Логические операции таблицы истинности: Основы логики. Логические операции и таблицы истинности

Содержание

Таблицы истинности логических операций ✔️ алгоритм построения и решение задач с помощью таблиц, примеры

Определения и понятия

Под таблицей истинности понимают свод значений, которые может принять высказывание при сочетании различных входящих комбинаций. Другими словами, каждому набору функций или сигналам, присутствующим на входе чего-либо, соответствует строго определённые показатели на выходе. Все значения, являющиеся всевозможными высказываниями, называют логическими выражениями. Если в таблице последние столбцы логичных выражений идентичны, то рассматриваемый объект считается равносильным.

Любое выражение можно описать формулой, в которую будут включаться переменные, характеризующие состояния, и обозначающие функции знаки логических операций. Поэтому используя язык математики, в частности, алгебры, любое сложное высказывание можно разделить на несколько простых, а затем объединить логической связью.

Обычно значениями истинности описывают логическую функцию, у которой показатели параметров определяют верность. Раздел математики рассматривающий их на правдивость или ложность называется булевым. В 1854 году английский учёный Джордж Буль предложил метод, позволяющий проводить анализ классов и высказываний. Согласно ему, любое значение может принимать одно из двух состояний — истина или ложь.

Эти состояния принято обозначать арабскими цифрами один либо ноль или словами true и false. Это возможно из-за того, что для математики важна только истинность высказываний, а конкретное содержание второстепенно. Простые высказывания принято считать логическими переменными, а сложные — функциями логики. Выражения для упрощения записи обозначают латинскими буквами A, B, C.

Применение двух цифр подчёркивает соответствие между двоичной системой счисления и математической логикой. В итоге с помощью последней стало удобным описывать работу цифровых схем радиоэлектронной аппаратуры, алгоритмы в программировании, проводить синтез и анализ результата выполнения операций.

Суждение о правильности построения таблиц истинности для логических выражений основано на учёте всех переменных и операций, последовательно выполняющихся в рассматриваемой функции. Обычно для начертания используют 2ⁿ+1 строк, где n обозначает количество входных переменных, и n+m столбцов, m — число значений на выходе.

Виды логических операций

В качестве наименьшей единицы измерения объёма данных принято считать бит. В него заносится одно из двух значений — ложь (0) или правда (1). Каждая ячейка, соответствующая биту, находится лишь в одном из этих состояний. Существуют определённые операции, используемые для действий с ячейками:

AND (И) — применяется для сравнения двух бит. Результатом действия будет единица, но лишь в том случае, если значения двух ячеек одинаковое. При остальных вариантах итог будет иметь устойчивое нулевое состояние.

OR (ИЛИ) — по сути, операция обратная AND. Результат становится нулевым, если содержимое двух сравниваемых бит одинаковое. В остальных случаях он равный единице.

XOR (ИЛИ) — если значения, содержащиеся в двух сравниваемых битах противоположны, при выполнении логического действия результат будет равный единице. Во всех остальных случаях он будет равняться нулю.

NOT (НЕ) — действие, используемое для одного бита. Если первоначально ячейка находилась в нулевом состоянии, то после выполнения над ней операции она станет равной единице и наоборот. Фактические это логическая инверсия.

Эти операции являются основными элементами при составлении таблиц истинности и получения возможного результата. На основании их построена алгебра Буля. Некоторые элементы получаются путём объединения нескольких операций. Так, существует состояние: NAND (И-НЕ) и NOR (ИЛИ-НЕ). Первый элемент является инверсией операции «И», а второй — «ИЛИ». На основании рассмотренных операторов строится работа всех цифровых интегральных схем.

В информатике существует своя терминология, обозначающая то или иное логическое действие. Так, AND называют операцией конъюнкции, OR — дизъюнкции, XOR — сложение по модулю 2, NOT — отрицание. Задача инженера при анализе схем или алгоритма сводится к выполнению булевой арифметики и упрощению выражений. Для этого используют различные правила и положения не требующих доказательства.

Аксиомы и законы

Построение таблиц в удобной форме позволяет определить, когда определённое действие или высказывание принимает верное значение, а в каком случае нет. В верхней строчке записывают логическую форму высказывания, а в столбцах — истинные значения. Некоторые комбинации высказываний всегда будут истинными или ложными, независимо от содержания. Поэтому и были сформулированы следующие законы:

Торжества. Записывается в виде утверждения: А = А. В этом случае таблица будет состоять из двух комбинаций: ложной и правдивой. Бинарная логическая связка «Если А, то А» является материальной импликацией. Для такого варианта всегда можно сказать, что А есть А. Этот закон обозначает то, что нельзя подменять одно понятие другим, иначе возникнут логические ошибки.

Противоречия. Согласно ему, утверждение, что А и НЕ-А, неверно: A & A = 0. Другими словами, если А истинное значение, то его отрицание не может быть ложным. То есть их перемножение будет всегда фальшивой операцией. Этот закон довольно часто применяется для упрощения сложных логических суждений.

Третьего исключённого. Закон записывается в виде A v A = 1 и обозначает, что в один и тот же момент высказывание может быть только правдивым или ложным. То есть третьего не дано.

Эти три закона фундаментальны. Без их соблюдения сделать любое правильное утверждение невозможно.

Для решения логических задач с помощью таблиц истинности используют различные формулы, соответствующие разного вида операциям. Одно из них логическое умножение (конъюнкция). В этом случае считается, что функция истинная лишь тогда, когда оба выражения являются верными: F = A & B. Другое логическое сложение (дизъюнкция). Оно гласит, что если оба выражения ложны, то и логическая функция будет неверной.

Кроме того, используется закон:

инверсии (отрицания) — если логическое высказывание истинно, то отрицание его будет ложным выражением;

импликации (следования) — для всегда истинного сложного логического выражения ложь будет тогда, когда из верности следует отрицание;

эквивалентности (равнозначности) — выражение будет истинным лишь тогда, когда оба высказывания имеют одинаковое значение.

При построении таблиц нужно придерживаться установленного порядка выполнения упрощения операций. Вначале считают инверсию и конъюнкцию, а затем дизъюнкцию, импликацию и эквиваленцию. При изменении же порядка выполнения действий в описании логических операций используют скобки.

Алгоритм построения

Таблицы истинности показывают, какой вид может принять выражение при различных входящих в него значениях переменных. Для того чтобы их правильно построить и выполнить вычисление логического выражения нужно придерживаться установленного алгоритма. Построение таблиц выполняют в следующей последовательности:

подсчитывают количество переменных n;

вычисляют число строк для будущей таблицы используя формулу m = 2n+1;

определяют число логических операций;

устанавливают порядок выполнения операций в соответствии со скобками и приоритетами;

строят таблицу с указанием столбцов и наборов значений, заданных логических операций;

заполняют оставшиеся ячейки в таблице.

Для заполнения таблиц нужно упрощать выражения с учётом последовательности выполнения операций. При этом учитывать, что если значение какого-то из аргументов функции в соответствующей строке таблицы будет равное нулю, то записывать его нужно в виде отрицания.

Пример задания

Пусть необходимо построить таблицу для логического выражения F = (A → B) * (A + B). Эта формула состоит из двух логических переменных A и B и нескольких операций. Начинают построение с определения строк. Используя формулу 2n+1 для рассматриваемого примера можно установить, что их число будет: x = 22 + 1 = 5.

