Составить систему уравнений для мгновенных значений токов по законам кирхгофа: Законы Кирхгофа для мгновенных значений

Законы Кирхгофа для расчёта электрических цепей

При расчёте электрических цепей, в том числе для целей моделирования, широко применяются законы Кирхгофа, позволяющие полностью определить режим её работы.

Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей.

Прежде чем перейти к самим законам Кирхгофа, дадим определение ветвей и узлов электрической цепи.

Ветвью электрической цепи называется такой её участок, который состоит только из последовательно включённых источников ЭДС и сопротивлений, вдоль которого протекает один и тот же ток. Узлом электрической цепи называется место (точка) соединения трёх и более ветвей. При обходе по соединённым в узлах ветвям можно получить замкнутый контур электрической цепи. Каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, при этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более одного раза [1].

Первый закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

∑i = 0,

или в комплексной форме

∑I = 0.

Второй закон Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур, равна алгебраической сумме ЭДС:

∑Z ∙ I = ∑E.

Количество уравнений, составляемых для электрической цепи по первому закону Кирхгофа, равно N_у – 1, где N_у – число узлов. Количество уравнений, составляемой для электрической цепи по второму закону Кирхгофа, равно N_в – N_у + 1, где N_в – число ветвей. Количество составляемых уравнений по второму закону Кирхгофа легко определить по виду схемы: для этого достаточно посчитать число «окошек» схемы, но с одним уточнением: следует помнить, что контур с источником тока не рассматривается.

Опишем методику составления уравнений по законам Кирхгофа. Рассмотрим её на примере электрической цепи, представленной на рис. 1.

Рис. 1. Рассматриваемая электрическая цепь

Для начала необходимо задать произвольно направления токов в ветвях и задать направления обхода контуров (рис. 2).

Рис. 2. Задание направления токов и направления обхода контуров для электрической цепи

Количество уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, в данном случае равно 5 – 1 = 4. Количество уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно 3, хотя «окошек» в данном случае 4. Но напомним, что «окошко», содержащее источник тока J₁, не рассматривается.

Составим уравнения по первому закону Кирхгофа. Для этого «втекающие» в узел токи будем брать со знаком «+», а «вытекающие» — со знаком «-». Отсюда для узла «1 у.» уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

I₁ – I₂ – I₃ = 0;

для узла «2 у.» уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

—I₁ – I₄ + I₆ = 0;

для узла «3 у.»:

I₂ + I₄ + I₅ – I₇ = 0;

для узла «4 у.»:

I₃ – I₅ – J₁ = 0

Уравнение для узла «5 у.» можно не составлять.

Составим уравнения по второму закону Кирхгофа. В этих уравнениях положительные значения для токов и ЭДС выбираются в том случае, если они совпадают с направлением обхода контура. Для контура «1 к.» уравнение по второму закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

Z_C1 ∙ I₁ + R₂ ∙ I₂ – Z_L1 ∙ I₄ = E₁;

для контура «2 к.» уравнение по второму закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

-R₂ ∙ I₂ + R₄ ∙ I₃ + Z_C2 ∙ I₅ = E₂;

для контура «3 к.»:

Z_L1 ∙ I₄ + (Z_L2 + R₁) ∙ I₆ + R₃ ∙ I₇ = E₃,

где Z_C = — 1/(ωC), Z_L = ωL.

Таким образом, для того, чтобы найти искомые токи, необходимо решить следующую систему уравнений:

В данном случае это система из 7 уравнений с 7 неизвестными. Для решения данной системы уравнений удобно пользоваться Matlab. Для этого представим эту систему уравнений в матричной форме:

Для решения данной системы уравнений воспользуемся следующим скриптом Matlab:

>> syms R1 R2 R3 R4 Zc1 Zc2 Zl1 Zl2 J1 E1 E2 E3;
>> A = [1  -1 -1    0   0        0  0;
       -1   0  0   -1   0        1  0;
        0   1  0    1   1        0 -1;
        0   0  1    0  -1        0  0;
      Zc1  R2  0 -Zl1   0        0  0;
        0 -R2 R4    0 Zc2        0  0;
        0   0  0  Zl1   0 (R1+Zl2) R3];
>> b = [0;
        0;
        0;
       J1;
       E1;
       E2;
       E3];
>> I = A\b

В результате получим вектор-столбец I токов из семи элементов, состоящий из искомых токов, записанный в общем виде. Видим, что программный комплекс Matlab позволяет существенно упростить решение сложных систем уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

Список использованной литературы

1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.

Рекомендуемые записи

Правила (законы) Кирхгофа простыми словами: формулировки и расчеты

На практике часто встречаются задачи по расчётам параметров токов и напряжений в различных разветвлённых цепях. В качестве инструмента для расчётов используют правила Кирхгофа (в некоторой литературе их называют еще законами, хотя это не совсем корректно) – одни из фундаментальных правил, которые совместно с законами Ома позволяет определять параметры независимых контуров в самых сложных цепях.

Учёный Густав Киргхоф сформулировал два правила [1], для понимания которых введено понятие узла, ветви, контура. В нашей ситуации ветвью будем называть участок, по которому протекает один и тот же ток. Точки соединения ветвей образуют узлы. Ветви вместе с узлами образуют контуры – замкнутые пути, по которым течёт ток.

Первое правило Кирхгофа

Первое правило Густава Кирхгофа сформулировано исходя из закона сохранения заряда. Физик понимал, что заряд не может задерживаться в узле, а распределяется по ветвям контура, образующим это соединение.

Кирхгоф предположил, а впоследствии обосновал на основании экспериментов, что количество зарядов зашедших в узел такое же, как и количество тока вытекающего из него.

На рисунке 1 изображена простая схема, состоящая из контуров. Точками A, B, C, D обозначены узлы контура в центре схемы.

