Восьмеричная система счисления имеет основание: Восьмеричная система счисления

Содержание

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную – Документ 2 – УчМет

Тема
урока: «Перевод
чисел из любой системы счисления в
десятичную».
Предмет:
Информатика
Класс:
9
Учебник:
Н.В.Макарова. Информатика. Учебник для
7-9 класса
Тип
урока:
урок изучения нового материала.

Этапы
урока:

Организационный.
Повторение
теоретического материала.
Сообщение
темы и цели урока.
Изучение
нового материала
Закрепление
изученного материала.
Задание
на дом.
Подведение
итогов.

Оборудование:

Цели
урока:
1. Развитие
знаний, умений и навыков по теме.

2.
Формирование у учащихся навыков и умений
переводить числа из любой системы
счисления в десятичную.
3.
Повышение интереса к изучаемой теме и
предмету.
4.
Развитие логического мышления.
5.
Воспитание аккуратности, настойчивости
и целеустремлённости в достижении
поставленной цели.

Ход
урока

1)
Организационная
часть.
Приветствие
учащихся и контроль посещаемости.

2)
Повторение
теоретического материала.

Выполнение
теста:
Тест
по теме «Системы счисления»

1
вариант

В
зависимости от способа изображения
чисел системы счисления делятся на:

А)
арабские и римские;

Б)
позиционные и непозиционные;

В)
представление в виде ряда и в виде
разрядной сетки.

Двоичная
система счисления имеет основание:

А)
10; Б) 8; В) 2.

Для
представления чисел в шестнадцатеричной
системе счисления используются:

А)
цифры от 0 до 9 и буквы латинского алфавита
от A
до F;

Б)
буквы латинского алфавита от A
до Q;

В)
числа от 0 до 16.

В
какой системе счисления может быть
записано число 402:

А)
двоичной; Б) троичной;

В)
пятеричной; Г) восьмеричной.

Чему
равно число DXXVII
в десятичной системе счисления:

А)
527; Б) 499; В)474.

Недостатком
непозиционной системы счисления
является:

А)
сложно выполнять арифметические
действия;

Б)ограниченное
число символов, необходимых для записи
числа;

В)
различное написание цифр у разных
народов.

Даны
системы счисления: двоичная, восьмеричная,
десятичная, шестнадцатеричная. Запись
вида 352:

А)
отсутствует в двоичной системе счисления;

Б)
отсутствует в восьмеричной системе
счисления;

В)
существует во всех названных системах
счисления.

Какие
цифры используются в семеричной системе
счисления:

А)
0, 1, 6; Б) 0, 8, 9; В) 0, 6, 7.

Какое
минимальное основание должна иметь
система счисления, если в ней можно
записать числа 341, 123, 222, 111:

А)
3; Б) 4; В) 5.

Когда
2 • 2 = 11?

А)
в двоичной системе счисления;

Б)
в троичной системе счисления;

В)
в четвертичной системе счисления.

Как
записывается максимальное 4-разрядное
положительное число в троичной системе
счисления?

А)
2222; Б) 1111; В) 3333

Цифры
– это:

А)
символы, участвующие в записи числа;

Б)
буквы, участвующие в записи числа;

В)
пиктограммы, участвующие в записи числа.

2
вариант

Система
счисления – это:

А)
представление числа в экспотенциальной
форме;

Б)
представление чисел с постоянным
положением запятой;

В)
способ представления чисел с помощью
символов, имеющих определенное
количественное значение;

Пятеричная
система счисления имеет основание:

А)
5; Б) 3; В) 4.

Для
представления числа в восьмеричной
системе счисления используются цифры:

А)
от 1 до 8; Б) от 0 до 9; В) от 0
до 7.

В
какой системе счисления может быть
записано число 750?

А)
в восьмеричной; Б) в семеричной;

В)
в шестнадцатеричной.

Чему
равно число CDXIV
в десятичной системе счисления?

А)
616; Б) 614; В) 414.

Преимуществом
позиционной системы счисления является:

А)
сложно выполнять арифметические
действия;

Б)ограниченное
число символов, необходимых для записи
числа;

В)
различное написание цифр у разных
народов.

Даны
системы счисления: двоичная, восьмеричная,
десятичная, шестнадцатеричная. Запись
вида 692:

А)
отсутствует в десятичной системе
счисления;

Б)
отсутствует в восьмеричной системе
счисления;

В)
существует во всех называемых системах
счисления

Какие
цифры используются в семеричной системе
счисления?

А)
0, 1, 6; Б) 0, 8, 9; В) 1, 6, 7

Какое
минимальное основание должна иметь
система счисления, если в ней можно
записать числа: 432, 768, 568, 243?

А)
10; Б) 8; В) 9.

Когда
2 • 2 = 11?

А)
в пятеричной системе счисления;

Б)
в троичной системе счисления;

В)
в четвертичной системе счисления.

Как
записывается максимальное 3-разрядное
положительное число в четверичной
системе счисления:

А)
333; Б) 222; в) 3333.

Число
– это:

А)
ряд символов;

Б)
обозначение некоторой величины;

В)
набор знаков.

Ключ
ответов

вариант

3)
Сообщение
темы и цели урока.
Сегодня
мы познакомимся с правилами
перевода чисел из любой системы счисления
в десятичную и
выполним задания по переводу чисел из
любой системы счисления
в десятичную.

4)
Изучение нового материала
(презентация)

Слайд
№2

Алгоритм
перевода чисел из любой системы счисления
в десятичную

Представьте
число в развернутой форме. При этом
основание системы счисления должно
быть представлено в десятичной системе
счисления

2.
Найдите сумму ряда. Полученное число
является значением числа десятичной
системы счисления.

Слайд
№3

Перевод
чисел из любой системы счисления в
десятичную

Например,
переведем число 1011₂
в десятичную систему счисления. Для
этого представим это число в виде
степеней двойки и произведем вычисления
в десятичной системе счисления.

1011₂
= 1*2³
+ 0*2²
+ 1*2¹
+ 1*2⁰
= 1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Рассмотрим
еще один пример. Переведем число 52,74₈
в десятичную систему счисления.

52,74₈
= 5*8¹
+ 2*8⁰
+ 3*8^-1
+ 4*8^-2
= 5*8 + 2*1 + 7*1/8 +4*1/64 = 40 + 2 + 0,875 + 0,0625 = 42,9375₁₀

Слайд
№4

Перевод
чисел из 8-ой системы счисления в 10-ую

Перевод
чисел из 16-ой системы счисления в 10-ую

Слайд
№5

Алгоритм
перевода целых двоичных чисел в систему
счисления с основанием q
= 2ⁿ.

1.
Двоичное число разбить справа налево
на группы по n
в каждой.

2.
Если в левой последней группе окажется
меньше n
разрядов, то ее надо дополнить слева
нулями до нужного числа разрядов.

3.
Рассмотреть каждую группу как n-разрядное
двоичное число и записать ее соответствующей
цифрой в системе счисления с основанием
q =
2ⁿ

Слайд
№6

Пример

Перевести
число 1100101001101010111₂
в восьмеричную систему счисления.

Разбиваем
число на группы по три цифры – триады
(т.к. Q
=8, 8=2ⁿ,
n
=3) слева на право и, пользуясь таблицей,
записываем соответствующее восьмеричное
число

001	100	101	001	101	010	111
1	4	5	1	5	2	7

Дополняем.

Получаем:
145127₈

Слайд
№7

Пример

Перевести
число 1100101001101010111₂
в шестнадцатеричную систему счисления.

Разбиваем
число на группы по три цифры – триады
(т.к. q
=16, 16=2n,
n
=4) слева направо и, пользуясь таблицей,
записываем соответствующее шестнадцатеричное
число

0110	0101	0011	0101	0111
6	5	3	5	7

Дополняем.

Получаем:
65357₁₆

III.Закрепление

Переведите
число 1101₂
в десятичную систему счисления.
Переведите
число 0,123₅
в десятичную систему счисления.
Переведите
число 16,4₈
в десятичную систему счисления.

IV.Домашнее
задание Н.В.Макарова
Информатика. Учебник тема 23.2стр 306,
учебник-конспект (Составитель Сумцова
О.В.) стр. 81, 82

1.3. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. — Основы информатики

1.3.1.ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.

Все фантастические возможности вычислительной техники (ВТ) реализуются путем создания разнообразных комбинаций сигналов высокого и низкого уровней, которые условились называть «единицами» и «нулями».

Система счисления(СС) — это система записи чисел с помощью определенного набора цифр.CС называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, которое определяется ее местом в числе. Десятичная СС является позиционной: 999.Римская СС является непозиционной. Значение цифры Х в числе ХХІ остается неизменным при вариации ее положения в числе.Количество различных цифр, употребляемых в позиционной СС, называется основанием СС.

Развернутая форма числа — это запись, которая представляют собой сумму произведений цифр числа на значение позиций.

Например: 8527=8*10³+5*10²+2*10¹+7*10⁰

Развернутая форма записи чисел произвольной системы счисления имеет вид

, где

X — число;
a — основа системыисчисления;
i — индекс;
m — количество разрядов числа дробной части;
n — количество разрядов числа целой части.

Например: 327.46 n=3, m=2, q=10

Если основание используемой СС больше десяти, то для цифр вводят условное обозначение со скобкой вверху или буквенное обозначение.

Например: если 10=А, а 11=В, то число 7А.5В₁₂можно расписать так:

7А.5В₁₂= В·12^-2+ 5 ·2^-1+А ·12⁰+ 7 ·12¹.

В шестнадцатеричной СС основа — это цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 с соответствующими обозначениями 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Примеры чисел: 17D.ECH, F12AH.

ДвоичнаяСС— это система, в которой для записи чисел используются две цифры 0 и 1. Основанием двоичной системы счисления является число 2.

Двоичный код числа — запись этого числа в двоичной системе счисления. Например,

0=0₂
1=1₂
2=10₂
3=11₂…
7=111₂
120=1111000₂.

В ВТ применяют позиционные СС с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную. Для обозначения используемой СС число снабжают верхним или нижним индексом, в котором записывают основание СС. Другой способ – использование латинских букв после записи числа:

D – десятичная СС
В – двоичная СС
О – восьмеричная СС
Н – 16-ричная СС.

Несмотря на то, что 10-тичная СС имеет широкое распространение, цифровые ЭВМ строятся на двоичных элементах, т.к. реализовать элементы с 10 четко различимыми состояниями сложно. Историческое развитие ВТ сложилось таким образом, что ЭВМ строятся на базе двоичных цифровых устройств: триггеров, регистров, счетчиков, логических элементов и т.д.

16-ричная и 8-ричная СС используются при составлении программ на языке машинных кодов для более короткой и удобной записи двоичных кодов – команд, данных, адресов и операндов.

Задача перевода из одной СС в другую часто встречается при программировании, особенно, на языке Ассемблера. Например, при определении адреса ячейки памяти. Отдельные стандартные процедуры языков программирования Паскаль, Бейсик, Си, HTML требуют задания параметров в 16-ричной СС. Для непосредственного редактирования данных, записанных на жесткий диск, также необходимо умение работать с 16-ричными числами. Отыскать неисправность в ЭВМ невозможно без представлений о двоичной СС.

В таблице приведены некоторые числа, представленные в различных СС.

