Невоспроизводимые косвенные измерения. Косвенное измерение примеры. Косвенные измерения пример

Невоспроизводимые косвенные измерения. Косвенное измерение примеры

7. Виды и методы измерений. Прямые измерения. Косвенные измерения. Совместные измерения?

Цель измерения – получение значения этой величины в форме, наиболее удобной для использования.

Классификация измерений

П о х а р а к т е р и с т и к е т о ч н о с т и:

Равноточные измерения – ряд измерений какой-либо величины, выполненных в одинаковых условиях.
Неравноточные измерения – ряд измерений, выполненных СИ различной точности и в разных условиях.

П о к о л и ч е с т в у и з м е р и т е л ь н о й и н ф о р м а ц и и:

Однократные измерения – число измерений равно числу измеряемых величин.

Многократные измерения – минимальное число измерений величины больше трех.

П о в ы р а ж е н и ю р е з у л ь т а т а и з м е р е н и й:

Абсолютные измерения -- это такие, при которых используются прямое измерение одной (иногда нескольких) основной величины и физическая константа. Так, в известной формуле Эйнштейна E =mc2 масса (m) – основная физическая величина, которая может быть измерена прямым путем (взвешиванием), а скорость света (с) – физическая константа.

Относительные измерения - установление отношения измеряемой величины к однородной, применяемой в качестве единицы.

Прямые измерения – непосредственное сравнение физической величины с ее мерой. Например, при определении длины предмета линейкой происходит сравнение искомой величины (количественного выражения значения длины) с мерой, т.е. линейкой.

Косвенные измерения - искомое значение величины устанавливают по результатам прямых измерений таких величин, которые связаны с искомой определенной зависимостью.

П о м е т р о л о г и ч е с к о м у н а з н а ч е н и ю:

Технические измерения – с помощью рабочих средств. Применяются в науке и технике, с целью контроля параметров изделий, процессов и т.д.

Метрологические измерения – при помощи эталонов и образцовых средств измерения, с целью воспроизведения единиц физических величин для передачи их размера рабочим средствам измерений.

П о с п о с о б у п о л у ч е н и я р е з у л ь т а т о в и з м е р е н и й :

Совместные измерения - измерения одновременно двух или нескольких разноименных величин для нахождения зависимости между ними.

Совокупные измерения – это проводимые одновременно измерения одноименных величин, при которых значения искомых величин находят решением системы уравнений, получаемых при измерениях этих величин в различных состояниях.

Методы измерения (МИ) – способ получения результата измерений путем использования принципов и средств измерений.

МИ подразделяются на:

Преимущество – быстрота измерений, обусловливающая незаменимость для практического применения. Недостаток – ограниченная точность.

Метод сравнения с мерой – измеряемая величина сравнивается с величиной, воспроизводимой мерой. Пример: измерение длины линейкой.

Преимущество – большая точность измерения, чем при методе непосредственной оценки. Недостаток – большие затраты времени на подбор мер.

Метод противоставления – измеряемая величина и величина, воспроизводимая мерой, единовременно действует на прибор сравнения, с помощью которого устанавливают соотношение между этими величинами.

Например, взвешивание на равноплечных весах, при котором измеряется масса, определяется как сумма массы гирь, ее уравновешивающих, и показаний по шкале весов.

Преимущество – уменьшение воздействия на результаты измерения факторов, влияющих на искажение сигналов измерительной информации. Недостаток – увеличение времени взвешивания.

Косвенный метод измерения – измерение физической величины одного наименования, связанной с другой искомой величиной, определенной функциональной зависимостью, с последующим расчетом путем решения управления. Косвенные методы широко применяются при химических методах испытания.

Преимущества – возможность измерения величин, для которых отсутствуют методы непосредственной оценки или они не дают достоверных результатов или связаны со значительными затратами. Недостатки – повышенные затраты времени и средств на измерение.

studfiles.net

Косвенные измерения

Пусть А, В, С, … - величины, измеряемые непосредственно,

- результат косвенного измерения, причем

Задача ставится так: найти погрешность косвенного измерения , которую оно приобретает вследствие наличия погрешностей у прямых измерений А,В,С,…. Будем искать для выражение в виде , если Здесьявляются средними арифметическими значениями, найденными по результатам прямых измерений. Разложение функции в ряд Тейлора около точки со значениями аргументов , … имеет вид

(10)

где символ обозначает частную производную функциипо переменной х. Отметим, что частная производная функции нескольких переменных по некоторой из них вычисляется по правилам дифференцирования функции одной переменной, при фиксированных значениях всех остальных, т.е. при вычислении производной их следует считать константами.

По определению, точка, в окрестности которой лежит истинное значение физической величины задается равенством

. (11)

тогда из (10) следует, что

(12)

Разделив обе части этого выражения на (11), получим

(13)

Отношение есть относительная погрешность величиныN. Из (12) следует

Введем величину

(14)

которая соответствует худшему для нас варианту оценки искомой величины N и представляет собой предельную абсолютную погрешность косвенного измерения. Тогда

Аналогично можно получить формулу предельной относительной погрешности косвенного измерения

(15)

На практике, рассчитывая погрешность косвенного измерения, значок “max” часто не пишут, однако всегда имеют в виду предельные погрешности, определяемые выражениями (14) и (15). Предельная абсолютная погрешность косвенного измерения вычисляется как дифференциал от по переменным А, В,…, причем производные вычисляются в точке, где частные дифференциалы берутся по абсолютной величине и роль дифференциалов dА, dВ, … играют погрешности прямых измерений Аналогичное правило можно сформулировать для вычисления предельной относительной погрешно

xn--90adflmiialse2m.xn--p1ai

прямые, косвенные, абсолютные и относительные.

3. Прямые и косвенные измерения

Прямыми измерениями называют такие измерения, которые получены непосредственно с помощью измерительного прибора. К прямым измерениям можно отнести измерение длины линейкой, штангенциркулем, измерение напряжения вольтметром, измерение температуры термометром и т.п. На результатах прямых измерений могут оказать влияние различные факторы. Поэтому погрешность измерений имеет различный вид, т.е. имеет место погрешность прибора, систематические и случайные погрешности, ошибки округления при снятии отсчета со шкалы прибора, промахи. В связи с этим важно выявить в каждом конкретном эксперименте, какая из ошибок измерения является наибольшей, и если окажется, что одна из них на порядок превышает все остальные, то последними погрешностями можно пренебречь.

Если же все учитываемые погрешности по порядку величины одинаковы, то необходимо оценить совместный эффект нескольких различных погрешностей. В общем случае суммарная ошибка подсчитывается по формуле:

, (7)

где  – случайная погрешность,  – погрешность прибора, – погрешность округления.