Рис. 1. Схема контура

Ток I₁ входит в узел A, образованный ветвями контура. На схеме электрический  заряд распределяется в двух направлениях – по ветвям AB и AD. Согласно правилу Кирхгофа, входящий ток равен сумме выходящих: I₁ = I₂ + I₃.

На рисунке 2 представлен абстрактный узел, по ветвям которого течёт ток в разных направлениях. Если сложить векторы i₁, i₂, i₃, i₄ то, согласно первому правилу Кирхгофа, векторная сумма будет равняться 0: i₁ + i₂ + i₃ + i₄ = 0. Ветвей может быть сколько угодно много, но равенство всегда будет справедливым, с учётом направления векторов.

Рис. 2. Абстрактный узел

Запишем наши выводы в алгебраической форме, для общего случая:

Для использования этой формулы, требуется учитывать знаки. Для этого необходимо выбрать направление одного из векторов тока (не важно, какого) и обозначить его знаком «плюс». При этом знаки всех других величин определить, исходя от их направления, по отношению к выбранному вектору.

Чтобы избежать путаницы, ток, направленный в точку узла, принято считать положительным, а векторы, направленные от узла – отрицательными.

Изложим первое правило Кирхгофа, выраженное приведённой выше формулой: «Алгебраическая сумма сходящихся в определённом узле токов, равна нулю, если считать входящие токи положительными, а отходящими – отрицательными».

Первое правило дополняет второе правило, сформулированное Кирхгофом. Перейдём к его рассмотрению.

Второе правило Киргхофа

Из третьего уравнения Максвелла вытекает правило Кирхгофа для напряжений. Его ещё называют вторым законом.

Это правило гласит, что в замкнутом контуре, на резистивных элементах, алгебраическая сумма напряжений (включая внутренние), равна сумме ЭДС, присутствующих в этом же замкнутом контуре.

При этом токи и ЭДС, векторы которых совпадают с направлением (выбирается произвольно) обхода контура, считаются положительными, а встречные к обходу токи – отрицательными.

Рис. 4. Иллюстрация второго правила Кирхгофа

Формулы, которые изображены на рисунке применяются в частных случаях для вычисления параметров простых схем.

Формулировки уравнений общего характера:

, где где L_k и C_k – это индуктивности и ёмкости, соответственно.

Линейные уравнения справедливы как для линейных, так и для нелинейных линеаризованных цепей. Они применяются при любом характере временных изменений токов и напряжений, для разных источников ЭДС. При этом законы Кирхгофа справедливы и для магнитных цепей. Это позволяет выполнять вычисления для поиска соответствующие параметров.

Закон Кирхгофа для магнитной цепи

Применение независимых уравнений возможно и при расчётах магнитных цепей. Сформулированные выше правила Кирхгофа справедливы и для вычисления параметров магнитных потоков и намагничивающих сил.

Рис. 4. Магнитные контуры цепей

В частности: ∑Ф=0.

То есть, для магнитных потоков первое правило Кирхгофа можно выразить словами: «Алгебраическая сумма всевозможных магнитных потоков относительно узла магнитной цепи равняется нулю.

Сформулируем второе правило для намагничивающих сил F: «В замкнутом магнитном контуре алгебраическая сумма намагничивающих сил приравнивается к сумме магнитных напряжений». Данное утверждение выражается формулой: ∑F=∑U или ∑Iω = ∑НL, где ω – количество витков, H – напряжённость магнитного поля, символ L обозначает длину средней линии магнитопровода. ( Условно принимается, что каждая точка этой линии совпадает с линиями магнитной индукции).

Второе правило, применяемое для вычисления магнитных цепей, есть не что иное, как альтернативная форма представления закона полного тока.

Примечание: Составляя уравнения с использованием формул, вытекающих из правил Кирхгофа, надо прежде определиться с положительным направлением потоков, функционирующих в ветвях, сопоставив их с направлением обходов существующих контуров.

При совпадении векторов магнитного потока с направлениями обхода (на некоторых участках), падение напряжения на этих ветвях берём со знаком « + », а встречные ему – со знаком « – ».

Примеры расчета цепей

Рассмотрим ещё раз рисунок 3. На нём изображено 4 разнонаправленных вектора: i₁, i₂, i₃, i₄. Из них –  два входящие ( i₂, i₃) и два исходящие из узла (i₁, i₄). Положительными будем считать те векторы, которые направлены в точку соединения ветвей, а остальные – отрицательными.

Тогда, по формуле Кирхгофа, составим уравнение и запишем его в следующем виде: – i₁ + i₂ + i₃ – i₄ = 0.

На практике такие узлы являются частью контуров, обходя которые можно составить ещё несколько линейных уравнений с этими же неизвестными. Количество уравнений всегда достаточно для решения задачи.

Рассмотрим алгоритм решения на примере рис. 5.

Рис. 5. Пример для расчёта

Схема содержит 3 ветви и два узла, которые образуют три пары по два независимых контура:

1. 1 и 2.
2. 1 и 3.
3. 2 и 3.

Запишем независимое уравнение, выполняющееся, например, в точке а. Из первого правила Кирхгофа вытекает: I₁ +  I₂ –  I₃ = 0.

Воспользуемся вторым правилом Кирхгофа. Для составления уравнений можно выбрать любой из контуров, но нам необходимы контуры с узлом а, так как для него мы уже составили уравнение. Это будут контуры 1 и 2.

Пишем уравнения:

• I₁R₁ +  I₃ R₃ = E₁;
• I₂R₂ +  I₃R₃ = E₂.