Двоичные числа	Восьмеричные числа	Десятичные числа	Шестнадцатеричные числа
0	0	0	0
1	1	1	1
10	2	2	2
11	3	3	3
100	4	4	4
101	5	5	5
110	6	6	6
111	7	7	7
1000	10	8	8
1001	11	9	9
1010	12	10	A
1011	13	11	B
1100	14	12	C
1101	15	13	D
1110	16	14	E
1111	17	15	F

1.3.2. ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СС В ДЕСЯТИЧНУЮ И ОБРАТНО.

Перевод чисел из произвольной системы в десятичную. Для перевода числа из любой позиционной СС в десятичную необходимо использовать развернутую форму числа, заменяя, если это необходимо, буквенные обозначения соответствующими цифрами. Например:

1101₂=1*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰=13₁₀

17D.ECH=12·16^-2 + 14·16^-1 +13·16⁰ + 7·16¹ + 1·16²=381.921875

Перевод чисел из десятичной СС в заданную.

1) Для преобразования целых чисел десятичной системы счисления в число любой системы счисления последовательно выполняют деление нацело на основание СС, пока не получат нуль. Числа, которые возникают как остаток от деления на основание СС, представляют собой последовательную запись разрядов числа в выбранной СС от младшего разряда к старшему. Поэтому для записи самого числа остатки от деления записывают в обратном порядке.

Например:

Читая остатки от деления снизу вверх, получим 111011011.

Проверка:

1*2⁸+1*2⁷+1*2⁶+0*2⁵+1*2⁴+1*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰=1+2+8+16+64+128+256=475₁₀.

2) Для преобразования десятичных дробей десятичной СС в число любой СС последовательно выполняют умножение на основание системы счисления , пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Полученные целые части являются разрядами числа в новой системе, и их необходимо представлять цифрами этой новой системы счисления. Целые части в дальнейшем отбрасываются.

Например: перевести число 0.375 ₁₀в двоичную СС.

Полученный результат — 0.011₂.

Необходимо отметить, что не каждое число может быть точно выражено в новой системе счисления, поэтому иногда вычисляют только требуемое количество разрядов дробной части, округляя последний разряд.

1.3.3. ПЕРЕВОД МЕЖДУ ОСНОВАНИЯМИ, СОСТАВЛЯЮЩИМИ СТЕПЕНЬ 2.

Для того, чтобы из восьмеричной системы счисления перевести число в двоичный код, необходимо каждую цифру этого числа представить триадой двоичных символов. Лишние нули в старших разрядах отбрасываются.

Например:

1234.777₈= 001 010 011 100.111 111 111₂= 1 010 011 100.111 111 111₂

1234567₈= 001 010 011 100 101 110 111₂= 1 010 011 100 101 110 111₂

Обратный перевод: каждая триада двоичных цифр заменяется восьмеричной цифрой, при этом, если необходимо, число выравнивается путем дописывания нулей перед целой частью или после дробной.

Например:

1100111₂= 001 100 111₂= 147₈

11.1001₂= 011.100 100₂= 3.44₈

110.0111₂= 110.011 100₂= 6.34₈

При переводах между двоичной и шестнадцатеричной СС используются четверки цифр. При необходимости выравнивание выполняется до длины двоичного числа, кратной четырем.

Например:

1234.AB77₁₆= 0001 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111₂=1 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111₂

CE4567₁₆= 1100 1110 0100 0101 0110 0111₂

0.1234AA₁₆= 0.0001 0010 0011 0100 1010 1010₂

1100111₂= 0110 0111₂= 67₁₆

11.1001₂= 0011.1001₂= 3.9₁₆

110.0111001₂= 0110.0111 0010₂= 65.72₁₆

При переходе из восьмеричного счисления в шестнадцатеричное счисление и обратно используется вспомогательный двоичный код числа.

Например:

1234567₈= 001 010 011 100 101 110 111₂= 0101 0011 1001 0111 0111₂= 53977₁₆

0.12034₈= 0.001 010 000 011 100₂= 0.0010 1000 0011 1000₂= 0.2838₁₆

120.34₈= 001 010 000. 011 100₂= 0101 0000.0111 0000₂= 50.7₁₆

1234.AB77₁₆= 0001 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111₂=

= 001 001 000 110 100.101 010 110 111 011 100₂= 11064.526734₈

CE4567₁₆= 1100 1110 0100 0101 0110 0111₂= 110 011 100 100 010 101 100 111₂= 63442547₈

0.1234AA₁₆=0.0001 0010 0011 0100 1010 1010₂=0.000 100 100 011 010 010 101 010₂=0.04432252₈

Восьмеричная система — счисление — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Восьмеричная система — счисление

Cтраница 1

Восьмеричная система счисления применяется для записи программы вычислений на ЭВМ благодаря простоте перевода чисел из восьмеричной в двоичную систему и обратно.
[1]

Восьмеричная система счисления играет в ЭВМ вспомогательную роль и используется для компактной записи двоичных кодов чисел и машинных команд ЭВМ, в различных периферийных устройствах и устройствах подготовки данных. Разбиение двоичного числа на триады осуществляется влево и вправо от запятой, отделяющей целую часть числа от дробной. Если крайние триады получаются неполными, то они дополняются нулями.
[2]

Восьмеричная система счисления способствует компактности записи двоичного числа во внешней форме. Двоичный код, подлежащий переводу в восьмеричный, разбивают по триадам, начиная с младших разрядов, и каждой триаде ставят в соответствие разряд восьмеричного числа.
[3]

Восьмеричная система счисления удобна тем, что от нее легко можно перейти к двоичной системе счисления. После того как данные записаны в восьмеричной системе, их в процессе ввода в машину чисто механическим путем переводят в двоичную систему счисления.
[4]

Восьмеричная система счисления является наиболее распространенной для кодирования команд машины.
[5]

Восьмеричная система счисления применяется программистами для записи вручную программы, а именно для кодирования команд и адресов. Для этой цели восьмеричная система удобна в том отношении, что она более экономична ( требует меньшего числа разрядов, чем двоичная) и в то же время перевод из восьмеричной системы в двоичную очень прост. Одному разряду восьмеричной системы соответствуют три разряда двоичной системы. Поэтому каждый разряд восьмеричной системы переводится в двоичную систему в отдельности.
[6]

Восьмеричная система счисления, так же как и шестнадцатеричная, вследствие простоты перевода в двоичную систему широко применяется для представления команд в программе при подготовке задач.
[7]

Восьмеричная система счисления имеет основанием число восемь.
[8]

Восьмеричная система счисления удобна при выполнении вручную перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную. При этом перевод выполняется в следующем порядке: десятичное число — восьмеричное число — двоичное число.
[9]

Восьмеричная система счисления является наиболее распространенной для кодирования команд машины.
[10]

Восьмеричная система счисления используется для кодирования операций, нумерации ячеек оперативной и внешней памяти.
[11]

Восьмеричная система счисления применяется в ЭВМ в основном для составления программ, так как позволяет производить более короткую и удобную запись двоичных чисел.
[12]

Восьмеричную систему счисления используют при подготовке задачи к решению ( программировании), для записи на бланках порядковых номеров команд, кодов операций и адресов в командах. Данная система удобна тем, что в ней запись числа короче в три раза, чем в двоичной системе счисления. Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную и обратно несложен, поскольку он может выполняться при помощи простых электронных и электромеханических схем.
[13]

Однако восьмеричная система счисления ( так же как двоичная) не используется ни в экономике, ни в технике, и поэтому исходные данные в этой системе не задаются. Тем не менее преимущества восьмеричной системы используются при работе ЭВМ для задания машине программы обработки данных и ряда констант. Команды, образующие программу, кодируются в восьмеричной системе.
[14]

Основание восьмеричной системы счисления записывается как 10 ( восемь), оно больше единицы в восемь раз.
[15]

Страницы:

1

2

3

4

§7. Системы счисления

Содержание урока

Что такое система счисления?

Непозиционные системы счисления

Позиционные системы счисления

Выводы. Интеллект-карта

Вопросы и задания

Проект

Позиционные системы счисления

Позиционная система счисления — это такая система, в которой значение цифры полностью определяется её местом (позицией) в записи числа.

Пример позиционной системы счисления — привычная нам десятичная система. В числе 6375 цифра 6 обозначает тысячи (6000), цифра 3 — сотни (300), цифра 7 — десятки (70), а цифра 5 — единицы:

6375 = 6 • 1000 + 3 • 100 + 7 • 10 + 5 • 1

Алфавит системы счисления — это используемый в ней набор цифр.

Основание системы счисления — это количество цифр в алфавите (мощность алфавита).

В десятичной системе основание — 10, алфавит состоит из 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Число 10, вероятно, было выбрано потому, что люди сначала использовали для счета свои 10 пальцев на руках.

Разряд — это позиция цифры в записи числа. Разряды в записи целых чисел нумеруются с нуля справа налево.

В числе 6375 цифра 6 стоит в третьем разряде (тысячи, 10³), 3 — во втором разряде (сотни, 10²), 7 — в первом (десятки, 10¹), а 5 — в нулевом (единицы, 10⁰). Поэтому

Это развёрнутая форма записи числа. Не забывайте, что любое число (кроме нуля!) в нулевой степени равно 1.

Запишите числа 158 и 1879 в развёрнутой форме.

Используя развёрнутую форму записи числа в десятичной системе счисления, определите, чему равен:

а) остаток от деления некоторого числа на 10;

б) остаток от деления некоторого числа на 100.

Как определить, что число без остатка делится на 10? На 100?

Все другие позиционные системы счисления, которые мы будем изучать, устроены так же, как и десятичная система, изменяется только основание. В первую очередь нас будет интересовать двоичная система (система с основанием 2). Она позволяет записать любое число в двоичном коде, который используется в компьютерах для хранения всех данных.

Мы познакомимся также с восьмеричной и шестнадцатеричной системами, которые применяют для сжатой записи двоичных кодов.

Как вы думаете, какие основания имеют восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?

Какой алфавит может быть у двоичной системы счисления? У восьмеричной системы? У шестнадцатеричной системы?

Если число записано в позиционной системе с основанием, не равным 10, это основание записывают справа от числа как нижний индекс. Например, число 10110₂ записано в двоичной системе, 123₅ — в пятеричной, а 745₈ — в восьмеричной, а 296₁₆ — в шестнадцатеричной.

Запишите числа 10110₂, 123₅ , 745₈ и 296₁₆ в развёрнутой форме и представьте их в десятичной системе счисления.

Найдите числа, которые записаны неправильно.

456₈ 102₂ 365₁₂ 578₈ 172₉ 521₄
Как вы рассуждали?

Представьте число 23 в развёрнутой форме через степени числа 2. Как теперь можно записать это число в двоичной системе счисления?

Составьте таблицу степеней числа 2, от 2¹ до 2¹³.

Для чисел 12, 75, 150 и 513 определите старшую степень числа в развёрнутой форме через степени числа 2. Как вы рассуждали?

Сформулируйте правило перевода числа из любой позиционной системы в десятичную.

Если основание системы счисления неизвестно, всё равно можно записать число в развёрнутой форме, обозначив основание как неизвестную величину х:

325_х = 3 • х² + 2 • х¹ + 5 • х⁰ = 3 — х² + 2 • х + 5.

В последнем равенстве учтено, что х¹ = х и х⁰ = 1.

Задача. В некоторой системе счисления число 58 записывается как 46_x. Определите основание х этой системы счисления.