Теперь следует определить число столбцов. Для этого используется формула, в которой учитывается количество переменных и операций. Последние можно просто посчитать, сложив количество разных знаков, используемых в записи формулы. Но правильней сначала расставить порядок операций, а затем посчитать. Согласно порядку действия над операциями их нумерацию можно представить в следующей очерёдности:

Импликация в первой скобке.

Инверсия во второй скобке переменной A.

Отрицание во второй скобке неизвестной B.

Сложение во втором члене.

Конъюнкция.

В итоге получится, что столбцов будет: Y = 2 + 5 = 7. Теперь нужно построить таблицу 7Х5. В шапку первого и второго столбца вписывают переменные, а затем операции над ними. Затем в строках, соответствующих A и B нужно записать всё, что с ними может произойти. В итоге останется только правильно посчитать последний столбец.

Для этого нужно использовать законы. Необходимо выполнить логическое умножение значений в скобках. Первой и второй строчке будет соответствовать операция произведения один на один, что в ответе даст единицу. Третьей и четвёртой — ноль на один, что в итоге даст ноль. Последний столбец является главным для рассматриваемой логической функции. По нему можно узнать значение логической функции для любых форм переменных A и B.

Это довольно простая задача, содержащая всего две переменных. Но в реальности, например, в программировании, их может быть намного больше. Решать такие задания методом перебора проблематично. Поэтому при решении сложных примеров функцию вначале пытаются упростить.

Например, заданно выражение (x + y + z) * (x + y). По сути, оно записано в совершенно нормальной конъюнктивной форме. Но для приведения его к этому виду нужно, чтобы во втором выражении стояла z. Для того чтобы её добавить необходимо обратить внимание на то, что внутри скобок стоит логическое сложение. Поэтому дописав к нему ноль, результат не изменится. Добавить ноль через z можно, как ноль умножить на НЕ z. В итоге получится выражение (x + y + z) * (x + y + z + z), для которого, используя алгоритм составить таблицу уже не так и сложно.

Вычисления онлайн

В интернете есть сервисы, автоматически строящие таблицы истинности. Такие сайты предлагают свои услуги бесплатно и доступны даже тем, кто слабо ориентируется в теме. С их помощью можно находить таблицы для довольно сложных выражений, решение которых требует скрупулёзности в расчёте. В основе онлайн-вычислений заложены принципы логических законов, поэтому за достоверность результата можно не переживать. Тем более расчёт занимает совсем небольшое количество времени.

Для того чтобы воспользоваться сайтами-калькуляторами пользователю необходимо знать обозначение операций, иметь подключение к интернету и установленный веб-обозреватель, поддерживающий Flash-технологию. Регистрацию, указание личных данных сервисы, предлагающие такого рода услуги, не требуют.

Из различных порталов можно отметить три наиболее популярных калькулятора:

Allcalc.

Programforyou.

Uchim.

Эти сайты имеют интуитивно понятный интерфейс и что довольно полезно, на своих страницах содержат краткую теорию, используемую для составления таблиц истинности и даже примеры решений.

Презентация к уроку: Основные логические операции, таблицы истинности

Слайд 1

Основные логические операции , таблицы истинности Основой цифровой техники служат три логические операции, лежащие в основе всех выводов компьютера. Это три логические операции : И , ИЛИ, НЕ , которые называют «тремя китами машинной логики».

Слайд 2

мыслительные действия, результатом которых является изменение содержания или объема понятий, а также образование новых понятий. Логические операции-

Слайд 3

Конъюнкция — это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное сложенное выражение ложно. Обозначение: F = A & B . Таблица истинности для конъюнкции : Логическое умножение или конъюнкция :

Слайд 4

Дизъюнкция — это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно тогда и только тогда, когда оба простых логических выражен ь я ложны. Обозначение: F = A v B . Таблица истинности для дизъюнкции : Логическое сложение или дизъюнкция:

Слайд 5

Инверсия — это сложное логическое выражение, если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное логическое выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Другими простыми слова, данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО . Обозначение: F = ¬A . Таблица истинности для инверсии : Логическое отрицание или инверсия:

Слайд 6

Импликация — это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. То есть данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В) является следствием. «A → B» истинно, если из А может следовать B. Обозначение: F = A → B . Таблица истинности для импликации : Логическое следование или импликация:

Слайд 7

Эквивалентность — это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность. «A ↔ B» истинно тогда и только тогда, когда А и B равны. Обозначение: F = A ↔ B. Таблица истинности для эквивалентности : «A ⊕ B» истинно тогда, когда истинно А или B, но не оба одновременно. Эту операцию также называют «сложение по модулю два». Обозначение: F = A ⊕ B. Таблица истинности для XOR: Логическая равнозначность или эквивалентность и Операция XOR ( исключающие или)

Базовые логические операции и схемы. Таблицы истинности — Студопедия

Высказывание — это повествовательное предложение, про которое можно определенно сказать истинно оно или ложно (истина (логическая 1), ложь (логический 0)).

Логические операции — мыслительные действия, результатом которых является изменение содержания или объема понятий, а также образование новых понятий.

Логическое выражение — устное утверждение или запись, в которое, наряду с постоянными величинами, обязательно входят переменные величины (объекты). В зависимости от значений этих переменных величин (объектов) логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: истина (логическая 1) или ложь (логический 0).

Сложное логическое выражение — логическое выражение, состоящее из одного или нескольких простых логических выражений (или сложных логических выражений), соединенных с помощью логических операций.

Логическое умножение или конъюнкция:

Конъюнкция — это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное сложеное выражение ложно.
Обозначение: F = A & B.

Таблица истинности для конъюнкции

Логическое сложение или дизъюнкция:

Таблица истинности для дизъюнкции

Логическое отрицание или инверсия:

Таблица истинности для инверсии

Логическое следование или импликация:

Таблица истинности для импликации

Логическая равнозначность или эквивалентность:

Эквивалентность — это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность.

Таблица истинности для эквивалентности

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении

1. Инверсия;
2. Конъюнкция;
3. Дизъюнкция;
4. Импликация;
5. Эквивалентность.

Таблицы истинности. 8-й класс

Цели урока: SMART цель сравнить способы заполнения таблиц истинности, выявить закономерности их заполнения.

Обучающие:

Повторить основные понятия логики;
Ввести понятие “таблица истинности”;
Изучить последовательность действий построения таблиц истинности;
показать нахождение значения логических выражений посредством построения таблиц истинности;
Ввести понятие равносильности логических выражений.

Развивающие:

Развивать логическое мышление;
Развивать внимание;
Развивать память;
Развивать речь учащихся.

Воспитательные:

Воспитывать умение слушать учителя и одноклассников;
Воспитывать дисциплинированность;
Формировать интеллектуальную и эмоциональную активность учащихся;
Воспитывать чувства ответственности за результаты своего труда.

Задачи урока:

вспомнить принцип работы основных логических элементов;
запомнить порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении;
обратить внимание на закономерность внесения исходных данных в таблицу, сравнить их с числами разных систем счисления;
найти с помощью таблицы истинности значения двух логических функций.

Вид урока: комбинированный.

Тип урока: проверка знаний и изучение нового материала.

Методы организации учебной деятельности: фронтальная, групповая.

Система оценивания: проверка в парах.

Оборудование урока: Презентация урока, плакаты «Таблица истинности функции логического сложения», «Таблица истинности функции логического умножения», «Таблица истинности функции логического отрицания», «Оценочный лист»,
карточки с заданиями, мультимедийный проектор.

Приложение 1

Место проведения урока: компьютерный класс.

