Конъюнкция это сложение или умножение: правила и формулы операций, таблица истинности, доказательство

правила и формулы операций, таблица истинности, доказательство

Что такое алгебра логики

Определение

Алгебра логики это математический аппарат, позволяющий выполнять операции с логическими высказываниями. Другое название – алгебра высказываний.

С помощью этого понятия производятся вычисления, упрощения и преобразования с исходными суждениями.

Определение

Логическое высказывание или суждение – это предложение с истинным или ложным значением.

Пример

Сегодня идет дождь.

Основные законы алгебры логики

Законы алгебры высказываний представляют собой тавтологии и также называются теоремами. Запись законов раздела математической логики осуществляется в виде эквивалентных формул. 

Закон тождества

Теорема представлена в виде формулы: A=A.

Рассматриваемый закон гласит, что любое высказывание тождественно самому себе. При рассуждении недопустима подмена одной мысли или понятия другими. В противном случае может возникнуть логическая ошибка.

Пример

«Движение – жизнь, а утренняя пробежка тоже является движением. Значит, утренняя пробежка – это жизнь». Рассуждение приводит к логически неверному итогу, поскольку в первом случае слово «движение» философского смысла, во втором – физического (буквально «перемещение в пространстве»).

Закон непротиворечия

Записывается в виде: \(A\&Ā=0\)

Рассматриваемая теорема означает, что суждение в конкретный момент времени может иметь или истинное, или ложное значение, третье исключено.

Пример

Бизнес несет убытки или не несет.

Закон исключенного третьего применяется только в определенных рассуждениях, где стоит формулировка «или –или».

Пример

Это высказывание – ложь. Его истинность исключается, так как в предложении утверждается, что оно ложно. В то же время рассматриваемое высказывание не может быть ложью, иначе оно являлось бы истинным. Данное предложение не ложь, и не истина, поэтому закон исключенного третьего нарушается.

В данном случае противоречие объясняется ссылкой суждения на самого себя. Возникающий в этом примере парадокс является доказательством того, что рассматриваемый закон не всегда применим. 

Закон двойного отрицания

Записывается в виде \(\overset=A=A\)

Означает, что при двойном отрицании исходного суждения в итоге получится оно же.

Пример

Шторы – элемент декора окон. Неверно, что шторы не являются элементом декора окон.

Свойства констант

Отрицание лжи есть истина:

\(A\cup0=A\)

\(A\cup1=1\)

Отрицание истины есть ложь:

\(A\&0=0\)

Закон идемпотентности

Теорема идемпотентности – это закон, дающий возможность исключить повторяющиеся суждения.

В записи данный закон выглядит так:

\(A\cup A=A\)

\(A\&A=A\)

Пример

От того, сколько раз мы скажем – свет включен или свет включен или свет включен – значение предложения не поменяется.

Закон коммутативности

Рассматриваемая теорема применяется для выражений, связанных союзами «и», «или». Перемена мест высказываний в них не влияет на результат рассуждения.

\(A\cup B=B\cup A\)

\(А\&В=В\&А\)

Пример

На следующей неделе будет ясно или пасмурно только при условии, что на следующей неделе будет ясная погода или пасмурная погода.

Закон ассоциативности

Теорема утверждает, что логическое сложение и умножение ассоциативно, то есть при наличии в выражении лишь конъюнкции или лишь дизъюнкции можно опускать скобки:

\(A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C\)

\(А\&(В\&C)=(A\&В)\&С\)

Законы дистрибутивности

Рассматриваемая теорема является правилом раскрытия скобок при конъюнкции и дизъюнкции. 

Дистрибутивность логического сложения относительно логического умножения имеет значение – А или (В и С) есть тоже самое, что А или В и А или С – и записывается формулой:

\(A\cup(B\&C)=(A\cup B)\&(A\cup C)\)

Дистрибутивность логического умножения над логическим сложением читается как – А и (В или С) есть тоже самое, что А и В или А и С – и имеет вид:

\(А\&(B\cup C)=(A\;\&\;B)\cup(А\&C)\)

Закон поглощения

Теорема, при которой верны следующие равенства:

• для конъюнкции

\(A\cup(A\&B)=A\)

• для дизъюнкции

\(A\&(A\cup B)=A\)

Законы де Моргана

Законы общей инверсии названы в честь английского логика Августа де Моргана. Теорема для конъюнкции читается как – отрицание суждения «А и В» эквивалентно суждению «не-А или не-В» – и выглядит так:

\(\overline{A\&B}=\overline A\cup\overline B\)

Закон де Моргана для дизъюнкции означает, неверно, что А и В, если и только если неверно А и неверно В. Данное выражение можно записать в виде формулы:

\(\overline{A\cup B}=\overline A\&\overline B\)

Формы представления функций алгебры логики

Существует три способа представления выражений:

• в виде таблицы истинности;
• аналитическая форма;
• логическая форма.

Таблица истинности 

При этом способе комбинации логических переменных они расположены в порядке возрастания их двоичного номера. Наборы переменных обозначаются числами от нуля до 2n − 1, где n – количество переменных функции. При наличии значений на всех комбинациях функция называется полностью определенной.

Пример

Аналитическое выражение

Рассмотрение данной формы невозможно без введения новых понятий.

• терм – компонент выражения;
• ранг терма – число переменных в терме;
• дизъюнктивный терм (макстерм) – логическое сложение произвольного количества попарно независимых переменных;
• конъюнктивный терм (минтерм) – логическое умножение произвольного количества попарно независимых переменных. 

В аналитической записи используют две формы выражения:

• дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ)

\(f(a,b,c)=\overline ab\overline c+a\overline b+a\overline c+b\)

• конъюнктивную нормальную форму (КНФ)

\(f(X_1X_2X_3X_4)=(X_1+\overline{X_2}+X_3)(\overline{X_1}+\overline{X_2}+X_3+X_4)(X_1+X_2)\)

При условии, что все термы, составляющие нормальную форму, имеют одинаковый и максимальный ранг, который равен количеству переменных функции, форма называется совершенной. В такой форме минтерм – конституентная единицы, макстерм – конституентная нуля.

