Почему в последовательной цепи резонансный ток максимален: Резонанс напряжений в электрической цепи и его последствия

Резонанс напряжений в электрической цепи и его последствия

В цепях переменного тока при последовательном соединении активного элемента r, емкостного С и индуктивного L может возникнуть такое явление как резонанс напряжений. Это явление можно использовать с пользой (например, в радиотехнике), но также оно может и нанести серьезный вред (в электрических установках большой мощности резонанс напряжений может вызвать серьезные последствия).

Принципиальная схема и векторная диаграмма при резонансе напряжений показаны ниже:

При последовательном включении всех трех элементов данной электрической цепи будет справедливо следующее:

Также нужно помнить, что резонанс возможен только при φ = 0, что при последовательном соединении равносильно вот такому соотношению х = ωL – 1/(ωC) = 0, то есть должно выполняться условие ωL = 1/(ωC) или ω²LC = 1. Резонанса напряжений можно достичь тремя способами:

• Подобрать индуктивность катушки;
• Подобрать емкость конденсатора;
• Подобрать угловую частоту ω₀;

Причем все эти значения частоты, емкости и индуктивности можно определить используя формулы:

Частота ω₀ носит название резонансной частоты. Если в цепи не изменяется ни напряжение, ни активное сопротивление r, то при резонансе напряжения ток в этой цепи будет максимален, и равен U/r. Это значит, что ток будет полностью не зависим от реактивного сопротивления цепи. В случае же, когда реактивные сопротивления X_C = X_L будут превосходить по своему значению активное сопротивление r, то на зажимах катушки и конденсатора начнет появляться напряжение, значительно превосходящее напряжение на зажимах цепи. Условие, при котором напряжение на зажимах цепи будет меньше напряжения реактивных элементов будет иметь вид:

Величина  , имеющая размерность сопротивления и для удобства расчетов обозначена нами как ρ, называется волновым сопротивлением контура.

Кратность превышения напряжения на зажимах емкостного и индуктивного элемента по отношению к сети можно определить из выражения:

Величина Q определяет резонансные свойства контура и носит названия добротность контура. Также еще резонансные свойства могут характеризовать величиной 1/Q – затухание контура.

Мгновенная мощность для индуктивности и емкости будет равна p_L = U_LIsin2ωt и p_С = -U_СIsin2ωt. При резонансе напряжения, когда U_L = U_С, эти мощности будут равны в любой момент времени и противоположны по знаку. А это означает, что в данной цепи будет происходит обмен энергией между магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора, при этом обмена энергией между энергией полей и энергией источника электрической энергии (источника питания) и не происходит. Это вызвано тем, что p_L + p_С = dW_м/dt + dW_э/dt и W_м + W_э = const, то есть суммарная энергия полей в цепи постоянна. При работе такой системы энергия от конденсатора будет переходить в катушку в течении четверти периода, когда ток на катушке возрастает, а напряжение на конденсатора снижается. В течении следующей четверти периода картина противоположна – ток катушки будет снижаться, а напряжения конденсатора расти, то есть энергия от индуктивности будет переходить емкости. При этом источник электрической энергии, питающий данную цепь, будет покрывать только расход энергии, связанный с наличием в цепи активного сопротивления r.

Понятие резонанса напряжений в электрических цепях переменного тока

Резонанс в электрической цепи возникает при резком увеличении амплитуды стационарных колебаний при совпадении частоты внешнего воздействия с определенной резонансной частотой системы. Это происходит тогда, когда два элемента противоположного характера компенсируют эффект друг друга в цепи.

Резонанс токов и напряжений

RLC-цепь

Схема RLC – это электрическая цепь с последовательно или параллельно соединенными элементами:

• резистора,
• индуктора,
• конденсатора.

Название RLC связано с тем, что эти буквы являются обычными символами электрических элементов: сопротивления, индуктивности и емкости.

Векторная диаграмма последовательной RLC-цепи представлена в одном из трех вариантов:

• индуктивном,
• емкостном,
• активном.

В последнем варианте при нулевом сдвиге фаз, равенстве индуктивного и емкостного сопротивлений возникает резонанс напряжений.

Электрический резонанс

В природе бывают резонанс токов и резонанс напряжений. Наблюдаются они в цепи с параллельным и последовательным соединением элементов R, L и С. Резонансная частота одинакова для обеих цепей, она находится из условия противоположности сопротивлений реактивных элементов и вычисляется по нижеследующей формуле.

Резонансная частота

Векторные диаграммы практически идентичны, только сигналы отличаются. В последовательном контуре резонируют напряжения, в параллельном – ток. Но если отступиться от резонансной частоты такая симметрия естественно нарушится. В первом случае сопротивление возрастет, во втором – уменьшится.

Резонанс напряжений, достигающих максимальной амплитуды

На картинке ниже представлена векторная диаграмма цепи последовательного контура, где:

• I – вектор общего тока;
• Ul – опережает I на 900;
• UС – отстает от I на 900;
• UR – синфазно I.

Из трех векторов напряжения (Ul, UС, UR) два первых взаимно компенсируют друг друга. Они между собой:

• противоположны по направлению,
• равны по амплитуде,
• отличаются по фазе на пи.

Получается, что напряжение по второму закону Кирхгофа приложено только к резистору. В этот момент:

• импеданс последовательного контура на резонансной частоте минимален и равен просто R;
• так как сопротивление цепи минимальное, то соответственно ток по амплитуде максимальный;
• также приблизительно максимальны напряжения на индуктивности и на емкости.

Если рассматривать отдельно последовательный контур LC, то он даёт нулевое сопротивление на резонансной частоте:

ZL = -ZC

Резонанс напряжений в цепи переменного тока

Важно! Когда установился гармонический режим c резонансной частотой, в контуре происходит следующее: источник обеспечивает установившуюся амплитуду колебаний; мощность источника расходуется лишь на нагрев резистора.

Резонанс токов через реактивные элементы

Диаграмма параллельного контура на той же частоте. Поскольку все элементы соединены параллельно, то диаграмму лучше начать строить с общего напряжения.

• U – вектор общего тока;
• Ic – опережает U на 900;
• IU – отстает от U на 900;
• Ток в резисторе (IR) синфазен общему напряжению.

Поскольку сопротивления реактивности по модулю равны, то и амплитуды токов Ic и Iu:

• одинаковы;
• достигают максимальной амплитуды.

Получается, что по первому закону Кирхгофа IR равен току источника. Другими словами, ток источника течет только через резистор.

Если рассматривать отдельно параллельный контур LC, то на резонансной частоте его сопротивление бесконечно большое:

ZL = ZC.

Когда установится гармонический режим c резонансной частотой, в контуре происходит следующее:

• источник обеспечивает установившуюся амплитуду колебаний;
• мощность источника тока расходуется лишь на пополнение потерь в активном сопротивлении.

Резонанс токов

Двойственность RLC-контуров

Таким образом, можно сделать сравнительный вывод:

1. У последовательной RLC цепи импеданс минимален на резонансной частоте и равен активному сопротивлению контура;
2. У параллельной RLC цепи импеданс максимален на резонансной частоте и равен так называемому сопротивлению утечки, фактически тоже активному сопротивлению контура.

Для того чтобы предуготовить условия для резонанса тока или напряжения, требуется проверить электрическую цепь с целью предопределения ее комплексного сопротивления или проводимости. Помимо этого, её мнимую часть необходимо приравнять к нулю.

Для информации. Напряжения в последовательной цепи ведут себя очень похоже токам параллельной цепи на резонансной частоте, в этом проявляется двойственность RLC-контуров.

Резонанс в цепи переменного тока

Применение резонансного явления

Хорошим примером применения резонансного явления может служить электрический резонансный трансформатор, разработанный изобретателем Николой Тесла ещё в 1891 году. Тесла проводил эксперименты с различными конфигурациями, состоящими в сочетании из двух, а иногда трех резонансных электрических цепей.

Для информации. Термин «катушки Теслы» применяются к ряду высоковольтных резонансных трансформаторов. Устройства используются для получения высокого напряжения, низкого тока, высокой частоты переменного тока.

В то время как обычный трансформатор предназначен для эффективной передачи энергии с первичной на вторичную обмотку, резонансный трансформатор предназначен для временного хранения электрической энергии. Устройство управляет воздушным сердечником резонансно настроенного трансформатора для получения высоких напряжений при малых токах. Каждая обмотка имеет емкость и функционирует как резонансный контур.

Чтобы произвести наибольшее выходное напряжение, первичный и вторичный контуры настроены в резонанс друг с другом. Оригинальные схемы изобретателя применяются как простые разрядники для возбуждения колебаний с помощью настроенных трансформаторов. В более сложных конструкциях используют транзисторные или тиристорные выключатели.

Для информации. Трансформатор Теслы основан на использовании резонансных стоячих электромагнитных волн в катушках. Своеобразный дизайн катушки продиктован необходимостью достигнуть низкого уровня резистивных потерь энергии (высокая добротность) на высоких частотах, что приводит к увеличению вторичных напряжений.

Резонанс в электрической цепи

Электрический резонанс – одно из самых распространенных в мире физических явлений, без которого не было бы TV, диагностических мед. аппаратов. Одни из самых полезных видов резонанса в электрической цепи – это резонанс токов и резонанс напряжений.

Видео

Оцените статью:

Последовательный колебательный контур | Резонанс напряжений

Последовательный колебательный контур обозначение на схеме

Последовательный колебательный контур – это цепь, состоящая их катушки индуктивности и конденсатора, которые соединяются последовательно.

Идеальный последовательный колебательный контур

 На схемах идеальный последовательный колебательный контур обозначается вот так:

где

L – индуктивность, Гн

С – емкость, Ф

Реальный последовательный колебательный контур

Реальный колебательный контур имеет сопротивление потерь катушки и конденсатора. Это суммарное суммарное сопротивление потерь обозначается буквой R. В результате, реальный последовательный колебательный контур будет иметь такой вид:

R  – это суммарное сопротивление потерь катушки и конденсатора

L – собственно сама индуктивность катушки

С – собственно сама емкость конденсатора

Принцип работы последовательного колебательного контура

Генератор частоты и последовательный колебательный контур

Давайте проведем классический эксперимент, который есть в каждом учебнике по электронике. Для этого соберем вот такую схему:

Генератор (Ген)у нас будет выдавать синус.

Для того, чтобы снять осциллограмму силы тока через последовательный колебательный контур, мы подключим в схему шунтовый резистор с малым сопротивлением в 0,5 Ом и с него уже будем снимать напряжение. То есть в данном случае мы шунт используем для наблюдения силы тока в цепи.

А вот и сама схема в реальности:

Слева-направо: шунтовый резистор, катушка индуктивности и конденсатор. Как вы уже поняли, сопротивление R – это суммарное сопротивление потерь катушки и конденсатора, так как нет идеальных радиоэлементов. Оно “прячется” внутри катушки и конденсатора, поэтому в реальной схеме отдельным радиоэлементом мы его не увидим.

Теперь нам осталось подцепить эту схему к генератору частоты и осциллографу, и прогнать по некоторым частотам, снимая осциллограмму с шунта U_ш , а также снимая осциллограмму с самого генератора U_ГЕН.

С шунта мы будем снимать напряжение, которое у нас отображает поведение силы тока в цепи, а с генератора собственно сам сигнал генератора. Давайте прогоним нашу схемку по некоторым частотам и глянем что есть что.

[quads id=1]

Влияние частоты генератора на сопротивление колебательного контура

В схеме я взял конденсатор на 1мкФ и катушку индуктивности на 1 мГн. На генераторе настраиваю синус размахом в 4 Вольта. Вспоминаем правило: если в цепи соединение радиоэлементов идет последовательно друг за другом, значит, через них течет одинаковая сила тока.

Красная осциллограмма – это напряжение с генератора частоты, а желтая осциллограмма – отображение силы тока через напряжение на шунтовом резисторе.

Частота 200 Герц с копейками:

Как мы видим, при такой частоте ток в этой цепи есть, но очень слабый

Добавляем частоту. 600  Герц с копейками

Здесь мы уже отчетливо видим, что сила тока возросла, а также видим, что осциллограмма силы тока опережает напряжение. Попахивает реактивным сопротивлением конденсатора.

Добавляем частоту. 2 Килогерца

Сила тока стала еще больше.

3 Килогерца

Сила тока увеличилась. Заметьте также, что сдвиг фаз стал уменьшаться.

4,25 Килогерц

Осциллограммы почти уже сливаются в одну. Сдвиг фаз между напряжением и силой тока становится почти незаметным.

И вот на какой-то частоте у нас сила тока стала максимальной, а сдвиг фаз стал равен нулю. Запомните этот момент. Для нас он будет очень важен.

Ну а давайте далее будем увеличивать частоту. Смотрим, что получается в итоге.

Еще совсем недавно ток опережал напряжение, а сейчас уже стал запаздывать после того, как выровнялся с ним по фазе. Так как ток уже отстает от напряжения, здесь уже попахивает реактивным сопротивлением катушки индуктивности.

Увеличиваем частоту еще больше

Сила тока начинает падать, а сдвиг фаз увеличивается.

22 Килогерца

74 Килогерца

Как вы видите, с увеличением частоты, сдвиг приближается к 90 градусов, а сила тока становится все меньше и меньше.

Резонанс последовательного колебательного контура

Давайте подробнее рассмотрим тот самый момент, когда сдвиг фаз был равен нулю и сила тока, проходящая через последовательный колебательный, контур была максимальна:

Это явление носит название резонанса.

Не будем углубляться  в теорию высшей математики и комплексных чисел. Дело в том, что в этот самый момент реактивное сопротивление катушки и конденсатора становятся равными, но противоположными по знаку. Поэтому, эти реактивные сопротивления как-бы вычитаются друг из друга, что в сумме дает ноль, и в цепи остается только активная составляющая сопротивления, то есть то самое паразитное сопротивление катушки и конденсатора, или иначе, сопротивление потерь R.

Как вы помните, если у нас сопротивление  становится малым, а в данном случае сопротивления потерь катушки и конденсатора очень маленькие, то в цепи начинает течь большая сила тока согласно закону Ома: I=U/R. Если генератор мощный, то напряжение на нем не меняется, а сопротивление становится пренебрежимо малым и вуаля! Ток растет как грибы после дождя, что мы и увидели, посмотрев на желтую осциллограмму при резонансе.