Решение. Поскольку в записи числа 46_x. есть цифра 6, можно сразу сказать, что х > 6 (в алфавитах систем счисления с меньшим основанием цифры 6 нет). Представим число 46_x в развёрнутой форме: 46_x = 4 • х + 6, и приравняем к 58:

4 • х + 6 = 58.

Решив это уравнение, получаем: х = 13.

В некоторой системе счисления число 45 записывается как 63_x. Определите основание х этой системы счисления.

Найдите основание х системы счисления, в которой выполняется равенство 16_x + 33_x = 52_x.

Найдите все основания х систем счисления, в которых верно неравенство 2_x + 32_x > 102_x .

Как записывается наименьшее трёхзначное число в системе счисления с основанием х? Чему оно равно в десятичной системе?

Как записывается наибольшее трёхзначное число в системе счисления с основанием х? Чему оно равно в десятичной системе?

Найдите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 30 имеет 3 значащих разряда.

Вася составил задачу: «В какой системе счисления число 15 записывается как 25_x?». Есть ли у неё решение? Обоснуйте ответ.

Следующая страница Выводы. Интеллект-карта

Cкачать материалы урока

Восьмеричная система счисления

☰

При описании двоичной системы счисления было упомянуто, почему современное «железо» понимает только двоичную систему. Однако человеку трудно воспринимать длинные записи нулей и единиц, а переводить числа из двоичной в десятичную систему и обратно трудоемко.

Поэтому в программировании иногда используют другие системы счисления – восьмеричную и шестнадцатеричную. Поскольку 8 и 16 являются степенями двойки,

8 = 2³, 16 = 2⁴

преобразование двоичного числа в эти системы, также как обратная операция, выполняются просто.

В восьмеричной системе счисления используется восемь знаков-цифр (от 0 до 7). Каждой цифре соответствует число из трех цифр в двоичной системе счисления:

Для преобразования двоичного числа в восьмеричное надо разбить его на тройки цифр и заменить каждую тройку соответствующей ей одной цифрой из восьмеричной системы счисления. Разбивать двоичное число на тройки следует с конца, а вместо недостающих цифр в начале можно записать нули.

1011101 = 1 011 101 = 001 011 101 = 1 3 5 = 135

В примере число 1011101 в двоичной системе приводится к числу 135 в восьмеричной системе счисления.

1011101₂ = 135₈

Обратный перевод, когда восьмеричное число переводится в двоичное, выполняется аналогично. Только здесь на место восьмеричных цифр подставляются двоичные числа, состоящие из трех цифр.

135 = 001 011 101

Как перевести восьмеричное число в десятичное? Здесь действует тот же алгоритм, как при преобразовании двоичного числа в десятичное. Вспомним его:

1101₂ = 1 * 2³ + 1 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13₁₀

Однако в случае восьмеричного числа за основание степени берется десятичное число 8:

135₈ = 1 * 8² + 3 * 8¹ + 5 * 8⁰ = 64 + 24 + 5 = 93₁₀

Преобразование десятичного числа в восьмеричное также похоже на перевод в двоичное, за исключением того, что делить надо на 8:

93 / 8 = 11, остаток 5
11 / 8 =  1, остаток 3
 1 / 8 =  0, остаток 1

Собираем остатки с конца и получаем число 135 в восьмеричной системе счисления.

Занятие 2

Повторение

Какие системы счисления называются позиционными? Приведите примеры.
Какие системы счисления называются непозиционными? Приведите примеры.
Почему непозиционные системы счисления не получили развития в математике?
Приведите примеры того, что, кроме десятичной позиционной системы счисления, человечество использовало и другие.
Как вычислить значение числа в римской системе счисления?
Запишите в римской системе счисления следующие числа: 144, 301, 1583, 2078, 959, 999.
Запишите в десятичной системе счисления, называя группы цифр: CMXLVI, CDLXIX, CMLXXX,MMCXC.
Дайте определения алфавита и основания (в позиционной) системе счисления.

Принципы записи чисел в позиционных системах счисления

&nbsp &nbsp
Наряду с понятиями алфавита и основания в позиционных системах счисления будем использовать понятие базиса.

&nbsp &nbsp
Базис позиционной системы счисления – это последовательность чисел, каждое из которых задает значение цифры «по месту» или «вес» каждого разряда.

&nbsp &nbsp
В привычной нам десятичной системе счисления базисом являются степени числа десять – 1, 10, 100, 1000, 1000… Это означает, что в записи числа каждая последующая цифра «весит» больше предыдущей в 10 раз. Более наглядно это проявляется в так называемой развернутой форме записи числа.

&nbsp &nbsp
444=4*10⁰+4+10¹+4*10²; 658=8*10⁰+5*10¹+6*10².

&nbsp &nbsp
Натуральный ряд чисел в десятичной системе счисления: 1..9, 10..99, 100…

&nbsp &nbsp
Кроме десятичной, мы будем рассматривать и другие позиционные системы счисления.

&nbsp &nbsp
В восьмеричной системе счисления основание равно 8, алфавит составляют цифры от 0 до 7, базисом является последовательность 1, 8, 8², 8³, 8⁴…, т.е., каждая последующая цифра в 8 раз больше предыдущей. В развернутой форме восьмеричное число записывается так: 345₈=5*8⁰+4*8¹+3*8²

&nbsp &nbsp
Натуральный ряд чисел в восьмеричной системе счисления: 1..7,10, 11..77, 100…

&nbsp &nbsp
Таким образом, справедливо, что 8₁₀=10₈.

&nbsp &nbsp
В троичной системе счисления основание равно 3, алфавит составляют цифры 0,1,2, базисом являются числа 1, 3, 3², 3³, 3⁴…,т.е., единица каждого разряда в 3 раза больше предыдущей. В развернутой форме троичное число записывается так: 120=0*3⁰+2*3¹+1*3². Натуральный ряд чисел в троичной системе счисления: 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100… Сравнивая десятичный и троичный рады натуральных чисел, получаем, что 3₁₀=10₃.

&nbsp &nbsp
Двоичная система счисления имеет алфавит, состоящий из цифр 0 и 1, основание, равное двум, базисную последовательность 1, 2, 2², 2³,2⁴,… Развернутая запись числа 10110₂=0*2⁰+1*2¹+1*2²+1*2³+1*2⁴. Натуральный ряд чисел: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111… Таким образом, 2₁₀=10₂.

&nbsp &nbsp
В шестнадцатеричной системе счисления в алфавите, кроме цифр 0..9, используются заглавные буквы латинского алфавита A, B, C, D, E, F, которые обозначают цифры 10, 11, 12, 13, 14, 15. Основание шестнадцатеричной системы счисления равно 16, базис составляют степени числа 16. Развернутая форма записи шестнадцатеричного числа 3А5₁₆=5*16⁰+10*16¹+3*16². Натуральный ряд чисел 1..9, А..F, 10, 11, 12… Значит, 16₁₀=10₁₆.

&nbsp &nbsp
Т.о., позиционная система счисления с основанием P характеризуется тем, что с помощью ограниченного набора цифр можно записать сколь угодно большое и сколь угодно малое число в виде суммы произведений цифр на положительные и отрицательные степени числа Р.

&nbsp &nbsp
В общем виде это можно записать так: a_na_n-1a_n-2…a₁a₀,b₁b₂…b_k=a_n*pⁿ+a_n-1*p^n-1+…+a₁*p¹+a₀*p⁰+b₁*p^-1+b₂*p^-2+…+b_k*p^-k

&nbsp &nbsp
где р — основание системы счисления, а_i,b_i – цифры р-ичного числа.

Правила перевода чисел в десятичную систему счисления

&nbsp &nbsp
Запишем в развернутой форме числа:

&nbsp &nbsp
143₁₀=3*10⁰+4*10¹+1*10²;

&nbsp &nbsp
143,78₁₀=3*10⁰+4*10¹+1*10²+7*10^-1+8*10^-2;

&nbsp &nbsp
56,31₈=6*8⁰+5*8¹+3*8^-1+1*8^-2;

&nbsp &nbsp
1011,01₂=1*2⁰+1*2¹+0*2²+1*2³+0*2^-1+1*2^-2;

&nbsp &nbsp
FC,15₁₆=12*16⁰+15*16¹+1*16^-1+5*16^-2;

&nbsp &nbsp
Если мы вычислим суммы, записанные в каждой строчке, то это будет не что иное, как число в десятичной системе счисления. Таким образом, получаем первый алгоритм (правило) перевода чисел в десятичную систему счисления.

Для перевода числа, записанного в системе счисления с основанием Р, в десятичную, нужно записать это число в развернутом виде, т.е. каждую цифру умножить не ее вес и вычислить сумму полученных произведений. Весом цифры называется соответствующая степень основания системы счисления.
Полученный алгоритм можно переформулировать следующим образом:
Для перевода числа, записанного в системе счисления с основанием Р, в десятичную, нужно пронумеровать цифры его целой части справа налево, начиная с 0, и дробной части – слева направо, начиная с (-1), затем найти произведение каждой цифры числа на степень основания, где показателем степени является номер цифры, и сложить полученные значения.

&nbsp &nbsp
Пусть число 341 записано цифрами девятеричной, восьмеричной, шестеричной и шестнадцатеричной систем счисления, найдем его десятичное значение.

&nbsp &nbsp
341₉=3*9²+4*9¹+1*9⁰=280₁₀;

&nbsp &nbsp
341₈=3*8²+4*8¹+1*8⁰=225₁₀;

&nbsp &nbsp
341₆=3*6²+4*6¹+1*6⁰=133₁₀;

&nbsp &nbsp
341₁₆=3*16²+4*16¹+1*16⁰=833₁₀;

Перевод чисел из десятичной системы счисления

&nbsp &nbsp
Целые числа

&nbsp &nbsp
Для обратного перевода нужно разложить десятичное число на слагаемые, содержащие максимальную степень основания нужной системы счисления. К примеру, переведем десятичное число 15 в двоичную, троичную и восьмеричную системы счисления соответственно:

&nbsp &nbsp
15₁₀=8+4+2+1=1*2³+1*2²+12¹+1*2⁰=1111₂;

&nbsp &nbsp
15₁₀=9+6=1*3²+2*3¹+0*3⁰=120₃;

&nbsp &nbsp
15₁₀=8+7=1*8¹+7*8⁰=17₈;

&nbsp &nbsp
Так можно переводить любые натуральные числа в десятичную систему счисления.

&nbsp &nbsp
Попробуйте самостоятельно выполнить следующие задания:

&nbsp &nbsp
Переведите в двоичную систему счисления десятичные числа 39 и 157. Коротко эти задания можно записать так: 39₁₀→ Х₂ и 157₁₀→Х₂.

&nbsp &nbsp
Если вы получили 100111₂ и 10011101₂ соответственно, то все выполнено правильно.

&nbsp &nbsp
Получили, что для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием Р нужно разложить это число на слагаемые, содержащие максимальную степень числа Р и выписать коэффициенты (множители) при этих степенях. Вместо отсутствующей степени нужно записать 0.

&nbsp &nbsp

Легко заметить, что множители при степенях Р не что иное, как остатки от последовательного деления десятичного числа на Р. Тогда запись Р-ичного числа превращается в последовательность остатков от деления на Р, записанных в обратном порядке.