В большинстве экспериментальных исследований физическая величина измеряется не прямо, а через другие величины, которые в свою очередь определяются прямыми измерениями. В этих случаях измеряемая физическая величина определяется через прямо измеренные величины посредством формул. Такие измерения называются косвенными. На языке математики это означает, что искомая физическая величина f связана с другими величинами х1, х2, х3,…,.хn функциональной зависимостью, т.е

F=f(x1,x2,….,хn)

Примером таких зависимостей может служить объем шара

В данном случае косвенно измеряемой величиной является V - шара, которая определится при прямом измерении радиуса шара R. Данная измеряемая величина V является функцией одной переменной.

Другим примером может быть плотность твердого тела

. (8)

Здесь  – является косвенно измеряемая величина, которая определяется прямым измерением массы тела m и косвенной величиной V. Данная измеряемая величина  является функцией двух переменных, т.е.

 = (m, V)

Теория погрешностей показывает, что погрешность функции оценивается суммой погрешностей всех аргументов. Погрешность функции будет тем меньше, чем меньше погрешностей её аргументов.

4.Построение графиков по экспериментальным измерениям.

Существенным моментом экспериментального исследования является построение графиков. При построении графиков, прежде всего необходимо выбрать систему координат. Наиболее распространенной является прямоугольная система координат с координатной сеткой, образованной равностоящими друг от друга параллельными прямыми (например, миллиметровая бумага). На осях координат через определенные промежутки наносятся деления в определенном масштабе для функции и аргумента.

В лабораторных работах при изучении физических явлений приходится учитывать изменения одних величин в зависимости от изменения других. Например: при рассмотрении движения тела устанавливается функциональная зависимость пройденного пути от времени; при изучении электросопротивления проводника от температуры. Можно привести еще множество примеров.

Переменную величину У называют функцией другой переменной величины Х (аргумент), если каждому значение У будет соответствовать вполне определенное значение величины Х, то можно записать зависимость функции в виде У = У(Х).

Из определения функции следует, что для её задания необходимо указать два множества чисел (значений аргумента Х и функции У), а так же закон взаимозависимости и соответствия между ними (Х и У). Экспериментально функция может быть задана четырьмя способами:

Таблицей; 2. Аналитически, в виде формулы; 3. Графически; 4. Словесно.

Например: 1. Табличный способ задания функции –зависимости величины постоянного тока I от величины напряжения U, т.е. I=f(U).

Таблица 2

U(B)	3	6	9	12	15	18	21	24
I(mA)	1	2	3	4	5	6	7	8

2.Аналитический способ задания функции устанавливается формулой, при помощи которой по заданным (известным) значениям аргумента можно определить соответствующие значения функции. Например, функциональная зависимость, приведенная в таблице 2, может быть записана формулой:

(9)

3.Графический способ задания функции.

Графиком функции I=f(U) в декартовой системе координат называется геометрическое место точек, построенное по числовым значениям координатной точки аргумента и функции.

На рис. 1 построен график зависимости I=f(U), заданный таблицей.

I, ma

Рис. 1

Точки, найденные на опыте и наносимые на график, отмечаются отчетливо в виде кружочков, крестиков. На графике для каждой построенной точки необходимо указывать погрешности в виде «молоточков» (см. рис 1). Размеры этих «молоточков» должны быть равны удвоенному значению абсолютных ошибок функции и аргумента.

Масштабы графиков надо выбирать так, чтобы наименьшее расстояние, отсчитываемое по графику, было бы не меньше наибольшей абсолютной погрешности измерений. Однако такой выбор масштаба не всегда удобен. В некоторых случаях удобней взять по одной из осей несколько больший или меньший масштаб.

Если исследуемый интервал значений аргумента или функции отстоит от начала координат на величину, сравнимую с величиной самого интервала, то целесообразно перенести начало координат в точку, близкую к началу исследуемого интервала, как по оси абсцисс, так и по оси ординат.

Проведение кривой (т.е. соединение экспериментальных точек) через точки обычно осуществляется в соответствии с идеями метода наименьших квадратов. В теории вероятностей показано, что наилучшим приближением к экспериментальным точкам будет такая кривая (или прямая), для которой сумма наименьших квадратов отклонений по вертикали от точки до кривой будет минимальной.

Нанесенные на координатную бумагу точки соединяют плавной кривой, причем кривая должна проходить возможно ближе ко всем экспериментальным точкам. Проводить кривую следует так, чтобы она лежала возможно ближе к точкам не превышаемые погрешности и чтобы по обе стороны кривой оказывалось приблизит

xn--90adflmiialse2m.xn--p1ai

Обработка результатов косвенного измерения

В лабораторной практике большинство измерений – косвенные и интересующая величина является функцией одной или нескольких непосредственно измеряемых величин:

(10)

Как следует из теории вероятностей, среднее значение величины определяется подстановкой в формулу (10) средних значений непосредственно измеряемых величин, т.е.

(11)

Требуется найти абсолютную и относительную ошибки этой функции, если известны ошибки независимых переменных.

Рассмотрим два крайних случая, когда ошибки являются либо систематическими, либо случайными. Единого мнения относительно вычисления систематической ошибки косвенных измерений нет. Однако если исходить из определения систематической ошибки как максимально возможной ошибки, то целесообразно находить систематическую ошибку по формулам

(11)

или

(12)

где – частные производные функции (10) по аргументу найденные в предположении, что все остальные аргументы, кроме того, по которому находится производная, постоянные; – систематические ошибки аргументов.

Формулой (11) удобно пользоваться в случае, если функция имеет вид суммы или разности аргументов. Выражение (12) применять целесообразно, если функция имеет вид произведения или частного аргументов.

Для нахождения случайной ошибки косвенных измерений следует пользоваться формулами:

(13)

или

(14)

где – доверительные интервалы при заданных доверительных вероятностях (надежностях) для аргументов . Следует иметь в виду, что доверительные интервалы должны быть взяты при одинаковой доверительной вероятности .

В этом случае надежность для доверительного интервала будет тоже P.

Часто наблюдается случай, когда систематическая ошибка и случайная ошибка близки друг к другу, и они обе в одинаковой степени определяют точность результата. В этом случае общая ошибка ∑ находится как квадратичная сумма случайной Δ и систематической δ ошибок с вероятностью не менее чем P, где P – доверительная вероятность случайной ошибки:

При проведении косвенных измерений в невоспроизводимых условиях функцию находят для каждого отдельного измерения, а доверительный интервал вычисляют для получения значений искомой величины по тому же методу, что и для прямых измерений.