Участники: ученики 8 Б класса.

Ход урока

I. Организационный момент (2 минуты)

СЛ1. На экране проецируется первый слайд презентации – надпись «Таблицы истинности».

— Здравствуйте, ребята. Мы продолжаем изучать основы логики и тема нашего сегодняшнего урока «Таблицы истинности». Я расскажу вам как можно определить истинность сложных высказываний посредством составления таблиц истинности.

СЛ2. Цель урока: сравнить способы заполнения таблиц истинности, выявить закономерности их заполнения.

СЛ3. Ребята, какие задачи нам надо решить чтобы достигнуть этой цели?

Повторить что называется высказыванием.
Что называется логической переменной.
Познакомиться с определением таблицы истинности.
Рассмотреть правила составления таблиц истинности.
Узнать приоритеты логических операций (сравнить их с порядком выполнения
математических операций).
Внимательно разобрать 2 примера заполнения таблиц истинности.

СЛ4. Эпиграфом к уроку являются слова Б.Паскаля: “ВЕЛИЧИЕ ЧЕЛОВЕКА – В ЕГО СПОСОБНОСТИ МЫСЛИТЬ”.

Сегодня на уроке мы с вами должны мыслить и рассуждать вместе.

II. Повторение

СЛ5.

1. Что такое логика?

Логика — это наука о формах и способах мышления, это учение о способах рассуждений и доказательств.

2. Что такое алгебра логики?

Алгебра логики это наука об общих операциях аналогичных сложению и умножению, которые выполняются не только над числами, но и над другими математическими объектами, в том числе и над высказываниями.

3. Что называется высказыванием в алгебре логики?

Высказывание — это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается.

Можно сказать истинно оно или ложно.

Истинным будет высказывание в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей.

Ложным высказывание будет в том случае, когда оно противоречит реальной действительности.

4. Что называется логической переменной?

Логическая переменная — простое высказывание, содержащее только одну мысль.

Её символически обозначают латинскими буквами А, В, С.

Значения логической переменной могут быть только константы истина и ложь (1 и 0).

5. Что называют логической функцией?

Логическая функция это составное высказывание, которое содержит несколько простых мыслей, соединённых между собой с помощью логических операций.

6. Сколько основных логических операций существует? (три)

Давайте вспомним принцип их работы.

III. Самостоятельная работа

У вас на столах лежат листочки с самостоятельной работой.

СЛ6.

Подпишите листочек.
Заполните пропуски в таблицах истинности.
Проверить работу друг друга и поставить оценку.

Что было сложным в этой работе? Какие у вас возникли затруднения?

IV. Проверка самостоятельной работы

СЛ7.

1. Какой логической функции соответствует данная таблица истинности?

A	B	A?B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Конъюнкция
Дизъюнкция
Отрицание

Как называется эта функция по другому?

СЛ8.

2. Какой логической функции соответствует данная таблица истинности?

A	B	A?B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Конъюнкция
Дизъюнкция
Отрицание

Как называется эта функция по другому?

СЛ9.

3. Какой логической функции соответствует данная таблица истинности?

Конъюнкция
Дизъюнкция
Отрицание

Как называется эта функция по другому?

III. Объяснение нового материала

В математике функция принимает множество значений. А в логике только два значения 0 или 1.

Знаете ли вы кто является основателем двоичной системы счисления?

Правильно, Готфрид Вильгельм Лейбниц – немецкий ученый (философ, математик, физик, языковед)

СЛ 10. В своей бинарной арифметике Лейбниц видел прообраз творения: «Двоичная математика-прообраз творения.

1 представляет собой божественное начало, а 0 — небытие и высшее существо создаёт всё сущее из небытия точно таким же образом как 0 и 1 в двоичной системе выражают все числа.»

Итак: Логическая функция — это функция, в которой переменные принимают только два значения: логическая единица или логический ноль.

При знакомстве с принципом работы основных логических операций мы видели таблицы, которые отражали принцип работы этих элементов, мы называли их таблицами истинности. Какие таблицы можно называть таблицами истинности? Сейчас мы запишем определение в тетрадь.

СЛ11. Таблицу, показывающую, какие значения принимает сложное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний называют таблицей истинности сложных высказываний.

Запишем определение в тетрадь.

СЛ12. При построении таблиц истинности есть определенная последовательность действий.

Перед нами Алгоритм построения таблицы истинности.

Я распечатала его на листочках, чтобы вы вклеили их в тетрадь Итак первый шаг.

1. Подсчитать количество переменных n в формуле 2³.

2. Определить количество строк в таблице истинности m = 2ⁿ.

3. Подсчитать количество логических операций в формуле.

4. Установить последовательность выполнения логических операций с учётом
скобок и приоритетов.

5. Необходимо определить количество столбцов в таблице истинности, которое равно количеству логических переменных плюс количество логических операций.

6. Выписать наборы входных переменных с учётом того, что они представляют собой натуральный ряд n разрядных двоичных чисел от 0 до 2ⁿ–1.

7. Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.

СЛ 13. Рассмотрим пример.

Построить таблицу истинности для A ˄ (B ˅ В ˄ С)

Записали в тетрадь. Для построения таблицы истинности.

1 Определить количество строк в таблице.

Как мы это делаем?

Считаем количество переменных. В нашем случае логическая функция содержит 3 переменные.

Какие? А и В и C.

Значит сколько строк будет в таблице?

Количество строк в таблице истинности должно быть равно 2³ = 8.

Верно. Что делаем дальше?

2. Определяем количество столбцов = количеству логических переменных плюс количество логических операций.

3. Сколько будет в нашем случае операций?

В нашем случае количество переменных равно трём, а количество логических операции – пяти, то есть количество столбцов таблицы истинности равно 8.

Хорошо. Дальше?

Строим таблицу 8 столбц

Логические операции и таблицы истинности

Основой
цифровой техники служат три логические
операции, лежащие в основе всех выводов
компьютера. Это три логические операции:
И, ИЛИ, НЕ, которые называют «тремя
китами машинной логики».

В
компьютере логические функции реализуют
логические элементы. Логический
элемент (вентиль) – это часть
электронной логической схемы, которая
реализует элементарную логическую
функцию, т.е. это электронная схема,
которая формирует выходной сигнал в
соответствии с простой булевой операцией
преобразования сигналов, поданных на
его входы.

Логическими
элементами компьютеров являются
электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И–НЕ, ИЛИ–НЕ
и другие, а также триггер.

С
помощью этих схем можно реализовать
любую логическую функцию, описывающую
работу устройств компьютера. Обычно у
вентилей бывает от двух до восьми входов
и один или два выхода.

Самой
простой логической операцией
является операция НЕ, по-другому
ее часто называют отрицанием, дополнением или инверсией и
обозначают NOT ( ).

Если
А – истинно, то Ā – ложно и наоборот

Таблица
истинности:

Результат
отрицания всегда противоположен значению
аргумента. Логическая операция
НЕ является унарной, т.е. действие
выполняются над одним операндом. В
отличие от нее, операции И (AND) и ИЛИ (OR)
являются бинарными, так как представляют
собой результаты действий над двумя
логическими величинами.

Например,
A – идет дождь; Ā – не идет дождь (не(А)
или not(A))

Логическое
И еще часто называют конъюнкцией,
или логическим умножением, Операция
И (обозначается «И», «and», «&», А•В)
имеет результат «истина» только в том
случае, если оба ее операнда истинны.