Совершенная дизъюнктивная форма (дизъюнкция конституент единицы) записывается так:

\(F(a,b,c)=\overline abc+abc+abc+ab\overline c\)

Совершенная конъюнктивная форма (конъюнкция конституент нуля) имеет вид:

\(F(a,b,c,d)=(a+b+\overline c+d)(\overline a+b+\overline c+d)(\overline a+\overline d+\overline c+d)\)

Аналитические формы полностью дуальны.

Числовая запись

Данный вид записи функций алгебры логики позволяет представить ее компактно.

Вид для совершенной дизъюнктивной нормальной формы:

\(f(a,b,c)=\vee(1,3,6,7)\)

Вид для совершенной конъюнктивной нормальной формы:

\(f(a,b,c)=\wedge(0,2,4,5)\)

Логические операции

Сложные логические суждения формируются из простых логических операций. Основные логические операции:

• конъюнкция или логическое умножение;
• дизъюнкция или логическое сложение;
• инверсия или логическое отрицание.

Конъюнкция

В основе логического умножения стоят два высказывания, в соответствие с которыми ставится новое суждение,  являющееся истиной лишь в том случае, когда оба исходных высказывания истинны.

Конъюнкция может быть записана следующими способами:

• A и B;
• A ⊥ B;
• A ⋅ B;
• A & B.

Пример

А – «Закончился дождь». B – «Из-за туч выглянуло солнце». Новое суждение «Закончился дождь, и из-за туч выглянуло солнце» является истиной только тогда, когда обе его части – А и B – истинны.

Дизъюнкция

При логическом сложении двух исходных суждений получается новое высказывание, ложное лишь в том случае, когда оба исходных суждения ложны.

Графическое обозначение дизъюнкции:

• A или B;
• A ⊦ B;
• A|B;
• A+B.

Пример

A – «В парке можно покататься на роликах»; B – «В парке можно просто погулять». Новое суждение «В парке можно покататься на роликах или просто погулять» будет ложным, есть и A, и B ложны.

Инверсия

При логическом отрицании в соответствие каждому суждению ставится противоположное исходному высказывание.

Символическое представление:

Пример

A – «За окном бушует вьюга». Ā – «Неверно, что за окном бушует вьюга».

Разложение в дизъюнкцию

Составление совершенных форм происходит по таблице истинности функции.

Правило для составления дизъюнкции конституент единицы: для каждой комбинации переменных, где функция истинна, записывается минтерм ранга n>, где переменные с нулевым значением в рассматриваемом наборе берутся с отрицанием. Все конъюнктивные термы объединяют дизъюнктивно. СДНФ для номеров N=1, 3, 6, 7:

\(f(a,b,c)=\overline a\overline bc+\overline abc+ab\overline c+abc\)

Разложение в конъюнкцию

Правило составления конъюнкции конституент нуля по таблице истинности: для каждого набора переменных, где функция имеет ложное значение, записывают дизъюнктивный терм ранга n, в котором переменные с единичными значениями на данной комбинации берутся с отрицанием. Все макстермы объединяют конъюнктивно. СКНФ для номеров наборов N=0, 2, 4, 5:

\(f(a,b,c)=(a+b+c)(a+\overline b+c)(\overline a+b+c)(\overline a+b+\overline c)\)

Как составить таблицу истинности

Алгоритм построения таблицы истинности:

1. Определить число переменных функции.
2. Посчитать, сколько всего операций в выражении.
3. Учесть скобки и установить порядок выполнения логических операций.
4. Узнать количество столбцов в таблице путем сложения количества переменных и числа операций.
5. В шапке таблицы записать переменные и операции в установленном в п.3 порядке.
6. Определить количество строк в таблице (без шапки) по формуле m=2n.
7. Выписать комбинации входных переменных, представленных в виде целого ряда двоичных чисел от 0 до 2n−1 с разрядом n.
8. Заполнить столбцы таблицы, последовательно совершая логические операции.

Пример

В выражении A&B две переменные и одна операции – конъюнкция. Количество столбцов для данного примера – 3:

Таблица истинности для A&B выглядит так:

Конъюнкция — это… Что такое Конъюнкция?

Конъю́нкция (от лат. conjunctio союз, связь) — логическая операция, по своему применению максимально приближённая к союзу «и». Синонимы: логи́ческое «И», логи́ческое умноже́ние, иногда просто «И».

Конъюнкция может быть бинарной операцией, то есть, иметь два операнда, тернарной операцией, т.е. иметь три операнда или n-арной операцией, т.е. иметь n операндов. Чаще всего встречаются следующие варианты:
в инфиксной записи:

,

по аналогии с умножением в алгебре знак логического умножения может быть пропущен: ,
в префиксной записи:

.

Булева алгебра

Определение.
Логическая функция MIN в двухзначной (двоичной) логике называется конъюнкция (логи́ческое «И», логи́ческое умноже́ние или просто «И»).
Правило: результат равен наименьшему операнду.
Описание.
В булевой алгебре конъюнкция — это функция двух, трёх или более переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества . Результат также принадлежит множеству . Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений может использоваться любая другая пара подходящих символов, например или или «ложь», «истина», но при таком обозначении необходимо дополнительно доопределять старшинство, например, , при цифровом обозначении старшинство естественно .
Правило: результат равен , если все операнды равны ; во всех остальных случаях результат равен .

Таблицы истинности:
для бинарной конъюнкции

для тернарной конъюнкции

Конъюнкция коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна по отношению к слабой дизъюнкции^[1].