Следует отметить, что в случае функциональной зависимости, выраженной формулой, удобной для логарифмирования, проще сначала определить относительную погрешность, а затем из выражения найти абсолютную погрешность.

Прежде чем приступать к измерениям, всегда нужно подумать о последующих расчетах и выписать формулы, по которым будут рассчитываться погрешности. Эти формулы позволят понять, какие измерения следует производить особенно тщательно, а на какие не нужно тратить больших усилий.

При обработке результатов косвенных измерений предлагается следующий порядок операций:

1. Все величины, находимые прямыми измерениями, обработать в соответствии с правилами обработки результатов прямых измерений. При этом для всех измеряемых величин задать одно и то же значение надежности P.

2. Оценить точность результата косвенных измерений по формулам (11) – (12), где производные вычислить при средних значениях величин. Если ошибка отдельных измерений входит в результат дифференцирования несколько раз, то надо сгруппировать все члены, содержащие одинаковый дифференциал, и выражения в скобках, стоящие перед дифференциалом взять по модулю; знак d заменить на Δ (или δ).

3. Если случайная и систематическая ошибки по величине близки друг к другу, то их необходимо сложить по правилу сложения ошибок. Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую можно отбросить.

4. Определите относительную погрешность результата серии косвенных измерений

5. Результат измерения записать в виде:

Пример. Находится объем цилиндра по формуле

где d – диаметр цилиндра, h – высота цилиндра.

Обе эти величины определяются непосредственно. Пусть измерение этих величин дало следующие результаты:

при одинаковой надежности .

Среднее значение объема, согласно (11) равно

Воспользовавшись выражением (14) имеем:

;

, ;

;

Так как измерения производились микрометром, цена деления которого 0.01 мм, систематические ошибки . На основании (12) систематическая ошибка будет

Систематическая ошибка оказывается сравнимой со случайной, следовательно

Относительная погрешность

Таким образом, результат измерения после оказывается

или окончательно после округления имеет вид

при , .

Метод наименьших квадратов

Если некоторая физическая величина зависит от другой величины, то эту зависимость можно исследовать, измеряя y при различных значениях x. В результате измерений получается ряд значений:

;

По данным такого эксперимента можно построить график зависимости . Полученная кривая дает возможность судить о виде функции . Однако постоянные коэффициенты, которые входят в эту функцию, остаются неизвестными. Оптимальный подход к решению подобных задач возможен на основе применения метода наименьших квадратов.

Суть метода наименьших квадратов состоит в том, что наивероятнейшими значениями аргументов искомой аналитической зависимости будут те, при которых сумма квадратов отклонений экспериментальных значений функции от значений самой функции y, т.е. является наименьшей.

На практике этот метод наиболее часто (и наиболее просто) используется в случае линейной зависимости, т.е. когда или .

Линейная зависимость очень широко распространена в физике. И даже когда зависимость нелинейная, обычно стараются строить график так, чтобы получить прямую линию. Например, если предполагают, что показатель преломления стекла n связан с длиной λ световой волны соотношением , то на графике строят зависимость n от .

Для начала рассмотрим зависимость (прямая, проходящая через начало координат). Составим величину – сумму квадратов отклонений экспериментальных точек от прямой

Величина всегда положительна и оказывается тем меньше, чем ближе к прямой лежат экспериментальные точки. Метод наименьших квадратов утверждает, что для k следует выбирать такое значение, при котором имеет минимум

или

(15)

Вычисление показывает, что среднеквадратичная ошибка определения величины k при этом равна

(16)

Теперь можно рассмотреть более трудный случай, когда точки должны удовлетворить формуле .

Задача состоит в том, чтобы по имеющемуся набору значений найти наилучшие значения a и b.

Составляя квадратичную форму , равную сумме квадратов отклонений точек от прямой

определяют значения a и b, при которых имеет минимум

Совместное решение этих уравнений дает

,	(17)
.	(18)

Среднеквадратичные ошибки определения a и b равны

,	(19)
.	(20)

При обработке результатов измерения этим методом удобно все данные сводить в таблицу, в которой предварительно подсчитываются все суммы, входящие в формулы (15) – (20). Формы этих таблиц приведены в рассматриваемых ниже примерах.

Пример 1. Исследовалось основное уравнение динамики вращательного движения (прямая, проходящая через начало координат). При различных значениях момента M измерялось угловое ускорение ε некоторого тела. Требуется определить момент инерции этого тела. Результаты измерений момента силы и углового ускорения занесены во второй и третий столбцы таблицы 2.

Таблица 2. Результаты эксперимента

Используя линейную зависимость

по формуле (15) определяем

откуда .

Для определения среднеквадратичной ошибки воспользуемся формулой (16)

По формуле (14) имеем

Задавшись надежностью , по таблице коэффициентов Стьюдента для , находим и определяем абсолютную ошибку

Относительная погрешность

Окончательно результат можно записать в виде:

, .

Пример 2.Вычислить температурный коэффициент сопротивления металла по методу наименьших квадратов. Сопротивление зависит от температуры по линейному закону

Свободный член определяет сопротивление при температуре 0° C, а угловой коэффициент – произведение температурного коэффициента на сопротивление .

Результаты измерений и расчетов приведены в таблице 3.

Таблица 3. Результаты эксперимента

По формулам (17), (18) определяем

Отсюда:

Найдем ошибку в определении . Так как , то по формуле (14) имеем:

Пользуясь формулами (19), (20) имеем

Тогда

Задавшись надежностью , по таблице коэффициентов Стьюдента для , находим и определяем абсолютную ошибку

Относительная погрешность

Окончательно результат можно записать в виде:

при , .

РАЗДЕЛ 3. Лабораторные работыпо механике И МОЛЕКУЛЯРНой ФИЗИКе

Лабораторная работа № 1

Определение плотности твердых тел правильнойгеометрической формы

Цели и задачи работы

Цели работы:

– Изучение устройства штангенциркуля и микрометра.

– Измерение геометрических размеров тел с помощью измерительных приборов.

– Освоение методики взвешивания на аналитических весах.

Задачи работы:

– Определение плотности однородного тела цилиндрической формы и формы параллелепипеда.

– Определение погрешности измерений.

Теоретическая часть

Для более точных измерений геометрических размеров тел применяется штангенциркуль и микрометр.

Штангенциркуль.

Штангенциркуль служит для измерения наружных и внутренних размеров тел с точностью до . Он состоит из прочной негнущейся масштабной линейки М (рис. 2), с одной стороны которой имеется неподвижная ножка , и подвижной рамки с ножкой . В подвижной рамке укреплена вспомогательная шкала – линейный нониус D, с помощью которого производят отсчет долей деления шкалы. Винт C служит для зажима рамки, а гайка E – для плавной (микрометрической) ее подачи. Части обеих ножек служат для измерения внутренних размеров тел.