Таблица
истинности:

A	B	F
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Если
F = A&B, то F истинно тогда и только тогда,

когда
истинны и А и В

Например,
A – пасмурно; B – идет дождь.

Можно
записать: A&B (читается пасмурно и идет
дождь)

Операция
ИЛИ – дизъюнкция, или логическое
сложение.

(обозначается
«ИЛИ», «or», А+В) «менее привередлива» к
исходным данным. Она дает «истину», если
значение «истина» имеет хотя бы один
из операндов. Разумеется, в случае, когда
справедливы оба аргумента одновременно,
результат по-прежнему истинный.

A	B	F
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Таблица
истинности:

Если
F = A+B, то F ложно тогда и только тогда,
когда ложны и А и В.

Например,
A – пасмурно; B – идет дождь.

Можно
записать: A+B (читается пасмурно или идет
дождь)

Операции
И, ИЛИ, НЕобразуют полную систему
логических операций, из которой можно
построить сколь угодно сложное логическое
выражение. В вычислительной технике
также часто используется операции
импликация и эквивалентность.

Логическое
следование: импликация– связывает
два простых логических выражения, из
которых первое является условием (А), а
второе (В) – следствием из этого условия.
Результатом импликации является ЛОЖЬ
только тогда, когда условие А истинно,
а следствие В ложно. Обозначается
символом «следовательно» и выражается
словами ЕСЛИ … , ТО …

Таблица
истинности:

A	B	F
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Логическая
равнозначность: эквивалентность (конвергенция)– определяет результат сравнения двух
простых логических выражений А и В.
Результатом эквивалентности является
новое логическое выражение, которое
будет истинным тогда и только тогда,
когда оба исходных выражения одновременно
истинны или ложны. Обозначается символом
«эквивалентности».

Таблица
истинности:

A	B	F
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Основы логики, логические операции и таблицы истинности

Конъюнкция

«Конъюнкция» это одна из логических операций наряду с дизъюнкцией, инверсией, импликацией и эквивалентности. Иначе её называют логической «И». В программировании её обозначают чаще всего как «and» или «&» Считается истинным только в одном случае, когда оба операнда (оба сравниваемых элемента, если по простому) являются истинными (true, 1). В остальных же случаях, где какой либо из операндов ложный, или ложны оба, значения выражения будет ложно.

Для наглядности смотрите таблицу:

Таблица истинности конъюнкция

«A«	«B«	«A» и «B»
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Таблица истинности Конъюнкция

Конъюнкция может быть бинарной, то есть иметь всего два операнда (как например «A» «B») тернарной («A» «B» «C») или вообще иметь сколько угодно операндов, ( в этом случае она будет называться N-арной операцией) где n любое число.

Обозначения

Как я уже писал выше обозначения Конъюнкции встречаются совершенно разные приведу примеры:

a ⋀ b, a & b, a and b, a * b , ab в последнем варианте знак умножения точка может быть пропущен как и в обычном умножении. Как например в записи формулы используется запись подряд 7a + 2b где умножение между семеркой и «a» нету. Чаще всего используют запись «перевернутой галочки», ⋀ где она больше всего распространена в математике.

Дизъюнкция

Дизъюнкция — логическая операция которая обозначает логическое сложение. можно обозначить как «ИЛИ» потому что этот союз максимально похоже отражает суть дизъюнкции. Или этот операнд или тот, или сразу оба.

Также как и конъюкция это логическое выражение может быть двоичной или сколько угодно n- арной.

Считается истиной в почти во всех случаях кроме как два операнда ложных (False, 0)

Таблица истинности для дизъюнкции

A	B	«A» или «B»
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Таблица истинности Дизъюнкция

Обозначения

Дизъюнкцию чаще всего записывают как

a ⋁ b, a || b, a | b, a OR b, обратите пожалуйста внимание что в первом случае это не буква V, а другой знак «галочка вниз» которая обозначает дизъюнкцию

Инверсия

С инверсией всё достаточно просто, оно преобразует операнд в обратный ему. Например если изначально у нас было ложное высказывание, то оно станет истинным, а истинное же с инверсией станет ложным.

Обозначение

Обозначается оно обычно ¬, или записывается как «НЕ»

Таблица истинности Инверсия

Таблица истинности инверсия

Абсолютно ничего сложного.

Давайте теперь рассмотрим следующую логическую операцию:

Импликация

Таблица импликация

A	B	«A» → «B»
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Таблица истинности импликация

Обозначение

Обознается обычно знаком стрелочка →

Эквивалентность

Таблица Эквивалентность

A	B	«A» ‘B»
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Таблица истинности Эквивалентность

Обозначение

обычно обозначается символом ≡ или ↔

Помогая проекту BEST-EXAM, вы делаете образование более доступным для каждого человека, внесите и вы свой вклад —
поделитесь этой статьей в социальных сетях!

Таблица истинности — это… Что такое Таблица истинности?

Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию.

Под «логической функцией» в данном случае понимается функция, у которой значения переменных (параметров функции) и значение самой функции выражают логическую истинность. Например, в двузначной логике они могут принимать значения «истина» либо «ложь» ( ~true либо ~false , либо ).

Табличное задание функций встречается не только в логике, но для логических функций таблицы оказались особенно удобными, и с начала XX века за ними закрепилось это специальное название. Особенно часто таблицы истинности применяются в булевой алгебре и в аналогичных системах многозначной логики.

Таблицы истинности для основных двоичных логических функций

Таблицы истинности для некоторых троичных логических функций

x	2	1	0	2	1	0	2	1	0
y	2	2	2	1	1	1	0	0	0

Минимум	2	1	0	1	1	0	0	0	0

x	2	1	0	2	1	0	2	1	0
y	2	2	2	1	1	1	0	0	0

Максимум Минус.	2	2	2	2	1	1	2	1	0

x	2	1	0	2	1	0	2	1	0
y	2	2	2	1	1	1	0	0	0

Webb(x,y)	0	0	0	0	2	2	0	2	1

См. также

Примечания

Литература

Яблонский С. В., Гаврилов Г. П., Кудрявцев В. Б. Функции алгебры логики и классы Поста. — М.: Наука, 1966. — (Математическая логика и основания математики).

