий заряд, то у нас был бы ноль).

Чтобы определить емкость этой системы, поместим некоторый заряд цилиндров. Поместите + Q на центральный цилиндр и -Q на внешний. Чистый заряд системы остается нулевым. Этот заряд будет распространяться по поверхности цилиндров. Наше выражение для емкости на единицу длины этой системы составляет

где Q = Q известно (мы сами его туда подставили). Осталось определить потенциал V, который поддерживается между цилиндрами за счет разделения этого заряда.

Поскольку мы знаем, где находится весь заряд в этой системе, можно определить электрическое поле везде. Зная электрическое поле E между цилиндрами, можно рассчитать потенциал через соотношение

, где это потенциал между конечными точками линии l . Проведенная здесь линия будет проходить по радиальной координате, соединяющей цилиндры. Система симметрична, и эта соединительная линия между цилиндрами представляет собой потенциал между ними во всех точках.

Симметрия системы дополнительно иллюстрируется диаграммой электрического поля внутреннего цилиндра, показанной на рисунке ниже. Бесконечно длинный цилиндр создает однородное электрическое поле вдоль вектора r в цилиндрической системе координат.

Электрическое поле, создаваемое внутренним цилиндром чистого заряда + Q, полностью направлено по радиальной координате.

Возвращаясь к задаче вычисления электрического поля, вспомним закон Гаусса,

, где Q _enc — общий заряд, заключенный в области A.

Поскольку мы хотим определить электрическое поле между цилиндрами, необходимо найти поверхность, которая везде перпендикулярна ему (т.е. поверхность с нормалью, параллельной электрическому полю). В таком случае скалярное произведение в приведенном выше выражении не равно нулю. На рисунке 3 показана поверхность, удовлетворяющая этому требованию. Вектор нормали к гауссовой поверхности A всюду параллелен вектору электрического поля.

Пунктирная окружность — это гауссова поверхность, которая позволит нам рассчитать электрическое поле между цилиндрами.

На приведенном выше рисунке показан только один пример вектора электрического поля. Это поле всюду параллельно радиальному координатному вектору. Заряд внешнего цилиндра не влияет на общий заряд, заключенный в поверхности. Вложенный заряд полностью определяется зарядом внутреннего цилиндра. Эта цилиндрическая поверхность является трехмерной и представляет собой еще одну цилиндрическую оболочку. Весь заряд внутреннего цилиндра заключен в нашу поверхность, Q _enc = + Q.

Элемент дифференциальной площади d A может быть переписан в терминах этой геометрии. Общая площадь гауссовой поверхности определяется выражением для площади поверхности цилиндра радиуса r. Поверхность определяется в фиксированном радиальном положении, поэтому для вычисления общей площади необходимы только осевая (z) и азимутальная (Φ) координаты. Это показано ниже.

Возвращаясь к закону Гаусса, решим каждую сторону отдельно,

, где последний шаг использует тот факт, что я говорю, что длину бесконечно длинных цилиндров можно записать как L.

Приравнивание этих результатов приводит к,

, где это направлено по вектору радиальной координаты.

, где очень важно помнить о порядке пределов в интеграле.

Частью определения электрического потенциала является то, что потенциал на бесконечности равен нулю. При вычислении потенциала необходимо выполнить линейное интегрирование, начиная с бесконечности (или как можно дальше от него), и вернуться обратно.Вот почему пределы интегрирования начинаются от самой внешней точки b и заканчиваются самой внутренней точкой a.

Потенциал отрицательный, что представляет собой проблему для нас, потому что емкость имеет положительную величину. Полезно следующее тождество: ln (α / β) = -ln (β / α). Потенциал между цилиндрами после того, как мы поместим на них равное и противоположное количество заряда, составляет

, и теперь мы можем вернуться к более раннему общему выражению, чтобы вычислить емкость на единицу длины этой системы.