Шкала нониуса строится так, чтобы N делений нониуса соответствовали делениям основной шкалы (k – целое число). Обозначим цену деления основной шкалы через , цену деления нониуса через . Тогда

отсюда

Рис. 2. Штангенциркуль

При разность между ценой деления основной шкалы и ценой деления нониуса равна

и называется точностью нониуса. Точность нониуса равна отношению цены деления основной шкалы к числу деления нониуса N. Положим для определенности , . Если совместить нулевое деление шкалы такого нониуса с нулевым делением основной шкалы, то десятое деление нониуса окажется совмещенным с девятым делением основной шкалы. При этом первое деление нониуса не дойдет до первого деления основной шкалы на 0.1 мм, второе деление нониуса не дойдет до второго деления основной шкалы на 0.2 мм и т.д. (рис. 3, а). Сдвинув нониус так, чтобы его первое деление совпало с первым делением основной шкалы, мы создадим между нулевыми делениями обеих шкал расстояние 0.1 мм (рис. 3, б).

При совмещении m-го деления нониуса с делением основной шкалы нулевое деление нониуса окажется между R и делениями основной шкалы. При этом сдвиг нулевого деления нониуса относительно R-го деления основной шкалы будет составлять m десятых долей миллиметра.


а	б
Рис. 3. Устройство нониуса

Отсюда вытекает следующее правило отсчета длины с помощью нониуса: измеряемая длина l равна числу целых делений основной шкалы до нуля нониуса , сложенному с точностью нониуса, умноженной на номер деления m нониуса, совпадающего с одним из делении основной шкалы

Максимальная погрешность отсчета по нониусу равна его точности.

Измеряемое тело помещают между ножками и штангенциркуля (слегка зажав ножки) и закрепляют винт С. Затем делают отсчет числа целых миллиметров по основной шкале, расположенных слева от нулевого деления нониуса, и числа деления m шкалы нониуса, совпадающего с одним из делений основной шкалы.

Микрометр.

Микрометр применяет для измерения наружных и внутренних размеров тел и измерения глубины отверстий с точностью до . Микрометр для наружных измерений (рис. 4) представляет собой массивную стальную скобу, на концах которой находятся друг против друга неподвижный упор А и микрометрический винт В.

Винт вращается во втулке D, вдоль которой снаружи нанесена двойная шкала с делениями через 0.5 мм по обе стороны продольной черты таким образом, что верхняя сдвинута относительно нижней на половину деления. На винт насажен барабан C, края которого при вращении винта перемещается относительно шкалы, нанесенной на втулке. По краю барабана нанесена шкала, подразделяющая окружность барабана на равных частей. Одному полному обороту микровинта соответствует линейное перемещение края барабана на 0.5 мм. Иначе говоря, шаг микровинта . Следовательно, точность нониуса, или цена деления нониусной шкалы, равна .

Рис. 4. Микрометр

Для равномерного нажима микровинта на поверхность измеряемых тел микровинт снабжается фрикционной головкой Т, называемой трещоткой, вращение которой вызывает перемещение винта только до упора его в поверхность тела, после чего фрикционная головка свободно прокручивается, издавая треск. Микрометры изготавливаются с пределами измерений .

Прежде чем приступить к работе с микрометром, необходимо проверить его исправность – нули шкалы, нанесенной на втулке, и шкалы барабана должны совпадать. Измеряемый предмет помещается между упором A и винтом B и вращением барабана C подводят торец винта к поверхности предмета. Окончательное нажатие микровинта следует делать только рукояткой E. Момент нажатия фиксируется слабым треском. После этого треска дальнейшее вращение рукоятки E бесполезно, а барабана – недопустимо. Производят отсчет по шкале втулки целых или полуцелых миллиметров, к этому отсчету должно быть добавлено число сотых долей миллиметра, отсчитанное по шкале барабана , т.е.

Пример отсчета по микрометру показан на рис. 5.

Рис. 5. Пример отсчета по микрометру

здесь , , .

infopedia.su

8.3. Косвенные измерения

Косвенные измерения — это измерения, при которых искомое значение Q находят на основании известной зависимости

(8.2)

где Q1, Q2,...,Qm— значения, полученные при прямых измерениях. По виду функциональной зависимости F они делятся на две основные группы — линейные и нелинейные. Для линейных косвенных измерений математический аппарат статистической обработки полученных результатов разработан детально. Обработка результатов косвенных измерений [57] производится, как правило, методами: основанными на раздельной обработке аргументов и их погрешностей; линеаризации; приведения; йеребора.

Первые три метода рассматриваются ниже, а четвертый — в [57]. Методика обработки результатов косвенных измерений приведена в документе МИ 2083-90 "ГСИ. Измерения косвенные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей".

Косвенные измерения при, линейной зависимости между аргументами. Линейная функциональная зависимость является простейшей формой связи между измеряемой величиной и находимыми посредством прямых измерений аргументами. Она может быть выражена формулой

где bi — постоянный коэффициент i-ro аргумента Qi; m — число аргументов. Погрешности линейных косвенных измерений оцениваются методом, основанным на раздельной обработке аргументов и их погрешностей.

Если коэффициенты bi определяют экспериментально, то нахождение результата измерения величины Q производится поэтапно. Сначала оценивают каждое слагаемое biQi, как косвенно измеряемую величину, полученную в результате произведения двух измеряемых величин, а потом находят оценку измеряемой величины Q. Результат косвенного измерения определяют по формуле

где Q̃i — оценка результата измерений аргумента Qi, получаемая, как правило, посредством обработки результатов многократных прямых измерений каждого из аргументов. При несмещенности и состоятельности результатов Q̃i полученная оценка результата измерения Q̃ будет также несмещенной и состоятельной. Поскольку дисперсия результата измерения

то, если результаты Q̃i обладают минимальной дисперсией, т.е. являются эффективными, оценка результата измерения Q̃i также будет эффективной.

При отсутствии корреляционной связи между аргументами СКО результата косвенного измерения S(Q̃), обусловленное случайными погрешностями, вычисляется по формуле

(8.3).

где S(Q̃i)— среднее квадратическое отклонение результата измерения аргумента qj, рассчитываемое по формуле (6.10).