Многозначная логика

Операция, называемая в двоичной логике конъюнкция, в многозначных логиках называется минимум: , где , а — значность логики. Возможны и другие варианты. Как правило, стараются сохранить совместимость с булевой алгеброй для значений операндов и .

Следует отметить, что название этой операции минимум имеет смысл в логиках с любой значностью, в том числе и в двоичной логике, а названия конъюнкция, логи́ческое «И», логическое умноже́ние и просто «И» имеют смысл только в двоичной логике, а при переходе к многозначным логикам теряют смысл.

Классическая логика

В классическом исчислении высказываний свойства конъюнкции определяются с помощью аксиом. Классическое исчисление высказываний может быть задано разными системами аксиом, и некоторые из них будут описывать свойства конъюнкции. Один из самых распространённых вариантов включает 3 аксиомы для конъюнкции:

С помощью этих аксиом можно доказать другие формулы, содержащие операцию конъюнкции. Обратите внимание, что в классическом исчислении высказываний не происходит вычисления результата по значениям операндов (как в булевой алгебре), а требуется доказать формулу как единое целое на основе аксиом и правил вывода.

Схемотехника

Логический элемент «И»

Логический элемент, реализующий функцию конъюнкции, называется схемой совпадения^[1]. Мнемоническое правило для конъюнкции с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:

• «1» тогда и только тогда, когда на всех входах есть «1»,
• «0» тогда и только тогда, когда хотя бы на одном входе есть «0»

Программирование

В компьютерных языках используется два основных варианта конъюнкции: логическое «И» и побитовое (поразрядное) «И». Например, в языках C/C++ логическое «И» обозначается символом «&&», а побитовое — символом «&». В терминологии, используемой в C#, операцию «&» принято называть логическим «И», а операцию «&&» — условным «И», поскольку значения операндов являются условиями для продолжения вычисления. В языках Pascal/Delphi оба вида конъюнкции обозначаются с использованием ключевого слова «and«, а результат действия определяется типом операндов. Если операнды имеют логический тип (например, Boolean) — выполняется логическая операция, если целочисленный (например, Byte) — поразрядная.

Логическое «И» применяется в операторах условного перехода или в аналогичных случаях, когда требуется получение результата или . Например:

if (a & b & c) 
{
    /* какие-то действия */
};

Сравнение в данном случае будет продолжаться до конца выражения, независимо от промежуточных результатов. Принцип работы условного «И» в аналогичной ситуации:

a = false; b = true; c = true;
if (a && b && c) 
{
    /* какие-то действия */ 
};

Проверка истинности выражения в данном случае остановится после проверки переменной a, т.к. дальнейшее сравнение не имеет смысла.

Результат будет равен , если оба операнда равны (для числовых типов не равны ). В любом другом случае результат будет равен .

При этом применяется стандартное соглашение: если значение левого операнда равно , то значение правого операнда не вычисляется (вместо может стоять сложная формула). Такое соглашение ускоряет исполнение программы и служит полезным приемом в некоторых случаях. Компилятор Delphi поддерживает специальную директиву, включающую

или выключающую

подобное поведение. Например, если левый операнд проверяет возможность вычисления правого операнда:

if (a != 0 && b / a > 3) 
{
    /* какие-то действия */
};

В этом примере, благодаря проверке в левом операнде, в правом операнде никогда не произойдет деления на ноль.

Побитовое «И» выполняет обычную операцию булевой алгебры для всех битов левого и правого операнда попарно. Например,

Связь с естественным языком

Часто указывают на сходство между конъюнкцией и союзом «и» в естественном языке. Составное утверждение «A и B» считается истинным, когда истинны оба утверждения A и B, в противном случае составное утверждение ложно. Это в точности соответствует определению конъюнкции в булевой алгебре, если «истину» обозначать как , а «ложь» как . При этом часто делают стандартную оговорку о неоднозначности естественного языка. Например, в зависимости от контекста союз «и» может нести дополнительный оттенок «и тогда», «и поэтому», «и потом». Отличие логики естественного языка от математической остроумно выразил американский математик Стивен Клини, заметив, что в естественном языке «Мэри вышла замуж и родила ребенка» — не то же самое, что «Мэри родила ребенка и вышла замуж».

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Словарь по кибернетике /Под редакцией В. С. Михалевича. — 2-е издание — К.: 1989. — 751 с., ISBN 5-88500-008-5

См. также

Логическое сложение — это… Что такое Логическое сложение?

Дизъю́нкция — логическая операция, по своему применению максимально приближенная к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу». Синонимы: логи́ческое «ИЛИ», включа́ющее «ИЛИ», логи́ческое сложе́ние, иногда просто «ИЛИ».

Это бинарная инфиксная операция, то есть, она имеет два операнда и стоит между ними. Чаще всего встречаются следующие варианты записи:
|| | .

Булева алгебра

В булевой алгебре дизъюнкция — это функция двух переменных (они же — операнды операции). Переменные Правило: результат равен , если оба операнда равны ; во всех остальных случаях результат равен .

Многозначная логика

В многозначной логике операция дизъюнкции может определяться другими способами. Чаще всего применяется схема: , где . Возможны и другие варианты. Как правило, стараются сохранить совместимость с булевой алгеброй для значений операндов .

Классическая логика

В классическом исчислении высказываний свойства дизъюнкции определяются с помощью аксиом. Классическое исчисление высказываний может быть задано разными системами аксиом, и некоторые из них будут описывать свойства дизъюнкции. Один из самых распространенных вариантов включает 3 аксиомы для дизъюнкции:

С помощью этих аксиом можно доказать другие формулы, содержащие операцию дизъюнкции. Обратите внимание, что в классическом исчислении высказываний не происходит вычисления результата по значениям операндов (как в булевой алгебре), а требуется доказать формулу как единое целое на основе аксиом и правил вывода.