Решаем систему уравнений:

Так как значения R и E известны (см. рисунок 5), мы придём к системе уравнений:

Решая эту систему, получим:

1. I₁ = 1,36 (значения в миллиамперах).
2. I₂ = 2,19 мА.;
3. I₃ = 3,55 мА.

Потенциал узла а равен: U_a = I₃*R₃ = 3,55 × 3 = 10,65 В. Чтобы убедиться в верности наших расчётов, проверим выполнение второго правила по отношению к контуру 3:

E₁ – E₂ + I₁R₁+ I₂R₂ = 12 – 15 + 1,36 – 4,38 = – 0,02 ≈ 0 (с учётом погрешностей, связанных с округлениями чисел при вычислениях).

Если проверка выполнения второго правила успешно завершена, то расчёты сделаны правильно, а полученные данные являются достоверными.

Применяя правила (законы) Кирхгофа можно вычислять параметры электрической энергии для магнитных цепей.

Уравнения Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений.

Как
следствие непрерывности тока, закон
устанавливает, что суммарный ток,
втекающий в какой-либо замкнутый объем
равен суммарному вытекающему из этого
объема тока. В теории цепей под замкнутым
объемом понимается узел или отсечение.
Чаще всего I закон Кирхгофа формулируют
для любого узла: 

Для
параллельного соединения резисторов
(рис. 2-25) по I закону Кирхгофа.

Рис.
2-25

Значит
n параллельно соединенных резисторов,
с точки зрения остальной цепи, можно
заменить одним в
соответствии с соотношением.

 или .

Для
двух резисторов часто применяется это
соотношение в виде:
.

Если
параллельно соединены конденсаторы,
то
,

т.е. .

При
соединении катушек индуктивности
,
Получим.

II Закон Кирхгофа

Напомним,
что напряжение на двухполюсных элементах
это разность потенциалов на его зажимах

.

Рис.
2-26

Нетрудно
убедиться, что для рис. 2-26

,

т.е.
сумма напряжений на двухполюсниках
любого замкнутого контура равна нулю.
Конечно, это будет справедливо, если
соблюдать правила знаков:

,

 и
т.д.

Если
какие-либо из двухполюсников представляют
из себя источники ЭДС, то с учетом
взаимного направления e и u можно
записать контурное уравнение

.

В
левой части ставятся напряжения со
знаком плюс, совпадающие с направлением
обхода контура, в правой — ЭДС, совпадающие
с тем же направлением обхода. Для
представления уравнений II закона
Кирхгофа относительно тех же переменных
(токов) используются приведенные выше
компонентные уравнения.

3. Практическая
   запись уравнений Кирхгофа для мгновенных
   значений токов и напряжений.

Электрическая
цепь должна быть задана в виде соединенных
определенным образом идеальных элементов.
Для начала проводится индексация
элементов и геометрический анализ.

Изобразив
граф схемы, подсчитываем количество
узлов схемы, нумеруем узлы, причем один
из узлов из перечня независимых исключаем,
присвоив ему нулевой номер. Выделяем
дерево графа. Вводим номера ветвей так,
что первые номера — номера хорд
(дополнений), а последние номера ветвей
дерева. Номера независимых контуров
считаем совпадающими с номерами хорд.
Проверяем соотношение .

Вводим
условные положительные направления
токов в ветвях, при этом есть смысл
учитывать, что направления обхода
контуров будем принимать по направлению
тока в хордах. Все элементы, входящие в
ветвь, равно как и ток этой ветви,
естественно, получают индекс в виде
номера ветви. Источники тока на графе
отмечаются в виде подтекающих и вытекающих
токов. Этим током присваиваются индексы,
следующие за последним номером ветви
графа.

Далее
записываются уравнения по I закону
Кирхгофав виде:для
каждого узла, или при наличии источников
тока:.
Знаки токов ветвей в сторону от узла
принимаются положительными. Токи
источников токов при этом в правую часть
уравнения ставятся со знаком “плюс”,
если они направлены к узлу.

Составлять
уравнения по I закону Кирхгофа удобно
по ориентированному графу.

Уравнения
по II закону Кирхгофа для каждого из
независимых контуров ()
записывается относительно тех же
неизвестных токов с использованием
компонентных уравнений:

;;.

При наличии
индуктивных связей между катушками m-й
n-ой ветви:

.

Правила
знаков: соответствующее напряжение
ставится со знаком “плюс”, если
направление обхода контура совпадает
с условным положительным направлением
тока; в противном случае ставится знак
“минус”. Перед коэффициентом взаимной
индукции ставится
знак “плюс”, если выбранные условные
положительные направления токов
обуславливают сложение магнитных
потоков в соответствующих индуктивностях,
в противном случае ставится знак “минус”.

Пример.

(рис. 2-32)

схема

граф и дерево

Рис. 2-32

Алгоритм составления уравнений по законом Кирхгофа

Алгоритм составления уравнений по законом Кирхгофа:

Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа

Для составления уравнений по первому закону кирхгофа любой электрической цепи выполняем следующие действия.

1. Количество уравнений по 1 закону киргофа равно количеству узлов минус один. 
2. Произвольно задаемся направлением токов в каждой ветви электрической цепи.
3. Если в ветви присутствует источник тока, то считаем данный ток уже известным, равным величине источника тока.
4. Составляем уравнения по первому правилу Кирхгофа для любых узлов кроме одного.
5. Расставляем знаки. Токи, которые втекают в узел берем с одним знаком, например с плюсом. Токи, которые вытекают из узла берем с противоположным знаком, например с минусом.

Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа

Для составления системы уравнения по 2 правилу Кирхгофа необходимо выполнить следующие пункты.