Ссылки

Таблицы истинности и логические утверждения

- БЕСПЛАТНАЯ ЗАПИСЬ КЛАСС
- КОНКУРСНЫЕ ЭКЗАМЕНА
  BNAT
  Классы
  Класс 1 — 3
  Класс 4-5
  Класс 6-10
  Класс 110003 CBSE
  Книги NCERT
  Книги NCERT для класса 5
  Книги NCERT, класс 6
  Книги NCERT для класса 7
  Книги NCERT для класса 8
  Книги NCERT для класса 9
  Книги NCERT для класса 10
  NCERT Книги для класса 11
  NCERT Книги для класса 12
  NCERT Exemplar
  NCERT Exemplar Class 8
  NCERT Exemplar Class 9
  NCERT Exemplar Class 10
  NCERT Exemplar Class 11
  9plar
  RS Aggarwal
  RS Aggarwal Решения класса 12
  RS Aggarwal Class 11 Solutions
  RS Aggarwal Решения класса 10
  Решения RS Aggarwal класса 9
  Решения RS Aggarwal класса 8
  Решения RS Aggarwal класса 7
  Решения RS Aggarwal класса 6
  RD Sharma
  RD Sharma Class 6 Решения
  RD Sharma Class 7 Решения
  Решения RD Sharma класса 8
  Решения RD Sharma класса 9
  Решения RD Sharma класса 10
  Решения RD Sharma класса 11
  Решения RD Sharma Class 12
  PHYSICS
  Механика
  Оптика
  Термодинамика
  Электромагнетизм
  ХИМИЯ
  Органическая химия
  Неорганическая химия
  Периодическая таблица
  MATHS
  Статистика
  9000 Pro Числа
  Числа
  9000 Pro Числа Тр Игонометрические функции
  Взаимосвязи и функции
  Последовательности и серии
  Таблицы умножения
  Детерминанты и матрицы
  Прибыль и убытки
  Полиномиальные уравнения
  Деление фракций
  Microology
  0003000
  FORMULAS
  Математические формулы
  Алгебраные формулы
  Тригонометрические формулы
  Геометрические формулы
  КАЛЬКУЛЯТОРЫ
  Математические калькуляторы
  0003000
  000 CALCULATORS
  000
  000 Калькуляторы по химии Образцы документов для класса 6
  Образцы документов CBSE для класса 7
  Образцы документов CBSE для класса 8
  Образцы документов CBSE для класса 9
  Образцы документов CBSE для класса 10
  Образцы документов CBSE для класса 1 1
  Образцы документов CBSE для класса 12
  Вопросники предыдущего года CBSE
  Вопросники предыдущего года CBSE, класс 10
  Вопросники предыдущего года CBSE, класс 12
  HC Verma Solutions
  HC Verma Solutions Класс 11 Физика
  HC Verma Solutions Класс 12 Физика
  Решения Лакмира Сингха
  Решения Лахмира Сингха класса 9
  Решения Лахмира Сингха класса 10
  Решения Лакмира Сингха класса 8
  9000 Класс
  9000BSE 9000 Примечания3 2 6 Примечания CBSE
  Примечания CBSE класса 7
  Примечания
  Примечания CBSE класса 8
  Примечания CBSE класса 9
  Примечания CBSE класса 10
  Примечания CBSE класса 11
  Класс 12 Примечания CBSE
  Примечания к редакции 9000 CBSE 9000 Примечания к редакции класса 9
  CBSE Примечания к редакции класса 10
  CBSE Примечания к редакции класса 11
  Примечания к редакции класса 12 CBSE
  Дополнительные вопросы CBSE
  Дополнительные вопросы по математике класса 8 CBSE
  Дополнительные вопросы по науке 8 класса CBSE
  Дополнительные вопросы по математике класса 9 CBSE
  Дополнительные вопросы по математике класса 9 CBSE Вопросы
  CBSE Class 10 Дополнительные вопросы по математике
  CBSE Class 10 Science Extra questions
  CBSE Class
  Class 3
  Class 4
  Class 5
  Class 6
  Class 7
  Class 8 Класс 9
  Класс 10
  Класс 11
  Класс 12
  Учебные решения
- Решения NCERT
  Решения NCERT для класса 11
  Решения NCERT для класса 11 по физике
  Решения NCERT для класса 11 Химия
  Решения NCERT для биологии класса 11
  Решение NCERT s Для класса 11 по математике
  NCERT Solutions Class 11 Accountancy
  NCERT Solutions Class 11 Business Studies
  NCERT Solutions Class 11 Economics
  NCERT Solutions Class 11 Statistics
  NCERT Solutions Class 11 Commerce
  NCERT Solutions for Class 12
  Решения NCERT для физики класса 12
  Решения NCERT для химии класса 12
  Решения NCERT для биологии класса 12
  Решения NCERT для математики класса 12
  Решения NCERT, класс 12, бухгалтерский учет
  Решения NCERT, класс 12, бизнес-исследования
  NCERT Solutions Class 12 Economics
  NCERT Solutions Class 12 Accountancy Part 1
  NCERT Solutions Class 12 Accountancy Part 2
  NCERT Solutions Class 12 Micro-Economics
  NCERT Solutions Class 12 Commerce
  NCERT Solutions Class 12 Macro-Economics
  NCERT Solut Ионы Для класса 4
  Решения NCERT для математики класса 4
  Решения NCERT для класса 4 EVS
  Решения NCERT для класса 5
  Решения NCERT для математики класса 5
  Решения NCERT для класса 5 EVS
  Решения NCERT для класса 6
  Решения NCERT для математики класса 6
  Решения NCERT для науки класса 6
  Решения NCERT для класса 6 по социальным наукам
  Решения NCERT для класса 6 Английский язык
  Решения NCERT для класса 7
  Решения NCERT для математики класса 7
  Решения NCERT для науки класса 7
  Решения NCERT для социальных наук класса 7
  Решения NCERT для класса 7 Английский язык
  Решения NCERT для класса 8
  Решения NCERT для математики класса 8
  Решения NCERT для науки 8 класса
  Решения NCERT для социальных наук 8 класса ce
  Решения NCERT для класса 8 Английский
  Решения NCERT для класса 9
  Решения NCERT для класса 9 по социальным наукам
  Решения NCERT для математики класса 9
  Решения NCERT для математики класса 9 Глава 1
  Решения NCERT для математики класса 9, глава 2
  Решения NCERT
  для математики класса 9, глава 3
  Решения NCERT для математики класса 9, глава 4
  Решения NCERT для математики класса 9, глава 5
  Решения NCERT
  для математики класса 9, глава 6
  Решения NCERT для математики класса 9 Глава 7
  Решения NCERT
  для математики класса 9 Глава 8
  Решения NCERT для математики класса 9 Глава 9
  Решения NCERT для математики класса 9 Глава 10
  Решения NCERT
  для математики класса 9 Глава 11
  Решения
  NCERT для математики класса 9 Глава 12
  Решения NCERT
  для математики класса 9 Глава 13
  NCER Решения T для математики класса 9 Глава 14
  Решения NCERT для математики класса 9 Глава 15
  Решения NCERT для науки класса 9
  Решения NCERT для науки класса 9 Глава 1
  Решения NCERT для науки класса 9 Глава 2
  Решения NCERT для науки класса 9 Глава 3
  Решения NCERT для науки класса 9 Глава 4
  Решения NCERT для науки класса 9 Глава 5
  Решения NCERT для науки класса 9 Глава 6
  Решения NCERT для науки класса 9 Глава 7
  Решения NCERT для науки класса 9 Глава 8
  Решения NCERT для науки класса 9 Глава 9
  Решения NCERT для науки класса 9 Глава 10
  Решения NCERT для науки класса 9 Глава 12
  Решения NCERT для науки класса 9 Глава 11
  Решения NCERT для науки класса 9 Глава 13
  Решения NCERT
  для науки класса 9 Глава 14
  Решения NCERT для класса 9 по науке Глава 15
  Решения NCERT для класса 10
  Решения NCERT для класса 10 по социальным наукам
  Решения NCERT для математики класса 10
  Решения NCERT для класса 10 по математике Глава 1
  Решения NCERT для математики класса 10, глава 2
  Решения NCERT для математики класса 10, глава 3
  Решения NCERT для математики класса 10, глава 4
  Решения NCERT для математики класса 10, глава 5
  Решения NCERT для математики класса 10, глава 6
  Решения NCERT для математики класса 10, глава 7
  Решения NCERT для математики класса 10, глава 8
  Решения NCERT для математики класса 10, глава 9
  Решения NCERT для математики класса 10, глава 10
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 11
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 12
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава ter 13
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 14
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 15
  Решения NCERT для науки класса 10
  Решения NCERT для класса 10 науки Глава 1
  Решения NCERT для класса 10 Наука, глава 2
  Решения NCERT для класса 10, глава 3
  Решения NCERT для класса 10, глава 4
  Решения NCERT для класса 10, глава 5
  Решения NCERT для класса 10, глава 6
  Решения NCERT для класса 10 Наука, глава 7
  Решения NCERT для класса 10, глава 8,
  Решения NCERT для класса 10, глава 9
  Решения NCERT для класса 10, глава 10
  Решения NCERT для класса 10, глава 11
  Решения NCERT для класса 10 Наука Глава 12
  Решения NCERT для класса 10 Наука Глава 13
  NCERT S Решения для класса 10 по науке Глава 14
  Решения NCERT для класса 10 по науке Глава 15
  Решения NCERT для класса 10 по науке Глава 16
  Программа NCERT
  NCERT
- Commerce
  Class 11 Commerce Syllabus
  Учебный план класса 11
  Учебный план класса 11
  Учебный план экономического факультета 11
  Учебный план по коммерции класса 12
  Учебный план класса 12
  Учебный план класса 12
  Учебный план
  Класс 12 Образцы документов для торговли
  Образцы документов для предприятий класса 11
  Образцы документов для коммерческих предприятий класса 12
  TS Grewal Solutions
  TS Grewal Solutions Class 12 Accountancy
  TS Grewal Solutions Class 11 Accountancy
  Отчет о движении денежных средств 9 0004
  Что такое предпринимательство
  Защита потребителей
  Что такое основные средства
  Что такое баланс
  Что такое фискальный дефицит
  Что такое акции
  Разница между продажами и маркетингом
  03
  Образцы документов ICSE
  Вопросы ICSE
  ML Aggarwal Solutions
  ML Aggarwal Solutions Class 10 Maths
  ML Aggarwal Solutions Class 9 Maths
  ML Aggarwal Solutions Class 8 Maths
  ML Aggarwal Solutions Class 7 Maths Решения Математика класса 6
  Решения Селины
  Решения Селины для класса 8
  Решения Селины для класса 10
  Решение Селины для класса 9
  Решения Фрэнка
  Решения Фрэнка для математики класса 10
  Франк Решения для математики 9 класса
  9000 4
  ICSE Class
  ICSE Class 6
  ICSE Class 7
  ICSE Class 8
  ICSE Class 9
  ICSE Class 10
  ISC Class 11
  ISC Class 12
- IC
- JEE4
- Образец статьи JEE
- Вопросник JEE
- Биномиальная теорема
- Статьи JEE
- Квадратное уравнение
NEET
Программа BYJU NEET
NEET 2020
NEET Eligibility
NEET Eligibility
NEET Eligibility 2020 Подготовка
NEET Syllabus
Support
Разрешение жалоб
Служба поддержки
Центр поддержки