Программирование

В компьютерных языках используется два основных варианта дизъюнкции: логическое «ИЛИ» и побитовое «ИЛИ». Например, в языках C/C++ логическое «ИЛИ» обозначается символом «||», а побитовое — символом «|».

Логическое «ИЛИ» применяется в операторах условного перехода или в аналогичных случаях, когда требуется получение результата или . Например:

if (a || b) 
{
    /* какие-то действия */
};

Результат будет равен , если оба операнда равны или . В любом другом случае результат будет равен .

При этом применяется стандартное соглашение: если значение левого операнда равно , то значение правого операнда не вычисляется (вместо может стоять сложная формула). Такое соглашение ускоряет исполнение программы и служит полезным приемом в некоторых случаях. Например, если левый операнд проверяет необходимость вычисления правого операнда:

if (a == NULL || a->x == 0) 
{
    /* какие-то действия */
};

В этом примере, благодаря проверке в левом операнде, в правом операнде никогда не произойдет разыменования нулевого указателя.

Побитовое «ИЛИ» выполняет обычную операцию булевой алгебры для всех битов левого и правого операнда попарно. Например,

Связь с естественным языком

Часто указывают на сходство между дизъюнкцией и союзом «или» в естественном языке, когда он употребляется в смысле «или то, или то, или оба сразу». В юридических документах часто пишут: «и/или», подразумевая «или то, или то, или оба сразу». Составное утверждение «A и/или B» считается ложным, когда ложны оба утверждения A и B, в противном случае составное утверждение истинно. Это в точности соответствует определению дизъюнкции в булевой алгебре, если «истину» обозначать как 1, а «ложь» как 0.

Неоднозначность естественного языка заключается в том, что союз «или» используется в двух значениях: то для обозначения дизъюнкции, то для другой операции — исключающего «ИЛИ».

См. также

Wikimedia Foundation.
2010.

Конъюнкция и дизъюнкция — правила и примеры решения в математике

В информатике существует специальная дисциплина, рассматривающая логические операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. В математике это направление называется булевой алгеброй и применяется для построения алгоритмов, проверяющих различные условия и соответствия. Специалисты в области информационных технологий рекомендуют перед практическим решением примеров получить теоретические знания.

Общие сведения

Булева алгебра — раздел математического анализа, изучающий истинность логических утверждений. Ее открыл Д. Буль в ХIХ веке. Алгебра логики получила практическое применение только в ХХ веке при проектировании различных элементов персонального компьютера. Дисциплина доказывает истинность или ложность тождеств логического типа математическим путем с применением специальных таблиц.

Следует отметить, что логическое тождество является определенной функцией, принимающей значения 0 или 1 в зависимости от ее элементов. В алгебре логики значения имеют следующие названия: 0 — ЛОЖЬ (FALSE) и 1 — ИСТИНА (TRUE).

Операторы сравнения

Для формирования логических условий применяются соответствующие знаки. К ним относятся следующие: более (>), менее (<), более либо равно (>=), менее или равно (<=), равно (==) и не равно (==!). Чтобы понять их смысловое значение, нужно разобрать примеры на практике:

Следует отметить, что в этих примерах получается истинное значение, поскольку условие выполняется. Однако в информатике при построении алгоритмов используются методы ветвления. Они представляют собой такую конструкцию: ЕСЛИ (a>b), ТО a+b. ИНАЧЕ (a*b). Читается запись следующим образом: в том случае, когда значение а больше b, нужно сложить оба числа, а иначе (a<b) — их перемножить.

В этом случае программа будет работать при любых величинах, поскольку просчитаны все возможные варианты. Однако алгебра логики строится не только на операторах сравнения, но и на логических операциях.

Логические операции

Операции логического типа очень часто применяются при построении выражений, используемых в программировании. К ним относятся следующие:

Однако булева алгебра не ограничивается только ими, поскольку существуют и другие их производные. Для каждой из трех составляются определенные таблицы истинности, которые каждый раз необходимо строить для получения результата вычисления логических выражений. Специалисты рекомендуют отдельно на листе картона перечертить таблицы всех логических операций.

Функция конъюнкции

Конъюнкция — операция логического умножения, которая будет истинным при достоверности каждого выражения. Ее обозначение — символ конъюнктора «&». Записывается следующим образом: S&T, где S и T — логические тождества или конкретные значения. Операция имеет такие особенности: только при равенстве всех элементов 1 значение выражения является истинным, а в других случаях — ложью. Для проверки необходимо составить таблицу значений логического тождества:

Таблица 1. Значение функции в зависимости от логических переменных.

Из таблицы 1 видно, что выражение S&T принимает только TRUE при всех истинных значениях переменных. Если рассматривать алгебру, то можно провести аналогию между логическим и обыкновенным умножениями. Например, произведение двух чисел S*T, которые для удобства сравнения принимают значения 0 или 1.

Если сравнивать два результата, то они будут идентичны. Следовательно, для правильного построения таблицы для конъюнкции нужно руководствоваться аналогичной операцией умножения.

Информация о дизъюнкции

В булевой алгебре операция логического сложения называется дизъюнкцией. Обозначается она символом, который называется дизъюнктором (V или I). Логическое тождество, содержащее два элемента, имеет такой вид: SVT. Операция имеет только ложное значение при равенстве S и T нулю. Для нее нужно также строить специальную таблицу:

Таблица 2. Истинность операции дизъюнкции SVT.

Операция аналогична сложению в алгебре, хотя имеются некоторые отличия. Чтобы убедиться в этом, требуется выполнить определенное действие — построить специальную таблицу результатов для алгебраического сложения нулей и единиц.

Если рассмотреть результаты в последнем случае, то можно сделать вывод о схожести сложения и дизъюнкции. Однако в последней строке алгебраической суммы есть некоторое несоответствие — 2. Это показывает, какое переполнение разряда происходит в булевой алгебре. В последней происходит переход с одного разряда в другой.