1. Количество уравнений по второму закону Киргофа равно количеству независимых контуров. По второму закону можно записать В-В_I-У+1 независимых уравнений. Где В — число ветвей в схеме. В_I— число ветвей в схеме с источником тока. У — число узлов в схеме.
2. Находим независимые контура в электрической цепи (чтобы отличались хотя бы одной ветвью).
3. Если в цепи присутствуют источники тока, то данные ветви не учитываем при нахождении независимых контуров. 
4. Задаемся произвольным направление обхода независимых контуров.
5. Составляем уравнения по второму правилу Кирхгофа для каждого выбранного контура.
6. Расставляем знаки на участках с нагрузкой. Если направление обхода контура совпадает с направлением протекающего тока, то падение напряжения на заданном участке берем со знаком «+». Если направление протекающего тока не совпадает с направлением обхода контура, то падение напряжения на данном участке берем со знаком «-«.
7. Расставляем знаки на участках с источниками ЭДС. Если направление действия ЭДС (направление стрелочки) совпадает с направлением обхода независимого контура, то знак будет «плюс». Если не совпадает, то знак — «минус».

Расчет токов по правилам Кирхгофа 

Полученные уравнения объединяем в систему уравнений. Количество уравнений должно быть равно количеству неизвестных. Далее решаем систему уравнений любым известным способом.

Правильность расчета проверяется составлением уравнения баланса мощностей. 

p.s. Правила Кирхгофа необязательно использовать в виде систем уравнений. Они справедливы для любого узла и для любого замкнутого контура электрической цепи.

Постоянный ток: законы Кирхгофа

При решении задач на законы Кирхгофа лучше придерживаться определенного алгоритма: 1. определить число неизвестных токов – столько уравнений должно быть в системе ; 2. определить количество узлов – уравнений по первому закону тогда нужно составить на одно меньше; 3. проложить контуры и записать для них уравнения по второму закону. Кто хочет разобраться досконально – есть видео.

Задача 1. Два элемента с В и В соединены по схеме, показанной на рисунке . Сопротивление Ом. Внутреннее сопротивление элементов одинаково Ом. Определить силу тока, идущего через сопротивление .

К задаче 1

Обозначим токи в ветвях произвольно. По первому закону Кирхгофа сумма токов, сходящихся в узле, равна 0:

Будем обходить верхний контур против часовой стрелки. По второму закону Кирхгофа сумма падений напряжений в контуре равна сумме ЭДС:

Будем обходить второй контур по часовой стрелке:

Неизвестных токов – три, мы составили три уравнения. Этого достаточно, чтобы найти токи:

Выразим из второго уравнения, а – из третьего:

Подставим эти выражения в первое уравнение:

Тогда токи и

Ответ: A, A, A.
Задача 2. Найти силу тока на всех участках цепи‚ если В, В‚ В, Ом‚ Ом‚ Ом‚ Ом‚  Ом, Ом.

К задаче 2

Обозначаем токи в ветвях произвольно, выбираем направления обходов контуров и сами контуры. Составляем систему уравнений. Сначала составим уравнение по первому закону Кирхгофа – у нас два узла, поэтому уравнение будет одно.  Затем, обходя контуры, составим два уравнения по второму закону: их нужно составить два, так как неизвестных токов в цепи три.

Решаем систему и находим ответ (я решала с помощью он-лайн калькулятора):  , , .

Ответ: , , .

Задача 3. В схеме, показанной на рисунке, найти силу тока через гальванометр, если В, кОм; В, кОм.  Сопротивлением гальванометра пренебречь.

К задаче 3

Нам неизвестно сопротивление гальванометра, запишем для напряжения на нем два уравнения:

Приравнивая, получим

Заметим, что, если  , то равенство будет выполнено. Таким образом, ток через гальванометр не течет.

Ответ: .

Задача 4. В цепи   В‚ В, Ом,  Ом. Найти распределение токов в цепи. Внутреннее сопротивление источников тока не учитывать.

К задаче 4

Обозначаем токи в ветвях произвольно, выбираем направления обходов контуров и сами контуры. Составляем систему уравнений. Сначала составим уравнение по первому закону Кирхгофа – у нас три узла, поэтому уравнений будет два.  Затем, обходя контуры, составим три уравнения по второму закону: их нужно составить именно три, так как неизвестных токов в цепи шесть.

Решаем систему и находим ответ (я решала с помощью он-лайн калькулятора):  , , , , , .

Ответ: , , , , , .
Задача 5. Какую силу тока покажет амперметр в схеме, изображенной на рисунке? Сопротивлением амперметра пренебречь.

К задаче 5

Обозначим токи в цепи произвольно. Обозначим направления обхода контуров. Запишем систему уравнений: составим три уравнения по первому закону (на одно меньше, чем количество узлов) и три уравнения по второму закону, так как неизвестных токов шесть и система должна состоять из шести уравнений.

Чтобы воспользоваться калькулятором, я задала Ом и В.  В итоге получилось: , , , , , .

Минусы свидетельствуют о противоположном направлении тока в этой ветви тому, что мы нарисовали.

Первый и второй законы Кирхгофа и их практическое применение

Уравнения, или правила, Кирхгофа относят к основным законам электрических цепей.

Они вытекают из таких фундаментальных законов как, закон сохранения заряда и безвихревости электростатического поля, в своё время описанных уравнениями Максвелла. Уравнения Кирхгофа довольно часто используются благодаря своей универсальности, пригодности для решения многих задач в теории электротехники, в том числе и связанных с расчётами сложных электрических цепей, практичности. Применяя правила Кирхгофа к линейной электрической цепи можно получить систему линейных уравнений, из которых в свою очередь, можно найти значения токов на всех ветвях цепи и все межузловые напряжения.