При наличии корреляционной связи между аргументами СКО результата косвенного измерения

Здесь ρk1 — несмещенная оценка коэффициента корреляции между погрешностями аргументов Qk и Qi:

где Qki, Q1i — i-e результаты прямых измерений k-ro и i-го аргументов; n — число прямых измерений аргументов. Коэффициент корреляции может быть рассчитан и по другим формулам, равнозначным приведенной (см. разд. 9.3).

Корреляция между аргументами чаще всего возникает в тех случаях, когда их измерения проводятся одновременно и подвергаются одинаковому влиянию внешних условий (температуры, влажности, напряжения питающей сети, помех и т.п.). Критерием отсутствия связи между двумя аргументами является выполнение неравенства [48]

где tq— коэффициент Стьюдента, соответствующий уровню значимости q и числу степеней свободы n - 2. Необходимо проверить отсутствие корреляционных связей между всеми парными сочетаниями аргументов.

Моделью для распределения результатов измерений отдельных аргументов обычно можно считать случайную величину с нормальным распределением. Для распределений, отличных от нормального, распределение среднего арифметического при этом все же можно считать нормальным [3]. Случайную погрешность результата косвенного измерения, образующуюся путем сложения случайных погрешностей результатов определения многих аргументов, еще с большим основанием можно считать нормально распределенной случайной величиной. Это дает возможность найти доверительный интервал для значения измеряемой величины.

При большом числе измерений (более 25—30), выполненных при нахождении каждого из аргументов, доверительную границу случайной погрешности результата косвенного измерения можно определить по формуле

где zp — квантиль нормального распределения, соответствующий выбранной доверительной вероятности Р.

При меньшем числе измерений для определения доверительного интервала используется распределение Стьюдента, число степеней свободы которого рассчитывается по приближенной формуле [3]

где ni — число измерений при определении аргумента Qi. В этом случае при условии, что распределение погрешностей результатов измерения аргументов не противоречит нормальному распределению, доверительная граница случайной погрешности результата косвенного измерения

где tq — коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности P = l—q и числу степеней свободы f.

Систематическая погрешность результата косвенного измерения определяется систематическими погрешностями результатов измерений аргументов. При измерениях последние стремятся исключить. Однако полностью это сделать не удается, всегда остаются неисключенные систематические погрешности, которые рассматриваются как реализации случайной величины [57], имеющей равномерное распределение. Такое предположение приводит обычно к достаточно осторожным заключениям о погрешности результатов косвенных измерений.

Доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата линейного косвенного измерения 9(Р) в случае, если неисключенные систематические погрешности аргументов заданы границами 0,, вычисляют по формуле

(8.4)

где k — поправочный коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью Р и числом m составляющих i. Его значения приведены в табл. 8.4. Погрешность от применения этих усредненных коэффициентов не превышает 10% [57].

Таблица 8.4

Значения коэффициента k при m>4

Р	0,90	0,95	0,98	0,99
k	0,95	1,1	1,3	1,4

Если число суммируемых слагаемых m  4 и они значительно различаются между собой, то значение коэффициента k определяется по табл. 8.5. Под L здесь понимают отношение наибольшей длины интервала (bi0i)max одного из слагаемых к длине bii остальных слагаемых.

Таблица 8.5

Значения коэффициента k при m = 2. 3. 4

L	Р=0,98			Р=0,99
L	m=2	m = 3	m = 4	m = 2	m = 3	m = 4
1	1,22	1,28	1,30	1,28	1,38	1,41
2	1,16	1,23	1,26	1,22	1,31	1,36
3	1,11	1,1"	1,20	1,16	1,24	1,28
4	1,07	1,12	1,15	1,12	1,18	1,22
5	1,05	1,09	1,12	1,09	1,14	1,18

Если границы неисключенных систематических погрешностей результатов измерений аргументов заданы их доверительными границами i(Pi), соответствующими вероятностям Pi, то границу (Р) определяют по формуле

Коэффициенты ki определяются так же, как поправочный коэффициент k.

Суммарная погрешность результата косвенного измерения оценивается на основе композиции распределений случайных и неисключенных систематических погрешностей. Формулы для ее расчета в зависимости от соотношения границ неисключенной систематической составляющей и СКО случайной составляющей погрешности приведены в табл. 8.6.

Таблица 8.6

Погрешность результата косвенных измерений (Р)

Значение (P)/S(Q̃)	Погрешность результата измерения Д(Р)
(P)/S(Q̃) <0.8	(Р)
0,8 < (P)/S(Q̃) <8	kP[(P) + (P)]
(P)/S(Q̃) > 0,8	(Р)

Коэффициент kpопределяется по табл. 8.7.

Таблица 8.7.

Зависимость kp от отношения q(P)/S(Q̃) при различной

доверительной вероятности

q(P)/S(Q̃)	0,5	0.75	1	2	3	4	5	6	7	8
k0,95	0,81	0,77	0,74	0,71	0,73	0,76	0,78	0,79	0,80	0,81
k0,99	0,87	0.85	0,82	0,80	0,81	0,82	0,83	0,83	0,84	0,85

Результат косвенных измерений должен записываться в виде х ± (Р) при доверительной вероятности Р.

Косвенные измерения при нелинейной зависимости между аргументами. Для обработки результатов измерений при нелинейных зависимостях между аргументами и некоррелированных погрешностях используется метод линеаризации. Он состоит в том, что нелинейная функция, связывающая измеряемую величину с аргументами, разлагается в ряд Тейлора:

(8.5)

Здесь — первая частная производная от функцииf по аргументу Qi, вычисленная в точке Q̃1, Q̃2,...,Q̃m; Q; — отклонение результата измерения аргумента Qi от его среднего арифметического; R̃ — остаточный член:

Метод линеаризации применим, если остаточным членом можно пренебречь. Это возможно в том случае, если

где S(Qi)— СКО случайной погрешности результата измерений аргумента Qi. При необходимости результаты косвенных измерений можно уточнить, используя члены ряда Тейлора более высокого порядка. Эти вопросы детально рассмотрены в [57]. Оценка результата определяется по формуле

(8.6)

Абсолютная погрешность косвенного измерения  = Q̃ - Q , как это следует из уравнения (8.5), равна

где Wi = ∂f/∂Qi — коэффициенты влияния i-го аргумента; Q, — абсолютная погрешность измерения i-го аргумента; WiQi — частная i-я погрешность определения результата косвенного измерения.

Пример 8.2. Разложить в ряд Тейлора уравнение для определения плотности и получить выражение для расчета абсолютной погрешности.

