R sin фи: Построение графика функции в полярных координатах · Калькулятор Онлайн

Построение графика функции в полярных координатах · Калькулятор Онлайн

Введите график функции

Важно 
phi должно лежать в правильном промежутке, иначе график не сможет построиться

Построим график функции в полярных координатах r=r(φ),
где 0 <= φ <= 2π,
но вы можете задать свои границы φ.
Задайте также полярную функцию r(φ).

Примеры кривых

1
p в [0, 2*pi]

2*p
p в [0, 8*pi]

1 - sin(p)
p в [0, 2*pi]

2 - 4*sin(p)
p в [0, 2*pi]

1/(1 - cos(p))
p в [0, 2*pi]

sin(6*p)
p в [0, 2*pi]

sin(3*p/4)
p в [0, 8*pi]

exp(sin(p)) - 2*cos(4*p) + sin((2*p - pi)/24)^5
p в [-8*pi, 8*pi]

2 - 2*sin(p) + sin(p)*sqrt(|cos(p)|)/(sin(p) + 1.4)
p в [0, 2*pi]

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

absolute(x)

Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)

arccos(x)

Функция — арккосинус от x

arccosh(x)

Арккосинус гиперболический от x

arcsin(x)

Арксинус от x

arcsinh(x)

Арксинус гиперболический от x

arctg(x)

Функция — арктангенс от x

arctgh(x)

Арктангенс гиперболический от x

e

e число, которое примерно равно 2.7

exp(x)

Функция — экспонента от x (что и e^x)

log(x) or ln(x)

Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))

pi

Число — «Пи», которое примерно равно 3.14

sin(x)

Функция — Синус от x

cos(x)

Функция — Косинус от x

sinh(x)

Функция — Синус гиперболический от x

cosh(x)

Функция — Косинус гиперболический от x

sqrt(x)

Функция — квадратный корень из x

sqr(x) или x^2

Функция — Квадрат x

tg(x)

Функция — Тангенс от x

tgh(x)

Функция — Тангенс гиперболический от x

cbrt(x)

Функция — кубический корень из x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа

вводить в виде 7.5, не 7,5

2*x

— умножение

3/x

— деление

x^3

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

Другие функции:

floor(x)

Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)

ceiling(x)

Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)

sign(x)

Функция — Знак x

erf(x)

Функция ошибок (или интеграл вероятности)

laplace(x)

Функция Лапласа

Mathway | Популярные задачи

Как нарисовать звезду (и не только) в полярных координатах / Хабр

Вопрос о формуле для многоугольника в полярных координатах регулярно возникает на тематических ресурсах — и так же регулярно остаётся без внятного ответа. В лучшем случае попадается решение через функцию остатка от деления — что не является «чистым» с математической точки зрения, поскольку не позволяет производить над функцией аналитические преобразования. Видимо, настоящие математики слишком заняты решением проблем тысячелетия и поисками простого доказательства теоремы Ферма, чтобы обращать внимание на подобные банальные задачи. К счастью, в этом вопросе воображение важнее знания, и для решения этой задачи не нужно быть профессором топологических наук — достаточно знания школьного уровня.

Формула для равностороннего многоугольника в полярных координатах выглядит очень просто

и имеет следующие параметры:

— угол;
— количество выпуклых вершин;
— определяет, через какое количество вершин стороны будут лежать на одной прямой. Для него допустимы и отрицательные значения — от знака будет зависеть, в какую сторону будет выгибаться звезда;
— жёсткость — при мы получим окружность вне зависимости от прочих параметров, при — многоугольник с прямыми линиями, при промежуточных значениях от до — промежуточные фигуры между окружностью и многоугольником.