Булево отрицание

В алгебре логики применяется также операция отрицания, которую также называют инверсией. Суть ее заключается в том, что при истинном значении выражения под знаком инверсии получается ложный результат, а при ложном — истина. Обозначается она символом инверсии «¬», а записывается в таком виде ¬(S). Для демонстрации операции необходимо ознакомиться с таблицей:

Таблица 3. Истинность ¬(S).

Следует отметить, что операция инверсии функции прибавляет к искомому выражению частицу «НЕ». Очень часто используется при построении логических условий. В алгоритмах и языках программирования отрицание записывается в виде комбинации следующих символов: «<!» (не меньше), «=!» (не равно) и «>!» (не больше).

Например, если необходимо указывать несколько тождеств логического вида, то при помощи отрицания можно использовать только одно. Для примера необходимо написать, что число не равно 0: (t<0)&(t>0). При использовании логического отрицания условие выглядит короче: t=!0.

Приоритеты вычислений

При решении выражений булевского типа, как и в алгебре, существуют определенные приоритеты. Каждая операция обладает определенным из них. Наибольшей степенью пользуется конъюнкция, средней — дизъюнкция. Наименьшим приоритетом обладает логическое отрицание. Однако эту особенность можно поменять при помощи группировки элементов в выражениях, которая производится скобками. С учетом этих особенностей алгоритм решения тождества имеет следующий вид:

Иногда бывают задачи, в которых следует упрощать выражение. Для этой цели следует знать некоторые особенности:

Этих правил достаточно для упрощения булевского выражения. Следует отметить, что перед построением булевской таблицы требуется с самого начала упростить исходное тождество.

Примеры решений

В первом простом примере требуется составить таблицу булевского типа для выражения S&(S|T)|T&S|¬(T&S).

Решать задание нужно по такому алгоритму:

Следующий пример будет сложнее, поскольку выражение ¬ { ¬[ ¬((S|0)&¬(T|S)& ¬(S&(T&S)) ]& ¬(S&S) } следует упростить, а затем составить таблицу. Задача решается по такой методике:

Следует отметить, что исходное логическое выражение необходимо на начальном этапе решения упростить, а затем строить таблицу. В этом возможно убедиться на основании приведенного примера, в котором сокращается одна переменная.

Таким образом, для решения выражения, содержащего логические операции конъюнкции, дизъюнкции и инверсии, необходимо его упростить, а затем разбить на простые элементы.

Предыдущая

МатематикаУмножение и деление натуральных чисел — правила и примеры для 5 класса

Следующая

МатематикаСвойства дробей — общие формулы, правила и примеры для 5 класса

27 Логическое сложение и умножение.

1) Логическое умножение или конъюнкция:

Конъюнкция — это сложное логическое
выражение, которое считается истинным
в том и только том случае, когда оба
простых выражения являются истинными,
во всех остальных случаях данное сложеное
выражение ложно.

Обозначение: F = A & B.

Таблица истинности для конъюнкции

A B F

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

2 Логическое сложение или дизъюнкция:

Дизъюнкция — это сложное логическое
выражение, которое истинно, если хотя
бы одно из простых логических выражений
истинно и ложно тогда и только тогда,
когда оба простых логических выраженныя
ложны.

Обозначение: F = A + B.

Таблица истинности для дизъюнкции

A B F

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

28 Основные законы алгебры логики.

Вот как трактует логику толковый словарь:
«Логика — наука, изучающая способы
обоснования суждений, доказательства,
мышления и логического вывода. В
математической логике используются
для этого методы алгебры или теории
алгоритмов». «Алгебра логики (булева
алгебра) — раздел математики, изучающий
методы оперирования логическими
(булевыми) переменными, принимающими
только два значения — истина и ложь.
Предложен английским математиком
Джорджем Булем». Добавим только, что
помимо манипуляций константами «да»
и «нет» логические переменные могут
являться результатом применения к
числам операторов отношения (меньше,
больше, равно и т.п.).

В компьютерах булевы переменные
представляются (кодируются) битами
(разрядами двоичной системы счисления),
где 1 обычно означает истину, а 0 — ложь.
Вот ещё одно достоинство двоичной
системы счисления!

В алгебре логики имеются законы, которые
записываются в виде соотношений.
Логические законы позволяют производить
равносильные (эквивалентные) преобразования
логических выражений. Преобразования
называются равносильными, если истинные
значения исходной и полученной после
преобразования логической функции
совпадают при любых значениях входящих
в них логических переменных.

Для простоты записи приведем основные
законы алгебры логики для двух логических
переменных А и В. Эти законы распространяются
и на другие логические переменные.

1. Закон противоречия:

2. Закон исключенного третьего:

3. Закон двойного отрицания:

4. Законы де Моргана:

5. Законы повторения: A & A = A; A v A = A; В &
В = В; В v В = В.

6. Законы
поглощения: A ∨
(A & B) = A; A & (A ∨
B) = A.

7. Законы
исключения констант:
A ∨
1 = 1; A ∨
0 = A; A & 1 = A; A & 0 = 0; B ∨
1 = 1; B ∨
0 = B; B & 1 = B; B & 0 = 0.

8. Законы
склеивания:

9. Закон контрапозиции: (A ⇔
B) = (B ⇔
A).

Для логических переменных справедливы
и общематематические законы. Для простоты
записи приведем общематематические
законы для трех логических переменных
A, В и С:

1. Коммутативный закон: A & B = B & A; A ∨
B = B ∨
A.

2. Ассоциативный закон: A & (B & C) = (A &
B) & C; A ∨
(B ∨
C) = (A ∨
B) ∨
C.

3. Дистрибутивный закон: A & (B ∨
C) = (A & B) ∨
(A & C).