Плотность твердого тела р определяется как отношение результата измерения его массы m к объему V. При этом в соответствии с (8.5) получаем выражение

где в скобках стоит остаточный член. Учитывая, что

окончательно получим

Абсолютная погрешность

Коэффициенты влияния чаще всего определяются путем подстановки в выражения для частных производных оценок Q;. Поэтому вместо самих коэффициентов влияния получаются их оценки. В ряде случаев они устанавливаются экспериментально, что приводит к возникновению еще одной погрешности нелинейных косвенных измерений. Этой погрешности можно избежать, если зависимость (8.1) имеет вид

(8.7)

Тогда коэффициенты влияния

Оценка измеряемой величины находится по (8.6), (8.7), а ее относительная погрешность с учетом последних формул определяется как

Из полученной формулы видно, что коэффициенты влияния для относительной погрешности оказываются равными показателям степеней соответствующих аргументов. Последние известны точно, и отмеченная выше погрешность не возникает. Для рассмотренного выше примера измерения плотности тела имеем ρ = m - V .

Оценка СКО случайной погрешности результата косвенного измерения

(8.8)

При точно известных коэффициентах влияния оно совпадает с уравнением (8.3), полученным для линейных косвенных измерений. Для зависимости вида (8.7) данная оценка, представленная в относительной форме, запишется в виде

где — оценка СКОi-го аргумента, представленная в относительной форме.

Доверительные границы случайной погрешности результата при нормально распределенных погрешностях измерений аргументов вычисляются так же, как и для линейных косвенных измерений, при условии, что вместо коэффициентов bi в формулах подставляются коэффициенты влияния Wi. Аналогичным образом поступают при определении границ неисключенной систематической погрешности. Погрешность результата нелинейных косвенных измерений оценивается так же, как и при линейных измерениях.

Метод приведения. Он используется для определения результатов косвенного измерения и его погрешности при наличии корреляции между погрешностями измерений аргументов. Метод можно также применять при неизвестных распределениях погрешностей аргументов. Он предполагает наличие ряда согласованных результатов измерений аргументов Q11, Q12, …, Qlm; Q21,… Q2m, Qj2, ..., Qjm; QL1, QL2, …, QLm, полученных в процессе многократных измерений. Согласованность результатов измерений означает либо одновременное их осуществление, либо то, что они выполнены над одним и тем же объектом и в одних и тех же условиях.

Метод основан на приведении отдельных значений косвенно измеряемой величины к ряду простых измерений. Получаемые сочетания отдельных аргументов подставляют в формулу (8.6) и вычисляют отдельные значения измеряемой величины Q: Q1, Q2, ..., Qj, QL.

Результат косвенного измерения Q̃ и СКО его случайной погрешности вычисляются по формулам

Доверительные границы случайной погрешности результата измерения рассчитываются по формуле  = TS(Q̃), где Т — коэффициент, зависящий от вида распределения отдельных значений определяемой величины и выбранной доверительной вероятности. При нормальном распределении отдельных значений измеряемой величины доверительные границы случайных погрешностей вычисляются по методике для прямых многократных измерений, изложенной в ГОСТ 8.207-76.

Границы неисключенной систематической погрешности и до верительные границы погрешности результата косвенного измерения определяются так же, как и в рассмотренных выше случаях.

studfiles.net

Косвенные измерения.

В процессе проведения физических исследований часто приходится вычислять искомую величину по результатам прямых измерений, связанных с искомой функциональной зависимостью. Такие измерения называются косвенными. Причем для такого типа измерений можно предложить порядок их обработки такой же, как для прямых из измерений. Согласно этого методу по результатам прямых измеренийнаходят по формулезначения косвенных измерений, затем по формулам (0.1) и (0.3) вычисляют среднее значениедисперсию средних значений косвенных измерений. Используя эти величины, записывают доверительный интервал в виде

Однако для большого числа измерений данный метод является трудоемким. Поэтому на практике поступают следующим образом.

Среднее значение косвенного измерения находят путем подстановки соответствующих средних значений прямых измерений в следующее равенство. Т.к. при малых значенияхприращениепропорционально производной, то существует следующая связь среднеквадратичных отклоненийи:

(0.7)

Нередко оказывается, что искомая величина является функцией нескольких переменных :

(0.8)

В этом случае дисперсия величины определяется по формуле

(0.9)

где ,,- частные производные от функции.

Рассмотрим на следующем примере порядок обработки косвенных измерений. Для некоторого бегуна на 100-метровке пятью наблюдателями получены следующие значения времени пробега в секундах . Необходимо найти доверительный интервал для величины скорости бегуна.

Первый способ.

Предполагая движение бегуна равномерным, находим его скорость

, ,

Находим среднее значение скорости

Находим дисперсию среднего значения скорости

Находим среднеквадратичное отклонение

Записываем доверительный интервал величины скорости движения бегуна

Второй способ.

Находит среднее значение времени

Дисперсия и среднеквадратичное отклонение времени

Находим среднее значение скорости

Находим формулу для дисперсии скорости

Определяем частные производные

Получаем формулу для дисперсии скорости

Полагая, что дистанция измерялась лентой с ценой деления 1см, задаем погрешность измерений расстояния и вычисляем дисперсию и среднеквадратичное отклонение

Записываем доверительный интервал

Следует обратить внимание на то, что данный доверительный интервал записан без учета параметра Стьюдента, поэтому второй способ обработки результатов косвенных измерений является менее строгим по сравнению с первым. Данный способ обработки результатов косвенных измерений, по сути, является оценочным способом для доверительного интервала.

Совместные измерения. Метод наименьших квадратов.

Рассмотрим совместные измерения и порядок их обработки на следующем примере. Допустим, величина и величинасвязаны линейной зависимостью, т.е.:

(0.10)

Если величины связанные функционально, измеряются одновременно, то такие измерения называются совместными. Задачей совместных измерений является определение коэффициента.

Для этого проведем измерений величин , последовательно измеряя их в процессе эксперимента, в результате получим пар значений ,,…,. Отметим на плоскости экспериментальные точки, соответствующие полученным данным (рис. 0.3).

Вследствие случайных погрешностей полученные экспериментально точки не лежат на одной прямой. Но можно сформулировать критерий для выбора углового коэффициента прямой, в соответствии с которым ошибка измерения этого коэффициента будет минимальной. Этот критерий в математической статистике получил название критерия наименьших квадратов.