С этой формулой можно нарисовать звезду двумя путями:

1)

2) . В этом случае требуется сделать два оборота вместо одного:

Параметр влияет на многоугольник следующим образом (здесь он изменяется от -1 до 5):

Параметр в анимации:

Комплексная форма и модификации

Можно переписать исходную формулу в комплексном виде, и, несмотря на наличие в ней мнимых единиц, значение радиуса по-прежнему будет оставаться действительным:

На первый взгляд это может показаться бессмысленным, поскольку формула стала чуть более громоздкой — но не стоит спешить с выводами. Во-первых, в ней отсутствует арксинус, что полностью меняет математический смысл формулы и позволяет по-другому посмотреть на построение звёздчатого многоугольника. Во-вторых, из неё также можно получить компактные формулы для частных случаев, например . В-третьих (и самое интересное), её можно творчески модифицировать и получать другие, неожиданные формы. Для того, чтобы появление возможной мнимой компоненты в радиусе не вызывало неоднозначности при вычислении, можно её сразу привести к декартовым координатам умножением на . Вот примеры некоторых модификаций:

Как вы наверняка заметили, вращение вектора перестало быть равномерным — и именно из-за появления мнимой составляющей в радиусе.

Квадрокруги и прочее

У нашей формулы есть замечательный частный случай — квадрат, формулу для которого можно выписать как

или

(выбирайте, какая больше нравится).

В чуть более развёрнутом случае можно определить промежуточные фигуры между кругом и квадратом через точку на плоскости

Можно также добавить вариативности этим фигурам с сохранением условия прохождения их через точку — модулируя непосредственно сам параметр в зависимости от угла таким образом, чтобы при прохождении через диагонали его множитель был равен единице. Например, подставив вместо функцию , мы получим дополнительный параметр , которым можно регулировать дополнительные изгибы. В частности, для получится следующее:

В ещё более развёрнутом случае можно определить не просто квадрат — а прямоугольник, и по прежнему в полярных координатах:

И даже посчитать его площадь (через эллиптические интегралы):

Это позволит делать профили с переходом из окружности в прямоугольник с контролируемой площадью сечения. Здесь площадь константна:
А здесь площадь расширяется по экспоненциальному закону:

Переход к декартовым координатам

Любую формулу в полярных координатах можно выразить через уравнение в декартовых координатах, причём как минимум двумя способами — в зависимости от чего будет изменяться вид градиента на границе фигуры. Для этого достаточно посчитать угол через арктангенс от координат и привести формулу к константе через радиус-вектор вычитанием

или делением

Второй вариант предпочтительнее, поскольку даёт прямые градиенты вдоль сторон многоугольника.
Примечание
Здесь также нужно помнить, что в точке (0,0) возникает неопределенность из-за деления на ноль — которая, впрочем, легко разрешается через предел (который будет равным в первом случае и нулю во втором).

Выражение также можно упростить до , коэффициенты числителя которого при разложении образуют знакочередующий вариант последовательности A034839.

Значение формулы из правой части уравнения (во 2-м случае) будет меняться от до если точка попадает внутрь фигуры, и от до бесконечности — если нет. Выбирая различные функции для преобразования её в яркость, можно получать различные варианты растеризации. Для экспоненты ( для первого и для второго варианта) получим
или, если с насыщением

Можно использовать классический фильтр нижних частот , в котором — порядок фильтра, определяющий степень затухания.

Для первого варианта:

И для второго:

Можно использовать и кусочно-непрерывную функцию, явно задавая границы интерполяции.

Помимо растеризации как таковой, можно задавать и деформации — например, сжать шахматную доску в круг:

Или даже натянуть её на сферу:

Appendix: как была получена формула

Классический стиль повествования в математических текстах состоит из чередования лемм/теорем и их доказательств — как если бы доказуемые утверждения появлялись у авторов в голове откровением свыше. И хотя в этом и бывает доля истины, чаще появлению формул предшествует некоторая исследовательская работа, описание которой может дать большее понимание их смысла, чем формальное доказательство; а верность утверждений, в свою очередь, можно проследить через верность шагов, к ним приведших.

Так и здесь — если бы статья началась с формулы в комплексной форме, то её появление было бы неочевидным и контр-интуитивным, а заявленные свойства требовали бы дополнительных доказательств. Но в тригонометрической форме записи историю её появления вполне возможно проследить.