Формула Томсона (резонанса) для последовательного колебательного контура

Если при резонансе у нас реактивное сопротивление катушки равняется реактивному сопротивлению конденсатора X_L=X_C , то можно уравнять их реактивные сопротивления и уже отсюда вычислить частоту, на которой произошел резонанс. Итак, реактивное сопротивление катушки у нас выражается формулой:

Реактивное сопротивление конденсатора вычисляется по формуле:

Приравниваем обе части и вычисляем отсюда F:

В данном случае мы получили формулу резонансной частоты. Это формула по другому называется формулой Томсона, как вы поняли, в честь ученого, который ее вывел.

Давайте по формуле Томсона посчитаем резонансную частоту нашего последовательного колебательного контура. Для этого я буду использовать свой RLC-транзисторметр.

Замеряем индуктивность катушки:

И замеряем нашу емкость:

Высчитываем по формуле нашу резонансную частоту:

У меня получилось 5, 09 Килогерц.

С помощью  регулировки частоты и осциллографа я поймал резонанс на частоте 4,78 Килогерц (написано в нижнем левом углу)

Спишем погрешность в 200 с копейками Герц на погрешность измерений приборов. Как вы видите, формула Томпсона работает.

Резонанс напряжений

Давайте возьмем другие параметры катушки и конденсатора и посмотрим, что у нас происходит на самих радиоэлементах. Нам ведь надо досконально все выяснить ;-). Беру катушку индуктивности с индуктивностью в 22 микрогенри:

и конденсатор в 1000 пФ

Из них собираю последовательный колебательный контур. Итак, чтобы поймать резонанс, я не буду в схему добавлять резистор. Поступлю более хитрее.

Так как мой генератор частоты китайский и маломощный, то при резонансе у нас в цепи остается только активное сопротивление потерь R. В сумме получается все равно маленькое значение сопротивления, поэтому ток при резонансе достигает максимальных значений. В результате этого, на внутреннем сопротивлении генератора частоты падает приличное напряжение и выдаваемая амплитуда частоты генератора  падает. Я буду ловить минимальное значение этой амплитуды. Следовательно это и будет резонанс колебательного контура. Перегружать генератор – это не есть хорошо, но что не сделаешь ради науки!

Ну что же, приступим ;-). Давайте сначала посчитаем  резонансную частоту по формуле Томсона. Для этого я открываю онлайн калькулятор на просторах интернета и быстренько высчитываю эту частоту. У меня получилось 1,073 Мегагерц.

Ловлю резонанс на генераторе частоты по его минимальным значениям амплитуды. Получилось как-то вот так:

Размах амплитуды 4 Вольта

Хотя на генераторе частоты  размах  более 17 Вольт! Вот так вот сильно просело напряжение. И как видите, резонансная частота получилась чуток другая, чем расчетная: 1,109 Мегагерц.

Теперь небольшой прикол 😉

Вот этот сигнал мы подаем на наш последовательный колебательный контур:

Как видите, мой генератор не в силах выдать большую силу тока в колебательный контур на резонансной частоте, поэтому сигнал получился даже чуть искаженным на пиках.

Ну а теперь самое интересное. Давайте замеряем падение напряжения на конденсаторе и катушке на резонансной частоте. То есть это будет выглядеть вот так:

Смотрим напряжение на конденсаторе:

Размах амплитуды 20 Вольт (5х4)! Откуда? Ведь подавали мы на колебательный контур синус с частотой в 2 Вольта!

Ладно, может с осциллографом что-то произошло?. Давайте замеряем напряжение на катушке:

Народ! Халява!!! Подали 2 Вольта с генератора, а получили 20 Вольт и на катушке и на конденсаторе! Выигрыш энергии в 10 раз! Успевай только снимать энергию с конденсатора или с катушки!

[quads id=1]

Ну ладно раз такое дело… беру лампочку от мопеда на 12 Вольт и цепляю ее к конденсатору или катушке. Лампочке ведь вроде как по-барабану на какой частоте работать и какой ток кушать. Выставляю амплитуду, чтобы на катушке или конденсаторе было где то Вольт 20 так как  среднеквадратичное напряжение  будет где-то Вольт 14,  и цепляю поочередно к ним лампочку:

Как видите – полный ноль. Лампочка гореть не собирается, так что побрейтесь фанаты халявной энергии). Вы ведь не забыли, что мощность определяется произведением силы тока на напряжение? Напряжения вроде как-бы хватает, а вот силы тока – увы! Поэтому, последовательный колебательный контур носит также название узкополосного (резонансного) усилителя напряжения, а не мощности!

Объяснение резонанса напряжения

При резонансе напряжение на катушке и на конденсаторе оказались намного больше, чем то, которое мы подавали на колебательный контур. В данном случае у нас получилось в 10 раз больше. Почему же напряжение на катушке при резонансе равняется напряжению на конденсаторе. Это легко объясняется. Так как в последовательном колебательном контуре катушка и кондер идут друг за другом, следовательно, в цепи протекает одна и та же сила тока.

При резонансе реактивное сопротивление катушки равняется реактивному сопротивлению конденсатора. Получаем по правилу шунта, что на катушке у нас падает напряжение U_L = IX_L , а на конденсаторе U_C = IX_C . А так как при резонансе у нас X_L = X_C , то получаем что U_L = U_C , ток ведь в цепи один и тот же ;-). Поэтому резонанс в последовательном колебательном контуре называют также резонансом напряжений, так как напряжение на катушке на резонансной частоте равняется напряжению на конденсаторе.

Добротность последовательного колебательного контура

Ну раз уж мы начали задвигать тему колебательных контуров, поэтому мы не можем обойти стороной такой параметр, как добротность колебательного контура. Так как мы уже провели некоторые опыты, то нам будет проще определить добротность, исходя из амплитуды напряжений. Добротность обозначается буквой Q и вычисляется по первой простой формуле:

Давайте посчитаем добротность в нашем случае.

Так как цена деления одного квадратика по вертикали 2 Вольта, следовательно, амплитуда сигнала  генератора частоты 2 Вольта.

А это то, что мы имеем на зажимах конденсатора или катушки. Здесь цена деления одного квадратика по вертикали 5 Вольт. Считаем квадратики и умножаем. 5х4=20 Вольт.

Считаем по формуле добротности:

Q=20/2=10. В принципе немного и не мало. Пойдет. Вот так вот на практике можно найти добротность.

Есть также вторая формула для вычисления добротности.

где

R – сопротивление потерь в контуре, Ом

L – индуктивность, Генри

С – емкость, Фарад

Зная добротность, можно легко найти сопротивление потерь R последовательного колебательного контура.

Также хочу добавить пару слов о добротности. Добротность контура – это качественный показатель колебательного контура. В основном его стараются всегда увеличить различными всевозможными способами. Если взглянуть на формулу выше, то можно понять, для того, чтобы увеличить добротность, нам надо как-то уменьшить сопротивление потерь колебательного контура. Львиная доля потерь относится к катушке индуктивности, так как она уже конструктивно имеет большие потери. Она намотана из провода и в большинстве случаев имеет сердечник. На высоких частотах в проводе начинает проявляться скин-эффект, который еще больше вносит потери в контур.

Видео на тему “Как работает колебательный контур. Резонанс”:

Резюме

Последовательный колебательный контур состоит из катушки индуктивности и конденсатора, соединенных последовательно.

Катушка и конденсатор имеют паразитные омические потери, так как не являются идеальными радиоэлементами. Сумма этих потерь называется сопротивлением потерь R последовательного колебательного контура.

На какой-то частоте реактивное сопротивление катушки становится равным реактивному сопротивлению конденсатора и в цепи последовательного колебательного контура наступает такое явление, как резонанс.

При резонансе реактивные сопротивления катушки и конденсатора хоть и равны по модулю, но противоположны по знаку, поэтому они вычитается и в сумме дают ноль. В цепи остается только активное сопротивление потерь R.

При резонансе сила тока в цепи становится максимальной, так как сопротивление потерь катушки и конденсатора R в сумме дают малое значение.

При резонансе напряжение на катушке равняется напряжению на конденсаторе и превышает напряжение на генераторе.

Коэффициент, показывающий во сколько раз напряжение на катушке либо на конденсаторе превышает напряжение на генераторе, называется добротностью Q последовательного колебательного контура и показывает качественную оценку колебательного контура. В основном стараются сделать Q как можно больше.

На низких частотах колебательный контур имеет емкостную составляющую тока до резонанса, а после резонанса – индуктивную составляющую тока.

§56. Резонанс напряжений и резонанс токов

Явление резонанса.

Электрическая цепь, содержащая индуктивность и емкость, может служить колебательным контуром, где возникает процесс колебаний электрической энергии, переходящей из индуктивности в емкость и обратно. В идеальном колебательном контуре эти колебания будут незатухающими.

При подсоединении колебательного контура к источнику переменного тока угловая частота источника ω может оказаться равной угловой частоте ω₀, с которой происходят колебания электрической энергии в контуре. В этом случае имеет место явление резонанса, т. е. совпадения частоты свободных колебаний ω₀, возникающих в какой-либо физической системе, с частотой вынужденных колебаний ω, сообщаемых этой системе внешними силами.

Резонанс в электрической цепи можно получить тремя способами: изменяя угловую частоту ω источника переменного тока, индуктивность L или емкость С. Различают резонанс при последовательном соединении L и С — резонанс напряжений и при параллельном их соединении — резонанс токов. Угловая частота ω₀, при которой наступает резонанс, называется резонансной, или собственной частотой колебаний резонансного контура.

Резонанс напряжений.

При резонансе напряжений (рис. 196, а) индуктивное сопротивление X_L равно емкостному Х_си полное сопротивление Z становится равным активному сопротивлению R:

Z = √( R² + [ω₀L — 1/(ω₀C)]² ) = R

В этом случае напряжения на индуктивности U_L и емкости U_c равны и находятся в противофазе (рис. 196,б), поэтому при сложении они компенсируют друг друга. Если активное сопротивление цепи R невелико, ток в цепи резко возрастает, так как реактивное сопротивление цепи X = X_L—X_с становится равным нулю. При этом ток I совпадает по фазе с напряжением U и I=U/R. Резкое возрастание тока в цепи при резонансе напряжений вызывает такое же возрастание напряжений U_L и U_c, причем их значения могут во много раз превышать напряжение U источника, питающего цепь.

Угловая частота ω0, при которой имеют место условия резонанса, определяется из равенства ω_oL = 1/(ω₀С).

Рис. 196. Схема (а) и векторная диаграмма (б) электрической цепи, содержащей R, L и С, при резонансе напряжений

Отсюда имеем:

ω_o = 1/√(LC) (74)

Если плавно изменять угловую частоту ω источника, то полное сопротивление Z сначала начинает уменьшаться, достигает наименьшего значения при резонансе напряжений (при ω_o), а затем увеличивается (рис. 197, а). В соответствии с этим ток I в цепи сначала возрастает, достигает наибольшего значения при резонансе, а затем уменьшается.

Рис. 197. Зависимость тока I и полного сопротивления Z от ω для последовательной (а) и параллельной (б) цепей переменного тока

Резонанс токов.

Резонанс токов может возникнуть при параллельном соединении индуктивности и емкости (рис. 198, а). В идеальном случае, когда в параллельных ветвях отсутствует активное сопротивление (R₁=R₂ = 0), условием резонанса токов является равенство реактивных сопротивлений ветвей, содержащих индуктивность и емкость, т. е. ω_oL = 1/(ω_oC).

Рис. 198. Электрическая схема (а) и векторные диаграммы (б и в) при резонансе токов

Так как в рассматриваемом случае активная проводимость G = 0, ток в неразветвленной части цепи при резонансе I=U √(G²+(B_L-B_C)²)= 0. Значения токов в ветвях I₁ и I₂ будут равны (рис. 198,б), но токи будут сдвинуты по фазе на 180° (ток IL в индуктивности отстает по фазе от напряжения U на 90°, а ток в емкости I с опережает напряжение U на 90°).

Следовательно, такой резонансный контур представляет собой для тока I бесконечно большое сопротивление и электрическая энергия в контур от источника не поступает. В то же время внутри контура протекают токи I_L и I_с, т. е. имеет место процесс непрерывного обмена энергией внутри контура. Эта энергия переходит из индуктивности в емкость и обратно.

Как следует из формулы (74), изменяя значения емкости С или индуктивности L, можно изменять частоту колебаний ω₀ электрической энергии и тока в контуре, т. е. осуществлять настройку контура на требуемую частоту.

Если бы в ветвях, в которых включены индуктивность и емкость, не было активного сопротивления, этот процесс колебания энергии продолжался бы бесконечно долго, т. е. в контуре возникли бы незатухающие колебания энергии и токов I_L и I_с.

Однако реальные катушки индуктивности и конденсаторы всегда поглощают электрическую энергию (из-за наличия в катушках активного сопротивления проводов и возникновения в конденсаторах токов смещения, нагревающих диэлектрик), поэтому в реальный контур при резонансе токов поступает от источника некоторая электрическая энергия и по неразветвленной части цепи протекает некоторый ток I.

Условием резонанса в реальном резонансном контуре, содержащем активные сопротивления R₁ и R₂, будет равенство реактивных проводимостей B_L = B_C ветвей, в которые включены индуктивность и емкость.

Из рис. 198, в следует, что ток I в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением U, так как реактивные токи 1_L и I_с равны, но противоположны по фазе, вследствие чего их векторная сумма равна нулю.

Если в рассматриваемой параллельной цепи изменять частоту ω_о источника переменного тока, то полное сопротивление цепи начинает увеличиваться, достигает наибольшего значения при резонансе, а затем уменьшается (см. рис. 197,б). В соответствии с этим ток I начинает уменьшаться, достигает наименьшего значения I_min = I_a при резонансе, а затем увеличивается.

В реальных колебательных контурах, содержащих активное сопротивление, каждое колебание тока сопровождается потерями энергии. В результате сообщенная контуру энергия довольно быстро расходуется и колебания тока постепенно затухают. Для получения незатухающих колебаний необходимо все время пополнять потери энергии в активном сопротивлении, т. е. такой контур должен быть подключен к источнику переменного тока соответствующей частоты ω₀.

Явления резонанса напряжения и тока и колебательный контур получили весьма широкое применение в радиотехнике и высокочастотных установках. При помощи колебательных контуров мы получаем токи высокой частоты в различных радиоустройствах и высокочастотных генераторах.

Колебательный контур — важнейший элемент любого радиоприемника. Он обеспечивает его избирательность, т. е. способность выделять из радиосигналов с различной длиной волны (т. е. с различной частотой), посланных различными радиостанциями, сигналы определенной радиостанции.