Пусть для некоторого определенного значения прямаяпройдет так, как это показано на рис 0.3. Для ординатапри этом равна, экспериментальное значение дляравно, т.е. существует отклонение экспериментального значения от вычисленного значения. Эти отклонения для каждого измеренного значения величинымогут отличаться как по величине, так и по знаку

(0.11)

Согласно критерию наименьших квадратов, угловой коэффициент прямой должен быть таким, чтобы сумма квадратов отклонений ординат прямой при тех же значениях аргумента была минимальной. Это условие метода наименьших квадратов математически записывается так:

(0.12)

Рисунок0.3

В выражении (0.12) остаточная сумма квадратов является функцией неизвестного параметра . Минимальное значение этой функции достигается тогда, когда ее производная при некотором значенииравна нулю, т.е.:

(0.13)

Следовательно, взяв от суммы (0.12) производную по параметру и приравняв ее к нулю, получим уравнение:

(0.14)

Это уравнение линейное относительно А , и из него легко можно получить формулу для нахождения неизвестного параметра :

(0.15)

Параметр является случайной величиной. С помощью методов математической статистики можно найти формулу для дисперсии этого параметра

(0.16)

Таким образом, метод наименьших квадратов позволяет определить по результатам совместных измерений, как величину неизвестного параметра, так и его дисперсию . В ряде случаев функциональная зависимость между величинами иможет отличаться от простейшей линейной зависимости (0.10).

Часто приходится использовать несколько более сложную зависимость, неизвестными уже могут быть не один, а два параметра, которые в результате совместных измерений необходимо определить. Такой зависимостью, например, является линейная функция вида

(0.17)

Используя метод наименьших квадратов, можно получить расчетные формула для определения параметров и. Эти формулы записываются в виде

, (0.18)

Величина дисперсии этих параметров находится по формулам

Проверка статистических гипотез. Критерий Фишера.

Первый вопрос, который нас интересует после вычисления коэффициента , это проверка соответствия (0.10) экспериментальным данным .

Рис. 0.4.

На рисунках (0.4 а), (0.4 б) линией показана зависимость , полученная по методу наименьших квадратов. Точками показаны экспериментальные данные с разбросом, равным . Очевидно, что зависимость соответствует экспериментальным данным только в первом случае.

Однако это качественные соображения, а нам нужна количественная оценка. Для характеристики среднего разброса точек относительно вполне подходит остаточная сумма квадратов. Неудобство состоит в том, что остаточная сумма квадратов зависит от числа коэффициентов в уравнении. Кроме того, если ввести столько коэффициентов, сколько имеется независимых измерений, то мы получим остаточную сумму, равную нулю.

Поэтому предпочитают делить остаточную сумму квадратов на число степеней свободы. Числом степеней свободы в математической статистике называется разность между числом измерений и числом коэффициентов, входящих в уравнение , т.е..

Остаточная сумма квадратов , деленная на число степеней свободы, называется дисперсией адекватности, т.е.

(0.19)

Для зависимости дисперсия адекватности равна

, (0.20)

где число совместных измерений величин.

Для проверки соответствия зависимости экспериментальным данным используют-критерий (критерий Фишера), при этом вычисляют следующее соотношение

(0.21)

где -есть дисперсия воспроизводимости с числом степеней свободы, равным , где число измерений, т.е.

, (0.22)

где число прямых измерений величины.

Из предыдущего равенства видно, что параметр является величиной случайной и для него существует функция распределения, которая впервые была получена Фишером. Изтабл. 0-2 находят при известном числе степеней свободы дисперсии ,и заданной вероятности, значения и

Далее проверяют двухстороннее неравенство

(0.23)

В том случае, когда , достаточно производить одностороннюю оценку, т.е.

(0.24)

Если данные условия выполняются, то с вероятностью, равной ,можно утверждать, что зависимостьсоответствует полученным экспериментальным данным.

Таблица 0.2: Значения критерия Фишера при надежностив зависимости от числа степеней свободы сравниваемых величин дисперсий.

d-1	n-m
d-1	3	4	5
2	19.00	19.16	19.25
3	9.55	9.28	9.12
4	6.94	6.59	6.39
5	5.79	5.41	5.19

studfiles.net

что называется прямым и косвенным измерением?

Измерение называется прямым, если измеряемая величина сравнивается с мерой непосредственно или при помощи измерительных приборов, градуированных в тех единицах, в которых измеряется данная величина. Измерения длины стола с помощью масштабной линейки или измерения силы тока амперметром являются прямыми. Измерение называется косвенным^ если непосредственно измеряется не сама величина, а другие величины, связанные с нею функционально. Числовое значение величины, подлежащей измерению, при косвенном измерении получается путем соответствующих расчетов на основании зависимостей, существующих между величинами и выраженных в математической форме. Косвенные измерения применяются в том случае, когда прямые измерения затруднительны или невозможны. Например, для определения плотности вещества производят прямые измерения массы и объема тела. Результаты этих прямых измерений используют для вычисления плотности с помощью известного соотношения между массой тела, его объемом и плотностью вещества, из которого состоит тело. Выполненное таким способом измерение плотности есть косвенное измерение.

что называется прямым и косвенным измерением? Прямыми называют измерения ----------------------------------при которых искомое значение величины находят непосредственно из опытных данных. Простейшие примеры прямых измерений: измерение длины линейкой, температуры – термометром, электрического напряжения – вольтметром и пр. Уравнение прямого измерения: y = C x, где С – цена деления СИ. Прямые измерения – основа более сложных видов измерений. Косвенными называют измерения, ---------------------------------результат которых определяют на основе прямых измерений величин, связанных с измеряемой величиной известной зависимостью y = f1 ( x1, x2, K, xn ) , где x1, x2, K, xn – результаты прямых измерений, y – измеряемая величина. Примеры: объем прямоугольного параллелепипеда определяется по результатам прямых измерений длины в трех взаимно перпендикулярных направлениях; электрическое сопротивление – по результатам измерений падения напряжения и силы тока и т. д. Находить значения некоторых величин легче и проще путем косвенных измерений, чем путем прямых. Иногда прямые измерения невозможно осуществить. Нельзя, например, измерить плотность твердого тела, определяемую обычно по результатам измерений объема и массы. Косвенные измерения некоторых величин позволяют получить значительно более точные результаты, чем прямые.

Косвенные - измерения снятые с формула. Прямые - измерения снятые с прибора.

Здесь очень подробно описано http://электролабораториямосква. рф

touch.otvet.mail.ru

3.2 Косвенные измерения

При косвенных измеренияхзначение искомой величины находят по результатам прямых измерений других величин, с которыми измеряемая величина связана функциональной зависимостью. Пример косвенных измерений – измерение удельного сопротивления проводникапо результатам измерения его сопротивления, площади поперечного сеченияи длины.

В общем случае при косвенных измерениях имеет место нелинейная зависимость между измеряемой величиной и её аргументами

(3.19)

Если каждый из аргументов характеризуется своей оценкойи погрешностью

то (3.19) запишется в следующем виде:

(3.20)

Выражение (3.20) можно разложить в ряд Тейлора по степеням :

где -остаточный член ряда.