1) начинаем с самого простого случая — задаче начертить прямую в полярных координатах. Для этого нужно решить уравнение , решение которого очевидно .

2) далее аргумент секанса нужно «зациклить», чтобы обеспечить изломы в прямой. Именно на этом этапе другие решения используют «грязный хак» в виде остатка от деления. Здесь же используется последовательное взятие прямой и обратной функции синуса —
Такой подход позволяет производить стандартные математические операции над получившейся формулой,
например
можно её продифференцировать и получить функцию для прямоугольной волны:

Благодаря этой же записи можно упростить функцию квадрата в полярных координатах до более эстетического вида, используя представление тригонометрический функций в комплексном виде. В Wolfram Mathematica это можно сделать с помощью функций TrigToExp и ExpToTrig:
Код

Sec[1/2 ArcSin[k Sin[2 \[Phi]]]]^2//TrigToExp//ExpToTrig//Sqrt[#]&//FullSimplify

↓

Благодаря этой же записи можно получить гладкие промежуточные фигуры между кругом и квадратом с помощью дополнительного множителя , благодаря которому аргумент арксинуса не дотягивает до единицы — :
А для того, чтобы функция пересекала заданную точку, нужно просто составить уравнение и пересчитать :

Код

Solve[(Sqrt[2/(1+Sqrt[1-k Sin[2 \[Phi]]^2])] /. \[Phi]->Pi/4)==x, k] /. x->k

↓

3) параметры и были просто добавлены творческим способом и их влияние исследовалось экспериментально, по факту.

4) Прямоугольник легко получить перейдя к параметрическому виду и «растягиванием» осей

Но после этого уже не будет значить угол, теперь — это просто параметр, который описывает вектор через его проекции на координатные оси. Чтобы перейти обратно к полярным координатам нужно найти длину вектора (через корень суммы квадратов), угол (через арктангенс отношения), выразить этот угол через и подставить получившееся выражение вместо .
Код
With[{r = Sqrt[2/(1 + Sqrt[

1 - Sin[2 t]^2])]}, {Sqrt[(a r Cos[t])^2 + (b r Sin[t])^2],

ArcTan[(b r Sin[t])/(a r Cos[t])]}] // Simplify
↓

Solve[ArcTan[(b Tan[t])/a]==\[Phi], t]

↓

Sqrt[2] Sqrt[(a^2 Cos[t]^2 + b^2 Sin[t]^2)/(1 + Sqrt[Cos[2 t]^2])]

/. t -> ArcTan[(a Tan[\[Phi]])/b] // Simplify

↓

Упростить такую формулу уже посложнее, и для этого потребуется несколько этапов:

1. перейти к декартовым координатам заменой ;
2. перейти к экспоненциальному виду;
3. упростить;
4. сделать обратную замену и ;
5. опять перейти к экспоненциальному виду;
6. упростить.

В результате получим такую формулу:
Код

Sqrt[2] Sqrt[(a^2 b^2 Sec[\[Phi]]^2) /

((1 + Sqrt[Cos[2 ArcTan[(a Tan[\[Phi]])/b]]^2])

(b^2 + a^2 Tan[\[Phi]]^2))] /. \[Phi] -> ArcTan[x, y]

// TrigToExp // Simplify

// # /. {x -> Cos[\[Phi]], y -> Sin[\[Phi]]} &

// TrigToExp // Simplify // FullSimplify

↓

Заключение

Как видите, даже в такой простой и банальной вещи как многоугольник, можно найти и придумать что-то новое. И на этом история не заканчивается — осталась неизвестной формула площади для общего случая, осталась неизвестной формула для произвольного, а не только правильного многоугольника, остались без рассмотрения разложения в степенные и тригонометрические ряды. Также, вероятно, подобного рода формула существует и для 3-мерного случая.