34.Условие и способы получения резонанса. Резонансная частота

Явление
резонанса. Электрическая цепь, содержащая
индуктивность и емкость, может служить
колебательным контуром, где возникает
процесс колебаний электрической
энергии, переходящей из индуктивности
в емкость и обратно. В идеальном
колебательном контуре эти колебания
будут незатухающими. При подсоединении
колебательного контура к источнику
переменного тока угловая частота
источника ? может оказаться равной
угловой частоте ?0, с которой происходят
колебания электрической энергии в
контуре. В этом случае имеет место
явление резонанса, т. е. совпадения
частоты свободных колебаний ?0, возникающих
в какой-либо физической системе, с
частотой вынужденных колебаний ?,
сообщаемых этой системе внешними
силами.

Резонанс
в электрической цепи можно получить
тремя способами: изменяя угловую частоту
? источника переменного тока, индуктивность
L или емкость С. Различают резонанс при
последовательном соединении L и С —
резонанс напряжений и при параллельном
их соединении — резонанс токов. Угловая
частота ?0, при которой наступает
резонанс, называется резонансной, или
собственной частотой колебаний
резонансного контура.

35. Резонанс в последовательном колебательном контуре. Добротность, векторная диаграмма. Характеристическое сопротивление, затухание контура.

Резонанс
напряжений
– явление, при котором цепь содержащая
активные и реактивные сопротивления,
будет только активное сопротивление
(XL — XC = 0). При этом ток в цепи совпадает
по фазе с напряжением. Условие
возникновение резонанса напряжений –
равенство нулю реактивного сопротивления.

—
характеристическое
сопротивление контура.

Таким
образом:

–резонансная
частота

-резонансная
для парралельного

При
резонансе напряжений ток максимален,
так как сопротивление минимально, а

и
таким образом

Добротностью
контура называется отношение модуля
реактивной составляющей напряжения в
цепи к модулю входного напряжения в
момент резонанса.

Полосу
частот вблизи резонанса, на границах
которой ток снижается до величины
принято называтьполосой
пропускания
резонансного тока.

Чем
больше добротность, тем острее кривая
и уже полоса пропускания

36. Резонанс (определение). Последовательный и параллельный колебательные контуры. Резонансные кривые в относительных единицах для последовательного колебательного контура.

резонанс
напряжений в цепях переменного тока
это такой процесс, при котором на
отдельных элементах цепи возникает
напряжение больше чем питающее. Такой
процесс возникает в цепях, состоящих
из последовательно соединённых емкости
и индуктивности. В так называемом
последовательном колебательном контуре.

Для
наступления резонанса в цепи переменного
тока необходимо чтобы выполнялись
условия. Во-первых, реактивное
сопротивление индуктивности должно
быть равно реактивному сопротивления
емкости. При этом активное сопротивление
такого контура должно быть минимальным.

Рисунок
1 — последовательный колебательный
контур

Во
вторых собственная частота последовательного
колебательного контура состоящего из
индуктивности и емкости должна совпадать
с частотой питающего напряжения. Тогда
в цепи наступает резонанс напряжений.
Энергия, накопленная в магнитном поле,
полностью переходит в энергию
электрического поля в конденсаторе и
наоборот.

А
для источника переменного напряжения
такая цепь становится практически
закороткой и в ней протекает максимально
возможный ток. Ограниченный только
активным сопротивлением контура.
Поскольку реактивные сопротивления
индуктивности и емкости на резонансной
частоте становятся равные нулю и энергия
в них не рассеивается. В отличии от
активного сопротивления в котором по
закону джоуля ленца выделяется тепло.

Рисунок
2 — Зависимость тока и полного реактивного
сопротивления от частоты источника
напряжения

При
изменении частоты питающего напряжения
или параметров контура резонанс
исчезает. Напряжение на элементах цепи
распределяется в соответствии с законом
Ома. То есть падение напряжения на
емкости и индуктивности будет равно
току, умноженному на их реактивные
сопротивления.

В
случае резонанса напряжение на емкости
или индуктивности будет в Q раз больше
чем напряжение источника. Q это добротность
контура величина обратная коэффициенту
затухания колебаний в контуре. Таким
образом, чем выше добротность контура,
тем выше будет увеличение напряжения.

Резона́нс
(фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) —
явление резкого возрастания амплитуды
вынужденных колебаний, которое наступает
при приближении частоты внешнего
воздействия к некоторым значениям
(резонансным частотам), определяемым
свойствами системы

Лабораторная работа №4 Исследование резонанса напряжений.

Цель работы: Изучение
и экспериментальное исследование
явления резонанса напряжений.

Основные теоретические сведения.

Резонансом
называется такой режим электрической
цепи, при которой входной ток совпадает
по фазе с входным напряжением, несмотря
на наличие в цепи реактивных элементов.

Резонансный режим
наступает тогда, когда частота внешних
воздействий на систему равна собственной
частоте системы,

(3.1)

т.е. частоте
преобразования энергии внутри системы
из одной формы в другую (энергия магнитного
поля в энергию электрического поля и
наоборот). Резонанс, таким образом,
возникает при наличии в цепи индуктивности
и емкости.

Одна из ценных
особенностей резонансов — это значительное
увеличение напряжений или токов при
весьма экономичном использовании
электрической энергии.

;;

входная мощность
чисто активная:

Резонанса в
электрической цепи можно достичь,
изменяя либо частоту источника питания,
либо индуктивность, либо емкость.

Цепь, находящаяся
в резонансном режиме, характеризуется
следующим:

1. входные реактивные
   сопротивления или проводимости равны
   нулю:

;;

2. угол сдвига фаз
   между входным током и выходным напряжением
   равен нулю, а коэффициент мощности
   максимален.

;;

3. входная мощность
   чисто активная:

Резонанс напряжений.

Резонанс при
последовательном соединении индуктивности
и емкости, при взаимной компенсации
реактивных составляющих напряжения
,
называют резонансом напряжений.

Если к цепи,
изображенной на рис. 3-1, приложено
переменное синусоидальное напряжение

, (3.2)

то ток равен

, (3.3)

где
;.

Из приведенного
выражения (3.3) видно, что ток
будет совпадать с приложенным напряжением
при условииили

,
т.е.. (3.4)

Таким образом, при
резонансе напряжений входное реактивное
сопротивление
равно нулю, а полное сопротивлениеимеет наименьшее значение, поэтому ток
в цепи максимален.

При резонансе
напряжений реактивные составляющие
напряжения
равны между собой:

.

и могут во много
раз превышать напряжение, приложенное
к цепи, что характеризуется добротностью
контура
:

, (3.5)

где
. (3.6)

—
волновое или характеристическое
сопротивление контура.

Рис. 3-1. Схема
замещения последовательной цепи.

Векторная диаграмма
резонанса напряжений в цепи (рис. 3-1)
имеет вид:

Рис. 3-2. Векторная
диаграмма резонанса напряжений.

Нерезонансные режимы.

Режимы вне резонанса
можно получить, если вывести систему
из резонанса, т.е. нарушить условие
(3.1), изменяя собственную частоту контура
с помощью индуктивности
при постоянной емкости,
или изменяя емкостьпри постоянной индуктивности.
В результате этой операции можно получить
частотные характеристики (рис. 3-3 и рис.
3-4).

Следует отметить,
что острота всех частотных характеристик
зависят от добротности цепи
.
Чем выше,
тем более острыми получаются пики всех
кривых и поэтому резко возрастают
избирательные свойства цепи.

Изменяя величину
емкости конденсатора при постоянной
индуктивности можно получить графики
функциональных зависимостей в
последовательной цепи (рис. 3-5) и построить
соответствующие векторные диаграммы
(рис. 3-6).

Для схемы рис. 3-1
на основании векторных диаграмм для
нерезонансных режимов (рис. 3-6) можно
построить треугольник напряжений для
всей цепи (рис. 3-7, a) и соответствующий
треугольник сопротивлений (рис. 3-7. б).

Из треугольника
напряжений (рис. 3-7,а) следует:

(3.7)

где
— активная составляющая входного
напряжения.

Из треугольника
сопротивлений также можно определить
величину коэффициента мощности:

(3.8)

Рис. 3-3. Частотные
характеристики сопротивлений
последовательной цепи.

Рис. 3-4. Частотные
характеристики тока, напряжения, мощности
и коэффициента мощности последовательной
цепи.

Рис. 3-5. График
функциональных зависимостей в
последовательной цепи.

Рис. 3-6. Векторные
диаграммы последовательной цепи для
нерезонансных режимов.

Рис. 3-7. Треугольник
напряжений (а) и треугольник сопротивлений
(б) последовательной цепи.

Перечень оборудования.

1. Источники
   переменного напряжения 36 В.,
   =50
   Гц.

2. Катушка индуктивности
   с ферромагнитным сердечником с
   подмагничиванием (подмагничивание
   постоянным током уменьшает эквивалентную
   индуктивность катушка). Цепь подмагничивания
   включается тумблерами.

3. Батарея конденсаторов
   со ступенчатым регулированием 94 мкФ.

4. Амперметр с
   пределом измерений 2А.

5. Вольтметры — 3 шт.
   с пределами измерений 250 В, 100 В.

Содержание
работы.

Исследовать
дорезонансный, резонансный и
послерезонансный режимы последовательной
цепи изменением индуктивности при
постоянной емкости и изменением емкости
при постоянной индуктивности. Измерить
параметры катушки при помощи амперметра,
вольтметра и ваттметра.

Порядок выполнения работы.

1. Собрать схему для
   исследования последовательной цепи
   (рис. 3-8).

Рис. 4-8. Схема
исследования последовательной цепи.

2. Ключ В1 разомкнут.
   Включаем выключатели батареи
   конденсаторов, набираем суммарную
   емкость
   =30
   мкФ. Включаем источник питания 36 В
   тумблером T1, цепь подмагничивания
   катушки тумблерами Т2, Т3. Изменяя
   индуктивность катушки, устанавливаем
   резонансный режим, который определяется
   по максимальному показанию амперметра
   А_вх.
   Показания приборов занести в таблицу
   1.

3. Изменяя, индуктивность
   катушки, установить дорезонансный
   режим (ток в цепи увеличивается), затем
   — послерезонансный режим (ток в цепи
   уменьшается). Показания приборов для
   одной точки дорезонансного режима и
   одной точки послерезонансного режима
   занести в таблицу 1.

Таблица
1.

4. По данным таблицы
   1 построить векторные диаграммы цепи
   для трех режимов: резонансного,
   дорезонансного и послерезонансного.
   Диаграмму удобно строить методом
   засечек с помощью циркуля, согласно
   баланса напряжений.

5. Установить ток
   А. регулированием индуктивности.
   Выключить батарею конденсаторов с
   помощью тумблеров, замкнуть ключ В1.
   Показания приборов занести в таблицу
   2.

Таблица
2.

6. По данным таблицы
   2 определить
   ,,,по формулам:

;
;;.

7. Разомкнуть ключ
   В1. Включить суммарную емкость 30 мкФ.
   Изменяя индуктивность, установить
   резонансный режим. Оставив индуктивность
   неизменной, записать показания приборов
   при ступенчатом изменении емкости в
   пределах имеющегося магазина емкостей.
   Показания приборов занести в таблицу
   3.

Таблица 3.

8. По данным таблицы
   3 построить графики зависимостей:

,
,,,,
,.

— определяется из
соотношения (3.8)

— определяется из
соотношения (3.5)

Содержание отчета

Отчет должен
содержать:

1. Название работы.

2. Цель работы.

3. Схему исследования.

4. Таблицу приборов
   и оборудования.

5. Таблицы с
   результатами измерений и вычислений.

6. Расчетные формулы.

7. Графики зависимостей.

8. Векторные диаграммы.

9. Выводы об
   особенностях резонансного и нерезонансного
   режимов.

Контрольные
вопросы

1. Что такое резонанс
   напряжений?

2. Каким способом
   регулируется собственная частота цепи?

3. Чем определяется
   величина усиления напряжений?

4. Почему выходной
   ток при резонансе напряжений максимален?

5. Почему коэффициент
   мощности при резонансе равен единице,
   а до и после резонанса снижается?

6. Как строятся
   векторные диаграммы для нерезонансных
   режимов?

7. Почему резонансные
   режимы весьма экономичны?

8. Где используется
   резонансы напряжений?

Литература

1. Электротехника/
   Под ред. В.С. Пантюшина. – М.: Высшая
   школа, 1976, гл. 5, с. 108 – 111.

2. Касаткин А.С.,
   Немцов М.В. Электротехника. – М.:
   Энергоатомиздат, 1983, гл. 2, с. 80 – 84, с. 94
   – 97.

3. Бессонов Л.А.
   Теоретические основы электротехники.
   – М.: Высшая школа, 1984, §3.28.

Назовите характерные признаки резонанса напряжений резонанса токов

1. Ток и напряжение, приложенное к цепи, совпадают по фазе j = 0.

2. Сопротивление контура минимальное и чисто активное Z = R.

3. Ток в цепи максимален, т. к.

→ I_max

4. Падение напряжения на активном сопротивлении равно приложенному к контуру напряжению, а именно: U_R= IR = IZ = U.

5. Падения напряжений на индуктивности и ёмкости равны по амплитуде, противоположны по фазе и больше (или значительно больше) приложенного напряжения:

При этом коэффициент усиления по напряжению:

,

где

— характеристическое волновое сопротивление контура;

Q=K_U — качество, или добротность контура.

Возникновение резонанса напряжений в электрических цепях (сильно-точных) нежелательно. Чрезмерное повышение напряжений на ёмкостном и индуктивном элементах при резонансе может вывести их из строя.

В слаботочных (электронных, радиотехнических) цепях явление резонанса напряжений находит широкое применение. Благодаря усилению на реактивных элементах последовательной радиотехнической цепи (последовательный колебательный контур) при резонансе можно выделять напряжение, частота которого равна резонансной частоте цепи. Это позволяет осуществить прием и использование данного напряжения в системах радио-, телевизионного и радиолокационного приема.

Дата добавления: 2015-03-03 ; просмотров: 7113 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Читайте также:

1. Алгоритм метода частичных потоков
2. Биофизические принципы исследования электрических полей в организме. Понятие о токовом диполе.
3. В любом узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю.
4. Векторная диаграмма токов при параллельном соединении R, L и С.
5. Виды денежных потоков
6. Виды и оценка денежных потоков предприятия
7. Виды финансовых потоков.
8. ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ. РЕЗОНАНС, ЙОГО ВИКОРИСТАННЯ ТА УСУНЕННЯ В ТЕХНІЦІ
9. ВИХРЕТОКОВЫЙ МЕТОД
10. Власть информации связана с индивидуальными способностями и умением лидера соединять на своем уровне несоединяемые внизу концы, информационных потоков.
11. Вопрос 2: Методы защиты от прикосновения к токоведущим частям и технологическому оборудованию, оказавшемуся под напряжением.
12. Вынужденные колебания в электрическом колебательном контуре. Резонанс. Резонансные кривые.