Из этого выражения можно записать абсолютную погрешность измерения X

(3.21)

Если принять R0 =0, что справедливо при малых погрешностях аргументов(xi0), то получаем линейное выражение для погрешности измерения. Такая операция называется линеаризацией нелинейного уравнения (3.19). В получаемом в этом случае выражении для погрешности-коэффициенты влияния, а Wixi–частные погрешности.

Пренебречь остаточным членом при оценке погрешности допустимо не всегда, т.к. в этом случае оценка погрешности оказывается смещенной. Поэтому, когда связь между Xиxiв выражении (3.19) нелинейная, проверяют допустимость линеаризации по следующему критерию

, (3.22)

где в качестве остаточного члена берут член ряда второго порядка

. (3.23)

Если известны границы погрешностей аргументов (случай наиболее часто встречающийся при однократных измерениях), то легко определитьмаксимальную погрешность измерения X:

. (3.24)

Эту оценку обычно принимают при однократных измерениях и числе аргументов меньше 5.

При большем числе аргументов прибегают квероятностному суммированию, т.к. оценка (3.24) оказывается для большинства случаев завышенной. В этом случае

, (3.25)

где tи- доверительные коэффициенты для распределений общей погрешности и погрешности аргументов, соответствующие своим вероятностям.

При нормальном распределении всех аргументов и одинаковых доверительных вероятностях, выражение (3.25) упрощается

. (3.26)

Обычно, особенно при однократных измерениях, законы распределения аргументов неизвестны, а вид суммарного распределения определить практически невозможно, учитывая трансформацию законов распределения при нелинейной связи измеряемой величины Xи её аргументов. В этом случае в соответствии с методом ситуационного моделирования принимают закон распределения аргументов равновероятным. При этом доверительная границапогрешности результата косвенного измерения определится по формуле

, (3.27)

где зависит от выбранной вероятности , числа слагаемых и соотношения между ними. Для равных по величине слагаемых идля=0,95 -=1,1; для=0,99 -=1,4.

Погрешности результатов измерения аргументов могут быть заданы не границами, а параметрами систематических и случайных составляющих погрешностей – границами и СКО. В этом случае оценивают отдельно систематическую и случайную составляющие погрешности косвенного измерения, а затем объединяют полученные оценки.

Что касается суммирования систематических погрешностей(или их неисключенных остатков), то оно осуществляется в зависимости от наличия сведений о распределении погрешностей с использованием выражений (3.24) - (3.27), в которых вместо погрешностей измерений аргументов следует подставить соответствующие границы для систематических погрешностей.

Случайные погрешностирезультатов косвенных измерений суммируются следующим образом.

Погрешность результата косвенного наблюдения, имеющего случайные погрешности аргументов j будет равна

Определим дисперсию этой погрешности

;

т.к. последнее слагаемое равно нулю, то

(3.28)

В этом выражении -ковариационная функция (корреляционный момент), равный нулю, если погрешности аргументов независимы друг от друга.

Вместо ковариационной функции часто пользуются коэффициентом корреляции

(3.29)

В этом случае дисперсия результата наблюдениябудет иметь вид. (3.30)

Для получения дисперсии результатаизмерениянеобходимо разделить это выражение на число измеренийn.

В этих выражениях rij –коэффициенты попарной корреляциимежду погрешностями измерений. Еслиrij= 0, то второе слагаемое в правой части (3.30) равно нулю и общее выражение для погрешности упрощается. Значениеrij либо известно априорно (в случае однократных измерений), либо (для многократных измерений) его оценка определяется для каждой пары аргументовxiиxj по формуле

Наличие корреляционной связи между погрешностями аргументов имеет место в том случае, когда аргументы измеряются одновременно, однотипными приборами, находящимися в одинаковых условиях. Причиной возникновения корреляционной связи является изменение условий измерения (пульсации напряжения питающей сети, переменные наводки, вибрации и т.д.). О наличии корреляции удобно судить по графику, на котором изображены пары последовательно получаемых результатов измерений величин xiиxj (рис. 3.6).

При малом числе наблюдений может оказаться, что rij 0 даже при отсутствии корреляционной связи между аргументами. В этом случае необходимо пользоваться числовым критерием отсутствия корреляционной связи, который состоит в выполнении неравенства

, (3.31)

где - коэффициент Стьюдента для заданной вероятности и числа измерений(табл. А5).

Границы случайной погрешности после определения оценки дисперсии результатов измерения определяются по формуле

, (3.42)

Рисунок 3.6. Зависимость между параметрами аргументов и косвенных измерений при наличии (а , б) и отсутствии корреляционной связи (в).

де

при неизвестном результирующем распределении берется из неравенства Чебышева

Неравенство Чебышева дает завышенную оценку погрешности результата измерений. Поэтому, когда число аргументов больше 4, распределение их одномодальны и среди погрешностей нет резко выделяющихся, число измерений, выполненных при измерении всех аргументов превышает 25-30, то определяется из нормированного нормального распределения для доверительной вероятности.

Трудности возникают при меньшем числе наблюдений. В принципе можно было бы воспользоваться распределением Стьюдента, но неизвестно как в этом случае определить число степеней свободы. Точного решения эта задача не имеет. Приближенную оценку числа степеней свободы, называемую эффективной, можно найти по формуле, предложенной Б. Уэлчем

. (3.33)

Имея и заданную вероятностьможно найти по распределению Стьюдентаи, следовательно,.

Если при разложении в ряд Тейлора необходимо учитывать члены второго порядка, то дисперсию результата наблюдения следует определять по формуле

Границы суммарной погрешности измерений оценивают аналогично тому, как это было сделано для случая прямых измерений.

В общем случае, при многократных косвенных измеренияхстатистическая обработка результатов сводится к выполнению следующих операций:

1) из результата наблюдений каждого аргумента исключаются известные систематические погрешности;

2) проверяют, соответствует ли распределение групп результатов каждого аргумента заданному закону распределения;

3) проверяют наличие резко выделяющихся погрешностей (промахов) и исключают их;

4) вычисляют оценки аргументов и параметры их точности;

5) проверяют отсутствие корреляции между результатами наблюдений аргументов попарно;

6) вычисляют результат измерений и оценки параметров его точности;

7) находят доверительные границы случайной погрешности, неисключенную систематическую погрешность и общую погрешность результата измерения.

Алгоритм обработки результатов косвенных измерений приведен на рис. 3.7.

studfiles.net

Невоспроизводимые косвенные измерения. Косвенное измерение примеры. Косвенные измерения пример