Поэтому если вам говорят, что в математике уже всё придумано и остались лишь задачи недоступные пониманию обычного человека — не верьте. Есть много сугубо практических задач, о существовании которых настоящие математики не подозревают, или их решение им не интересно из-за отсутствия достаточного хайпа вокруг них, или потому что у них уже есть примерное представление путей достижения для их решения. Не бойтесь браться за задачи, решение которых отсутствует в википедии, не бойтесь публиковать их решения и не бойтесь читать комментарии под статьями о бесполезности всего сущего.

P.S. скачать оригинальный документ для Mathematica можно здесь.

Mathway | Популярные задачи

Таблица СИНУСОВ для углов от 0° до 360° градусов

СИНУС (SIN α) — это одна из прямых тригонометрических функций для углов, в прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к его единственной гипотенузе.

…

…

…

…

…

Таблица синусов особенно нужна, когда у вас под рукой нет супер навороченного инженерного калькулятора с маленькой спасительной кнопкой с надписью «sin». В таком случае, чтобы узнать, чему же равняется синус определенного заданного угла, просто найдите информацию о интересующем градусе.

Как распечатать таблицу? Левой кнопкой на компьютерной мишке выделите полностью всё таблицу, на выделенном фоне нажмите уже правую кнопку мишки и в появившемся меню перейдете в пункт «Печать».

Как пользоваться таблицей? Всё гораздо проще, чем Вы думаете, ищем в левой вертикальной колонке, соответствующий градус, и напротив него и будет указано нужное значение синуса для данного нужного нам угла.

Пример

Чему равен синус 45? …

— А вот собственно и сам ответ на поставленную задачку.sin 45 = 0.7071

Автор: Bill4iam

r = a cos 2 *.

.

Kugelkoordinaten — Википедия

In Kugelkoordinaten или räumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt im dreidimensionalen Raum durch seinen Abstand vom Ursprung und zwei Winkel angegeben.

Bei Punkten auf einer Kugeloberfläche (Sphäre) um den Koordinatenursprung ist der Abstand vom Kugelmittelpunkt konstant. Dann sind nur noch die beiden Winkel variabel, sie werden dann als sphärische Koordinaten или Kugelflächenkoordinaten ^{[1] [2]} bezeichnet.

Der Begriff «Kugelkoordinaten» канн как Oberbegriff für den allgemeinen Fall und die sphärischen Koordinaten angesehen werden. Kugelkoordinaten sind wie Zylinderkoordinaten eine Verallgemeinerung der ebenen Polarkoordinaten auf den dreidimensionalen euklidischen Raum. Sie lassen sich auch weiter auf Räume trustbiger endlicher Dimension verallgemeinern.

Определение [Bearbeiten | Quelltext Bearbeiten]

Kugelkoordinaten r, θ, φ {\ displaystyle r, \ theta, \ varphi} eines Punktes P {\ displaystyle P} и kartesisches Koordinatensystem mit den Achsen x, y, z {\ displaystyle x, y, z}.

Ein Kugelkoordinatensystem im dreidimensionalen euklidischen Raum wird festgelegt durch die Wahl

• eines Zentrums O {\ displaystyle O} (Ursprung),
• einer gerichteten Gerade durch das Zentrum (Polachse), die die Polrichtung (oder Zenitrichtung) angibt, und durch diese festgelegt die Äquatorebene, die orthogonal zur Polrichtung durch das Zentrum verläuft, und
• einer Bezugsrichtung in der Äquatorebene.

Oft wird gleichzeitig ein kartesisches Koordinatensystem verwendet.Dann wird typischerweise der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems als Zentrum gewählt, die z -Achse als Polachse (und damit die x-y -Ebene als Äquatorebene) и die x -Achse als Bezugs.