В правилах Кирхгофа применяют такие понятия электрической цепи, как: узел, ветвь, контур.  Участок электрической цепи с одним и тем же током называют ветвью, например отрезок 1-4, на рисунке 1, с протекающим по нему током i1 , есть ветвь. Точку, соединяющую три и более ветви называют узлом, например точки 1,2,3,4 на рисунке 1 есть узлы. Замкнутый путь, проходящий через несколько ветвей и узлов разветвлённой электрической цепи называют контуром. Начав с некоторого узла цепи и однократно пройдя по нескольким ветвям и узлам, и возвратившись в исходный узел, мы пройдём путь, который и называют замкнутым. Проходимые при таком обходе ветви и узлы принято называть принадлежащими данному контуру, при этом надо принимать во внимание, что ветвь и узел могут принадлежать одновременно нескольким контурам.

Рисунок 1

Первое правило Кирхгофа построено на основании утверждения о непрерывности электрического тока для любого узла электрической цепи или замкнутого контура.

Первое правило Кирхгофа трактует, что алгебраическая сумма токов ветвей , для любого узла или замкнутого сечения электрической цепи, равна нулю:

Выше сказанное говорит о том, что электрические заряды в узле (например, S2 на рисунок 1) или сечении (например, S14  на рисунке 1) любой электрической цепи накапливаться не могут. Иными словами, сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает.

Второе правило Кирхгофа основано на утверждении, что любая электрическая цепь является потенциальной, а работа по перемещению электрических зарядов в замкнутом контуре равна нулю:

где U – работа(электрическое напряжение), k – число источников выполняющих работу;

Рассмотрим цепь, изображённую на рисунке1, образованную двухполюсными элементами, где ветви в местах соединений образуют узлы 1,2,3,4 и где направления напряжений и токов в ветвях совпадают. Для составления уравнений Кирхгофа выберем произвольно узел  S2 , замкнутое сечение S14 (”несколько узлов”) и замкнутый контур 1, направление обхода которого изображено на рисунке 1.

Если принять, что выходящие из сечений и узлов токи считать положительными, а входящие отрицательными, то тогда уравнения составленные по первому правилу Кирхгофа будут иметь вид:

Для составления уравнения по второму правилу Кирхгофа, напряжения совпадающие с направлением обхода контура считаем положительными, а не совпадающие отрицательными. При этом уравнение примет вид:

Рассмотрим второе правило Кирхгофа на более наглядном примере (рисунке 2, см. ниже) и с более понятной для практического применения трактовкой, утверждающей что: алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура, произвольно выделенного в сложной разветвленной цепи, равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре

где k – число источников ЭДС; m – число ветвей в замкнутом контуре; Ii, Ri – ток и сопротивление i-й ветви.

Рисунок 2

Применяя второе правило Кирхгофа составляем уравнение для замкнутого контура схемы(рисунок 2) :

При составлении полученного уравнения знаки учитывались как:

— ЭДС (E) положительна, если ее направление совпадает с направлением произвольно выбранного обхода контура;

— падение напряжения (IR) на резисторе положительно, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.

Мы рассмотрели применение правил Кирхгофа на простых примерах цепей постоянного тока и напряжений. На самом деле электрические цепи бывают значительно сложнее и состоять из различных элементов (источников ЭДС и тока , нелинейных и т.п.). Например, для второго правила Кирхгофа физическое представление уравнения для переменного тока уже будет иметь вид:

Следует отметить, что для цепей синусоидального(переменного) тока правила Кирхгофа формулируются так же, как и для цепей постоянного тока, но только для комплексных значений токов и напряжений. Чтобы решать уравнения Кирхгофа для цепей синусоидального тока их составляют в комплексной форме, в которой учитываются ”мгновенные” изменения значений токов и напряжений.

Но какие сложные уравнения не приходилось бы составлять и решать, следует помнить, что физически второе правило(закон) Кирхгофа характеризует равновесие напряжений в любом контуре цепи.

Определение значения токов, протекающих в каждой ветви электрической схемы, используя законы Кирхгофа

ЮГОРСКИЙ государственный университет

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

по дисциплине: Теоретические основы электротехники

Вариант работы:

Руководитель работы

__________________

(ФИО)

__________________

(подпись, дата)

Разработал студент

__________________

(группа, ФИО)

__________________

(подпись, дата)

__________________

Оценка ________________

Ханты-Мансийск 2018 г.

ЗАДАНИЕ1

для выполнения расчётно-графической работы студентов.

Линейные электрические цепи постоянного тока.

Исходные данные приводятся в приложении 1. Вариант задания определяется преподавателем. В данной расчётно-графической работе в качестве исходных данных рассматриваются:

1) Заданная конфигурация цепи постоянного тока;

2) Параметры источников электрической энергии – источников ЭДС и источников тока;

3) Параметры пассивных элементов электрической цепи ­– значения сопротивлений.

В ходе выполнения расчётно-графической работы необходимо:

1) Определить значения токов, протекающих в каждой ветви электрической схемы, используя законы Кирхгофа;

2) Выполнить проверку полученных значений токов с помощью баланса мощностей, либо путем схемотехнического моделирования цепи в программе Multisim 8;

3) Определить значения токов, протекающих в каждой ветви электрической схемы используя метод контурных токов;

Приложение 1. Варианты заданий по разделу «Линейные электрические цепи постоянного тока».

Пример выполнения задания.

Определение значения токов, протекающих в каждой ветви электрической схемы, используя законы Кирхгофа

1. Для составления уравнений схемы по законам Кирхгофа задаются условно положительными направлениями токов в ветвях схемы. В ветвях с ЭДС токи рационально направлять по направлению действия этих ЭДС. В остальных ветвях произвольно.

2. Составляют максимальное количество уравнений по первому закону Кирхгофа для независимых узлов (которые отличаются друг от друга хотя бы одним током). В этой схеме независимы два узла, например узлы «а» и «с». Токи входящие в эти узлы записывают со знаком плюс, выходящие из этих узлов записывают со знаком минус.