Государственные советы
GSEB
GSEB Syllabus
GSEB
Образец статьи
003 GSEB Books
MSBSHSE
MSBSHSE Syllabus
MSBSHSE Учебники
MSBSHSE Образцы статей
MSBSHSE Вопросники
AP Board
AP Board
9000 AP Board
9000 AP Board
9000
AP 2 Year Syllabus
MP Board
MP Board Syllabus
MP Board Образцы документов
MP Board Учебники
Assam Board
Assam Board Syllabus
Assam Board
Assam Board
Assam Board Документы
BSEB
Bihar Board Syllabus
Bihar Board Учебники
Bihar Board Question Papers
Bihar Board Model Papers
BSE Odisha
Odisha Board
Odisha Board
Odisha Board 9000
ПСЕБ 9 0002
PSEB Syllabus
PSEB Учебники
PSEB Вопросы и ответы
RBSE
Rajasthan Board Syllabus
RBSE Учебники
RBSE
000 RBSE
000 HPOSE
000 HPOSE
000
000 HPOSE
000 HPOSE
000
000
000 HPOSE
000 HPOSE
000
000 Контрольные документы
JKBOSE
JKBOSE Syllabus
JKBOSE Образцы документов
JKBOSE Образец экзамена
TN Board
TN Board Syllabus
9000 Papers 9000 TN Board Syllabus
9000 Книги
JAC
Программа JAC
Учебники JAC
Вопросы JAC
Telangana Board
Telangana Board Syllabus
Telangana Board Textbook
Telangana Board
Учебник
Telangana Board
KSEEB
KSEEB Syllabus
KSEEB Model Question Papers
KBPE
KBPE Syllabus
Учебники KBPE
KBPE
0
9000 UPMS Board UPMS
Вопросы к Правлению UP
Совет по Западной Бенгалии
Учебный план Совета по Западной Бенгалии
Учебники по Совету по Западной Бенгалии
Вопросы по Совету по Западной Бенгалии
UBSE
TBSE
GOA Board
MBSE
Meghalaya Board
Manipur Board
Haryana Board
Государственные экзамены
Банковские экзамены
Экзамены SBI
Экзамены IBPS
10 Экзамены IBPS
RbI Экзамены
SSC JE
SSC GD
SSC CPO
SSC CHSL
SSC CGL
Экзамены RRB
RRB JE
RRB NTPC
RRB Экзамены ALP
9102
RRB ALP
5
000 LIC ADO
UPSC CAPF
Список статей государственных экзаменов
Kids Learning
Class 1
Class 2
Class 3
Academic Questions
Вопросы по физике
Вопросы по физике
Вопросы по биологии
Вопросы по математике
Вопросы по естествознанию
Вопросы для общего доступа
Онлайн-обучение
Домашнее обучение
Полная форма
Общая полная форма
Физика
Физика
Биология Полные формы
Полные формы обучения
Полные формы банковского дела
Полные формы технологий
CAT
Программа BYJU CAT
Программа CAT
Экзамен CAT
Бесплатная подготовка CAT
Обзор экзамена CAT4 2020 CAT
КУПИТЬ КУРС
+919243500460
JEE
JEE Syllabus
Часто задаваемые вопросы
Уведомления
9000 Основные статьи
JEE 9000 JEE 9000
9000 Основные статьи JEE 9000
Учебный план по химии от сети
Учебный план по физике от сети
Учебный план по математике от сети
Основная регистрация JEE
Основное право на участие в JEE
Основной шаблон JEE
Основной рейтинг JEE
Основной рейтинг JEE
JEE 9000 Главный отсечка
JEE Усовершенствованный
JEE Advanced Syllabus
JEE Advanced Maths Syllabus
JEE Advanced Physics Syllabus
JEE Advanced Chemistry Syllabus
JEE Advanced Eligibility
JEE Advanced Exam Pattern
Advanced Exam Pattern
JEE Advanced Exam Pattern
Учебный материал IIT JEE
Физика JEE
Важные темы физики JEE
Простое гармоническое движение
Единицы измерения и размеры
Закон Кулона
Конденсатор
25
25
25
Важные темы JEE Chemistry
Координационные соединения
Водородная связь
Химическая связь
Органическая химия
Буферные растворы
Математика JEE
Математика JEE Важные темы
Теорема
Гипербола
Эллипс
Парабола
Логарифм
Матрицы
Прямые линии
3D-геометрия
Теорема Де Мовье
HC Verma 11 Решения класса Verma
для решений Verma
HC Verma
Решения Verma класса 9000 12
DC Pandey
Вопросы / образцы документов
JEE Main Question Papers
JEE Main 2020 Question Paper
JEE Main 2019 Question Paper
JEE Main Question Paper 2018
JEE Main 2017 Документ
JEE Main 2016 Вопросник
JEE Advanced Question Papers
JEE Advanced 2019 Вопросник
JEE Advanced 2018 Вопросник
JEE Advanced 2017 Вопросник
JEE Advanced 2016 Вопросник
JEE Основные образцы документов
JEE Adv anced Образцы документов
Анализ основного вопроса JEE
Расширенный анализ вопросов JEE
Разумные вопросы и решения основной главы JEE
Другие вступительные экзамены
COMED-K
COMED-K Syllabus
COMED K Syllabus
Форма заявки COMED-K
COMED-K Контрольные работы за предыдущий год
COMED-K Образцы документов
Анализ экзаменационных работ COMED-K 2018
COMED-K Ответный ключ 2018
KCET
WBJEE
Вопросники по WBJEE
Даты экзаменов WBJEE
GUJCET
Вопросы по GUJCET
GUJCET Ключ с ответами 2018
KVPEE4000 9 -0003000 BCE
9000TSE
9000TSE
BNAT
JEE Main 2020 Paper Analysis
JEE
Учебные материалы IIT JEE
.
1.1 Логические операции
Математика обычно включает сочетание истинных (или гипотетически истинных)
утверждения различными способами для создания (или доказательства) новых истинных утверждений.
Начнем с разъяснения некоторых из этих фундаментальных идей.
Под предложением мы подразумеваем
утверждение, которое имеет определенное значение истинности ,
истина (T) или ложь (F) — например,
«В 1492 году Колумб плавал по синему океану». (T)
«Наполеон выиграл битву при Ватерлоо.2 + y = 12 $ », то $ P (2,8) $ и $ P (3,3) $ равны
истина, а $ P (1,4) $ и $ P (0,6) $ ложны. Если $ Q (x, y, z) $ равно «$ x + y
Верно ли предложение или нет, обычно зависит от того, что мы
говорят — одно и то же предложение может быть верным или ложным в зависимости от
по контексту; например, формула $ x | y $ означает `$ x $ делит
$ y $ ‘. То есть $ x | y $, если есть некоторый $ z $, так что $ y = x \ cdot z $. Сейчас,
правда ли, что $ 3 | 2 $? Это зависит: если мы говорим о целых числах,
ответ — нет; если мы говорим о рациональных числах, ответ
да, потому что $ 2 = 3 \ cdot (2/3) $.(Конечно, если $ x \ not = 0 $ и $ y $