&nbsp &nbsp
Так получаем другой способ перевода целых чисел из десятичной системы счисления:

&nbsp &nbsp
Для перевода целого десятичного числа в Р-ичную систему счисления, нужно последовательно делить число и получающиеся частные на Р, запоминая остатки, до тех пор, пока последнее частное не будет равно 0. После этого выписать полученные остатки в обратном порядке.

&nbsp &nbsp
Сравните последовательность остатков, полученных при делении, с ответом, который вы получили в последнем примере.

&nbsp &nbsp
При решении задач вы можете использовать любой из способов. Заметим лишь, что при переводе больших десятичных чисел в систему счисления с малым основанием (к примеру, в двоичную) первый способ гораздо быстрее приведет вас к результату.

&nbsp &nbsp
Перевод правильных дробей и смешанных чисел

&nbsp &nbsp
Напомним, что десятичная дробь называется правильной, если имеет нулевую целую часть.

&nbsp &nbsp
Для перевода правильной десятичной дроби в Р-ичную систему счисления, ее нужно последовательно умножать на Р, запоминая и отбрасывая целую часть до тех пор, пока не произойдет одно из событий:

Дробная часть не окажется равной нулю;
Не будет выделен период в случае бесконечной периодической дроби;
Не будет получено нужное количество знаков после запятой (не будет достигнута необходимая точность) в случае бесконечной непериодической дроби.

Р-ичную запись правильной дроби будут составлять целые части в порядке их получения.

&nbsp &nbsp
Переведем правильную десятичную дробь 0,875 в двоичную систему счисления:

Процесс умножения закончен, т.к. получена нулевая дробная часть. Последовательность целых частей, выписанных в порядке получения, является дробной частью числа в двоичной системе счисления. Целая часть двоичной дроби равна нулю. Итак, 0,875₁₀=0,111₂. Убедитесь в этом, выполнив обратный перевод.

&nbsp &nbsp

Для смешанных чисел целая и дробная части переводятся отдельно по своим алгоритмам, полученные результаты складываются.

Задачи

К оглавлению

Урок 4. Восьмеричная и шестнадцатеричные системы счисления. Компьютерные системы счисления

Восьмеричная система счисления

Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8. Для записи чисел в восьмеричной системе счисления используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

На основании формулы (1) для целого восьмеричного числа можно записать:

Например: 1063₈ = 1 • 8³ + 0 • 8² + 6 • 8¹ + 3 • 8⁰ = 563₁₀.

Таким образом, для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.

Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в новой системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример 6. Переведём десятичное число 103 в восьмеричную систему счисления.

103₁₀ = 147₈

Шестнадцатеричная система счисления

Основание: q = 16.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F.

Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0,…, 9. Для записи цифр с десятичными количественными эквивалентами 10, 11, 12, 13, 14, 15 обычно используются первые пять букв латинского алфавита.

Таким образом, запись 3AF₁₆ означает:

Пример 7. Переведём десятичное число 154 в шестнадцатеричную систему счисления.

154₁₀ = 9А₁₆

Презентация «Системы счисления»

Презентация «Системы счисления» (Open Document Format)

Ссылки на ресурсы ЕК ЦОР

Федеральный центр информационных образовательных ресурсов:

Основы чисел: восьмеричные и шестнадцатеричные

Purplemath

восьмеричное

Старая компьютерная система счисления — восьмеричная или восьмеричная. Цифры в восьмеричной математике: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Значение «восемь» записывается как «1 восемь и 0 единиц», или 10 ₈.

С технической точки зрения существует очень много различных компьютерных протоколов для восьмеричного числа, но мы будем использовать простую математическую систему.

MathHelp.com

Несколько племен Нового Света использовали систему счисления по основанию 8; они считали, используя восемь промежутков между пальцами, а не сами десять пальцев.Синие туземцы в фильме «Аватар» использовали восьмеричное число, потому что на их руках было всего четыре пальца.

Давайте копаем прямо:

Преобразует 357
₁₀ в соответствующее восьмеричное число.

Я сделаю обычное последовательное деление, на этот раз делю на 8 на каждом шаге:

Как только я добрался до «5» сверху, мне пришлось остановиться, потому что 8 не делится на 5.

Тогда соответствующее восьмеричное число будет 545 ₈.

Преобразует 545
₈ в соответствующее десятичное число.

Я буду следовать обычной процедуре, перечисляя цифры в одной строке, а затем отсчитывая цифры от ПРАВОЙ в следующей строке, начиная с нуля:

Потом сделаю обычное сложение и умножение:

5 × 8 ² + 4 × 8 ¹ + 5 × 8 ⁰

= 5 × 64 + 4 × 8 + 5 × 1

= 320 + 32 + 5

= 357

Тогда соответствующее десятичное число будет 357 ₁₀.

Шестнадцатеричный

Если вы работаете с компьютерным программированием или компьютерной инженерией (или компьютерной графикой, о которой мы поговорим позже), вы столкнетесь с математикой с основанием шестнадцати или шестнадцатеричной системой счисления.

Как упоминалось ранее, десятичная математика не имеет одной единственной цифры, представляющей значение «десять». Вместо этого мы используем две цифры, 1 и 0: «10».Но в шестнадцатеричной математике столбцы означают число, кратное шестнадцати! То есть в первом столбце указано, сколько у вас единиц, во втором столбце указано, сколько шестнадцати, в третьем столбце указано, сколько двести пятьдесят шесть (шестнадцать раз по шестнадцать) и так далее.

В базе десять у нас были цифры от 0 до 9. В базе восемь у нас были цифры от 0 до 7. В базе 4 у нас были цифры от 0 до 3. В любой базовой системе у вас будут цифры от 0 до единицы меньше, чем -ваша-база.Это означает, что в шестнадцатеричном формате нам нужны «цифры» от 0 до 15. Для этого нам понадобятся одиночные цифры, обозначающие значения «десять», «одиннадцать», «двенадцать», «тринадцать», «четырнадцать» и «пятнадцать». Но мы этого не делаем. Поэтому вместо этого мы используем буквы. То есть, считая в шестнадцатеричном формате, шестнадцать «цифр» равны:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Другими словами, A — это «десять» в «обычных» числах, B — «одиннадцать», C — «двенадцать», D — «тринадцать», E — «четырнадцать» и «F» — пятнадцать.Именно это использование букв для цифр делает шестнадцатеричные числа поначалу такими странными. Но преобразования работают обычным образом.

Преобразует 357
₁₀ в соответствующее шестнадцатеричное число.

Здесь я буду многократно делить на 16, отслеживая остатки по ходу дела. (Вы можете использовать для этого бумагу для заметок.)

Считывая цифры, начиная сверху и заканчивая правой стороной, я вижу, что:

Преобразует 165
₁₆ в соответствующее десятичное число.

Перечислите цифры и отсчитайте их справа, начиная с нуля:

Помните, что каждая цифра в шестнадцатеричном числе представляет, сколько копий вам нужно от этой шестнадцатой степени, и преобразуйте это число в десятичное:

1 × 16 ² + 6 × 16 ¹ + 5 × 16 ⁰

= 1 × 256 + 6 × 16 + 5 × 1

= 256 + 96 + 5

= 357

Тогда 165 ₁₆ = 357 ₁₀.

Преобразуйте 63933
₁₀ в соответствующее шестнадцатеричное число.

Я буду делить несколько раз на 16, отслеживая остатки:

Из последовательного деления, приведенного выше, я вижу, что шестнадцатеричное число будет иметь «пятнадцать» в столбце с шестнадцатью квадратами, «девять» в столбце с шестнадцатью квадратами, «одиннадцать» в столбце с шестнадцатью квадратами и « тринадцать дюймов в колонке единиц.Но я не могу записать шестнадцатеричное число как «15

», потому что это будет сбивать с толку и неточно. Поэтому я буду использовать буквы для «цифр», которые в противном случае были бы слишком большими, позволяя «F» заменить «пятнадцать», «B» заменить «одиннадцать», а «D» заменить «тринадцать».

Тогда 63933 ₁₀ = F9BD ₁₆.

Преобразовать F9BD в десятичную систему счисления.

Я перечислю цифры и отсчитаю их справа, начиная с нуля:

На самом деле, вероятно, будет полезно повторить это, преобразовав буквенные шестнадцатеричные «цифры» в соответствующие им «обычные» десятичные значения:

Теперь сделаю умножение и сложение:

15 × 16 ³ + 9 × 16 ² + 11 × 16 ¹ + 13 × 16 ⁰

= 15 × 4096 + 9 × 256 + 11 × 16 + 13 × 1

= 61440 + 2304 + 176 + 13

= 63933

Как и ожидалось, F9BD ₁₆ = 63933 ₁₀.

Компьютерная графика

Если вы работаете с веб-страницами и графическими программами, вам может быть полезно преобразовать значения RGB (для изображения в графической программе) в шестнадцатеричные значения (для соответствующего цвета фона на веб-странице).

Графические программы работают со значениями RGB (красный-зеленый-синий) для цветов. Каждый из этих компонентов данного цвета имеет значения от 0 до 255.Эти значения могут быть преобразованы в шестнадцатеричные значения от 00 до FF. Если вы перечислите компоненты RGB цвета в виде строки из трех чисел, вы можете получить, скажем, R: 204, G: 51, B: 255, что переводится в светло-пурпурный # CC33FF в кодировке HTML. Обратите внимание, что 204 ₁₀ = CC ₁₆, 51 ₁₀ = 33 ₁₆ и 255 ₁₀ = FF ₁₆.

Партнер

С другой стороны, если у вас есть код для # 9

, это будет преобразовано в темно-красноватый R: 153, G: 0, B: 51 в вашей графической программе.То есть, чтобы преобразовать вашу графическую программу в кодировку веб-страницы, используйте шестнадцатеричное число не как одно шестизначное число, а как три двузначных числа, и преобразуйте эти пары цифр в соответствующие значения RGB.

Для обсуждения истории «безопасных для Интернета» цветов, в том числе того, почему они включают только шестнадцатеричные эквиваленты 0, 51, 102, 153, 204 и 255, смотрите здесь. Для демонстрации различных цветов текста и фона в HTML посмотрите здесь.

URL: https://www.purplemath.com/modules/numbbase3.htm

Что такое восьмеричная система счисления? — Определение, восьмеричное в десятичное и десятичное преобразование в восьмеричное

Определение: Система счисления, основание которой равно 8 , известна как восьмеричная система счисления . База 8 означает, что система использует восемь цифр от 0 до 7.Все восемь цифр от 0 до 8 имеют то же физическое значение, что и десятичные числа. Следующая цифра восьмеричного числа представлена числами 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, которые представляют собой десятичные цифры 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. Таким образом, восьмеричное число число 20 представляет собой десятичное число 16, а затем 21, 22, 23… .октальные числа будут отображать десятичные цифры 17, 18, 19… и т. д. и так далее.

Основным недостатком восьмеричной системы счисления является то, что компьютер не понимает восьмеричной системы счисления.Таким образом, для цифровых систем, преобразующих восьмеричное число в двоичное, требуется дополнительная схема. В миникомпьютере используется восьмеричная система счисления.

Восьмеричное преобразование в десятичное

В восьмеричной системе счисления каждая позиция цифры имеет вес восемь относительно степени восемь , показанный на рисунке ниже.

Пример — Рассмотрим восьмеричное число 354,42 в его эквивалентное десятичное число. Целочисленная часть 354 преобразуется в восьмеричную, как показано ниже.