In der Version der Kugelkoordinaten, die in der Mathematik und in der Physik üblich ist, wird ein Punkt P {\ displaystyle P} durch die folgenden drei Koordinaten festgelegt:

• r {\ displaystyle r}, der Radius, ist der Abstand des Punktes P {\ displaystyle P} von O {\ displaystyle O}, hiermit wird die Kugeloberfläche festgelegt, auf der sich P {\ displaystyle P} befindet.
• θ {\ displaystyle \ theta} или ϑ {\ displaystyle \ vartheta}, ^[3] der Polarwinkel или Poldistanzwinkel ^[4] , ist der Winkel zwischen der Polrichtung und der Strecke OP {\ display }, gezählt von 0 {\ displaystyle 0} bis π {\ displaystyle \ pi} (от 0 ° до 180 °), hierdurch wird der Ort des Punktes P {\ displaystyle P} auf eine Kreislinie der Kugeloberfläche festgelegt.
• φ {\ displaystyle \ varphi} или ϕ {\ displaystyle \ phi}, ^[3] der Azimutwinkel, ^[4] ist der Winkel zwischen der Bezugsrichtung und der Orthogonalprojektion der Strecke OP {\ displaystyle OP {\ displaystyle OP {\ displaystyle OP}, gezälte OP {\ Displaystyle OP} −π {\ displaystyle — \ pi} до π {\ displaystyle \ pi} (от −180 ° до 180 °) или от 0 до 2π {\ displaystyle 2 \ pi} (от 0 ° до 360 °) gegen den Uhrzeigersinn.Hierdurch wird der Ort des Punktes P {\ displaystyle P} auf der Kreislinie eindeutig Definiert.

Die nebenstehende Abbildung zeigt einen Punkt P {\ displaystyle P} mit den Kugelkoordinaten (r, θ, φ) {\ displaystyle (r, \ theta, \ varphi)}. Die beiden Winkelgrößen θ {\ displaystyle \ theta} und φ {\ displaystyle \ varphi} werden auch als Winkelkoordinaten bezeichnet.

Umrechnungen [Bearbeiten | Quelltext Bearbeiten]

Jedem Koordinatentripel (r, θ, φ) {\ displaystyle (r, \ theta, \ varphi)} wird ein Punkt im dreidimensionalen euklidischen Raum zugeordnet (Parametrisierung).Wählt man ein kartesisches Koordinatensystem wie oben, so kann die Zuordnung durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden:

x знак равно r⋅sin⁡θ⋅cos⁡φy = r⋅sin⁡θ⋅sin⁡φz = r⋅cos⁡θ {\ displaystyle {\ begin {array} {cll} x & = & r \ cdot \ sin \ theta \ cdot \ cos \ varphi \\ y & = & r \ cdot \ sin \ theta \ cdot \ sin \ varphi \\ z & = & r \ cdot \ cos \ theta \ end {array}}}

Bei diesen Gleichungen können für r {\ displaystyle r}, θ {\ displaystyle \ theta} и φ {\ displaystyle \ varphi} trustbige Zahlenwerte eingesetzt werden.Damit die Kugelkoordinaten eindeutig bestimmt sind, muss man den Wertebereich der Koordinaten einschränken. Üblicherweise wird der Radius r {\ displaystyle r} auf nichtnegative Werte beschränkt, der Winkel θ {\ displaystyle \ theta} auf das Intervall [0, π] {\ displaystyle [0, \ pi]} bzw. [0, 180 °] унд дер Винкель φ {\ displaystyle \ varphi} entweder auf das Intervall (−π, π] {\ displaystyle (- \ pi, \ pi]} bzw. (−180 °, 180 °] или das Интервал [0,2π) {\ displaystyle [0,2 \ pi)} bzw. [0, 360 °).
Auch dann gibt es ausgeartete Punkte, für die die Winkelkoordinaten nicht eindeutig sind.Für Punkte auf der z -Achse ist der Winkel φ {\ displaystyle \ varphi} nicht festgelegt, также Bellybig. Für den Ursprung ist auch θ {\ displaystyle \ theta} trustbig. Um Eindeutigkeit zu erreichen, kann man für diese Punkte φ = 0 {\ displaystyle \ varphi = 0} festlegen und für den Ursprung zusätzlich θ = 0 {\ displaystyle \ theta = 0}.