любые рациональные числа, затем $ x | y $, так что это не очень
полезное понятие. При нормальном использовании вид формулы
«$ x | y $» подразумевает , что $ x $ и $ y $ являются целыми числами.)
Вселенная дискурса для определенного раздела математики — это набор, который
содержит все интересное по этой теме. Когда мы
изучение математических формул типа `$ x $ делит $ y $ ‘на переменные
Предполагается, что принимают значения в любой вселенной дискурса
подходит для конкретной темы.Вселенная дискурса
обычно это ясно из обсуждения, но иногда нам нужно
определите это явно для ясности.
Универсум дискурса обычно обозначается $ U $.
Сложные предложения и формулы складываются из более простых,
с использованием небольшого количества логических операций . Просто горстка
этих операций позволят нам сказать все, что нам нужно сказать в
математика.
Если $ P $ — формула, то «not $ P $» — другое
формула, которую мы символически записываем как $ \ lnot P $.Конечно, $ \ lnot
P $ ложно, если $ P $ истинно, и наоборот — например,
«6 не является простым числом» или «неверно, что 6 является
премьер » или
«$ \ lnot (\ hbox {6 простое число}) $ » (T)
«Рональд Рейган не был президентом». (F)
Предположим, что $ P $ и $ Q $ — формулы. потом
«$ P $ и $ Q $» — это формула, записанная символически
как $ P \ land Q $, называемое соединением
$ P $ и $ Q $. Чтобы $ P \ land Q $ выполнялись как $ P $, так и $ Q $
должно быть истинным, в противном случае — ложным, например,
«5 долларов = 6 долларов и 7 долларов = 8 долларов.» (F)
«Сиэтл находится в Вашингтоне, а Бойсе — в Айдахо». (T)
«Толстой был русским, а Диккенс —
Французский ». (F)
Если $ P $ и $ Q $ являются формулами, то формула «$ P $ или $ Q $» символически записывается как $ P \ lor Q $, называемая
дизъюнкция $ P $ и $ Q $. это
важно отметить, что это включительно или, то есть «либо
или оба». Итак, если $ P $, $ Q $ или истинны как $ P $, так и $ Q $,
так и $ P \ lor Q $. Единственный способ, которым $ P \ lor Q $ может быть ложным, — это если оба $ P $
и $ Q $ ложны, например,
«Вашингтон находится в Канаде, а Лондон — в Англии.» (Т)
«$ 5
«Ленин был испанцем или Ганди был итальянцем». (F)
Если $ P $ и $ Q $ — формулы, то «если $ P $, то $ Q $»
или написано «$ P $ подразумевает $ Q $»
$ P \ подразумевает Q $, используя условный символ ,
$ \ подразумевает $. Не очевидно (по крайней мере, для большинства людей), при каких условиях
обстоятельства $ P \ подразумевают, что Q $ должно быть истинным. Отчасти это потому, что
«if… then» используется более чем одним способом в обычном английском языке, однако
нам нужно исправить правило, которое позволит нам точно знать, когда $ P \ подразумевает
Q $ верно.Конечно, если $ P $ истинно, а $ Q $ ложно, $ P $ не может
следует $ Q $, поэтому $ P \ означает, что Q $ в этом случае неверно. Чтобы помочь нам с
в остальных случаях рассмотрите следующее утверждение:
«Если $ x $ меньше 2, тогда $ x $ меньше 4.»
Это утверждение должно быть верным независимо от значения $ x $.
(при условии, что вселенная дискурса является чем-то знакомым, например
целые числа). Если $ x $ равен 1, он оценивается как $ \ rm T \ implies T $, если $ x $
равно 3, оно становится $ \ rm F \ Impies T $, а если $ x $ равно 5, оно становится
$ \ rm F \ влечет F $.Похоже, что $ P \ подразумевает, что Q $ истинно, если
$ P $ истинно, а $ Q $ ложно. Это правило, которое мы принимаем.
Наконец, с двумя условными обозначениями , записанное $ \ Leftrightarrow $, соответствует
фраза «тогда и только тогда» или «если и только если»
короче. Итак, $ P \ Leftrightarrow Q $ истинно, когда и $ P $, и $ Q $
имеют то же значение истинности, в противном случае — ложь.
Пример 1.1.2. Предположим, что $ P (x, y) $ — это «$ x + y = 2 $», а $ Q (x, y) $
равно «$ xy> 1 $». Тогда, когда $ x = 1 $ и $ y = 1 $,
$ \ lnot P (x, y) $, $ P (x, y) \ land Q (x, y) $, $ P (x, y) \ lor Q (x, y) $,
$ P (x, y) \ влечет Q (x, y) $ и $ P (x, y) \ Leftrightarrow Q (x, y) $
имеют значения истинности F, F, T, F, F, соответственно, и когда
$ x = 2 $ и $ y = 3 $ имеют значения истинности
T, F, T, T, F соответственно.
Используя операции $ \ lnot $, $ \ land $, $ \ lor $, $ \ includes $,
$ \ Leftrightarrow $, мы можем построить составных выражений, таких как
$$
(P \ land (\ lnot Q)) \ подразумевает ((\ lnot R) \ lor ((\ lnot P) \ land Q)).
$$
Как показывает этот пример, иногда необходимо
включить много круглых скобок, чтобы термины были сгруппированы
в формуле ясно. Как и в алгебре, где
умножение имеет приоритет перед сложением, мы можем
убрать скобки
согласование определенного порядка, в котором логические
операции выполняются.Мы
будет применять операции в этом порядке, начиная с
от начала до конца: $ \ lnot $, $ \ land $, $ \ lor $, $ \ подразумевает $
и $ \ Leftrightarrow $. Так
$$ A \ подразумевает B \ lor C \ land \ lnot D
$$
это сокращение от
$$ A \ подразумевает (B \ lor (C \ land (\ lnot D))).
$$
Как и в алгебре, часто имеет смысл включить
несколько дополнительных круглых скобок, чтобы убедиться, что предполагаемое значение ясно.
Большая часть обсуждаемой нами информации может быть сведена в таблиц истинности . Например, таблица истинности для
$ \ lnot P $ это:
В этой таблице две строки, потому что есть только две возможности для
значение истинности $ P $.В других логических операциях используются две переменные, поэтому
им требуется 4 строки в их таблицах истинности.