3. Недостающие два уравнения для определения четырех токов составляют по второму закону Кирхгофа, задавшись направлением обхода двух независимых контуров (отличающихся друг от друга хотя бы одной ветвью).

В ветвях с ЭДС направление обхода рационально задавать по направлению действия этих ЭДС. Если направление обхода в элементе совпадает с направлением тока, или с направлением ЭДС – эти элементы записывают в уравнение второго закона Кирхгофа со знаком плюс, если не совпадает, то со знаком минус. Направление обхода контура с ЭДС Е2 выбрали по часовой стрелке; направление обхода контура с ЭДС Е1 выбрали против часовой стрелки.

E2=I2R1+I2R4+I2R2-I4R7 (3)

E1=I1R8+I3R5-I4R7 (4)

Систему уравнений решают, используя для этой цели программы Mathcad, Matlab, Mathematica. Согласно полученным результатам ток I1= –101мА, ток I2 = 221мА, ток I3 = 99,2 мА, ток I4 = – 320 мА. Знак минус говорит о том, что фактическое направление этих токов в ветвях противоположно условно принятому в начале расчета данной схемы.

На основании полученных результатов указывают на схеме задания фактические направления токов в каждой ветви схемы и значения этих токов. Направления и значения токов схемы подтверждают правильность уравнений (1) и (2), составленных по первому закону Кирхгофа. Верность решения уравнений (3) и (4) подтверждается подстановкой в них значений и знаков найденных токов ветвей схемы.

Рис. 1. Результаты определения токов в ветвях схемы

4. Правильность расчета схемы подтверждают составлением баланса мощностей. Мощности, развиваемые источниками ЭДС и источником тока.

Мощность источника ЭДС отрицательна, т. к. ток направлен встречно направлению ЭДС Напряжение определено с учетом падения напряжения на сопротивлении направленном сограсно с направлением ЭДС

Мощности, рассеиваемые потребителями энергии.

= 0,22²*68+ 0,32²*28 + 0,099²*48 +0,101²*37= 7,2 Вт.

Рекомендуемый материал

Если в уравнениях 1…4 есть ошибка, то программы выдают неверные значения токов в ветвях схемы. Избежать этих ошибок, правильно определить фактические значения токов, направления их протекания, проконтролировать правильность составления системы уравнений по законам Кирхгофа можно с помощью программы схемотехнического моделирования Multisim 8, демоверсия которой находится в свободном доступе в интернете. Из библиотеки компонентов программы выносят на ее рабочий стол сопротивления R1…R8 (resistor virtual), источники ЭДС (DC POWER), источник тока (DC Current) и заземление (GROUND). Собирают заданную схему (рис.2).

Двойным щелчком левой кнопки мыши по компоненту открывают таблицу его параметров и записывают значение (Value) и условное обозначение (Label) компонента. В ветви с искомыми токами вносят пробник (Measurement probe) из правой вертикальной колонки измерительных приборов. Пробник направляют стрелочкой по условно положительному направлению искомых токов.

Включают моделирование нажатием кнопки . В таблицах показаний пробников считывают токи I(dc). Согласно полученным результатам ток I1= –101мА, ток I2 = 221мА, ток I3 = 99,2 мА, ток I4 = – 320 мА. Знак минус говорит о том, что фактическое направление этих токов в ветвях противоположно условно принятому в начале расчета данной схемы.

Рис. 2. Схемотехническая модель цепи.

Читайте также:

Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

Формула правила соединения Кирхгофа

В замкнутой цепи может быть любое количество элементов схемы, таких как батареи и резисторы. Цепь может разветвляться, создавая «переходы», где цепь разделяется или рекомбинирует. Сумма токов на переходе и на выходе должна быть равна нулю. Это известно как правило Кирхгофа. Сила тока измеряется в амперах (А).

I = ток, (Амперы, А)

Формула правила соединения Кирхгофа Вопросы:

1) Схема на рисунке ниже состоит из двух резисторов и источника напряжения (батареи).Ток перед переходом «а» равен I _a , ток через резистор R ₁ равен I ₁ , а ток через резистор R ₂ равен I ₂ . На рисунке приведены значения I _a и I ₂ . Исходя из этой цифры, каково значение тока I ₁ ?

Ответ: Правило соединения Кирхгофа гласит, что сумма токов в переходе и на выходе должна быть равна нулю. В этом случае I ₁ подключен к переходу «a», и сумма токов в переходе и на выходе из перехода «a» может использоваться для определения значения I ₁ .Направление токов на стыке имеет значение. В этом случае показано, как ток течет по цепи по часовой стрелке. Это означает, что один ток течет внутрь, а два тока выходят из перехода «а». Сумма токов в переходе «a» и вне его составляет:

Значение I ₁ можно найти, переставив формулу выше:

Значение тока I ₁ равно 3.50 А (Амперы).

2) Схема на рисунке ниже состоит из трех резисторов и источника напряжения (батареи). Ток перед переходом «a» равен I _a , ток перед переходом «b» равен I _b , ток через резистор R ₁ равен I ₁ , ток через резистор R ₂ равен I. ₂ , а ток через резистор R ₃ равен I ₃ . На рисунке приведены значения I _a , I ₁ и I ₂ .Исходя из этой цифры, каково значение тока I ₃ ?