Für die anderen Punkte lassen sich die Kugelkoordinaten (r, θ, φ) {\ displaystyle (r, \ theta, \ varphi)} aus den kartesischen Koordinaten (x, y, z) {\ displaystyle (x, y, z) )} durch die folgenden Gleichungen berechnen: ^[5]

r = x2 + y2 + z2 {\ displaystyle {r} = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}

θ = arccos⁡zx2 + y2 + z2 = arccos⁡zr = arccot⁡zx2 + y2 {\ displaystyle {\ theta} = \ arccos {\ frac {z} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} }}} \ = \ arccos {\ frac {z} {r}} \ = \ \ operatorname {arccot} {\ frac {z} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}}

φ = atan2⁡ (y, x) = {arctan⁡ (yx), wenn x> 0, sgn⁡ (y) π2, wenn x = 0, arctan⁡ (yx) + π, wenn x <0 ∧y≥0, arctan⁡ (yx) −π, wenn x <0∧y <0.{\ displaystyle \ varphi = \ operatorname {atan2} (y, x) = {\ begin {cases} \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) & {\ text {, wenn}} x> 0, \\\ operatorname {sgn} (y) {\ frac {\ pi} {2}} & {\ text {, wenn}} x = 0, \\\ arctan \ left ({\ frac {y } {x}} \ right) + \ pi & {\ text {, wenn}} x <0 \ land y \ geq 0, \\\ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) - \ pi & {\ text {, wenn}} x <0 \ land y <0. \ end {cases}}}

Die angegebenen Gleichungen für den Winkel φ {\ displaystyle \ varphi} gelten, wenn φ {\ displaystyle \ varphi} zwischen −π {\ displaystyle — \ pi} и π {\ displaystyle \ pi} gewählt wird.Wählt man φ {\ displaystyle \ varphi} zwischen 0 und 2π {\ displaystyle 2 \ pi}, так что sind sie geeignet zu modifizieren.

In der Analysis und ihren Anwendungen werden Kugelkoordinaten-Winkel meist im Bogenmaß angegeben.

Kugelkoordinaten werden oft bei der Untersuchung von Systemen verwendet, die rotationssymmetrisch bezüglich eines Punktes sind. Beispiele sind: Volumenintegrale über Kugeln, die Beschreibung und Untersuchung Rotationssymmetrischer Kraftfelder, wie z. B. das Gravitationsfeld eines kugelförmigen Himmelskörpers, das elektrische Feld einer Punktladung или einer geladenen Kugel.Die betrachteten Größen hängen dann nicht von den Winkelkoordinaten ab, было viele Formeln vereinfacht. Wichtige partielle Differentialgleichungen wie die Laplace-Gleichung oder die Helmholtzgleichung können in Kugelkoordinaten durch Separation der Variablen gelöst werden.

Die obige Koordinatenwahl ist internationaler Konsens in der Theoretischen Physik. Manchmal werden die Zeichen θ {\ displaystyle \ theta} und φ {\ displaystyle \ varphi} aber im umgekehrten Sinne verwendet, insbesondere in amerikanischer Literatur.{\ circ} — \ phi}. Hingegen kann man das oben benutzte φ {\ displaystyle \ varphi} ohne weiteres mit der geographischen Länge λ {\ displaystyle \ lambda} östlich von Greenwich gleichsetzen (siehe geographische Koordinaten).

Die obige Konstruktion ist in gewisser Hinsicht inkonsistent mit dem Aufbau der ebenen Polarkoordinaten. Für manche Probleme ist es praktischer, die Darstellung

Икс знак равно rcos⁡ϕcos⁡φ {\ Displaystyle х = г \ соз \ фи \, \ соз \ varphi}

y знак равно rcos⁡ϕsin⁡φ {\ displaystyle y = r \ cos \ phi \, \ sin \ varphi}

z знак равно rsin⁡ϕ {\ displaystyle z = r \ sin \ phi \ quad}

zu benutzen.В Dieser Darstellung entspricht ϕ {\ displaystyle \ phi} der geographischen Breite.