А дробная часть 0,42 преобразуется в восьмеричную

В десятичной системе счисления используется 236,53125.

Преобразование десятичного числа в восьмеричное

Для преобразования десятичного числа в восьмеричное используется восьмеричный метод . В восьмеричном двойном методе целочисленное восьмеричное число равно , разделенному на цифрой 8. А для преобразования дробного десятичного числа в восьмеричное число оно умножается на цифру 8 и записывает перенос.Когда эти переносы считываются вниз, получается дробное восьмеричное число.

Пример: Рассмотрим преобразование десятичного числа 236,53. Преобразование целой части показано ниже.

И дробная часть

Таким образом, восьмеричное число равно 354,4172.

Восьмеричная система счисления

Введение

В предыдущем разделе мы уже узнали о десятичной, двоичной и шестнадцатеричной системах счисления.Эта система счисления очень похожа на десятичную шестнадцатеричную. Мы знаем, что десятичная система счисления имеет основание 10, так как она использует цифры от 0 до 9, двоичная система счисления использует цифры 0 и 1, а шестнадцатеричная система счисления имеет основание 16, так что эта система счисления использует 16 цифр, т.е. от 0 до 15. Точно так же «восьмеричная система счисления» использует только 8 чисел для представления чисел, поэтому она носит название «восьмеричная». (0-7).

К началу

Восьмеричная система счисления

В шестнадцатеричной системе счисления мы представляем двоичные цифры как набор из 4 цифр (2 ⁴ = 16), в восьмеричной системе счисления мы представляем двоичные числа как набор из 3 цифр (2 ³ = 8 ).В восьмеричной системе счисления используется 8 чисел от 0 до 7. Это 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

Таким образом, каждая цифра восьмеричного числа состоит из от 0 до 7 цифр. Основное преимущество восьмеричной системы счисления по сравнению с другими системами счисления заключается в том, что при работе с компьютерами легче записать число в восьмеричной форме, чем в двоичной. В частности, когда мы работаем с большой строкой двоичных чисел, рекомендуется сгруппировать их как набор из трех цифр, поэтому вероятность возникновения ошибки меньше.Другим преимуществом восьмеричной системы счисления является преобразование восьмеричной системы счисления в двоичную и двоичную в восьмеричную, что очень просто по сравнению с другими преобразованиями.

В представлении этой системы счисления используется основание 8. Пример: (501) ₈, (480) ₈

Вес значения цифры будет увеличиваться в степени 8. Это показано ниже.

Давайте посмотрим на примере, чтобы понять представление восьмеричного числа как набора из 3 цифр.

Таким образом, число 100011010 представлено в восьмеричном виде (432) ₈.

К началу

Преобразование восьмеричных чисел

Восьмеричные числа могут быть преобразованы в двоичную и десятичную системы счисления, а также в десятичные шестнадцатеричные числа. Некоторые из них описаны ниже.

Преобразование двоичных чисел в восьмеричные

Чтобы преобразовать двоичное число в восьмеричное, сначала мы должны разделить двоичную строку на набор из 3 двоичных чисел в каждом. Запись соответствующего числа в каждый набор даст восьмеричное число двоичного числа.

Пример 1: преобразовать 110111100010 в восьмеричное.

Деление двоичного числа на 3 цифры

110 111 100 010

6 7 4 2

(110111100010) ₂ равно (6742) ₈

Преобразование восьмеричных чисел в двоичные

Преобразование восьмеричного числа в двоичное — это процесс, обратный преобразованию двоичного числа в восьмеричное. То есть каждая цифра восьмеричного числа должна быть записана в ее двоичной форме, и объединение всех двоичных цифр приведет к нашему требуемому двоичному числу.

Пр. 1:

Преобразовать (43628) ₈ в двоичное

Запись эквивалентного двоичного числа в каждую цифру

4 3 6 2 8

100 011 110 010 100

Итак, (43628) ₈ равно (100011110010100) ₂

Преобразование десятичных в восьмеричные числа

Десятичное число можно преобразовать в восьмеричное путем повторного деления на 8. Напоминание на каждом этапе даст необходимое восьмеричное число.

Обратите внимание на пример, показанный ниже.

Пр. 1:

Преобразование (159) ₁₀ в восьмеричное.

159/8 ————-> Частное 19 Напоминание 7 —– LSB

19/8 ————-> Фактическое 2 Напоминание 3

2/8 ————-> Частное 0 Напоминание 2 —— MSB

Итак (159) ₁₀ = (237) 8

Пр. 2:

Преобразовать (80) ₁₀ в восьмеричное.

80/8 ————-> Частное 9 Напоминание 8 —– LSB

9/8 ————-> Напоминание 1, составляющее 1

1/8 ————-> Частное 0 Напоминание 1 —— MSB

Итак (80) ₁₀ = (118) ₈

Преобразование восьмеричных чисел в десятичные

Восьмеричные числа можно преобразовать в десятичные числа, умножив каждую цифру на ее значение позиции.Это означает, что каждая цифра умножается на степень 8 с ее положением.

Давайте посмотрим на пример

Пр. 1:

преобразовать (51) ₈ в десятичное

Вес позиции 8 ¹ 8 ⁰

Значение позиции 8 1

Восьмеричное число 5 1

Эквивалентное десятичное число = 5 x 81 + 1 x 80

= 40 + 1

= 41

Следовательно (51) ₈ = (41) ₁₀

Аналогичным образом можно преобразовать восьмеричное число в любую другую систему счисления.В приведенной ниже таблице показаны значения, эквивалентные другим системам счисления.

К началу

Представление восьмеричного числа

Восьмеричные числа представлены с основанием 8, потому что они используют только 8 цифр, как объяснено выше. Вес каждого бита восьмеричного числа показан ниже.

Восьмеричные числа представлены аналогично другим системам счисления. В наборе восьмеричной системы счисления, приведенном ниже,

10 означает не десять, I t означает {(1 × 8) + (0 × 8)} & 20 означает не двадцать, это означает {(2 × 8) + (0 × 8)} и так далее.

К началу

Сводка

Мы представим 3 двоичных цифры, эквивалентные 1 восьмеричной цифре, как показано выше. Таким же образом старшее двухзначное восьмеричное число (77 ₈) может представлять 63 двоичных цифры. Точно так же старшее трехзначное восьмеричное число (777 ₈) может представлять 511 двоичных цифр. Старшее трехзначное восьмеричное число (7777 ₈) может представлять 4095 двоичных цифр.

В восьмеричной системе счисления используются 8 чисел от 0 до 7. (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7)
В восьмеричной системе счисления вес значения цифры увеличивается в степени 8.
Десятичное число можно преобразовать в восьмеричное путем повторного деления на 8.

Наверх

Двоичная, шестнадцатеричная и восьмеричная система счисления

Двоичная, шестнадцатеричная и восьмеричная относятся к разным системам счисления.Тот, который мы обычно используем, называется десятичным. Эти системы счисления относятся к количеству символов, используемых для представления чисел. В десятичной системе мы используем десять различных символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. С помощью этих десяти символов мы можем представить любую величину. Например, если мы видим 2, значит, мы знаем, что есть два чего-то. Например, в конце предложения две точки.

Когда у нас заканчиваются символы, мы переходим к размещению следующей цифры. Чтобы представить единицу больше 9, мы используем 10, что означает одну единицу из десяти и ноль единиц.Это может показаться элементарным, но очень важно понимать нашу систему счисления по умолчанию, если вы хотите понимать другие системы счисления.

Например, когда мы рассматриваем двоичную систему, которая использует только два символа, 0 и 1, когда у нас заканчиваются символы, нам нужно перейти к размещению следующей цифры. Итак, мы будем считать в двоичном формате 0, 1, 10, 11, 100, 101 и так далее.

В этой статье мы более подробно обсудим двоичную, шестнадцатеричную и восьмеричную системы счисления и объясним их использование.

Системы счисления используются для описания количества чего-либо или представления определенной информации.В связи с этим могу сказать, что слово «калькулятор» состоит из десяти букв. Наша система счисления, десятичная система, использует десять символов. Следовательно, десятичным считается Base Ten . Описывая системы с помощью оснований, мы можем понять, как работает эта конкретная система.

Когда мы считаем по системе Base Ten, мы считаем, начиная с нуля и заканчивая девятью по порядку.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…

Как только мы дойдем до последнего символа, мы создадим новое размещение перед первым и посчитаем его.

8, 9, 1 0, 11, 12,…, 19, 2 0,…

Это продолжается, когда у нас заканчиваются символы для этого места размещения. Итак, после 99 мы переходим к 100.

Размещение символа указывает, сколько он стоит. Каждое дополнительное размещение дает дополнительную степень 10. Рассмотрим число 2853. Мы знаем, что это число довольно велико, например, если оно относится к количеству яблок в корзине. Это много яблок. Как мы узнаем, что он большой? Смотрим количество цифр.

Каждое дополнительное размещение — это дополнительная степень 10, как указано выше. Рассмотрим эту диаграмму.

10 ³	10 ²	10 ¹	10 ⁰
цифра	цифра	цифра	цифра
* 1000	* 100	* 10	* 1

Каждая дополнительная цифра представляет все большее и большее количество.Это применимо как для Base 10, так и для других баз. Знание этого поможет вам лучше понять другие основы.

двоичный

Binary — это еще один способ сказать Base Two. Итак, в двоичной системе счисления для представления чисел используются только два символа: 0 и 1. Когда мы считаем с нуля в двоичной системе счисления, символы заканчиваются гораздо чаще.

Отсюда символов больше нет. Мы не переходим к 2, потому что в двоичном формате 2 не существует. Вместо этого мы используем 10.В двоичной системе 10 равно 2 в десятичной системе счисления.

Мы можем рассчитывать дальше.

Двоичный	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010
Десятичное число	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Как и в десятичной системе счисления, мы знаем, что чем больше цифр, тем больше число.Однако в двоичном формате мы используем степени двойки. В двоичном числе 1001101 мы можем создать диаграмму, чтобы узнать, что это на самом деле означает.

2 ⁶	2 ⁵	2 ⁴	2 ³	2 ²	2 ¹	2 ⁰
1	0	0	1	1	0	1
64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1
77

Однако, поскольку это основание два, числа не становятся такими большими, как в десятичной системе счисления.Тем не менее, двоичное число из 10 цифр будет больше 1000 в десятичном.

Двоичная система используется в информатике и электротехнике. Транзисторы работают от двоичной системы, и транзисторы можно найти практически во всех электронных устройствах. 0 означает отсутствие тока, а 1 означает разрешение тока. Когда различные транзисторы включаются и выключаются, сигналы и электричество отправляются для выполнения различных действий, например, для совершения звонка или вывода этих букв на экран.

Компьютеры и электроника работают с байтами или восьмизначными двоичными числами. Каждый байт содержит закодированную информацию, которую компьютер способен понять. Многие байты объединяются в цепочки для формирования цифровых данных, которые можно сохранить для дальнейшего использования.

восьмеричное

Восьмеричная система счисления — это еще одна система счисления, в которой используется меньше символов, чем в нашей традиционной системе счисления. Восьмеричный формат является модным для Base Eight, что означает, что восемь символов используются для представления всех величин. Это 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.Когда мы считаем единицу из 7, нам нужно новое размещение, чтобы представить то, что мы называем 8, поскольку 8 не существует в Octal. Итак, после 7 будет 10.