Основы логики, Джордж Буль, булева
алгебра

Как уже отмечалось, с помощью законов
алгебры логики можно производить
равносильные преобразования логических
выражений с целью их упрощения. В алгебре
логики на основе принятого соглашения
установлены следующие правила (приоритеты)
для выполнения логических операций:
первыми выполняются операции в скобках,
затем в следующем порядке: инверсия
(отрицание), конъюнкция ( & ), дизъюнкция
(v), импликация (⇒),
эквиваленция (⇔)

Выполним преобразование, например,
логической функции

применив соответствующие законы алгебры
логики.

Операция и — логическое умножение (конъюнкция)

Логическая
операция И выполняет функцию пересечения
двух высказываний (аргументов), в
качестве которых может быть и простое,
и сложное логическое выражение.
Результатом операции И является
выражение, которое будет истинным тогда
и только тогда, когда истинны оба
исходных выражения.

Применяемые
обозначения: А и В, А Λ В, A  & B, A and
B.

Результат
 операции  И  определяется
 следующей таблицей истинности:

Результат
операции И истинен тогда и только тогда,
когда истинны одновременно высказывания
А и В, и ложен во всех остальных случаях.

Приведем
примеры логического умножения.

1. Рассмотрим высказывание «Умение и настойчивость приводит к достижению цели». Достижение цели возможно только при одновременной истинности двух предпосылок — умения и настойчивости.

Логическую
операцию И можно сравнить с последовательным
соединением лампочек в гирлянде. При
наличии хотя бы одной неработающей
лампочки электрическая цепь оказывается
разомкнутой, то есть гирлянда не
работает. Ток протекает только при
одном условии — все составляющие цепи
должны быть исправны.

Операция
«ЕСЛИ-ТО» — логическое следование
(импликация)

Эта
операция связывает два простых логических
выражения, из которых первое является
условием, а второе — следствием из
этого условия.

Применяемые
обозначения:

если
А, то В; А влечет В; if A then В; А→ В.

Таблица
истинности:

Результат
операции следования (импликации) ложен
только тогда, когда предпосылка А
истинна, а заключение В (следствие)
ложно.

Приведем примеры операции следования.

1.
 Рассмотрим высказывание «Если идет
дождь, то на улице сыро». Здесь исходные
высказывания «Идет дождь» и «На улице
сыро». Если не идет дождь и не сыро на
улице, результат операции следования
— истина. На улице может быть сыро и
без дождя, например, когда прошла
поливочная машина или дождь прошел
накануне. Результат операции ложен
только тогда, когда дождь идет, а на
улице не сыро.

2.
 Рассмотрим два высказывания: А {х
делится на 9}, В {х делится на 3}. Операция
А → В означает следующее: «Если число
делится на 9, то оно делится и на 3».
Рассмотрим возможные варианты:

■  А
— ложно, В — ложно (1-я строка таблицы
истинности). Можно найти такие числа,
для которых истиной является высказывание
«если А — ложно, то и В — ложно». Например,
х = 4, 17, 22.

■  А
— ложно,
В — истинно (2-я строка таблицы истинности).
Можно найти такие числа, для которых
истиной является высказывание «если
А — ложно, то В — истинно». Например, х
= б, 12, 21.

■   А
— истинно, В — ложно (3-я строка таблицы
истинности). Невозможно найти такие
числа, которые делились бы на 9, но не
делились на 3. Истинная предпосылка не
может приводить к ложному результату
импликации.

■  А
— истинно, В — истинно (4-я строка таблицы
истинности). Можно найти такие числа,
для которых истиной является высказывание
«если А — истинно, то и В — истинно».
Например, х = 9, 18, 27.

Операция
«А тогда и только тогда, когда В»
(эквивалентность, равнозначность)

Применяемое
обозначение: А ↔ В, А ~ В.

Таблица
истинности:

Результат
операции эквивалентность истинен
только тогда, когда А и В одновременно
истинны или одновременно ложны.

Приведем
примеры операции эквивалентности:

1.
 День сменяет ночь тогда и только
тогда, когда солнце скрывается за
горизонтом;

2.
 Добиться результата в спорте можно
тогда и только тогда, когда приложено
максимум усилий.

Приоритет
логических операций

Действия
в скобках

Инверсия

Конъюнкция
( & )

Дизъюнкция
( V )

Импликация
( → )

Эквивалентность
( ↔ )

Подчиненные союзы: список, правила и полезные примеры

Подчиняющие союзы в английском языке! Изучите определение, полезные правила и список подчиненных союзов с помощью печатной инфографики ESL.

Подчиненное соединение

Что такое подчинительные союзы?

Эти союзы используются для соединения независимого и полного предложения с зависимым предложением, значение и актуальность которого зависит от основного предложения.Зависимое предложение не может существовать само по себе как предложение и часто не имеет смысла без основного предложения.

Подчиняющая конъюнкция всегда стоит перед зависимым предложением, но само зависимое предложение может быть помещено либо перед независимым предложением, либо после него.

• С года мальчики были отстранены от школы на неделю.

Здесь мы видим, что зависимое предложение — «они плохо себя вели», что само по себе не является действительным предложением.

Независимая основная статья гласит: «Мальчики были отстранены от школы на одну неделю».

К ним присоединяется подчинительное соединение «с» .

• Он любил играть в баскетбол , потому что это была любимая игра его отца.

В этом предложении , потому что является подчинительным союзом, так как вводит зависимое предложение «это была любимая игра его отца».

Главное предложение в этом предложении — «он любил играть в баскетбол», так как это предложение можно произносить независимо и при этом быть грамматически правильным.

Другие подчиненные союзы — Хотя , Как , До , Один раз , Хотя , До , Ли, и т. Д.

Список подчиненных союзов

Есть много подчиненных союзов. Это наиболее часто используемый список подчиненных союзов в английском языке.

Таблица: Список подчиненных союзов

Узнайте больше с большим списком переходных слов и фраз на английском языке.