Резонанс токов – это явление в цепи с параллельным колебательным контуром, ко­гда ток в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением источника.

На рис. 12 представлена схема параллельного колебательного контура. Сопротивление R в индуктив­ной ветви обусловлено тепловыми потерями на актив­ном сопротивлении катушки. Потерями в емкостной ветви можно пренебречь.

Условие резонанса токов: равенство нулю реактивной проводимости контура b=0.

Для выяснения признаков резонанса токов постро­им векторную диаграмму.

Для того чтобы ток I в неразветвленной части цепи совпадал по фазе с напряжением, реактивная составляющая тока индуктивной ветви I_Lp должна быть равна по модулю току емкостной ветви I_C (рис. 12,б). Активная составляющая тока индуктивной ветви I_L, оказывается равной току источника I_C .

Рис. 12. Схема параллельного колебательного контура и векторная

диаграмма при резонансе токов

Признаки резонанса токов:

а) сопротивление контура

максимальное и чисто активное;

б) ток в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением источника и достигает практи­чески минимального значения;

в) реактивная составляющая тока в катушке равна емкостному току, причем эти токи могут во много раз превышать ток источника.

Физически это объясняется тем, что при малых потерях в контуре (при малом R) ток источника тре­буется только для покрытия этих потерь. Ток в кон­туре обусловлен обменом энергией между катушкой и конденсатором. В идеальном случае (контур без по­терь) ток источника отсутствует.

Критерием возникновения резонансного явления в цепи, содержащей индуктивные и емкостные элементы, является…

1. равенство нулю угла сдвига фаз φ между напряжением и током на входе цепи

2. равенство 90° угла сдвига фаз φ между напряжением и током на входе цепи

3. равенство 180° угла сдвига фаз φ между напряжением и током на входе цепи

4. равенство 270° угла сдвига фаз φ между напряжением и током на входе цепи

Режим резонанса напряжений может быть установлен в цепи…

1.

2.

3.

4.

К возникновению режима резонанса напряжений ведет выполнение условия…

1.

2.

3.

4.

Для случая, соответствующего приведенной векторной диаграмме, характер сопротивления пассивной электрической цепи…

Характер сопротивления пассивной электрической цепи для случая, соответствующего приведенной векторной диаграмме…

1.

активно-емкостной

Если величина начальной фазы синусоидального тока

, а величина начальной фазы синусоидального напряжения , то угол сдвига фаз между напряжением и током составляет…

1.

2.

3.

4.

Полное сопротивление Z приведенной цепи при

Ом и Ом составляет…

1.

50 Ом

Вывод по третьему вопросу: в заключение необходимо отметить, что явление резонанса токов сложнее и многообразнее явления резонанса напряжений. Фактически был рассмотрен только частный случай радиотехнического резонанса. Резонансы токов и напряжений широко используются в радиотехнических цепях (установках автоматики, телемеханики, связи). Резонанс токов позволяет улучшить коэффициент мощности электроустановок промпредприятий.

Дата добавления: 2014-01-06 ; Просмотров: 7047 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

В физике резонансом называется явление, при котором в колебательном контуре частота свободных колебаний совпадает с частотой вынужденных колебаний. В электричестве аналогом колебательного контура служит цепь, состоящая из сопротивления, ёмкости и индуктивности. В зависимости от того как они соединены различают резонанс напряжений и резонанс токов.

Резонанс напряжений

Резонанс напряжений возникает в последовательной RLC-цепи.

Условием возникновения резонанса является равенство частоты источника питания резонансной частоте w=w_р, а следовательно и индуктивного и емкостного сопротивлений x_L=x_C. Так как они противоположны по знаку, то в результате реактивное сопротивление будет равно нулю. Напряжения на катушке U_L и на конденсаторе U_C будет противоположны по фазе и компенсировать друг друга. Полное сопротивление цепи при этом будет равно активному сопротивлению R, что в свою очередь вызывает увеличение тока в цепи, а следовательно и напряжение на элементах.

При резонансе напряжения U_C и U_L могут быть намного больше, чем напряжение источника, что опасно для цепи.

С увеличением частоты сопротивление катушки увеличивается, а конденсатора уменьшается. В момент времени, когда частота источника будет равна резонансной, они будут равны, а полное сопротивление цепи Z будет наименьшим. Следовательно, ток в цепи будет максимальным.

Из условия равенства индуктивного и емкостного сопротивлений найдем резонансную частоту

Исходя из записанного уравнения, можно сделать вывод, что резонанса в колебательном контуре можно добиться изменением частоты тока источника (частота вынужденных колебаний) или изменением параметров катушки L и конденсатора C.

Следует знать, что в последовательной RLC-цепи, обмен энергией между катушкой и конденсатором осуществляется через источник питания.

Резонанс токов

Резонанс токов возникает в цепи с параллельно соединёнными катушкой резистором и конденсатором.

Условием возникновения резонанса токов является равенство частоты источника резонансной частоте w=w_р, следовательно проводимости B_L=B_C. То есть при резонансе токов, ёмкостная и индуктивная проводимости равны.

Для наглядности графика, на время отвлечёмся от проводимости и перейдём к сопротивлению. При увеличении частоты полное сопротивление цепи растёт, а ток уменьшается. В момент, когда частота равна резонансной, сопротивление Z максимально, следовательно, ток в цепи принимает наименьшее значение и равен активной составляющей.

Выразим резонансную частоту

Как видно из выражения, резонансная частота определяется, как и в случае с резонансом напряжений.

Явление резонанса может носить как положительный, так и отрицательный характер. Например, любой радиоприемник имеет в своей основе колебательный контур, который с помощью изменения индуктивности или емкости настраивают на нужную радиоволну. С другой стороны, явление резонанса может привести к скачкам напряжения или тока в цепи, что в свою очередь приводит к аварии.

Резонанс серии

в последовательной резонансной цепи RLC

До сих пор мы проанализировали поведение последовательной RLC-цепи, напряжение источника которой является синусоидальным источником питания с фиксированной частотой в установившемся режиме. Мы также видели в нашем руководстве по последовательным цепям RLC, что два или более синусоидальных сигнала могут быть объединены с использованием векторов при условии, что они имеют одинаковую частоту питания.

Но что будет с характеристиками схемы, если на схему будет подано напряжение питания фиксированной амплитуды, но разных частот.Также, какова будет поведение «частотной характеристики» схемы на двух реактивных компонентах из-за этой изменяющейся частоты.

В последовательной цепи RLC становится частотной точкой, в которой индуктивное реактивное сопротивление катушки индуктивности становится равным по величине емкостному реактивному сопротивлению конденсатора. Другими словами, X _L = X _C . Точка, в которой это происходит, называется точкой резонансной частоты ( _r ) схемы, и, поскольку мы анализируем последовательный контур RLC, эта резонансная частота создает последовательный резонанс .

Цепи серии Resonance являются одними из наиболее важных электрических и электронных цепей. Их можно найти в различных формах, таких как сетевые фильтры переменного тока, фильтры шумов, а также в схемах настройки радио и телевидения, создающих очень избирательную схему настройки для приема различных частотных каналов. Рассмотрим простую последовательную схему RLC ниже.

Цепь RLC серии

Во-первых, давайте определимся, что мы уже знаем о последовательных цепях RLC.

Из приведенного выше уравнения для индуктивного реактивного сопротивления, если увеличить либо частоту , , либо индуктивность , общее значение индуктивного реактивного сопротивления катушки индуктивности также увеличится. По мере приближения частоты к бесконечности реактивное сопротивление катушек индуктивности также будет увеличиваться до бесконечности, при этом элемент схемы действует как разомкнутый контур.

Однако, когда частота приближается к нулю или постоянному току, реактивное сопротивление катушек индуктивности уменьшится до нуля, вызывая противоположный эффект, действующий как короткое замыкание.Это означает, что индуктивное реактивное сопротивление составляет « пропорционально » частоте и мало на низких частотах и ​​высокое на более высоких частотах, что демонстрируется следующей кривой:

Индуктивное сопротивление относительно частоты

График зависимости индуктивного реактивного сопротивления от частоты представляет собой прямолинейную линейную кривую. Значение индуктивного реактивного сопротивления катушки индуктивности линейно увеличивается с увеличением частоты на ней. Следовательно, индуктивное реактивное сопротивление положительно и прямо пропорционально частоте (X _L ∝ ƒ)

То же самое верно и для приведенной выше формулы емкостного реактивного сопротивления, но в обратном порядке.Если увеличить либо частоту , либо емкость , общее емкостное реактивное сопротивление уменьшится. Когда частота приближается к бесконечности, реактивное сопротивление конденсаторов уменьшится практически до нуля, в результате чего элемент схемы будет действовать как идеальный проводник с сопротивлением 0 Ом.

Но по мере приближения частоты к нулю или уровню постоянного тока реактивное сопротивление конденсаторов будет быстро увеличиваться до бесконечности, заставляя его действовать как очень большое сопротивление, становясь больше похожим на состояние разомкнутой цепи.Это означает, что емкостное реактивное сопротивление « обратно пропорционально » частоте для любого заданного значения емкости, и это показано ниже:

Емкостное сопротивление относительно частоты

График зависимости емкостного реактивного сопротивления от частоты представляет собой гиперболическую кривую. Значение реактивного сопротивления конденсатора имеет очень высокое значение на низких частотах, но быстро уменьшается с увеличением частоты на нем. Следовательно, емкостное реактивное сопротивление отрицательно и обратно пропорционально частоте (X _C ∝ ƒ ^-1 )

Мы видим, что значения этих сопротивлений зависят от частоты источника питания.На более высокой частоте X _L высокий, а на низкой частоте X _C высокий. Тогда должна быть точка частоты, в которой значение X _L совпадает со значением X _C и есть. Если теперь мы поместим кривую индуктивного реактивного сопротивления поверх кривой емкостного реактивного сопротивления так, чтобы обе кривые находились на одной оси, точка пересечения даст нам точку последовательной резонансной частоты ( _r или ω _r ) как показано ниже.

Частота резонанса серии

где: ƒ _r в Герцах, L в Генри и C в Фарадах.

Электрический резонанс возникает в цепи переменного тока, когда два противоположных и равных реактивных сопротивления нейтрализуют друг друга как X _L = X _C . Точка на приведенном выше графике, в которой это происходит, находится там, где две кривые реактивного сопротивления пересекают друг друга. В последовательном резонансном контуре резонансная частота ƒ _r баллов может быть рассчитана следующим образом.

Мы можем видеть, что в резонансе математически два реактивных сопротивления компенсируют друг друга как X _L — X _C = 0.Это заставляет последовательную комбинацию LC действовать как короткое замыкание с единственным противодействием протеканию тока в последовательной резонансной цепи, являющимся сопротивлением, R.

В сложной форме резонансная частота — это частота, при которой полный импеданс последовательной цепи RLC становится чисто «реальным» , то есть не существует воображаемого импеданса. Это потому, что при резонансе они погашаются. Таким образом, полное сопротивление последовательной цепи становится просто значением сопротивления и, следовательно, Z = R.

Тогда в резонансе полное сопротивление последовательной цепи будет минимальным и равным только сопротивлению R цепи. Импеданс контура в резонансе называется «динамическим импедансом» контура, и в зависимости от частоты X _C (обычно на высоких частотах) или X _L (обычно на низких частотах) будет доминировать с любой стороны резонанса, как показано. ниже.

Импеданс в цепи последовательного резонанса

Обратите внимание, что когда емкостное реактивное сопротивление доминирует в цепи, кривая импеданса имеет гиперболическую форму, но когда индуктивное реактивное сопротивление доминирует в цепи, кривая становится несимметричной из-за линейного отклика X _L .

Вы также можете отметить, что если полное сопротивление контура минимально при резонансе, то, следовательно, проводимость контура должна быть максимальной, и одной из характеристик последовательного резонансного контура является очень высокая проводимость. Но это может быть плохо, потому что очень низкое значение сопротивления при резонансе означает, что результирующий ток, протекающий по цепи, может быть опасно высоким.

Напомним из предыдущего руководства о последовательном соединении RLC, что напряжение на последовательной комбинации является векторной суммой V _R , V _L и V _C .Затем, если в резонансе два реактивных сопротивления равны и компенсируются, два напряжения, представляющие V _L и V _C , также должны быть противоположными и равными по величине, тем самым компенсируя друг друга, потому что с чистыми компонентами напряжения векторов составляют +90 ^o и -90 ^o соответственно.

Тогда в резонансной цепи серии , когда V _L = -V _C , результирующие реактивные напряжения равны нулю, и все напряжение питания падает на резисторе.Следовательно, V _R = V _{обеспечивает} , и именно по этой причине последовательные резонансные цепи известны как цепи резонанса напряжения (в отличие от параллельных резонансных цепей, которые являются цепями резонанса тока).

Цепь RLC серии

при резонансе

Поскольку ток, протекающий через последовательный резонансный контур, является произведением напряжения, деленного на импеданс, в резонансе импеданс Z имеет минимальное значение (= R). Следовательно, ток цепи на этой частоте будет иметь максимальное значение V / R, как показано ниже.

Цепи серии

при резонансе

Кривая частотной характеристики последовательного резонансного контура показывает, что величина тока является функцией частоты, и нанесение этого на график показывает нам, что отклик начинается с точки, близкой к нулю, достигает максимального значения на резонансной частоте, когда I _MAX = I _R , а затем снова падает почти до нуля, когда ƒ становится бесконечным. Результатом этого является то, что величины напряжений на катушке индуктивности L и конденсаторе C могут во много раз превышать напряжение питания даже при резонансе, но поскольку они равны и при противодействии, они компенсируют друг друга.

Поскольку последовательный резонансный контур работает только на резонансной частоте, этот тип контура также известен как Acceptor Circuit , потому что в резонансе импеданс контура минимален, поэтому легко принимает ток, частота которого равна его резонансной частоте. частота.

Вы также можете заметить, что, поскольку максимальный ток в цепи при резонансе ограничен только значением сопротивления (чистым и действительным значением), поэтому напряжение источника и ток цепи должны быть в фазе друг с другом на этой частоте.Тогда фазовый угол между напряжением и током последовательного резонансного контура также является функцией частоты для фиксированного напряжения питания и равен нулю в точке резонансной частоты, когда: V, I и V _R находятся в фазе с каждым из них. другое, как показано ниже. Следовательно, если фазовый угол равен нулю, то коэффициент мощности должен быть равен единице.