восьмеричный	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12…	17	20…	30…	77	100
Десятичное число	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10…	15	16…	24…	63	64

Точно так же, как мы использовали степень десяти в десятичной системе и степень двойки в двоичной системе, для определения значения числа мы будем использовать степень восьмерки, поскольку это основание восемь.Рассмотрим число 3623 по основанию восемь.

8 ³	8 ²	8 ¹	8 ⁰
3	6	2	3
1536 + 384 + 16 + 3
1939

Каждое дополнительное размещение слева имеет большую ценность, чем в двоичном формате. Третья цифра справа в двоичном формате представляет только 2 ^3-1, то есть 4.В восьмеричном формате это 8 ^3-1, что равно 64.

Шестнадцатеричный

Шестнадцатеричная система счисления — основание шестнадцати. Как следует из основания, эта система счисления использует шестнадцать символов для представления чисел. В отличие от двоичного и восьмеричного, шестнадцатеричный имеет шесть дополнительных символов, которые он использует помимо обычных, найденных в десятичном. Но что будет после 9? 10 — это не одна цифра, а две … К счастью, по соглашению, когда необходимы дополнительные символы помимо обычных десяти, должны использоваться буквы.Итак, в шестнадцатеричном формате общий список используемых символов составляет 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E и F. На цифровом дисплее. , числа B и D строчные.

При шестнадцатеричном счете вы считаете 0, 1, 2 и так далее. Однако, когда вы достигнете 9, вы перейдете прямо к A. Затем вы считаете B, C, D, E и F. Но что дальше? У нас закончились символы! Когда у нас заканчиваются символы, мы создаем новое расположение цифр и идем дальше. Таким образом, после F будет 10. Вы продолжаете считать, пока не дойдете до 19. После 19 следующее число — 1A.Это продолжается вечно.

Шестнадцатеричный	9	A	B	С	D	E	F	10	11…	19	1A	1Б	1С…	9F	A0
Десятичное число	9	10	11	12	13	14	15	16	17	25	26	27	28	159	160

Цифры объясняются степенью 16.Рассмотрим шестнадцатеричное число 2DB7.

16 ³	16 ²	16 ¹	16 ⁰
2	D	B	7
8192 + 3328 + 176 + 7
11703

Как видите, размещение в шестнадцатеричной системе счисления намного дороже, чем в любой из трех других систем счисления.

Важно знать, что 364 в восьмеричной системе счисления — это , а не , равное обычному 364.Это похоже на то, как 10 в двоичном формате определенно не является 10 в десятичном. 10 в двоичном формате (с этого момента будет записываться как 10 ₂) равно 2. 10 ₈ равно 8. Откуда мы это знаем? Что такое 20C.38F ₁₆ и как нам узнать?

Вот почему важно понимать, как работают системы счисления. Используя нашу степень основного числа, становится возможным преобразовать любое число в десятичное, а из десятичного — в любое.

Основание в десятичной системе

Итак, мы знаем, что 364 ₈ не равно десятичному числу 364.{p-1} + … + v_1B + v_0 \ end {уравнение}

Где V ₁₀ — десятичное значение, v — цифра в размещении, p — это размещение справа от числа, предполагая, что крайнее правое размещение равно 0, а B — начальная база. Не пугайтесь формулы! Мы собираемся пройти через это шаг за шагом.

Итак, допустим, у нас есть простое шестнадцатеричное число 2B. Мы хотим знать, что это за число в десятичной системе, чтобы лучше понять его. как нам это сделать?

Воспользуемся формулой выше.Сначала определите каждую переменную. Мы хотим найти V ₁₀, так что это неизвестно. Число 2B ₁₆ имеет две позиции, так как оно состоит из двух цифр. Следовательно, p на единицу меньше этого значения, поэтому p равно 1. Число в базе 16, поэтому B равно 16. Наконец, мы хотим знать, что такое v, но существует несколько v. У вас v ₁ и v ₀. Это относится к значению цифры в позиции индекса. v ₁ относится к цифре в первой позиции (вторая цифра справа).0) \\ V_ {10} = 2 (16) +11 (1) \\ V_ {10} = 32 + 11 \ V_ {10} = 43 \\ \ end {align}

Следовательно, 2B ₁₆ равно 43.

Теперь позвольте мне объяснить, как это работает. Помните, как расположение цифр влияет на фактическое значение? Например, в десятичном числе 123 «1» представляет 100, что составляет 1 * 10 ². «2» — это 20 или 2 * 10 ¹. Аналогично, в числе 2B ₁₆ цифра «2» — это 2 * 16 ¹, а буква B — 11 * 16 ⁰.

Таким образом мы можем определить значение чисел.Для числа 364 ₈ мы создадим диаграмму, которая показывает десятичное значение каждой отдельной цифры. Затем мы можем сложить их, чтобы получить целое. Число состоит из трех цифр, поэтому, начиная справа, у нас есть позиция 0, позиция 1 и позиция 2. Поскольку это основание восемь, мы будем использовать степень 8.

Теперь 8 ² это 64. 8 ¹ это 8. 8 ⁰ это 1. Что теперь?

Помните, что мы сделали с десятичным числом 123? Мы взяли значение цифры , умноженное на соответствующей мощности.Итак, учитывая это дальше…

Теперь сложим значения, чтобы получить 244. Следовательно, 364 ₈ равно 244 ₁₀.

Точно так же, как для 123, мы говорим, что есть одна группа по 100, две группы по 10 и три группы по 1, для восьмеричной системы и числа 364 существуют три группы по 64, шесть групп по 8 и четыре группы по 1.

Преобразование десятичных чисел в основание

Точно так же, как мы можем преобразовать из любого основания в десятичное, можно преобразовать десятичное в любое основание.p \\ (4) \ hspace {6pt} Повторяйте шаги \ hspace {4pt} с \ hspace {4pt} 1 \ hspace {4pt} через \ hspace {4pt} 3 \ hspace {4pt}, пока \ hspace {4pt} p = 0 \\ \ end {align}

Сначала этот алгоритм может показаться запутанным, но давайте рассмотрим пример, чтобы увидеть, как его можно использовать. Мы хотим представить 236 в двоичном, восьмеричном и шестнадцатеричном формате. Итак, давайте сначала попробуем преобразовать его в двоичный код.

Первый шаг — сделать p равным $ \ operatorname {int} (\ sqrt [B] {V}) $. B — это база, в которую мы хотим преобразовать 2.V — это число, которое мы хотим преобразовать, 236. По сути, мы извлекаем квадратный корень из 236 и игнорируем десятичную часть. В результате p становится равным 7.

Шаг второй говорит, что пусть v равно нашему числу V, деленному на B ^p. B ^p — это 2 ⁷, или 128, а целая часть 236, деленная на 128, равна 1. Следовательно, наша первая цифра слева равна 1. Теперь мы фактически меняем V, чтобы стать V минус цифра, умноженная на В ^р. Итак, V теперь будет 236-128 или 108.

Мы просто повторяем процесс до тех пор, пока p не станет равным нулю. Когда p становится равным нулю, мы завершаем шаги в последний раз, а затем заканчиваем.

Итак, поскольку V теперь 108, p становится 6. P \ end {уравнение}

На человеческом языке: значение шифра в числе равно значению самого шифра, умноженному на основание системы счисления в степень позиции шифра слева направо в числе, начиная с при 0.Прочтите это несколько раз и попытайтесь понять.

Таким образом, значение цифры в двоичном формате удваивается на каждый раз, когда мы перемещаемся влево. (см. таблицу ниже)

Из этого следует, что каждый шестнадцатеричный шифр можно разбить на 4 двоичных разряда. На компьютерном языке: кусочек. Теперь взгляните на следующую таблицу:

8	4	2	1	Шестнадцатеричное значение	Десятичное значение
Двоичные числа
0	0	0	0	0	0
0	0	0	1	1	1
0	0	1	0	2	2
0	0	1	1	3	3
0	1	0	0	4	4
0	1	0	1	5	5
0	1	1	0	6	6
0	1	1	1	7	7
1	0	0	0	8	8
1	0	0	1	9	9
1	0	1	0	A	10
1	0	1	1	B	11
1	1	0	0	С	12
1	1	0	1	D	13
1	1	1	0	E	14
1	1	1	1	F	15

Еще один интересный момент: посмотрите на значение в верхней части столбца.Тогда посмотрите на значения. Вы понимаете, о чем я? Да, ты прав! Биты включаются и выключаются в зависимости от своего значения. Значение первой цифры (начиная справа) выглядит следующим образом: 0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,… Вторая цифра: 0,0,1,1,0 , 0,1,1,0,0,1,1,0,0… Третья цифра (значение = 4): 0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0 , 1,1,1,1,… И так далее…

А как насчет больших чисел? Поэтому нам понадобится дополнительная цифра. (но я думаю, вы догадались сами). Для значений начиная с 16 наша таблица выглядит так:

16	8	4	2	1	Шестнадцатеричное значение	Десятичное значение
Двоичные числа
1	0	0	0	0	10	16
1	0	0	0	1	11	17
1	0	0	1	0	12	18
1	0	0	1	1	13	19
1	0	1	0	0	14	20
1	0	1	0	1	15	21
1	0	1	1	0	16	22
1	0	1	1	1	17	23
1	1	0	0	0	18	24
1	1	0	0	1	19	25
1	1	0	1	0	1A	26
1	1	0	1	1	1Б	27
1	1	1	0	0	1С	28
1	1	1	0	1	1D	29
1	1	1	1	0	1E	30
1	1	1	1	1	1F	31

Для восьмеричных чисел это аналогично, с той лишь разницей, что нам нужно всего 3 цифры для выражения значений 1-> 7.Наша таблица выглядит так:

4	2	1	Восьмеричное значение	Десятичное значение
Двоичные числа
0	0	0	0	0
0	0	1	1	1
0	1	0	2	2
0	1	1	3	3
1	0	0	4	4
1	0	1	5	5
1	1	0	6	6
1	1	1	7	7

В последней теме я объяснил логику двоичной, шестнадцатеричной и восьмеричной систем счисления.Теперь я объясню кое-что более практичное. Если вы полностью поняли предыдущее, можете пропустить эту тему.

Из десятичного числа в двоичное

Шаг 1. Проверьте, четное или нечетное у вас число.
Шаг 2: Если четный, напишите 0 (двигаясь в обратном направлении, добавляя двоичные цифры слева от результата).
Шаг 3: В противном случае, если он нечетный, напишите 1 (таким же образом).
Шаг 4: Разделите ваше число на 2 (отбрасывая любую дробь) и вернитесь к шагу 1. Повторяйте, пока ваше исходное число не станет 0.

Пример:
Преобразование 68 в двоичное:

68 четное, поэтому пишем 0.
Разделив 68 на 2, получим 34.
34 тоже четное, поэтому пишем 0 (пока результат — 00)
Разделив 34 на 2, получим 17.
17 является нечетным, поэтому мы пишем 1 (результат пока — 100 — не забудьте добавить его слева)
Разделив 17 на 2, мы получим 8,5, или всего 8.
8 четное, поэтому пишем 0 (пока результат — 0100)
Разделив 8 на 2, получим 4.
4 четное, поэтому пишем 0 (пока результат — 00100)
Разделив 4 на 2, получим 2.
2 чётно, поэтому пишем 0 (результат пока — 000100)
Разделив 2 на 2, получим 1.
1 нечетное, поэтому пишем 1 (пока результат — 1000100)
Разделив на 2, мы получим 0,5 или просто 0, так что все готово.
Конечный результат: 1000100

Из двоичного в десятичный

Запишите значения в таблицу, как показано выше. (или сделайте это мысленно)
Добавьте значение в заголовке столбца к вашему номеру, если цифра включена (1).
Пропустить, если значение в заголовке столбца выключено (0).
Переходите к следующей цифре, пока не закончите все.