Die Rücktransformation des Punktes bzw. Векторы p → {\ displaystyle {\ vec {p}}} в die Winkelbestandteile erfolgt dann mit

ϕ знак равно arcsin⁡ (z / r) {\ displaystyle \ phi = \ arcsin (z / r)}

φ знак равно atan2⁡ (y, x) {\ displaystyle \ varphi = \ operatorname {atan2} (y, x)},

wobei r = | p → | {\ displaystyle r = | {\ vec {p} } |}.

Матрица Якоби [Bearbeiten | Quelltext Bearbeiten]

Die lokalen Eigenschaften der Koordinatentransformation werden durch die Jacobi-Matrix beschrieben.Für die Transformation von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten lautet diese

J = ∂ (x, y, z) ∂ (r, θ, φ) = (sin⁡θcos⁡φrcos⁡θcos⁡φ − rsin⁡θsin⁡φsin⁡θsin⁡φrcos⁡θsin⁡φrsin⁡θcos⁡φcos⁡ θ − rsin⁡θ0), {\ displaystyle J = {\ frac {\ partial (x, y, z)} {\ partial (r, \ theta, \ varphi)}} = {\ begin {pmatrix} \ sin \ theta \ cos \ varphi & r \ cos \ theta \ cos \ varphi & -r \ sin \ theta \ sin \ varphi \\\ sin \ theta \ sin \ varphi & r \ cos \ theta \ sin \ varphi & r \ sin \ theta \ cos \ varphi \\\ cos \ theta & -r \ sin \ theta & 0 \ end {pmatrix}}.{-1} = {\ frac {\ partial (r, \ theta, \ varphi)} {\ partial (x, y, z)}} = {\ begin {pmatrix} \ sin \ theta \ cos \ varphi & \ sin \ theta \ sin \ varphi & \ cos \ theta \\ {\ frac {1} {r}} \ cos \ theta \ cos \ varphi & {\ frac {1} {r}} \ cos \ theta \ sin \ varphi & — {\ frac {1} {r}} \ sin \ theta \\ — {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ sin \ varphi} {\ sin \ theta}} и {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ cos \ varphi} {\ sin \ theta}} & 0 \ end {pmatrix}}.}

Einige Komponenten dieser Matrix sind Brüche, an deren Nennern man die Uneindeutigkeit der Polarkoordinaten bei р знак равно 0 {\ displaystyle \ textstyle r = 0} и bei sin⁡θ = 0 {\ displaystyle \ textstyle \ sin \ theta = 0} (также θ = 0 {\ displaystyle \ textstyle \ theta = 0} или π { \ displaystyle \ textstyle \ pi}) erkennt.{2}}} & 0 \ end {pmatrix}}.}

Differentiale, Volumenelement, Flächenelement, Linienelement [Bearbeiten | Quelltext Bearbeiten]

Die Jacobi-Matrix erlaubt es, die Umrechnung von Differentialen übersichtlich als lineare Abbildung zu schreiben:

(dxdydz) = J⋅ (drdθdφ) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ mathrm {d} x \\\ mathrm {d} y \\\ mathrm {d} z \ end {pmatrix}} = J \ cdot {\ begin {pmatrix} \ mathrm {d} r \\\ mathrm {d} \ theta \\\ mathrm {d} \ varphi \ end {pmatrix}}}

beziehungsweise

(drdθdφ) = J − 1⋅ (dxdydz) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ mathrm {d} r \\\ mathrm {d} \ theta \\\ mathrm {d} \ varphi \ end {pmatrix }} = J ^ {- 1} \ cdot {\ begin {pmatrix} \ mathrm {d} x \\\ mathrm {d} y \\\ mathrm {d} z \ end {pmatrix}}}.{2} \ sin \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi \, \ mathrm {d} \ theta}.

Das Linienelement ds {\ displaystyle ds} errechnet man gemäß

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 = dr2 + r2dθ2 + r2sin2⁡θ

.