Фазовый угол цепи последовательного резонанса

Также обратите внимание, что фазовый угол положительный для частот выше _r и отрицательный для частот ниже ƒ _r , и это может быть доказано с помощью,

Полоса пропускания последовательной резонансной цепи

Если последовательная цепь RLC управляется переменной частотой при постоянном напряжении, то величина тока I пропорциональна импедансу Z, поэтому при резонансе мощность, потребляемая цепью, должна быть максимальной, как P = I ² Z.

Если теперь мы уменьшим или увеличим частоту до тех пор, пока средняя мощность, потребляемая резистором в последовательном резонансном контуре, не станет вдвое меньше его максимального значения при резонансе, мы получим две частотные точки, называемые точками половинной мощности , которые на -3 дБ ниже от максимума, принимая 0 дБ в качестве максимального опорного тока.

Эти точки -3 дБ дают нам значение тока, которое составляет 70,7% от его максимального резонансного значения, которое определяется как: 0,5 (I ² R) = (0,707 x I) ² R.Тогда точка, соответствующая нижней частоте при половинной мощности, называется «нижней частотой среза», обозначенной ƒ _L , а точка, соответствующая верхней частоте при половинной мощности, называется «верхней частотой среза», с надписью ƒ _H . Расстояние между этими двумя точками, то есть ( _H — ƒ _L ), называется полосой пропускания , (BW) и представляет собой диапазон частот, в котором обеспечивается по крайней мере половина максимальной мощности и тока, как показано на рисунке. .

Полоса пропускания последовательной резонансной цепи

Частотная характеристика приведенной выше величины тока в цепи относится к «резкости» резонанса в последовательном резонансном контуре. Резкость пика измеряется количественно и называется фактором качества , Q схемы. Добротность связывает максимальную или пиковую энергию, запасенную в цепи (реактивное сопротивление), с энергией, рассеиваемой (сопротивление) в течение каждого цикла колебаний, что означает, что это отношение резонансной частоты к ширине полосы, и чем выше Q в цепи, тем меньше ширина полосы Q = ƒ _r / BW.

Поскольку полоса пропускания берется между двумя точками -3 дБ, селективность схемы является мерой ее способности отклонять любые частоты по обе стороны от этих точек. Более избирательная схема будет иметь более узкую полосу пропускания, тогда как менее избирательная схема будет иметь более широкую полосу пропускания. Селективностью последовательного резонансного контура можно управлять, регулируя только значение сопротивления, сохраняя все остальные компоненты одинаковыми, поскольку Q = (X _L или X _C ) / R.

Пропускная способность цепи последовательного резонанса RLC

Тогда соотношение между резонансом, полосой пропускания, селективностью и добротностью для последовательного резонансного контура определяется как:

1). Резонансная частота, (ƒ _r )

2). Ток, (I)

3). Нижняя частота среза, (ƒ _L )

4). Верхняя частота среза, (ƒ _H )

5).Пропускная способность, (BW)

6). Фактор качества, (Q)

Пример резонанса серии

No1

Последовательная резонансная сеть, состоящая из резистора 30 Ом, конденсатора 2 мкФ и катушки индуктивности 20 мГн, подключена к синусоидальному напряжению питания, которое имеет постоянный выход 9 вольт на всех частотах. Рассчитайте резонансную частоту, ток в резонансе, напряжение на катушке индуктивности и конденсатора в резонансе, добротность и полосу пропускания цепи.Также нарисуйте соответствующую форму волны тока для всех частот.

1. Резонансная частота, _r

2. Резонансный ток цепи, I _м

3. Индуктивное реактивное сопротивление при резонансе, X _L

4. Напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе, В _L , В _C

Примечание: напряжение питания может составлять всего 9 вольт, но при резонансе реактивные напряжения на конденсаторе, V _C и катушке индуктивности, V _L составляют пиковое значение 30 вольт!

5.Добротность, Q

6. Пропускная способность, BW

7. Верхняя и нижняя точки частоты -3 дБ, _H и ƒ _L

8. Форма кривой тока

Пример резонанса серии

No2

Последовательная цепь состоит из сопротивления 4 Ом, индуктивности 500 мГн и переменной емкости, подключенных к источнику питания 100 В, 50 Гц. Рассчитайте емкость, необходимую для создания условия последовательного резонанса, и напряжения, генерируемые как на катушке индуктивности, так и на конденсаторе в точке резонанса.

Резонансная частота, _r

Напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе, В _L , В _C

Резонансные обзоры серии

Возможно, вы заметили, что во время анализа последовательных резонансных цепей в этом руководстве мы смотрели на полосу пропускания, верхние и нижние частоты, точки -3 дБ и качество или добротность. Все эти термины используются при проектировании и создании полосовых фильтров (BPF), и действительно, резонансные цепи используются в трехэлементных сетевых фильтрах, чтобы пропускать все частоты в пределах «полосы пропускания», подавляя все остальные.

Однако основная цель этого руководства — проанализировать и понять концепцию того, как резонанс серии возникает в пассивных цепях серии RLC. Их использование в сетях и проектах RLC-фильтров выходит за рамки этого конкретного руководства и поэтому не будет рассматриваться здесь, извините.

• Чтобы резонанс возник в любой цепи, она должна иметь как минимум одну катушку индуктивности и один конденсатор.
• Резонанс — это результат колебаний в цепи, когда накопленная энергия передается от катушки индуктивности к конденсатору.
• Резонанс возникает, когда X _L = X _C и мнимая часть передаточной функции равна нулю.
• В резонансе полное сопротивление цепи равно значению сопротивления как Z = R.
• На низких частотах последовательная цепь является емкостной, как: X _C > X _L , это дает схеме ведущий коэффициент мощности.
• На высоких частотах последовательная цепь является индуктивной, как: X _L > X _C , это дает цепи отстающий коэффициент мощности.
• Высокое значение тока при резонансе приводит к очень высоким значениям напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе.

Резонансные цепи серии

• полезны для создания высокочастотных селективных фильтров. Однако его высокий ток и очень высокие значения напряжения компонентов могут вызвать повреждение цепи.
• Наиболее характерной особенностью частотной характеристики резонансного контура является резкий резонансный пик на его амплитудных характеристиках.
• Поскольку импеданс минимален, а ток максимален, последовательные резонансные цепи также называются цепями приемника .

В следующем уроке о параллельном резонансе мы рассмотрим, как частота влияет на характеристики параллельно подключенного контура RLC и как на этот раз добротность параллельного резонансного контура определяет его текущее увеличение.

Резонанс в последовательной цепи RLC

Рассмотрим схему RLC, в которой резистор, катушка индуктивности и конденсатор соединены последовательно через источник напряжения.Эта последовательная цепь RLC имеет отличительную способность резонировать на определенной частоте, называемой резонансной частотой.
В этой цепи, содержащей катушку индуктивности и конденсатор, энергия накапливается двумя разными способами.

1. Когда в индукторе течет ток, энергия накапливается в магнитном поле.
2. Когда конденсатор заряжен, энергия накапливается в статическом электрическом поле.

Магнитное поле в катушке индуктивности создается током, который вырабатывается разрядным конденсатором.Точно так же конденсатор заряжается током, возникающим в результате сжатия магнитного поля индуктора, и этот процесс продолжается и продолжается, заставляя электрическую энергию колебаться между магнитным полем и электрическим полем. В некоторых случаях на определенной частоте, называемой резонансной частотой, индуктивное реактивное сопротивление цепи становится равным емкостному реактивному сопротивлению, которое заставляет электрическую энергию колебаться между электрическим полем конденсатора и магнитным полем индуктора. Это формирует гармонический осциллятор тока.В схеме RLC наличие резистора заставляет эти колебания затухать с течением времени и называется демпфирующим эффектом резистора.

Изменение индуктивного реактивного и емкостного сопротивления с частотой

Изменение индуктивного реактивного сопротивления относительно частоты

Мы знаем, что индуктивное реактивное сопротивление X _L = 2πfL означает, что индуктивное реактивное сопротивление прямо пропорционально частоте (X _L и prop ). Когда частота равна нулю или в случае постоянного тока, индуктивное реактивное сопротивление также равно нулю, цепь действует как короткое замыкание; но когда частота увеличивается; индуктивное реактивное сопротивление также увеличивается.На бесконечной частоте индуктивное реактивное сопротивление становится бесконечным, и цепь ведет себя как разомкнутая цепь. Это означает, что, когда частота увеличивается, индуктивное реактивное сопротивление также увеличивается, а когда частота уменьшается, индуктивное реактивное сопротивление также уменьшается. Итак, если мы построим график между индуктивным реактивным сопротивлением и частотой, это будет прямая линейная кривая, проходящая через начало координат, как показано на рисунке выше.

Изменение емкостного реактивного сопротивления относительно частоты

Из формулы емкостного реактивного сопротивления X _C = 1 / 2πfC ясно, что частота и емкостное реактивное сопротивление обратно пропорциональны друг другу.В случае постоянного тока или когда частота равна нулю, емкостное реактивное сопротивление становится бесконечным, и цепь ведет себя как разомкнутая цепь, а когда частота увеличивается и становится бесконечной, емкостное реактивное сопротивление уменьшается и становится равным нулю на бесконечной частоте, в этот момент цепь действует как короткое замыкание, поэтому емкостное реактивное сопротивление увеличивается с уменьшением частоты, и если мы построим график между емкостным реактивным сопротивлением и частотой, это будет гиперболическая кривая, как показано на рисунке выше.

Индуктивное реактивное сопротивление и емкостное реактивное сопротивление относительно частоты

Из приведенного выше обсуждения можно сделать вывод, что индуктивное реактивное сопротивление прямо пропорционально частоте, а емкостное реактивное сопротивление обратно пропорционально частоте, т.е.e на низкой частоте X _L низкий, а X _C высокий, но должна быть частота, на которой значение индуктивного реактивного сопротивления становится равным емкостному реактивному сопротивлению. Теперь, если мы построим единый график зависимости индуктивного реактивного сопротивления от частоты и емкостного реактивного сопротивления от частоты, то должна появиться точка, в которой эти два графика пересекают друг друга. В этой точке пересечения индуктивное и емкостное реактивные сопротивления становятся равными, а частота, при которой эти два реактивных сопротивления становятся равными, называется резонансной частотой, f _r .
На резонансной частоте, X _L = X _L

При резонансе f = f _r и, решив вышеуказанное уравнение, мы получаем

Изменение импеданса относительно частоты

При последовательном резонансе В схеме RLC два реактивных сопротивления становятся равными и нейтрализуют друг друга. Таким образом, в резонансной последовательной цепи RLC противодействие протеканию тока происходит только из-за сопротивления. В резонансе полное сопротивление последовательной цепи RLC равно сопротивлению i.e Z = R, импеданс имеет только действительную часть, но не имеет мнимой части, и этот импеданс на резонансной частоте называется динамическим импедансом, и это динамическое сопротивление всегда меньше импеданса последовательной цепи RLC. Перед последовательным резонансом, то есть перед частотой, преобладает емкостное реактивное сопротивление f _r , а после резонанса преобладает индуктивное реактивное сопротивление, а при резонансе цепь действует исключительно как резистивная цепь, вызывая циркуляцию большого количества тока через цепь.

Резонансный ток

В последовательной цепи RLC полное напряжение является векторной суммой напряжений на резисторе, катушке индуктивности и конденсаторе.При резонансе в последовательной цепи RLC как индуктивное, так и емкостное реактивное сопротивление компенсируют друг друга, и мы знаем, что в последовательной цепи ток, протекающий через все элементы, одинаков, поэтому напряжение на катушке индуктивности и конденсаторе равно по величине и противоположно по направлению. и тем самым они отменяют друг друга. Итак, в последовательном резонансном контуре напряжение на резисторе равно напряжению питания, то есть V = V _r .
Ток в цепи последовательного RLC, I = V / Z, но при резонансном токе I = V / R, поэтому ток на резонансной частоте максимален, поскольку при резонансе в импедансе цепи является только сопротивлением и минимально.
На приведенном выше графике показан график зависимости тока цепи от частоты. При запуске, когда частота увеличивается, сопротивление Z _c уменьшается, и, следовательно, ток в цепи увеличивается. Через некоторое время частота становится равной резонансной, в этот момент индуктивное реактивное сопротивление становится равным емкостному реактивному сопротивлению, а полное сопротивление цепи уменьшается и становится равным только сопротивлению цепи. Таким образом, в этот момент ток в цепи становится максимальным I = V / R.Теперь, когда частота увеличивается, Z _L увеличивается, а с увеличением Z _L ток в цепи уменьшается, а затем ток падает, наконец, до нуля. поскольку частота становится бесконечной.

Коэффициент мощности при резонансе

При резонансе индуктивное реактивное сопротивление равно емкостному реактивному сопротивлению, и, следовательно, напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе компенсируют друг друга. Полный импеданс цепи — это только сопротивление. Итак, схема ведет себя как чисто резистивная цепь, и мы знаем, что в чисто резистивной цепи напряжение и ток цепи находятся в одной фазе, то есть V _r , V и I находятся в одном направлении фаз. Следовательно, фазовый угол между напряжением и током равен нулю, а коэффициент мощности равен единице.

Применение последовательного RLC-резонансного контура

Поскольку резонанс в последовательном RLC-контуре возникает на определенной частоте, он используется для фильтрации и настройки, поскольку он не допускает нежелательных колебаний, которые в противном случае могли бы вызвать искажение сигнала, шум и повреждение цепь, чтобы пройти через нее.
Резюме
Для последовательного RLC-контура на определенной частоте, называемой резонансной частотой, необходимо помнить следующие моменты. Итак, при резонансе:

1. Индуктивное реактивное сопротивление X _L равно емкостному реактивному сопротивлению X _C .
2. Полный импеданс цепи становится минимальным, равным R, т.е. Z = R.
3. Ток цепи становится максимальным при уменьшении импеданса, I = V / R.
4. Напряжение на катушке индуктивности и конденсаторе компенсирует друг друга, поэтому напряжение на резисторе V _r = В, напряжение питания.
5. Поскольку чистое реактивное сопротивление равно нулю, цепь становится чисто резистивной цепью, и, следовательно, напряжение и ток находятся в одной фазе, поэтому фазовый угол между ними равен нулю.
6. Коэффициент мощности равен единице.
7. Частота, при которой возникает резонанс в последовательной цепи RLC, задается формулой

Q-фактор и полоса пропускания резонансной цепи | Резонанс

Коэффициент добротности резонансного контура является мерой «качества» или качества резонансного контура. Более высокое значение этого показателя качества соответствует более узкой полосе пропускания, что желательно во многих приложениях. Более формально Q — это отношение накопленной мощности к мощности, рассеиваемой в реактивном сопротивлении и сопротивлении цепи, соответственно:

Q = P  сохранено  / P  рассеивается  = I  2  X / I  2  R Q = X / R где: X = емкостное или индуктивное реактивное сопротивление при резонансе R = последовательное сопротивление.