Пример:
Преобразование 101100 в десятичное:

Старшая цифра значения: 32. Текущий номер: 32
Пропустите цифру «16», ее значение равно 0. Текущий номер: 32
Добавить 8. Текущий номер: 40
Добавить 4. Текущий номер: 44
Пропустите цифры «2» и «1», поскольку их значение равно 0.
Окончательный ответ: 44

Из десятичного в шестнадцатеричный.

ЭТО ТОЛЬКО ОДИН ИЗ МНОГИХ СПОСОБОВ!

Преобразуйте десятичное число в двоичное
Разделить на 4 полубайта, начиная с конца
Посмотрите на первую таблицу на этой странице и напишите правильный номер вместо полубайта

(вы можете добавить нули в начале, если количество битов не делится на 4, потому что, как и в десятичном, это не имеет значения)

Пример:
Преобразование 39 в шестнадцатеричное:

Сначала преобразуем в двоичный (см. Выше).Результат: 100111
Затем мы разбиваем его на полубайты: 0010/0111 (Примечание: я добавил два нуля, чтобы прояснить тот факт, что это полубайты)
После этого преобразуем полубайты отдельно.
Окончательный результат: 27

Из шестнадцатеричного в десятичный

* Проверьте формулу в первом абзаце и используйте ее для шифров в шестнадцатеричном числе. (это действительно работает для любого преобразования в десятичную систему счисления)

Пример:
Преобразование 1AB в десятичное:

Значение B = 16 ⁰ × 11.Это дает 11, очевидно,
Значение A = 16 ¹ × 10. Это дает 160. Наш текущий результат — 171.
Значение 1 = 16 ² × 1. Это дает 256.
Окончательный результат: 427

От десятичной к восьмеричной

Преобразовать в двоичный.
Разбивается на части по 3 цифры, начиная справа.
Преобразует каждую часть в восьмеричное значение от 0 до 7

Пример: преобразование 25 в восьмеричное

Сначала преобразуем в двоичный.Результат: 11001
Далее разделились: 011/001
Преобразование в восьмеричное: 31

От восьмеричного к десятичному

Снова примените формулу сверху

Пример: преобразовать 42 в десятичное

Значение 2 = 8 ⁰ × 2 = 2
Значение 4 = 8 ¹ × 4 = 32
Результат: 34

Хорошо, это может быть не на 100% «забавным», но тем не менее интересно.

Вы склонны видеть числа, начинающиеся с 0x? Это обычная нотация для указания шестнадцатеричных чисел, поэтому вы можете увидеть что-то вроде:

  0x000000
0x000002
0x000004

Эта нотация чаще всего используется для перечисления адресов компьютеров, а это совсем другая история.

Это довольно очевидно, но вы можете «писать» слова, используя шестнадцатеричные числа. Например:
CAB = 3243 в десятичной системе счисления.

Вы все поняли? Если вы так думаете, проверьте себя:

Корзина	декабрь	шестигранник
…	…	3A
…	76	…
101110	…	…
…	88	…
1011110	…	…
…	…	47

Сделайте несколько упражнений самостоятельно, если хотите еще.

Системы счисления — десятичные, двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные | Рукшани Атхапату | Coder’s Corner

Изображение предоставлено: Pexels

Давайте рассмотрим несколько различных систем счисления, которые используются сегодня, и посмотрим, как с помощью трех простых правил мы можем построить любую систему счисления, какую захотим.

В математике «основание» или «основание системы счисления» — это количество различных цифр или комбинации цифр и букв, которые система счета использует для представления чисел.~ Wiki ~

Например,

Base 10 ( Decimal) — Представляет любое число, используя 10 цифр [0–9]
Base 2 ( Binary ) — Представляет любое число, используя 2 цифры [0 –1]
Base 8 ( Octal ) — представляет любое число, используя 8 цифр [0–7]
Base 16 (Hexadecimal) — Представляет любое число, используя 10 цифр и 6 символов [0–9, A, B, C, D, E, F]

В любой из упомянутых выше систем счисления ноль очень важен как значение места.Возьмем число 1005. Как нам записать это число, чтобы знать, что в нем нет десятков и сотен? Мы не можем записать его как 15, потому что это другое число, а как записать миллион (1000000) или миллиард (1000000000) без нулей? Вы понимаете его значение?

Сначала мы увидим, как построена десятичная система счисления, а затем мы будем использовать те же правила и для других систем счисления.

Мы все умеем писать числа до 9, не так ли? Что тогда? Что ж, это действительно просто.Когда вы израсходуете все свои символы, вы сделаете

, вы добавите еще одну цифру слева и сделаете правую цифру 0.
Затем снова поднимитесь до, пока не закончите все символы с правой стороны. и когда вы нажмете последний символ, увеличьте цифру слева на 1.
Когда вы израсходуете все символы как на правой, так и на левой цифре, сделайте оба из них 0 и добавьте еще 1 слева, и это продолжится и тому подобное.

Если вы используете 3 приведенных выше правила в десятичной системе,

Запишите числа 0–9.
Как только вы дойдете до 9, сделайте крайнюю правую цифру 0 и прибавьте 1 к левой, что означает 10.
Затем на правой цифре мы поднимаемся до 9, а когда мы достигнем 19, мы используем 0 на правой цифре и добавляем 1 к слева, поэтому мы получаем 20.
Точно так же, когда мы достигаем 99, мы используем 0 в местах обеих этих цифр и добавляем 1 слева, что дает нам 100.

Итак, вы видите, когда у нас есть десять разных символов, когда мы добавляем цифры в левую часть числа, каждая позиция будет стоить в 10 раз больше, чем предыдущая.

Возьмем ту же десятичную систему счисления. На самом деле есть только два правила.

У вас есть символ для представления количества [0–9]
Затем значение цифры в зависимости от ее положения — давайте это немного проясним.

Возьмем однозначное число «8». Это просто означает 8, другими словами, это именно то, что, как написано, представляет. А как насчет 24? В случае двух цифр правая цифра говорит то, что она означает, а левая цифра означает в десять раз больше, чем она говорит.То есть 4 равно 4, 2 равно 20. Всего получается 24.

Если мы возьмем трехзначное число, крайняя правая цифра означает то, что оно говорит, средняя цифра в десять раз больше того, что она говорит, а крайняя левая цифра в 100 раз больше того, что она говорит. Просто, если мы возьмем число 546, это означает 6 + (10 * 4) + (5 * 100) = 546.

В двоичном формате у нас есть только две цифры для представления числа, 0 и 1, и у нас уже закончились символы. . Так что же нам делать? Давайте применим те же правила, которые мы использовали для десятичной системы счисления.

Делаем правую цифру 0 и прибавляем 1 к левой, то есть наше следующее число — «10».Затем мы поднимаемся вверх, пока не израсходовали все наши символы с правой стороны. Итак, следующее число в строке — 11.

После «11» мы ставим 0 в обоих этих местах и прибавляем 1 слева, и получаем 100.

Затем 101, 110, 111, затем 1000…

Эта двоичная система счисления основана на двух цифрах, и каждая позиция стоит в два раза больше, чем предыдущая позиция.

Чтение двоичного числа почти такое же, как чтение десятичного. Правая цифра означает, что это означает, следующая означает два раза предыдущую, после этого 4 раза и т. Д.

Итак, 101 означает 5 в десятичной системе счисления.

Эти же правила применяются также к восьмеричной и шестнадцатеричной системам счисления. В восьмеричном формате у нас есть только 8 цифр для представления чисел, поэтому, как только мы дойдем до 7, следующим числом будет 10, а в шестнадцатеричном формате у нас будет 10 цифр и 6 букв для представления чисел. В этом случае, когда мы дойдем до 9, следующая цифра будет представлена буквой «А». Следующая буква «Б». Точно так же мы поднимаемся до буквы «F», а после «F» идет «10».

Я просто перечислю несколько чисел в этих 4 различных системах счисления и посмотрю, сможете ли вы применить правила, которые мы обсуждали выше, чтобы получить следующее число.

Чтобы понять, как компьютеры представляют положительные и отрицательные числа, прочтите это, а дополнительные сведения о шестнадцатеричном формате можно найти здесь.

Ссылки

Восьмеричная система счисления | Electrical4U

Раньше восьмеричная система счисления в основном использовалась в мини-компьютерах. Слово «OCT» означает восемь. В восьмеричной системе счисления говорится, что это система счисления с основанием 8, что означает, что нам требуется 8 различных символов, чтобы представить любое число в восьмеричной системе.Это символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Наименьшее двузначное число в этой системе — (10) ₈, что эквивалентно десятичной системе счисления 8.
Например, в этой системе счисления, номер записывается как (352) ₈. Основание должно быть записано как 8, иначе по умолчанию предполагается, что число находится в десятичной системе счисления. Так что об этом нужно позаботиться, записав номер. Небольшая ошибка может привести к изменению основания системы счисления. Основное преимущество использования восьмеричной системы счисления состоит в том, что ее можно очень легко преобразовать непосредственно в двоичную.Как мы знаем, компьютер понимает только двоичную систему счисления, поэтому преобразование из двоичной системы счисления в восьмеричную или из восьмеричной в двоичную намного проще, поэтому используется эта система счисления.

Поскольку его база равна 8 = 2 ³, каждый символ этой системы может быть представлен его трехбитным двоичным эквивалентом.

Поскольку каждая цифра числа в восьмеричной системе представлена отдельно своим трехбитным двоичным эквивалентом, восьмеричная система требует одной трети длины по сравнению с двоичными числами.По сути, это позиционная система счисления с взвешенными числами. Позиции цифр в восьмеричной системе счисления имеют вес

Преобразование числа

Восьмеричное преобразование в двоичное

Преобразование выполняется путем преобразования отдельной восьмеричной цифры в двоичную. Каждая цифра должна быть преобразована в 3-битное двоичное число, а результат будет двоичным эквивалентом восьмеричного числа.

Пример
Преобразование (145,56) ₈ в двоичное —

Эту таблицу следует использовать для преобразования любого восьмеричного числа в двоичное.Из таблицы, записав двоичный эквивалент каждой цифры, мы получим —

, что является двоичным эквивалентом восьмеричного числа.

Преобразование двоичного числа в восьмеричное

Та же таблица может использоваться для преобразования двоичного числа в восьмеричное. Сначала сгруппируйте двоичное число в группу из трех битов и напишите его восьмеричный эквивалент.

Пример
Восьмеричный эквивалент (11001111) ₂ —
Группы, которые мы здесь получили:
011,001,111. Ноль перед числом добавляется, чтобы завершить группировку в виде трех двоичных цифр.

Восьмеричный эквивалент чисел —
3, 1, 7. Итак, восьмеричное число, которое мы получили, будет (317) ₈.

Преобразование восьмеричного числа в десятичное

Метод преобразования восьмеричного числа в его десятичный эквивалент очень прост. Просто расширите число по основанию восьми с его позиционным весом, и результат будет десятичным числом.