Подчиненные союзы | Инфографика

Список подчиненных союзов Изображение 1

Список подчиненных союзов на английском языке | Изображение 2

Соединение | Типы, примеры и список

Определение

Конъюнкция — это слово, соединяющее две равные вещи.Он может соединять два существительных или два глагола, но не может соединять существительное с глаголом.

Примеры соединений

• Купил книгу и ручку .
• Хотите чай или холодный кофе.
• Я всегда много работал , поэтому я мог легко достичь своих целей.
• Я пригласил его на обед , но он не ответил.
• Я пошел в продуктовый магазин , где купил товары для дома.
• Она как и Сходила в парк.
• Она видела меня , когда она ехала .

Типы соединений

Союзы делятся на три типа, которые кратко обсуждаются здесь с помощью примеров.

Координационные соединения

Союзы, соединяющие вместе два утверждения или предложения равного ранга или важности, называются координирующими союзами.

Примеры координированных соединений

1. Ни , ни заемщик , ни не являются кредитором.
2. Два и два составляют четыре.

Основными координирующими союзами являются: and, nor, but, for, or, also.

Подчиненные союзы

Союзы, соединяющие подчиненное или зависимое предложение с независимым или главным предложением, называются подчиненным союзом.

Примеры подчиненных соединений

1. Вернулись потому что боялись.
2. Так как моя жена говорит так, я должен в это верить.

Основными подчиненными союзами являются: после, потому что, если, то, хотя, хотя, до, до, если, как, когда и т. Д.

Корреляционная связь

Корреляционные соединения аналогичны координирующим соединениям . Они присоединяются к утверждениям или предложениям равной важности, но всегда используются парами.

Примеры корреляционных соединений

1. И Julia , и John играют в шахматы.
2. Ни Julia , ни John не играли в игру.
3. Юлия не только играет в шахматы, но и также сильнейший игрок.

Основными координирующими соединениями являются: и — и, либо — или, ни — ни, не только — но также

Читайте также: Упражнения на соединение с ответами

Список соединений

Эти слова-союзы используются для связи или соединения фраз или предложений.

Общее Ошибки

Учимся использовать соединяющиеся слова

Какой самый простой способ запомнить список союзов, также известный как соединение слов? Один из ответов — разбить ваше обучение на управляемые разделы. В противном случае вашему мозгу нужно будет выучить сразу несколько десятков слов.Но что, если у вас нет времени вручную разделять слова на группы или создавать карточки? Ну не волнуйтесь! Вся тяжелая работа уже сделана за вас. Ниже вы найдете простой для изучения список союзов, разделенный по типам.

Для дополнительной помощи есть даже примеры использования различных типов соединения слов в английском языке. Мы также включили описания каждого типа списков союзов на тот случай, если есть какие-либо группы слов, с которыми вы не знакомы.Итак, вы готовы расширить свой словарный запас? Начнем с согласованного списка соединений!

Что такое координационный список союзов (и почему это необходимо?)

Выучить слова из списка согласованных союзов несложно и невероятно весело, хотите верьте, хотите нет! Это потому, что в этой категории всего семь слов, которые образуют полезное сокращение FANBOYS . Хотите знать, что означает FANBOYS? Ну, аббревиатура FANBOYS означает слова , и, ни, но, или еще, и , так что .Достаточно просто, правда? Запишите этот первый список слов-союзов вместе с аббревиатурой FANBOYS, и он должен легко запомнить вас.

Вы уже знаете о FANBOYS и можете составить согласованный список связей? Ознакомьтесь с этим полезным ресурсом о формате MLA и других стилях форматирования цитат.

Почему эти слова так важны для запоминания? Вы обнаружите, что ораторы и писатели часто используют эти слова. Каждое из них состоит менее чем из четырех букв, и это одни из самых распространенных слов в английском языке.Роль, которую они играют, немалая, поскольку они могут соединить два независимых предложения и объединить их в одно предложение. Вот список координирующих соединений:

• F — для
• А — и
• N — ни
• B — но
• O — или
• Y — пока
• S — так

Вам интересно, как использовать слова из списка координирующих союзов? Посмотрите эту пояснительную ссылку или ознакомьтесь с примерами использования слов из этой группы в предложении ниже:

Для — это слово имеет значение, аналогичное «потому что» в предложении.

• Она очень устала, когда пришла в класс, за она училась всю ночь.

Но — Этот соединяет противоположные идеи.

• Я пробовал играть в баскетбольную команду, , но не смог.

И все же — Это слово похоже на слово «но». Однако он еще больше подчеркивает контраст.

• Снаружи идет снег, а середина лета!

Nor — Это слово объединяет два существительных, которых субъект предложения НЕ имеет или НЕ получает.

• Моника ничего не знает о Майкле и Бобби, и о Джессике и Сьюзан

Итак / пока — Эти слова предполагают время и продолжение в зависимости от контекста.

• Итак, далеко, он не сказал ей правду.
• Они любят футбол, , но они отдали билеты кому-то менее удачливому.

Убедитесь, что вы запомнили FANBOYS, и вы на шаг приблизитесь к тому, чтобы узнать свой основной список союзов.

Теперь, когда вы рассмотрели список координирующих союзов, пора перейти к списку подчиненных союзов. Думаете, вы можете угадать разницу между ними? Хотя они кажутся похожими, эти соединения выполняют две очень разные функции.