Эта формула применима к последовательным резонансным цепям, а также к параллельным резонансным цепям, если сопротивление включено последовательно с индуктором. Так обстоит дело в практических приложениях, поскольку нас больше интересует сопротивление катушки индуктивности, ограничивающее Q.

Примечание: В некотором тексте могут быть показаны местами X и R в формуле «Q» для параллельного резонансного контура. Это верно для большого значения R параллельно с C и L. Наша формула верна для небольшого R, идущего последовательно с L.

Практическое применение «Q» состоит в том, что напряжение на L или C в последовательном резонансном контуре в Q раз больше общего приложенного напряжения. В параллельном резонансном контуре ток через L или C в Q раз больше общего приложенного тока.

Резонансные цепи серии

Последовательный резонансный контур выглядит как сопротивление на резонансной частоте. Поскольку определение резонанса — X _L = X _C , реактивные компоненты нейтрализуются, оставляя только сопротивление, чтобы вносить вклад в импеданс.

Полное сопротивление также минимально в резонансе. Ниже резонансной частоты последовательный резонансный контур выглядит емкостным, поскольку импеданс конденсатора увеличивается до значения, превышающего уменьшающееся индуктивное реактивное сопротивление, оставляя чистое емкостное значение.

Выше резонанса индуктивное реактивное сопротивление увеличивается, емкостное реактивное сопротивление уменьшается, оставляя чистую индуктивную составляющую.

ПРИМЕЧАНИЕ:

При резонансе последовательный резонансный контур выглядит чисто резистивным.Ниже резонанса он выглядит емкостным. Выше резонанса он кажется индуктивным. Ток максимален при резонансе, импеданс минимален. Ток устанавливается величиной сопротивления. Выше или ниже резонанса импеданс увеличивается.

Импеданс минимален при резонансе в последовательном резонансном контуре.

Пик резонансного тока может быть изменен путем изменения последовательного резистора, который изменяет добротность. Это также влияет на ширину кривой.Схема с низким сопротивлением и высокой добротностью имеет узкую полосу пропускания по сравнению с схемой с высоким сопротивлением и низкой добротностью.

Ширина полосы по добротности и резонансной частоте:

 BW = f  c  / Q Где f  c  = резонансная частота Q = добротность 

Резонансный контур с высокой добротностью имеет узкую полосу пропускания по сравнению с контуром с низкой добротностью

Ширина полосы измеряется между точками амплитуды тока 0,707.Точки тока 0,707 соответствуют точкам половинной мощности, поскольку P = I ² R, (0,707) ² = (0,5).

Ширина полосы пропускания Δf измеряется между точками амплитуды 70,7% последовательного резонансного контура.

 BW = Δf = f  h  -f  l  = f  c  / Q Где: f  h  = край верхней полосы f  l  = край нижней полосы f  l  = f  c  - Δf / 2 f  h  = f  c  + Δf / 2 Где f  c  = центральная частота (резонансная частота) 

На рисунке выше 100% текущая точка составляет 50 мА.Уровень 70,7% составляет 0,707 (50 мА) = 35,4 мА. Верхний и нижний края полосы, считанные с кривой, составляют 291 Гц для f и 355 Гц для f _h . Полоса пропускания составляет 64 Гц, а точки половинной мощности составляют ± 32 Гц от центральной резонансной частоты:

.

 BW = Δf = f  h  -f  l  = 355-291 = 64 f  l  = f  c  - Δf / 2 = 323-32 = 291 f  h  = f  c  + Δf / 2 = 323 + 32 = 355 

Так как BW = fc / Q:

Q = f _c / BW = (323 Гц) / (64 Гц) = 5

Параллельные резонансные схемы

Полное сопротивление параллельного резонансного контура максимально на резонансной частоте.Ниже резонансной частоты параллельный резонансный контур выглядит индуктивным, поскольку импеданс катушки индуктивности ниже, и на нее приходится большая часть тока.

Выше резонанса емкостное реактивное сопротивление уменьшается, потребляя больший ток, таким образом, принимая емкостную характеристику.

Параллельный резонансный контур является резистивным при резонансе, индуктивным ниже резонанса, емкостным выше резонанса.

Полное сопротивление является максимальным при резонансе в параллельном резонансном контуре, но уменьшается выше или ниже резонанса.Напряжение достигает пика при резонансе, поскольку напряжение пропорционально импедансу (E = IZ).

Параллельный резонансный контур: Пики импеданса при резонансе.

Низкая добротность из-за высокого сопротивления, включенного последовательно с катушкой индуктивности, дает низкий пик на широкой кривой отклика для параллельного резонансного контура. Высокая добротность обусловлена ​​низким последовательным сопротивлением катушки индуктивности. Это дает более высокий пик на более узкой кривой отклика. Высокая добротность достигается за счет наматывания на индуктор большего диаметра (меньшего сечения) провода с меньшим сопротивлением.

Параллельный резонансный отклик зависит от добротности.

Ширина полосы параллельного резонансного отклика измеряется между точками половинной мощности. Это соответствует точкам напряжения 70,7%, поскольку мощность пропорциональна E ² . ((0,707) ² = 0,50) Поскольку напряжение пропорционально импедансу, мы можем использовать кривую импеданса.

Полоса пропускания, Δf измеряется между 70.Точки полного сопротивления 7% параллельного резонансного контура.

На рисунке выше точка 100% импеданса составляет 500 Ом. Уровень 70,7% составляет 0707 (500) = 354 Ом. Верхний и нижний края полосы, считанные с кривой, составляют 281 Гц для fl и 343 Гц для fh. Полоса пропускания составляет 62 Гц, а точки половинной мощности составляют ± 31 Гц от центральной резонансной частоты:

.

BW = Δf = f  h  -f  l  = 343-281 = 62 f  l  = f  c  - Δf / 2 = 312-31 = 281 f  h  = f  c  + Δf / 2 = 312 + 31 = 343 

Q = fc / BW = (312 Гц) / (62 Гц) = 5 

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ:

Резонанс

в последовательно-параллельных цепях | Резонанс

В простых реактивных цепях с небольшим сопротивлением или без него эффекты радикально измененного импеданса будут проявляться на резонансной частоте, предсказанной уравнением, приведенным ранее.В параллельном (резервуарном) LC-контуре это означает бесконечное сопротивление при резонансе. В последовательной LC-цепи это означает нулевой импеданс при резонансе:

Однако, как только в большинство контуров LC вводятся значительные уровни сопротивления, этот простой расчет резонанса становится недействительным.

На этой странице мы рассмотрим несколько LC-цепей с добавленным сопротивлением, используя те же значения емкости и индуктивности, что и раньше: 10 мкФ и 100 мГн соответственно.

Расчет резонансной частоты цепи с высоким сопротивлением

Согласно нашему простому уравнению, приведенному выше, резонансная частота должна быть 159,155 Гц. Однако посмотрите, где ток достигает максимума или минимума в следующих анализах SPICE:

Параллельная LC-цепь с сопротивлением последовательно с L.

резонансный контур
 v1 1 0 ac 1 грех
 c1 1 0 10u
 г1 1 2 100
 l1 2 0 100м
 .ac lin 20 100 200
 .сюжет ac i (v1)
 .конец
 

Результаты:

Сопротивление, включенное последовательно с L, дает минимальный ток при 136,8 Гц вместо расчетных 159,2 Гц

Минимальный ток при 136,8 Гц вместо 159,2 Гц! 

Параллельный ЖХ с сопротивлением в серии с C.

Здесь требуется дополнительный резистор (Rbogus), чтобы SPICE не столкнулся с проблемами при анализе.SPICE не может работать с индуктором, подключенным напрямую параллельно любому источнику напряжения или любому другому индуктору, поэтому добавление последовательного резистора необходимо, чтобы «разорвать» контур источника напряжения / индуктора, который в противном случае образовался бы.

Этот резистор выбран как с очень низким значением для минимального воздействия на поведение схемы.

резонансный контур
 v1 1 0 ac 1 грех
 г1 1 2 100
 c1 2 0 10u
 rbogus 1 3 1e-12
 l1 3 0 100м
 .ac lin 20 100 400
 .сюжет ac i (v1)
 .конец
 

Минимальный ток примерно при 180 Гц вместо 159,2 Гц! 

Результаты:

Сопротивление, включенное последовательно с C, сдвигает минимальный ток с расчетных 159,2 Гц до примерно 180 Гц.

Цепи LC серии

Обращая внимание на последовательные LC-цепи, мы экспериментируем с размещением значительных сопротивлений параллельно L или C. В следующих примерах последовательной цепи резистор 1 Ом (R1) включен последовательно с катушкой индуктивности и конденсатором для ограничения общего тока. при резонансе.

«Дополнительным» сопротивлением, вставленным для влияния на эффекты резонансной частоты, является резистор R2 на 100 Ом. Результаты показаны на рисунке ниже.

Резонансный контур серии LC с сопротивлением, включенным параллельно L.

резонансный контур
 v1 1 0 ac 1 грех
 г1 1 2 1
 c1 2 3 10u
 l1 3 0 100м
 г2 3 0100
 .ac lin 20 100 400
 .plot ac i (v1)
 .конец
 

Максимальный ток составляет примерно 178,9 Гц вместо 159.2 Гц! 

Результаты:

Последовательный резонансный контур с сопротивлением, параллельным L, сдвигает максимальный ток с 159,2 Гц до примерно 180 Гц.

И, наконец, последовательный LC-контур со значительным сопротивлением параллельно конденсатору. Сдвинутый резонанс показан ниже.

Резонансный контур серии LC с сопротивлением, параллельным C.

резонансный контур
 v1 1 0 ac 1 грех
 г1 1 2 1
 c1 2 3 10u
 г2 2 3 100
 l1 3 0 100м
 .ac lin 20 100 200
 .plot ac i (v1)
 .конец
 

 Максимальный ток при 136,8 Гц вместо 159,2 Гц! 

Результаты:

Сопротивление параллельно с C в последовательном резонансном контуре смещает максимум тока с расчетных 159,2 Гц примерно до 136,8 Гц.

Антирезонанс в LC-цепях

Тенденция добавления сопротивления к перекосу точки, в которой полное сопротивление достигает максимума или минимума в цепи LC, называется антирезонансом .Проницательный наблюдатель заметит закономерность между четырьмя приведенными выше примерами SPICE с точки зрения того, как сопротивление влияет на резонансный пик цепи:

Параллельный («бак») LC-контур:

• R последовательно с L: резонансная частота смещена вниз
• R последовательно с C: резонансная частота смещена вверх

Последовательный контур LC:

• R параллельно с L: резонансная частота смещена вверх
• R параллельно с C: резонансная частота смещена вниз

Опять же, это иллюстрирует взаимодополняющий характер конденсаторов и катушек индуктивности: как сопротивление, включенное последовательно с одним, создает антирезонансный эффект, эквивалентный сопротивлению, подключенному параллельно с другим.Если вы посмотрите еще ближе к четырем приведенным примерам SPICE, вы увидите, что частоты сдвинуты на на ту же величину , и что форма дополнительных графиков является зеркальным отображением друг друга!

Антирезонанс — это эффект, о котором разработчики резонансных цепей должны знать. Уравнения для определения «сдвига» антирезонанса сложны и не будут рассматриваться в этом кратком уроке. Начинающему электронике должно быть достаточно понять, что эффект существует и каковы его общие тенденции.

Кожный эффект

Добавленное сопротивление в цепи LC не имеет академического значения. Хотя можно производить конденсаторы с незначительным нежелательным сопротивлением, индукторы обычно имеют значительное сопротивление из-за большой длины проводов, используемых в их конструкции.

Более того, сопротивление провода имеет тенденцию увеличиваться с увеличением частоты из-за странного явления, известного как скин-эффект , когда переменный ток имеет тенденцию исключаться из прохождения через самый центр провода, тем самым уменьшая эффективную площадь поперечного сечения провода.

Таким образом, индукторы имеют не только сопротивление, но и изменяющееся, частотно-зависимое, сопротивление.

Добавленное сопротивление в цепях

Как будто сопротивления провода индуктора недостаточно, чтобы вызвать проблемы, мы также должны бороться с «потерями в сердечнике» индукторов с железным сердечником, которые проявляются как дополнительное сопротивление в цепи.

Поскольку железо является проводником электричества, а также проводником магнитного потока, изменение потока, создаваемого переменным током через катушку, будет иметь тенденцию индуцировать электрические токи в самом сердечнике ( вихревые токи ).

Этот эффект можно представить, как если бы железный сердечник трансформатора был чем-то вроде вторичной катушки трансформатора, питающей резистивную нагрузку: неидеальная проводимость металлического железа. Этот эффект можно свести к минимуму с помощью ламинированных сердечников, высококачественных материалов с хорошей конструкцией сердечника, но полностью устранить их невозможно.

Цепи RLC

Одним заметным исключением из правила сопротивления цепи, вызывающего сдвиг резонансной частоты, является случай цепей последовательно резистор-индуктор-конденсатор («RLC»).Пока все компоненты соединены последовательно друг с другом, на резонансную частоту цепи не влияет сопротивление. Полученный график показан ниже.

Серия LC с последовательным сопротивлением.

последовательная цепь rlc
 v1 1 0 ac 1 грех
 г1 1 2 100
 c1 2 3 10u
 l1 3 0 100м
 .ac lin 20 100 200
 .plot ac i (v1)
 .конец
 

 И снова максимальный ток при 159,2 Гц! 

Результаты:

Сопротивление в последовательном резонансном контуре оставляет максимальный ток равным 159.2 Гц, расширяя кривую.

Обратите внимание, что пик на графике тока не изменился по сравнению с более ранней последовательной LC-схемой (той, в которой было сопротивление токена 1 Ом), даже несмотря на то, что сопротивление теперь в 100 раз больше. Единственное, что изменилось, — это «резкость» кривой.

Очевидно, что эта схема не резонирует так сильно, как схема с меньшим последовательным сопротивлением (она называется «менее избирательной»), но, по крайней мере, она имеет такую ​​же собственную частоту!