Пример
Преобразование (317) ₈ в его десятичный эквивалент.
Это можно сделать следующим образом:

Десятичное преобразование в восьмеричное

Это можно сделать, разделив число на 8, используя метод повторного деления, известный как метод двойного бала.Повторное деление сделано, а остаток взят. Это можно сделать следующим образом:

Пример
Найдите восьмеричный эквивалент 158.

Эквивалентное число в восьмеричной системе (236) ₈.
Если число указано в дробной части или после десятичной точки, оно может быть преобразовано как —
Скажем, нам нужно преобразовать 0,40 в восьмеричное.

Итак, мы видим, что число повторяется. Это будет продолжаться, и это будет бесконечный процесс, поэтому мы можем приблизить результат к
(.3146…) ₈.

Преимущества восьмеричных систем счисления

Это одна треть длины двоичной системы.
Простой процесс преобразования двоичного числа в восьмеричное и наоборот.
Проще обрабатывать ввод и вывод в восьмеричной форме.

Недостатки восьмеричных систем счисления

Компьютер не понимает восьмеричную систему счисления , поэтому должно быть требование дополнительных схем, известных как восьмеричные преобразователи в двоичные, прежде чем они будут применены к цифровой системе или компьютеру.

Двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные числа

9553 0551
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

00001110
00001111

9055 9
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

3315 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 43
44
45
46
47

123
124
125
126
127
130
131
132
133
134
135
136
137

223
224
225
226
227
230
231
232
233
234
235
236
237

Динарные (базовые 10)	Шестнадцатеричные (базовые 16)	Восьмеричные (базовые 8)	Двоичные (базовые 2)	0 1 2 3 4 5 6 9 A B C D E F	000 001 002 003 004 005 006 007 010 011 012 013 014 016 00000001 00000010 00000011 00000100 00000101 00000110 00000111 00001000 00001001 00001010 00001011 00001100 00001101 00001110 00001111
10 11 12 13 14 15 16 17 18 1A 1 1C 1D 1E 1F	020 021 022 023 024 025 026 027 030 031 032 033 034 032 033 034 032 033 034 0358158 000 00010100 00010101 00010110 00010111 00011000 00011001 00011010 00011011 00011100 00011101 00011110 00011111
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2A 2B 2C 2D 2E 2F 9055 4	040 041 042 043 044 045 046 047 050 051 052 053 054 055 056 057	00100000 0011001	00100000 001 00101000 00101001 00101010 00101011 00101100 00101101 00101110 00101111
48 49 50 51 52 52158 59158 63	30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 3A 3B 3C 3D 3E 3F	060 061 06215 063 067 070 071 072 073 074 075 076 077	00110000 00110001 00110010 00110011 00110100 00110101 9215 8 00110110 00110111 00111000 00111001 00111010 00111011 00111100 00111101 00111110 00111111
64 65 6615 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 9215 77 78 79	40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 4A 4B 4C 4D 4E 4F	100 10415 9215 101158 105 106 107 110 111 112 113 114 115 116 117	01000000 01000001 01000010 01000011 01000100 01000101 01000110 01000101 01000110 001100 01000110 00111 01001110 01001111
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95	50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 5A 5B 5C 5D 5E 122158	01010000 01010001 01010010 01010011 01010100101101108 0158 01010001 01010010 01010011 0101010101101108 0158 0101010101101101101101 01011011 01011100 01011101 01011110 01011111
96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 11015 104 105 106 107109 62 63 64 65 66 67 68 69 6A 6B 6C 6D 6E 6F	140 141 142 143 14 4 145 146 147 150 151 152 153 154 155 156 157	01100000 01100001 01100010 01100011 01100100 01100101 01100110 01100111 01101000 01101001 01101010 01101011 01101100 01101101 01101110 01101111
112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 71158 127 74 75 76 77 78 79 7A 7B 7C 7D 7E 7F	160 161 162 163 164 165 166 173 170 172 174 175 176 177	01110000 01110001 01110010 01110011 01110100 01110101 01110110 01110111 0111 1000 01111001 01111010 01111011 01111100 01111101 01111110 01111111
128 129 130 131 132158133 14015 148139 131 132158133 14015 1415 14015 14015 14158 148138	80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 8A 8B 8C 8D 8E 8F	200 201 202 207 206 9215 202 207 203 210 211 212 213 214 215 216 217	10000000 10000001 10000010 10000011 10000100 10000101 1000111 100015 1000101 1000118 10000111 1000101 1000118
144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 15 5 156 157 158 159	90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 9A 9B 9C 9D 9E 22551 9D 9E 2255 9F	10010000 10010001 10010010 10010011 1001010111 1001010111 1001010111 10010101 10011100 10011101 10011110 10011111
160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 166 167 168 169 170 178 178154 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 AA AB AC AD AE AF	240 241 242 243 24 4 245 246 247 250 251 252 253 254 255 256 257	10100000 10100001 10100010 10100011 10100100 1010010101 10100101 10100101 10100100 10100101 10100100 10101101 10101110 10101111
176 177 178 179 180 181 182 183 184 181 182 183 184 185 186 187 9055 1855 1855 1855 1855 1855 B4 B5 B6 B7 B8 B9 BA BB BC BD BE BF	260 261 262 263 264 265 266 27158 2715 9215 266 27158 2715 9215 266 27158 2715 9215 266 27158 2715 274 275 276 277	10110000 10110001 10110010 10110011 10110100 10110101 10110110 10110111 1011 1000 10111001 10111010 10111011 10111100 10111101 10111110 10111111
192 193 194 195 196 19715 9215 208 20158 9215 9215 20158 19915 9215 20158 199158 9215 199	C0 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 CA CB CC CD CE CF	300 301 306 9215 301 302 301 302 310 311 312 313 314 315 316 317	11000000 11000001 11000010 11000011 11000100 11000101 11000110 11000111 11001000 11001001 11001010 11001011 11001100 11001101 11001110 11001111
208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 21 9 220 221 222 223	D0 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 DA DB DC DD 90 DE DE 323 324 325 326 327 330 331 332 333 334 335 336 337	11010000 11010001 11010010 11010011 11010100101 11010010 11010011 1101010010 110118 110158 110111 1101010010 110118 11011100 11011101 11011110 11011111
224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 230 231 238 233 234 235 9215 235 235 9215 234 235 234 235 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 EA EB EC ED EE EF	340 341 342 343 34 4 345 346 347 350 351 352 353 354 355 356 357	11100000 11100001 11100010 11100011 11100100 11100010 11100011 11100100 11100111 11100111 11100111 11101101 11101110 11101111
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252158 249 250 251 252158 250 251 252 158 251 252 F4 F5 F6 F7 F8 F9 FA FB FC FD FE FF	360 361 362 363 364 365 3715 9215 366 3715 366 3715 366 374 375 376 377	11110000 11110001 11110010 11110011 11110100 11110101 11110110 11110111 1111 1000 11111001 11111010 11111011 11111100 11111101 11111110 11111111

Динарный — Денарная система счисления (десятичная) — это система счисления с основанием 10 (десятичная), используемая людьми с 9 уникальными числами от 0 до 10 Восьмеричная — восьмеричная система счисления (Oct) — это система счисления с основанием 8, в которой используются цифры от 0 до 7
Шестнадцатеричная система счисления — Шестнадцатеричная система счисления (Hex) представляет собой систему счисления с основанием 16, в которой используются цифры от 0 до 9 и буквы A — F
Двоичная — Двоичная система счисления (Bin) — это система счисления с основанием 2, использующая число 1 и 0

Преобразование двоичного числа в десятичное

Десятичная система счисления имеет систему счисления 10.

Динарное (десятичное) число может быть выражено как

10,5

= 1 x 10 ¹ + 0 x 10 ⁰ + 5 x 10 ^-1

В двоичной системе счисления система счисления 2.

Двоичное число может быть выражено как

1011,1

= 1 x 2 ³ + 0 x 2 ² + 1 x 2 ¹ + 1 x 2 ⁰ + 1 x 2 ^-1

= 8 + 0 + 1 + 1 + 1/2

= 10.5

Различие двоичных и денарных чисел может быть указано как

1011,1 ₂ = 10,5 ₁₀

Преобразование шестнадцатеричного числа в десятичное

Шестнадцатеричная система счисления имеет основание 16 и использует следующие 16 различные цифры

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E и F

‘A’ соответствует 10 в денарной системе, От B до 11, C до 12 …

Шестнадцатеричное число может быть выражено как

1BC

= 1 x 16 ² + C x 16 ¹ + F x 16 ⁰

= 1 x 16 ² + 12 x 16 ¹ + 15 x 16 ⁰

= 256 + 192 + 15

= 463

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную – Документ 2 – УчМет

1.3. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. — Основы информатики

1.3.2. ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СС В ДЕСЯТИЧНУЮ И ОБРАТНО.

1.3.3. ПЕРЕВОД МЕЖДУ ОСНОВАНИЯМИ, СОСТАВЛЯЮЩИМИ СТЕПЕНЬ 2.

Восьмеричная система — счисление — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Восьмеричная система — счисление

§7. Системы счисления

Содержание урока

Позиционные системы счисления

Восьмеричная система счисления

Занятие 2

Повторение

Принципы записи чисел в позиционных системах счисления

Правила перевода чисел в десятичную систему счисления

Перевод чисел из десятичной системы счисления

Урок 4. Восьмеричная и шестнадцатеричные системы счисления. Компьютерные системы счисления

Основы чисел: восьмеричные и шестнадцатеричные

Purplemath

восьмеричное

MathHelp.com

Преобразует 357

Преобразует 545

Шестнадцатеричный

Преобразует 357

Преобразует 165

Преобразуйте 63933

Преобразовать F9BD в десятичную систему счисления.

Компьютерная графика

Что такое восьмеричная система счисления? — Определение, восьмеричное в десятичное и десятичное преобразование в восьмеричное

Восьмеричное преобразование в десятичное

Преобразование десятичного числа в восьмеричное

Восьмеричная система счисления

Пр. 1:

Пр. 1:

Пр. 2:

Пр. 1:

Двоичная, шестнадцатеричная и восьмеричная система счисления

двоичный

восьмеричное

Шестнадцатеричный

Основание в десятичной системе

Преобразование десятичных чисел в основание

Из десятичного числа в двоичное

Из двоичного в десятичный

Из десятичного в шестнадцатеричный.

Из шестнадцатеричного в десятичный

От десятичной к восьмеричной

От восьмеричного к десятичному

Системы счисления — десятичные, двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные | Рукшани Атхапату | Coder’s Corner

Восьмеричная система счисления | Electrical4U

Преобразование числа

Восьмеричное преобразование в двоичное

Преобразование двоичного числа в восьмеричное

Преобразование восьмеричного числа в десятичное

Десятичное преобразование в восьмеричное

Преимущества восьмеричных систем счисления

Недостатки восьмеричных систем счисления

Двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные числа

Преобразование двоичного числа в десятичное

Преобразование шестнадцатеричного числа в десятичное

alexxlab

Вам также может понравиться

Как установить датчик температуры: Где установить датчик температуры и другие в доме? — Хабр Q&A

Кому поставляет россия газ: Экспортеры российского газа торгуют с большим дисконтом

Пускатели магнитные пмл технические характеристики: Пускатель ПМЛ: технические характеристики

Добавить комментарий Отменить ответ