Ответ: Правило соединения Кирхгофа гласит, что сумма токов в переходе и на выходе должна быть равна нулю. В этом случае I ₃ подключается к разветвлению «b». Направление токов на стыках имеет важное значение. В этом случае показано, как ток течет по цепи по часовой стрелке. Суммы токов, протекающих в переходах «a» и «b» и выходящих из них, можно использовать для определения значения I ₃ .Сумма токов в переходе «a» и вне его составляет:

Сумма токов в переходе «b» и вне его составляет:

Эти два уравнения можно объединить для решения I ₃ . Обычный способ выразить это так: у нас есть «два уравнения и две неизвестные». Значения I _b и I ₃ неизвестны, но с двумя уравнениями информации достаточно для решения проблемы.Уравнения можно обозначить (1) и (2):

(1)

(2)

Уравнение (1) можно изменить, чтобы выделить I _b слева от знака равенства:

Теперь это уравнение для I _b может заменить I _b в уравнении (2):

Теперь это можно изменить, чтобы найти I ₃ :

Значение тока I ₃ равно 3.00 А (Амперы).

.

систем линейных уравнений, примеры решений, изображения и практические задачи. Система просто ..

Система линейных уравнений означает два или более линейных уравнения. (Проще говоря: «две или более линий») Если эти два линейных уравнения пересекаются, эта точка пересечения называется решением системы линейных уравнений.

Что такое система уравнений?

Ответ

Система уравнений означает просто «более одного уравнения».’. Система линейных уравнений — это не более 1 строки, см. Рисунок:

Хорошо, а каково решение системы уравнений?

Ответ

Решение находится там, где уравнения «встречаются» или пересекаются. Красная точка — это решение системы.

Сколько решений могут иметь системы линейных уравнений?

Ответ

Может быть нулевое решение, одно решение или бесконечное количество решений — каждый случай подробно описан ниже. Примечание. Хотя системы линейных уравнений могут иметь 3 или более уравнений, мы собираемся обратиться к наиболее распространенному случаю — стержню с ровно 2 линиями.

Вариант I: 1 Решение

Это наиболее распространенная ситуация, в которой линии пересекаются ровно 1 раз.

Дело 2: Нет решений

Это происходит только тогда, когда линии параллельны. Как видите, параллельные линии никогда не встретятся.

Пример стержня, у которого нет решения:

• Строка 1: y = 5x + 13
• Строка 2: y = 5x + 12

Случай 3: Бесконечные решения

Это самый редкий случай, и он возникает только тогда, когда у вас есть одна и та же строка
Рассмотрим, например, две строки ниже (y = 2x + 1 и 2y = 4x + 2). Эти два уравнения — одна и та же линия.

Пример системы с бесконечным числом решений:

• Строка 1: y = 2x + 1
• Строка 2: 2y = 4x + 2

Пример 1

Решение системы уравнений слева — это (2, 2), которое отмечает точку пересечения двух линий.

Как мы можем найти решения систем уравнений?

Найти решение системы линейных уравнений можно любым из следующих способов:

Видео
о решениях систем уравнений

.

Согласованные и несовместимые системы уравнений

Все системы уравнений, которые мы видели в этом разделе, имели уникальные
решения. Они называются согласованными системами уравнений, что означает, что
для данной системы существует один набор решений для различных переменных в
система или бесконечное множество наборов решений. Другими словами, пока мы можем
найти решение для системы уравнений, мы называем эту систему непротиворечивой

Чтобы система уравнений с двумя переменными была согласованной, линии, образованные
уравнения должны встретиться в какой-то момент или они должны быть параллельны.

Чтобы система уравнений с тремя переменными была непротиворечивой, уравнения составляли
по уравнениям должны выполняться два условия:

1. Все три плоскости должны быть параллельны
2. Любые две плоскости должны быть параллельны, а третья должна встречаться с одной из плоскостей.
   в какой-то момент, а другой в другой.

Учитывая, что такие системы существуют, можно с уверенностью заключить, что несовместимые системы
тоже должны существовать, и они есть.Несогласованные системы уравнений называются
как таковой, потому что для данного набора переменных не существует набора решений для
система уравнений.

Несогласованные системы возникают, когда линии или плоскости, образованные из систем уравнений
не встречаются ни в одной точке и не параллельны (все или только два и
третий в какой-то момент встречает один из самолетов.)

Двухпараметрическая система уравнений с бесконечным множеством решений

Уравнения в системе уравнений с двумя переменными являются линейными и, следовательно, могут быть
мыслится как уравнения двух линий.Когда эти две линии параллельны, тогда
система имеет бесконечно много решений.

Когда две прямые параллельны, их уравнения обычно могут быть выражены как кратные
друг друга, и это обычно быстрый способ обнаружить системы с бесконечным количеством
решения.

Например , попробуем решить систему уравнений ниже:

Используя метод подстановки, мы можем решить следующие переменные:

Из уравнения (1)

подставив указанное выше в уравнение (2)

В приведенном выше уравнении мы видим, что мы потеряли все переменные из уравнения.Это означает, что мы можем выбрать любое значение x или y , а затем заменить его
в любое из двух уравнений, а затем решите для другой переменной.

Например, если мы выберем x = 0 , то если мы подставим это в уравнение (1)
получим y = 1 . Любое значение, которое мы выберем для x , даст другое
значение для y и, следовательно, существует бесконечно много решений для системы
уравнения.

Системы уравнений с двумя переменными без РЕШЕНИЯ

Также существуют системы уравнений с двумя переменными, не имеющие никакого решения. Эта
происходит, когда, пытаясь решить систему, мы получаем уравнение, которое делает
математически нет смысла.

Например, , решите систему уравнений ниже:

Используя матричный метод, мы можем решить эту проблему следующим образом:

Преобразование вышеуказанного в форму Row Echelon может быть выполнено следующим образом:

Добавление строки 2 к строке 1:

Уравнение, сформированное из второй строки матрицы, имеет вид

которое значит что:

Но мы знаем, что это математически невозможно.Когда мы сталкиваемся с
выше, мы говорим, что система уравнений имеет НЕТ РЕШЕНИЯ . Таким образом, мы называем
таким системам как несовместимым, потому что они не имеют математического смысла.