Антирезонансный эффект демпфирования

Примечательно, что антирезонанс имеет эффект гашения колебаний автономных LC-контуров, таких как контуры резервуара.В начале этой главы мы видели, как конденсатор и катушка индуктивности, соединенные напрямую вместе, будут действовать как маятник, обмениваясь пиками напряжения и тока, точно так же, как маятник обменивается кинетической и потенциальной энергией.

В идеальном контуре резервуара (без сопротивления) это колебание будет продолжаться вечно, точно так же, как маятник без трения продолжит вечно качаться на своей резонансной частоте. Но машины без трения трудно найти в реальном мире, как и схемы танков без потерь.

Энергия, потерянная через сопротивление (или потери в сердечнике индуктора, или излучаемые электромагнитные волны, или …) в контуре резервуара, вызовет затухание колебаний по амплитуде до тех пор, пока они не исчезнут. Если в контуре резервуара присутствует достаточное количество потерь энергии, он вообще не сможет резонировать.

Антирезонансный эффект

— это больше, чем просто любопытство: его можно довольно эффективно использовать для устранения нежелательных колебаний в схемах, содержащих паразитные индуктивности и / или емкости, как это делают почти все схемы.Обратите внимание на следующую схему задержки времени L / R: (рисунок ниже)

Схема задержки времени L / R

Идея этой схемы проста: «заряжать» катушку индуктивности при замкнутом переключателе. Скорость зарядки индуктора будет установлена ​​отношением L / R, которое представляет собой постоянную времени цепи в секундах.

Однако, если вы построите такую ​​схему, вы можете обнаружить неожиданные колебания (переменного тока) напряжения на катушке индуктивности, когда переключатель замкнут.(Рисунок ниже) Почему это? В цепи нет конденсатора, так как же мы можем получить резонансные колебания с помощью только катушки индуктивности, резистора и батареи?

Звон индуктора из-за резонанса с паразитной емкостью.

Все катушки индуктивности содержат определенную паразитную емкость из-за межвитковых и межвитковых изоляционных промежутков. Кроме того, размещение проводников схемы может создать паразитную емкость. Хотя чистая компоновка схемы важна для устранения большей части этой паразитной емкости, всегда будут такие, которые вы не сможете устранить.

Если это вызывает резонансные проблемы (нежелательные колебания переменного тока), дополнительное сопротивление может быть способом борьбы с ними. Если резистор R достаточно велик, это вызовет состояние антирезонанса, рассеивая достаточно энергии, чтобы индуктивность и паразитная емкость не могли поддерживать колебания в течение очень длительного времени.

Интересно, что принцип использования сопротивления для устранения нежелательного резонанса часто используется при проектировании механических систем, где любой движущийся объект с массой является потенциальным резонатором.

Очень распространенное применение этого — использование амортизаторов в автомобилях. Без амортизаторов автомобили будут сильно подпрыгивать на своей резонансной частоте после столкновения с любой неровностью на дороге. Работа амортизатора заключается в создании сильного антирезонансного эффекта за счет гидравлического рассеивания энергии (таким же образом, как резистор рассеивает энергию электрически).

ОБЗОР:

• Дополнительное сопротивление LC-цепи может вызвать состояние, известное как антирезонанс , когда эффекты пикового импеданса возникают на частотах, отличных от тех, которые дают равные емкостные и индуктивные реактивные сопротивления.
• Сопротивление, присущее реальным катушкам индуктивности, может в значительной степени способствовать возникновению антирезонанса. Одним из источников такого сопротивления является скин-эффект , вызванный исключением переменного тока из центра проводников. Другой источник — это потерь в сердечнике в индукторах с железным сердечником.
• В простой последовательной LC-цепи, содержащей сопротивление (цепь «RLC»), сопротивление , а не , создает антирезонанс. Резонанс все еще возникает, когда емкостное и индуктивное сопротивление равны.

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ:

8.2: Последовательный резонанс — Разработка LibreTexts

Начнем с простейшей схемы RLC; один, состоящий из одного источника напряжения, включенного последовательно с одним резистором, катушкой индуктивности и конденсатором, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {1} \). Особый интерес представляет то, как общий импеданс изменяется в частотном спектре и какое влияние это оказывает на ток и три составляющих напряжения.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): последовательная цепь RLC.

Импеданс, видимый источником, представляет собой просто сумму трех компонентов, или

\ [Z = R + jX_L — j X_C \ nonumber \]

Это может быть расширено до

\ [Z = = R + j 2 \ pi f L −j \ frac {1} {2 \ pi f C} \ nonumber \]

Интересно то, что первый член не является функцией частоты, второй член прямо пропорционален частоте, а третий обратно пропорционален частоте. Кроме того, учитывая, что положительное и отрицательное реактивные сопротивления ведут себя противоположно, кажется, что на некоторой частоте они могут уравновешиваться, оставляя только сопротивление.

Чтобы уточнить это, мы ожидаем, что на низких частотах конденсатор будет преобладать над импедансом. Другими словами, \ (X_C \) будет наибольшим из трех омических значений. Это означает, что общий импеданс будет имитировать как величину, так и фазу емкостного реактивного сопротивления. С другой стороны, на очень высоких частотах индуктор будет преобладать над импедансом. \ (X_L \) будет наибольшим из трех значений. В этой области суммарный импеданс будет отражать импеданс катушки индуктивности.Короче говоря, на низких частотах величина импеданса будет большой, и цепь будет казаться емкостной, в то время как на высоких частотах величина импеданса будет большой, и цепь будет казаться индуктивной. В середине все становится интересно.

График сопротивления или реактивного сопротивления трех элементов показан на рисунке \ (\ PageIndex {2} \). Сумма трех также показана (красным). На оси частот используется логарифмическая шкала, чтобы показать симметричный характер комбинированной кривой импеданса.

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): изменение последовательного импеданса по частоте.

Углубление в центре соответствует импедансу, равному \ (R \). На этой частоте емкостное и индуктивное реактивные сопротивления равны по величине и эффективно компенсируют друг друга. Остается только резистивный компонент \ (R \). Эта частота называется резонансной и обозначается как \ (f_0 \).

\ [\ text {Последовательная резонансная частота} f_0, \ text {- это частота, при которой значения индуктивного и емкостного сопротивлений равны.} \ label {8.1} \]

Это означает, что коэффициент мощности в резонансе равен единице. Кроме того, в реальной цепи \ (R \) — это комбинация последовательного сопротивления плюс любое сопротивление катушки индуктивности. Мы можем вывести формулу для \ (f_0 \) следующим образом. Определение заявляет, что величина \ (X_L \) должна равняться величине \ (X_C \). 2 LC} \\ f_0 = \ frac {1} {2 \ pi \ sqrt {LC}} \ label {8.{\ circ} \)). Этот коэффициент формы описывается параметром \ (Q \). Чем круче или уже кривая, тем выше \ (Q \).

Учитывая источник постоянного напряжения, неудивительно, что график результирующего тока будет инверсией кривой импеданса. Это показано на рисунке \ (\ PageIndex {3} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): последовательный ток в зависимости от частоты.

Если мы масштабируем кривые так, чтобы они обе имели нормализованный пик единицы, разницу в формах можно было бы немного легче увидеть.Это показано на рисунке \ (\ PageIndex {4} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Нормированный последовательный ток в зависимости от частоты.

Здесь мы можем более точно определить \ (Q \). В частности, «резкость» кривой связана с половинной мощностью или частотами «-3 дБ», \ (f_1 \) и \ (f_2 \). ¹ Это частоты, на которых ток (при условии возбуждения источника напряжения) падает до 0,707 от максимального значения в резонансе. Следовательно, они представляют собой частоты, на которых мощность упадет до половины максимального значения, наблюдаемого при резонансе (напомним, что мощность изменяется как квадрат тока и 0.707 в квадрате составляет примерно 0,5). \ (f_1 \) находится ниже \ (f_0 \), а \ (f_2 \) находится выше. Разница между этими двумя частотами называется полосой пропускания, BW.

\ [BW = f_2 — f_1 \ label {8.3} \]

\ [Q_ {circuit} = \ frac {f_0} {BW} \ label {8.4} \]

Связь между этими переменными проиллюстрирована на рисунке \ (\ PageIndex {5} \). Вертикальная ось отображается в процентах от максимума. Для последовательного резонансного контура, управляемого источником напряжения, эта ось — ток; однако, как мы увидим, это может быть напряжение в случае параллельного резонансного контура.Если этот график сравнить с кривыми на рисунке \ (\ PageIndex {4} \), должно быть очевидно, что для нижних цепей \ (Q \) \ (f_1 \) и \ (f_2 \) расходятся, удаляясь от резонансной частоты \ (f_0 \). Таким образом, для любого заданного \ (f_0 \) меньшее значение \ (Q \) означает более широкую (большую) пропускную способность.

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): расположение \ (f_1 \) и \ (f_2 \) и определение полосы пропускания (BW).

Резонансная частота \ (f_0 \), как правило, неравномерно расположена между \ (f_1 \) и \ (f_2 \). Фактически, он находится в их среднем геометрическом.2} +1} \ label {8.7} \]

\ [f_1 = \ frac {f_0} {k_0} \ label {8.8} \]

\ [f_2 = f_0 \ times k_0 \ label {8.9} \]

Для более высоких схем \ (Q \) (\ (Q_ {circuit} \ geq 10 \)) мы можем аппроксимировать симметрию, и, таким образом,

\ [f_1 \ приблизительно f_0 — \ frac {BW} {2} \ label {8.10} \]

\ [f_2 \ приблизительно f_0 + \ frac {BW} {2} \ label {8.11} \]

Как упоминалось ранее, \ (Q \) может быть функцией либо \ (R \), либо отношения \ (L / C \). На рисунках \ (\ PageIndex {6} \) и \ (\ PageIndex {7} \) у нас есть кривые импеданса для двух случаев.Ось частот нормирована на \ (f_0 \) (т.е. \ (f_0 \) равно единице). На рисунке \ (\ PageIndex {6} \) мы изменяем значение сопротивления, чтобы увидеть, как оно влияет как на величину, так и на фазу импеданса по частоте. Рисунок \ (\ PageIndex {7} \) аналогичен, за исключением того, что мы меняем соотношение индуктивности и конденсатора.

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): Величина и фаза импеданса для изменения сопротивления.

Сначала посмотрев на фазу (синяя, левая ось), мы увидим в обоих случаях, что схемы с высоким \ (Q \) демонстрируют быстрый переход от отрицательного (емкостного) угла фазы к положительному (индуктивному) углу фазы.Мы также заметили, что фазовый сдвиг достигает нуля при \ (f_0 \), что означает единичный коэффициент мощности.

Графики величины импеданса показывают немного иную картину. Хотя верно, что более высокие графики \ (Q \) более резкие, они достигают этого с помощью других механизмов. В случае резистора меньшее значение \ (Q \) достигается за счет большего сопротивления. Это приводит к притуплению кончика кривой и снижению тока в точке \ (f_0 \) по сравнению со случаем высокого значения \ (Q \) (как показано на рисунке \ (\ PageIndex {3} \)).Напротив, уменьшение \ (Q \) за счет уменьшения отношения катушки индуктивности / конденсатора уширяет всю кривую. Величина импеданса на провале не меняется, и, следовательно, ток на \ (f_0 \) не меняется. На практике \ (Q \) для последовательной цепи, \ (Q_ {series} \), также может быть определено отношением реактивного сопротивления цепи к общему последовательному сопротивлению в резонансе.

\ [Q_ {series} = \ frac {X_0} {R_T} \ label {8.12} \]

Где

\ (Q_ {series} \) — это \ (Q \) последовательного резонансного контура (т.е.е., \ (Q_ {circuit} \) для серии),

\ (R_T \) — полное последовательное сопротивление (\ (R_ {серия} + R_ {катушка} \)),

\ (X_0 \) — реактивное сопротивление (либо \ (X_L \), либо \ (X_C \)) при \ (f_0 \).

Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): Величина и фаза импеданса для изменения соотношения индуктивности / конденсатора. 2}} {R_T} \ nonumber \]

В резонансе \ (X_L \) и \ (X_C \) имеют одинаковую величину, поэтому мы также можем сказать:

\ [Q_ {series} = \ frac {\ sqrt {X_L X_C}} {R_T} \ nonumber \]

\ [Q_ {series} = \ frac {1} {R_T} \ sqrt {X_L X_C} \ nonumber \]

\ [Q_ {series} = \ frac {1} {R_T} \ sqrt {\ frac {2 \ pi f L} {2 \ pi f C}} \ nonumber \]

Что упрощается до:

\ [Q_ {series} = \ frac {1} {R_T} \ sqrt {\ frac {L} {C}} \ label {8.13} \]

Влияние Q на напряжения компонентов

\ (Q \) создаст эффект умножения на напряжения катушки индуктивности и конденсатора при резонансе. В \ (f_0 \) ток в цепи будет равен напряжению источника, деленному на \ (R \), потому что \ (X_C \) и \ (X_L \) отменяются. Этот ток также протекает через конденсатор и катушку индуктивности. Уравнение \ ref {8.12} показывает, что их реактивные сопротивления в \ (Q \) раз выше, чем \ (R \), и поэтому их напряжения будут в \ (Q \) раз выше, чем напряжение источника.KVL не нарушается, потому что напряжения на \ (L \) и \ (C \) сдвинуты по фазе на 180 градусов и компенсируют друг друга. По мере увеличения цепи \ (Q \) эффект умножения напряжения становится более выраженным. В крайних случаях можно создавать напряжения индуктивности и конденсатора, которые более чем в 100 раз превышают напряжение источника. По мере удаления от резонансной частоты эффект умножения уменьшается. На частотах намного ниже, чем \ (f_0 \), почти все напряжение источника будет появляться на конденсаторе с небольшими расходами на резистор и катушку индуктивности.На гораздо более высоких частотах почти весь потенциал источника появляется на катушке индуктивности, и ничего не видно на конденсаторе или резисторе. Это можно увидеть на рисунке \ (\ PageIndex {8} \), где напряжение источника равно единице.

По мере уменьшения \ (Q \) не только уменьшаются напряжения конденсатора и катушки индуктивности, но и возникает другой эффект. При относительно высоких значениях \ (Q \), скажем, 10 или более, максимальные напряжения конденсатора и катушки индуктивности возникают примерно на уровне \ (f_0 \). При более низких значениях \ (Q \) пики имеют тенденцию расходиться друг от друга, при этом пик конденсатора ниже \ (f_0 \), а пик индуктивности выше \ (f_0 \).Это показано на рисунке \ (\ PageIndex {9} \) (опять же, источник — единица).