Взгляд на подчиненные слова: A Список подчиненных союзов

Поскольку у вас нет фанатов, давайте перейдем к подчиненному списку союзов. Эти слова выучить немного сложнее, потому что многие из них также являются предлогами.Кроме того, оба предложения соединяют в предложении. Имея это в виду, вы должны понимать, что слова в списке подчиненных союзов имеют другое назначение. Вместо того, чтобы объединять два независимых предложения равной важности, слова из списка подчиненных союзов делают одно предложение менее важным, чем другое. Вы увидите, как это работает, в следующих примерах. А пока вот список подчиненных союзов:

Как видите, подчиненных намного больше, чем координат.Фактически, это даже не половина слов в списке подчиненных союзов, который вы можете использовать, чтобы показать важность между двумя предложениями. В любом случае, давайте рассмотрим несколько примеров предложений со словами из подчиненного списка союзов:

• Джейсон пошел попить воды перед началом экзамена .
• Обычно она счастливая девочка, при условии, что она регулярно кормит.
• Я всегда хожу в Диснейленд всякий раз, когда навещаю бабушку и дедушку в Калифорнии.
• Тайлер может наслаждаться рисованием сейчас , что у него есть собственная мастерская.

Поскольку вы можете использовать многие слова из списка подчиненных союзов в качестве другой части речи, хорошо понимать, как каждое из них работает как соединяющее слово. В предложении слова из списка подчиненных союзов начинают зависимое предложение, которое не может стоять отдельно.

Например, « Если Я иду в магазин» не дает полного представления.Соедините это с независимым предложением, как в предложении: «Я куплю новую игрушку , если я приеду в магазин», , и у вас будет законченная мысль.

Часто можно отличить соединяющиеся слова от остальных, определяя, составляет ли оно часть предложения, содержащую полную идею. Слова с множественным использованием часто образуют законченную мысль, если не используются в качестве соединительного слова.

Хотите узнать больше соединяющихся слов и список подчиненных союзов? Посмотрите эту информативную ссылку или посмотрите этот дополнительный список подчиненных союзов:

Что такое корреляционный список союзов?

Слова в списке коррелятивных союзов работают в парах, чтобы объединить одинаковые предложения вместе.Они могут появляться в разных частях предложения. Кроме того, вы всегда найдете их работающими вместе со своими коллегами. Например, одна пара из этого списка союзов — это или / или . Он объединяет два равнозначных положительных предложения, чтобы сформировать законченное предложение. Например:

• Либо ты приготовишь мне ужин, либо или Я ухожу.

Вот несколько дополнительных предложений, использующих слова из списка коррелятивных союзов:

Независимо от того, — Эта пара действует как слово , если , вызывая гипотетические ситуации и объединяя эти два варианта.

• Я в новом купальнике независимо от того, я иду на пляж или в бассейн.

As / As — Вы можете сравнить две вещи вместе, используя эти слова из списка союзов.

• Ее чихание было как громко как вертолет.

Есть много других соединительных слов, которые попадают в пары. Вот список коррелятивных союзов слов:

Нужен перерыв? Попробуйте нашу программу проверки грамматики или наши службы цитирования для форматов MLA и APA! Далее, список конъюнктивных наречий будет украшением при добавлении слов в основной список союзов.

Что особенного в списке соединительных наречий?

Последний список союзов для запоминания содержит наречия. Эти наречия соединяют слова, фразы и предложения в предложении точно так же, как это могут делать слова из стандартного списка союзов. Вот несколько примеров предложений, содержащих слова из списка союзов наречий:

• Тед был отличным студентом, из дополнение он был прекрасным президентом студенческого сообщества.
• Фред никогда не пропускал школьных дней; В результате он выиграл стипендию за отличную посещаемость.
• Несмотря на то, что у Лизы непереносимость лактозы, все же она хотела плитку мороженого.

И, наконец, вот основной список наречий.

Этот список наречных союзов ни в коем случае не является исчерпывающим, хотя он дает вам хорошую основу. Слова в этом списке союзов также известны как слова перехода. Старайтесь изо всех сил запоминать и не забывайте использовать это как руководство при письме.

Теперь вы знакомы с разными соединяющимися словами.Есть ли слова, значения которых вы не знаете из списка соединительных наречий? Если да, посмотрите, как использовать каждое слово, и создайте примеры предложений. При достаточной практике вы сможете использовать эти слова, как профессиональный писатель!

Попробуйте ответить на эти практические вопросы, чтобы повторить то, что вы узнали выше.

Вопросы для обзора списка соединений

1. Сколько разных категорий содержится в списке соединений?
2. Составьте предложение, используя слово из списка подчиненных союзов.
3. Составьте предложение, используя слово из списка координирующих союзов.
4. Почему при написании удобно иметь список союзов?

После того, как вы закончите, просмотрите свои ответы с другом и посмотрите, сможете ли вы проверить друг друга по словам из списка слов-союзов.

Опубликовано 7 марта 2019 г. Обновлено 22 мая 2020 г.

СОЕДИНЕНИЙ

СОЕДИНЕНИЙ

СОЕДИНЕНИЯ

Союзы — это слова, используемые как соединения .

Различные виды союзов соединяются с разными
виды грамматических конструкций.

Следующие виды союзов :

A. КООРДИНАЦИЯ
СОЕДИНЕНИЯ (ФЭНБОЙКИ)

для, и, ни, но, или еще, так

Координационный
соединения объединить равны друг другу:

слова в слова, фразы в
фразы, статьи к
статьи.

Координационные союзы обычно образуют более рыхлые
связей, чем другие союзы.

Координационные соединения идут между
элементы соединены, а не в начале или в конце.

Пунктуация с координационными союзами :

Когда координирующее соединение соединяет два
слова, фразы или придаточные предложения, запятую перед
соединение.

Координационное соединение, объединяющее трех или
более слов, словосочетаний или придаточных предложений создают серию и
требует запятых между элементами.

Координационный союз, соединяющий два
независимые предложения создают составное предложение
и требует запятой перед согласованием
соединение

Б.КОРРЕЛЯТИВНЫЙ
СОЕДИНЕНИЯ

Эти пары соединений требуют равных
(параллельные) структуры после каждого.

С. СОЕДИНЕНИЕ
ОБЪЯВЛЕНИЯ

Эти союзы соединяют независимые предложения
все вместе.

Следующие часто используемые конъюнктивы
наречия :

.