Системы уравнений с тремя переменными и бесконечными решениями

Обсуждая различные методы решения систем уравнений, мы только смотрели
на примерах систем с одним уникальным набором решений.Они известны как согласованные
системы уравнений, но они не единственные. Системы уравнений с тремя переменными
с бесконечным множеством решений также называются согласованными.

Поскольку уравнения в системе уравнений с тремя переменными являются линейными, они могут
также можно рассматривать как уравнения плоскостей. Как эти самолеты взаимодействуют с каждым
other определяет, какой набор решений у них есть и есть ли у них
набор решений.Когда эти плоскости параллельны друг другу, то система уравнений
что они образуют, имеет бесконечно много решений.

Как и в случае с двумя системами переменных, три системы переменных имеют бесконечный набор
решения, если при решении переменных вы получите уравнение, где
все переменные исчезнут.

Например ; решите систему уравнений ниже:

Решение:

Матричным методом:

В последней строке приведенной выше расширенной матрицы мы закончили со всеми нулями на
обе стороны уравнений.Это означает, что две из плоскостей, образованных уравнениями
в системе уравнений параллельны, и поэтому система уравнений называется
иметь бесконечный набор решений. Решаем для любого из множества, назначая один
переменная в оставшихся двух уравнениях, а затем решение для двух других.

Например, , если взять y = 3

Тогда:

Затем, используя уравнение первой строки, мы решаем относительно x

Три переменных системы без РЕШЕНИЯ

Три переменных системы уравнений без решения возникают, когда
в силу того, что уравнения системы не пересекаются в точке и не параллельны.Как
В результате, решая эти системы, мы получаем уравнения, которые не делают математических
смысл.

Например ; решить систему уравнений ниже

Решение:

Матричным методом:

В последней строке мы получили уравнение 0 = 6 , которое, как мы знаем, не может
быть верным, и поэтому мы заключаем, что система уравнений не имеет решения.

.

Решения системы уравнений

Система уравнений относится к ряду уравнений с одинаковым числом
переменных. Мы рассмотрим только случай двух линейных уравнений в двух
неизвестные. Ситуация становится намного более сложной, поскольку количество неизвестных
увеличивается, и большие системы обычно атакуются с помощью компьютера.

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными может выглядеть как

Это стандартная форма для написания уравнений, когда они являются частью
система уравнений: переменные идут по порядку в левой части, а
постоянный член справа.Скобка слева указывает, что два
уравнения предназначены для одновременного решения, но это не всегда используется.

Когда мы говорим о решении этой системы уравнений, мы имеем в виду
значения переменных, которые делают оба уравнения истинными одновременно.
Может быть много пар x и y , которые составляют первое уравнение
истина, и многие пары x и y , которые составляют второе уравнение
правда, но мы ищем x и y , которые будут работать в и
уравнения.На следующих страницах мы рассмотрим алгебраические методы нахождения
это решение, если оно существует.

Поскольку это линейные уравнения, их графики будут прямыми линиями.
Это может помочь нам визуализировать ситуацию графически. Есть три
возможности:

1. Независимые уравнения

линий
пересечь

Один
раствор

В этом случае два уравнения описывают линии
которые пересекаются в одной конкретной точке.Ясно, что эта точка находится на обеих линиях,
и поэтому его координаты ( x , y ) будут удовлетворять
уравнение любой линии. Таким образом, пара ( x , y ) является одной и
единственное решение системы уравнений.

2. Зависимые уравнения

Уравнения
описать ту же строку

Бесконечный
количество решений

Иногда два уравнения могут выглядеть по-разному, но на самом деле описывают
та же линия.Например, в

Второе уравнение всего в два раза больше первого
уравнение, поэтому они фактически эквивалентны и оба будут уравнениями
та же линия. Поскольку два уравнения описывают одну и ту же линию, у них все
их общие точки; следовательно, существует бесконечное количество решений
система.

• Попытка решить дает идентификацию

Если вы попытаетесь решить зависимую систему с помощью
алгебраическими методами, вы в конечном итоге столкнетесь с уравнением, которое является тождеством .Идентичность — это уравнение, которое всегда верно, независимо от значения (значений)
любая переменная (и). Например, вы можете получить уравнение, которое выглядит следующим образом: x = x ,
или 3 = 3. Это говорит о том, что система является зависимой,
и вы можете остановиться прямо здесь, потому что вы никогда не найдете уникального решения.

3. Несогласованные уравнения

• Линии не пересекаются (параллельные линии;
  тот же уклон)
• Нет решений

Если две линии имеют одинаковый наклон, но
не являются идентично одной и той же линией, то они никогда не пересекутся.Здесь нет
пара ( x , y ), которая могла бы удовлетворить оба уравнения, потому что существует
нет точки ( x , y ), которая находится одновременно на обеих строках. Таким образом, эти
уравнения несовместимы с , и решения нет. В
тот факт, что они оба имеют одинаковый наклон, может быть неочевидным из уравнений,
потому что они не написаны в одной из стандартных форм для прямых линий.
Наклон не так очевиден в той форме, в которой мы пишем системы
уравнения.(Если вы подумаете, то увидите, что наклон отрицательный.
коэффициента x , деленного на коэффициент y ).

• Попытка решить дает ложное утверждение

Пытаясь решить такую ​​систему
алгебраически, вы действуете на ложном предположении, а именно, что
решение существует. Это в конечном итоге приведет вас к противоречию : a
утверждение, которое явно неверно, независимо от значения (значений) переменной (ей).В какой-то момент в вашей работе вы получите заведомо ложное
уравнение вида 3 = 4. Это говорит о том, что система уравнений
непоследовательно, и решения нет.

.