Рисунок \ (\ PageIndex {8} \): Последовательный резонанс: напряжения компонентов для высоких \ (Q \). Рисунок \ (\ PageIndex {9} \): Последовательный резонанс: напряжения компонентов для низких \ (Q \).

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Рассмотрим последовательную схему на рисунке \ (\ PageIndex {10} \) со следующими параметрами: источник — пик 10 вольт, \ (L \) = 1 мГн, \ (C \) = 1 нФ и \ (R = 50 \ Омега \). Найдите резонансную частоту, систему \ (Q \) и ширину полосы, а также частоты половинной мощности \ (f_1 \) и \ (f_2 \).

Рисунок \ (\ PageIndex {10} \): Схема для примера \ (\ PageIndex {1} \).

Начнем с нахождения резонансной частоты.

\ [f_0 = \ frac {1} {2 \ pi \ sqrt {LC}} \ nonumber \]

\ [f_0 = \ frac {1} {2 \ pi \ sqrt {1e-3 \ cdot 1e-9}} \ nonumber \]

\ [f_0 = 159 кГц \ nonumber \]

Теперь мы находим величину индуктивного реактивного сопротивления и, исходя из этого, систему \ (Q_ {series} \) с помощью уравнения \ ref {8.12}.

\ [X_L = 2 \ pi f_0 L \ nonumber \]

\ [X_L = 2 \ pi 159 кГц 1 мГн \ nonumber \]

\ [X_L = 1000 \ Omega \ nonumber \]

\ [Q_ {series} = \ frac {X_L} {R_T} \ nonumber \]

\ [Q_ {series} = \ frac {1000 \ Omega} {50 \ Omega} \ nonumber \]

\ [Q_ {series} = 20 \ nonumber \]

Зная \ (Q \), полосу пропускания и угловые частоты можно найти с помощью Уравнений \ ref {8.4}, \ ref {8.10} и \ ref {8.11}.

\ [BW = \ frac {f_0} {Q} \ nonumber \]

\ [BW = \ frac {159 кГц} {20} \ nonumber \]

\ [BW = 7,95 кГц \ nonumber \]

\ [f_1 = f_0 — \ frac {BW} {2} \ nonumber \]

\ [f_1 = 159 кГц — \ frac {7,95 кГц} {2} \ nonumber \]

\ [f_1 \ приблизительно 155 кГц \ nonumber \]

\ [f_2 = f_0 + \ frac {BW} {2} \ nonumber \]

\ [f_2 = 159 кГц + \ frac {7,95 кГц} {2} \ nonumber \]

\ [f_2 \ приблизительно 163 кГц \ nonumber \]

При пиковом источнике 10 вольт напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности на резонансной частоте 159 кГц будут в \ (Q \) раз больше, или на 200 вольт.На более высоких или более низких частотах увеличенный импеданс снижает ток, а также снижает напряжение на компонентах. На низких частотах большая часть источника возникает на конденсаторе, в то время как на высоких частотах напряжение индуктора приближается к напряжению источника.

Нефтепереработка серии Q

Как отмечалось в главе 2, все катушки индуктивности имеют некоторое последовательное сопротивление, связанное с ними, обычно называемое \ (R_ {катушка} \). Это сопротивление необходимо включить как часть общего сопротивления цепи, добавив к любому другому последовательному сопротивлению.Хотя сопротивление катушки постоянному току можно измерить с помощью цифрового мультиметра, это не обязательно даст точное значение на высоких частотах. Таким образом, предпочтительный метод состоит в том, чтобы определить \ (Q_ {катушка} \) на желаемой частоте из спецификации катушки индуктивности и, используя рассчитанное реактивное сопротивление на этой частоте, определить значение \ (R_ {катушка} \). Пример такой кривой показан на рисунке \ (\ PageIndex {11} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {11} \): Индуктор \ (Q \) график.

Например, используя кривую A, \ (Q_ {coil} \) на 100 кГц приблизительно равно 90.Если на этой частоте \ (X_L \) равно 450 \ (\ Omega \), то \ (R_ {coil} \) будет 450 \ (\ Omega / 90 \) или 5 \ (\ Omega \).

Фактически, \ (Q_ {coil} \) устанавливает потолок для \ (Q \) последовательного резонансного контура, \ (Q_ {series} \). То есть система \ (Q \) никогда не может быть выше катушки \ (Q \). Для этого потребуется меньшее сопротивление в контуре, чем \ (R_ {катушка} \), что практически невозможно. Также стоит отметить, что \ (R_ {катушка} \) создаст отклонение напряжения индуктора по сравнению с идеальным случаем.Это связано с тем, что \ (v_L \) покрывает комбинацию индуктивного реактивного сопротивления последовательно с \ (R_ {катушка} \), поэтому величина будет несколько больше ожидаемой, а угол будет меньше 90 градусов. Эти отклонения, как правило, довольно малы, если только \ (Q \) катушки индуктивности не достаточно низкое, а оставшееся сопротивление цепи не намного больше, чем \ (R_ {катушка} \).

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

Для схемы на рисунке \ (\ PageIndex {11} \) определите резонансную частоту, систему \ (Q \), полосу пропускания и идеальное максимальное напряжение на каждом из трех компонентов.Используйте кривую A на рисунке \ (\ PageIndex {11} \) для индуктора.

Рисунок \ (\ PageIndex {12} \): Схема для примера \ (\ PageIndex {2} \).

Первый важный момент — найти резонансную частоту.

\ [f_0 = \ frac {1} {2 \ pi \ sqrt {LC}} \ nonumber \]

\ [f_0 = \ frac {1} {2 \ pi \ sqrt {22e-3 H50e-9F}} \ nonumber \]

\ [f_0 = 4,8 кГц \ nonumber \]

Индуктивное реактивное сопротивление:

\ [X_L = 2 \ pi f_0 L \ nonumber \]

\ [X_L = 2 \ pi 4,8 кГц 22 мГн \ nonumber \]

\ [X_L = 663.3 \ Omega \ nonumber \]

На графике \ (Q_ {катушка} \) примерно 95, то есть \ (R_ {катушка} \) равно:

\ [R_ {катушка} = \ frac {X_L} {Q_ {катушка}} ​​\ nonumber \]

\ [R_ {coil} = \ frac {663.3 \ Omega} {95} \ nonumber \]

\ [R_ {катушка} = 7 \ Omega \ nonumber \]

В сочетании с резистором 140 \ (\ Omega \) у нас остается 147 \ (\ Omega \), что примерно на 5% больше, чем если бы мы его проигнорировали. Система \ (Q \):

\ [Q_ {series} = \ frac {X_L} {R_T} \ nonumber \]

\ [Q_ {series} = \ frac {663.3 \ Omega} {147 \ Omega} \ nonumber \]

\ [Q_ {series} = 4.51 \ nonumber \]

\ (Q \) находится на низком уровне, но не в высшей степени. Теперь о пропускной способности:

\ [BW = \ frac {f_0} {Q} \ nonumber \]

\ [BW = \ frac {4.8 кГц} {4.51} \ nonumber \]

\ [BW = 1,06 кГц \ nonumber \]

В идеале, при \ (f_0 \) мы ожидаем, что \ (v_R \) будет равняться источнику пикового напряжения 1 вольт, в то время как напряжения катушки индуктивности и конденсатора будут в \ (Q \) раз больше, или примерно 4,5 вольт пикового значения.{\ circ} \ Omega \). Система \ (Q \) относительно низкая (\ (<10 \)), поэтому пики \ (v_C \) и \ (v_L \) немного сместятся от \ (f_0 \), с \ (v_C \) пик с немного меньшей частотой и \ (v_L \) немного выше.

Компьютерное моделирование

Особый интерес в предыдущем примере представляет точная форма характеристик компонентов в зависимости от частоты. Это может быть произведено с помощью моделирования переменного тока или частотной области. Схема на рисунке \ (\ PageIndex {12} \) захватывается симулятором, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {13} \), и модифицируется путем добавления сопротивления катушки индуктивности ниже индуктора.

Интересующие элементы — это сетевое напряжение резистора, которое появляется между узлами 1 и 2, напряжение конденсатора между узлами 2 и 3 и напряжение катушки индуктивности, которое появляется от узла 3 к земле. Анализ выполняется в диапазоне от 500 Гц до 50 кГц, что дает нам коэффициент 10 по частоте по обе стороны от \ (f_0 \), как показано на рисунке \ (\ PageIndex {14} \). Во-первых, пики, как и ожидалось, чуть ниже 5 кГц. Напряжение резистора (синий) составляет около 0,95 В, а напряжения индуктора (красный) и конденсатора (зеленый) — около 4.5 вольт, по расчету.

Рисунок \ (\ PageIndex {13} \): Схема примера \ (\ PageIndex {2} \) в симуляторе.

Также обратите внимание, что существует небольшой разброс между пиками напряжений конденсатора и катушки индуктивности, причем \ (v_C \) немного ниже \ (f_0 \) и \ (v_L \) немного выше, опять же, как и ожидалось. На самых низких частотах весь источник появляется на конденсаторе, в то время как на самых высоких частотах весь источник появляется на катушке индуктивности. Обратите внимание на сходство между этими кривыми и кривыми на рисунках \ (\ PageIndex {8} \) и \ (\ PageIndex {9} \)

Рисунок \ (\ PageIndex {14} \): зависимость напряжения от частоты для каждого из трех компонентов схемы на рисунке \ (\ PageIndex {13} \).

А теперь сменим темп; проблема дизайна.

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

Спроектируйте последовательный резонансный контур с резонансной частотой 100 кГц и полосой пропускания 2 кГц, используя катушку индуктивности 10 мГн. Предполагается, что индуктор следует кривой B на рисунке \ (\ PageIndex {14} \). 2 10 мГн} \ nonumber \]

\ [C = 253.3 пФ \ nonumber \]

Зная полосу пропускания и резонансную частоту, можно найти систему \ (Q \):

\ [Q_ {series} = \ frac {f_0} {BW} \ nonumber \]

\ [Q_ {series} = \ frac {100 кГц} {2 кГц} \ nonumber \]

\ [Q_ {series} = 50 \ nonumber \]

При резонансе индуктивное сопротивление будет:

.

\ [X_L = 2 \ pi f_0 L \ nonumber \]

\ [X_L = 2 \ pi 100 кГц 10 мГн \ nonumber \]

\ [X_L = 6283 \ Omega \ nonumber \]

Приведенное выше говорит нам, что полное последовательное сопротивление должно быть:

\ [R_ {series} = \ frac {X_L} {Q_ {series}} \ nonumber \]

\ [R_ {series} = \ frac {6283 \ Omega} {50} \ nonumber \]

\ [R_ {series} = 125.7 \ Omega \ nonumber \]

Кривая B показывает, что \ (Q_ {coil} \) составляет приблизительно 115 при 100 кГц. Таким образом, \ (R_ {coil} \) равно:

\ [R_ {катушка} = \ frac {X_L} {Q_ {катушка}} ​​\ nonumber \]

\ [R_ {катушка} = \ frac {6283 \ Omega} {115} \ nonumber \]

\ [R_ {катушка} = 54,6 \ Omega \ nonumber \]

Следовательно, мы должны добавить \ (125.7 \ Omega — 54.6 \ Omega \) или \ (71.1 \ Omega \) к последовательной сети, чтобы получить желаемую систему \ (Q \). В противном случае значение \ (Q \) будет намного выше, чем указано, что приведет к значительному снижению пропускной способности.Завершенный дизайн показан на рисунке \ (\ PageIndex {15} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {15} \): Завершенный проект схемы для примера \ (\ PageIndex {3} \).

Список литературы

¹ Децибелы подробно описаны в главе 10.

Сопротивление

— Почему полное сопротивление в параллельном резонансном контуре максимально при резонансе?

Другие ответы касались концепции, я сосредоточусь на математике.

Вы спросите, похоже ли это на параллельное соединение двух резисторов, ответ — да , но формула, которую вы используете при работе с импедансом, требует комплексных чисел, и это загвоздка.

Если два двухконтактных элемента импеданса \ $ Z_1 \ $ и \ $ Z_2 \ $ параллельны, они эквивалентны одному импедансу, значение которого рассчитывается по той же формуле, которую вы используете для параллельных резисторов:

\ [
Z_ {eq} = \ dfrac {1} {\ dfrac 1 Z_1 + \ dfrac 1 Z_2} = \ dfrac {Z_1 \ cdot Z_2} {Z_1 + Z_2}
\]

проблема в том, что если два импеданса являются комплексными числами.

Рассмотрим интересующий вас случай: параллельный резонансный контур, то есть конденсатор, подключенный параллельно катушке индуктивности, где я представлю резистивные компоненты как резисторы, параллельные этим двум элементам (для упрощения математики, иначе вы могли бы представить последовательное сопротивление катушки индуктивности и ESR конденсатора с двумя резисторами, подключенными последовательно к реактивным элементам, если хотите).В этом случае вы получите:

\ [
Z_1 = \ dfrac {1} {j 2 \ pi C f}
\ qquad
Z_2 = j 2 \ pi L f
\ qquad
Z_3 = R
\]

Их эквивалентное сопротивление:

\ [
Z_ {eq} = \ dfrac {1} {\ dfrac 1 Z_1 + \ dfrac 1 Z_2 + \ dfrac 1 Z_2}
= \ dfrac {1} {j 2 \ pi C f + \ dfrac {1} {j 2 \ pi L f} + \ dfrac 1 R}
\]

Чтобы упростить математику, я использую эквивалентную проводимость \ $ Y_ {eq} = \ dfrac 1 Z_ {eq} \ $ и покажу вам, что при резонансе его величина минимальна, что означает, что величина импеданса максимальна.2 = 0
\ quad \ Leftrightarrow \ quad
f = \ dfrac 1 {\ sqrt {2 \ pi L C}} = f_r
\]

где \ $ f_r \ $ — резонансная частота контура.

Подставив \ $ f = f_r \ $ в выражение \ $ \ left | Y_ {eq} \ right | \ $ и выполнив небольшую математику, вы получите:

\ [
\ left | Z_ {eq (резонанс)} \ right | = \ dfrac 1 {\ left | Y_ {eq (резонанс)} \ right |} = R
\]

Таким образом, для параллельного резонансного контура , величина импеданса , максимальна на резонансной частоте \ $ f_r \ $, и его значение равно резистивной части \ $ R \ $ импеданса.

Серия тренингов по электричеству и электронике ВМС (NEETS), модуль 9-1

.