$ P $ $ Q $ $ P \ land Q $ $ P \ lor Q $ $ P \ Rightarrow Q $ $ P \ Leftrightarrow Q $
T T T T T T
F T F T T F
T F F T F F
F F F F T T
У любого составного выражения есть таблица истинности.n $
строк в таблице, потому что есть много разных способов назначить
Команды T и F для простых формул $ n $ в составном выражении.
Таблица истинности для $ (P \ land Q) \ lor \ lnot R $:
R $
$ P $ $ Q $ $ $ P \ land Q $ $ \ lnot R $ $ (P \ land Q) \ lor \ lnot R $
T T T T F T
F T T F F F
T F T F F F
F F T F F F
T T F T T T
F T F F T T
T F F F T T
F F F F T T
Посмотрите, как включение промежуточных шагов упрощает
рассчитывать и читать.
Тавтология — это логическое выражение, которое
всегда оценивается как T, то есть последний столбец своей таблицы истинности
состоит только из Т. Иногда говорят, что тавтология — это действительное ; хотя «действительный» используется в других контекстах как
что ж, это не должно вызывать путаницы. Например, $ (P \ land Q) \ lor
P \ Leftrightarrow P $ — тавтология, так как ее таблица истинности:
$ P $ $ Q $ $ P \ land Q $ $ (P \ land Q) \ lor P $ $ (P \ land Q) \ lor P \ Leftrightarrow P $
T T T T T
F T F F T
T F F T T
F F F F T
Перечислим несколько важных тавтологий в следующей теореме.
Теорема 1.1.3 Справедливы следующие утверждения.
а) $ P \ Leftrightarrow \ lnot \ lnot P $
б) $ P \ lor Q \ Leftrightarrow Q \ lor P $
c) $ P \ land Q \ Leftrightarrow Q \ land P $
d) $ (P \ land Q) \ land R \ Leftrightarrow P \ land (Q \ land R) $
e) $ (P \ lor Q) \ lor R \ Leftrightarrow P \ lor (Q \ lor R) $
f) $ P \ land (Q \ lor R) \ Leftrightarrow
(P \ земля Q) \ lor (P \ земля R) $
г) $ P \ lor (Q \ land R) \ Leftrightarrow (P \ lor Q) \ land (P \ lor R) $
ч) $ (P \ подразумевает Q) \ Leftrightarrow (\ lnot P \ lor Q) $
i) $ P \ влечет (P \ lor Q) $
j) $ P \ land Q \ подразумевает Q $
k) $ (P \ Leftrightarrow Q) \ Leftrightarrow ((P \ подразумевает Q) \ land
(Q \ влечет P)) $
l) $ (P \ подразумевает Q) \ Leftrightarrow (\ lnot Q \ подразумевает \ lnot P) $
Доказательство.
Доказательства оставлены в качестве упражнения.
$ \ квадрат
$
Заметим, что (b) и (c) — коммутативные законы, (d) и (e) —
ассоциативные законы и (f) и (g) говорят, что $ \ land $
и $ \ lor $ распределяются друг над другом. Это говорит о том, что существует
форма алгебры для логических выражений, аналогичных алгебре
для числовых выражений. Этот предмет называется Boolean Algebra и имеет множество применений,
особенно в информатике.
Если две формулы всегда принимают одно и то же значение истинности, несмотря ни на что
элементы из вселенной дискурса, которые мы заменяем различными
переменных, то мы говорим, что они равны эквиваленту .Стоимость эквивалента
формулы в том, что они говорят одно и то же. Это всегда правильный шаг
в доказательстве заменить некоторую формулу на эквивалентную. К тому же,
многие тавтологии содержат важные идеи для построения доказательств. За
Например, (k) говорит, что если вы хотите показать, что $ P \ Leftrightarrow Q $, это
возможно (и часто желательно) разбить доказательство на два
частей, одна из которых доказывает, что из $ P \ следует Q $, а вторая
доказывая , обратное , $ Q \ влечет P $.
Читая теорему 1.1.3 у вас может быть
заметил, что $ \ land $ и $ \ lor $ удовлетворяют многим аналогичным свойствам.
Эти понятия называются «двойственными» — для любого свойства
один, есть почти идентичное свойство, которому удовлетворяет другой,
причем экземпляры двух операций поменялись местами. Это часто
означает, что когда мы доказываем результат, включающий одно понятие, мы получаем
соответствующий результат для его дуала без дополнительной работы.
Джордж Буль. логический
(1815–1864) имел только общее школьное образование, хотя учился
Греческий и латинский сами по себе.Свою карьеру он начал младшим
школьный учитель, но решил, что ему нужно больше узнать о
математике, поэтому он начал изучать математику, а также
языки, необходимые для чтения современной литературы на
математика. В 1847 году он опубликовал небольшую книгу The Mathematical
Анализ Logic , который справедливо можно сказать, положил начало исследованию
математической логики. Ключевой вклад работы был в
новое определение «математики», чтобы не означать просто «изучение чисел и
величина », но изучение символов и манипулирование ими в соответствии с
к определенным правилам.Важность этого уровня абстракции для
будущее математики трудно переоценить. Наверное, на
Благодаря этой работе он перешел на работу в Куинс-колледж в Корке.
В «Исследование законов мысли» , опубликованном в 1854 г.,
Буль установил настоящую формальную логику, развивая то, что сегодня называется
Булева алгебра или иногда алгебра множеств . Он использовал символы для
сложение и умножение как операторы, но полностью абстрактно
смысл.Сегодня эти символы все еще иногда используются в логических
алгебры, хотя символы `$ \ land $ ‘и` $ \ lor $’, `$ \ cap $ ‘и
Также используются `$ \ cup $ ‘. Буль применил алгебраические манипуляции к
процесс рассуждения. Вот простой пример такого рода
манипуляции, которые он совершил: уравнение $ xy = x $ (которое сегодня можно было бы записать
$ x \ land y = x $ или $ x \ cap y = x $) означает, что `все, что удовлетворяет
$ x $ удовлетворяет $ y $ ‘или, в наших терминах, $ x \ влечет y $. Если также $ yz = y $ (что
есть, $ y \ подразумевает z $), то замена $ y = yz $ на $ xy = x $ дает
$ x (yz) = x $ или $ (xy) z = x $.2 + bD + c = 0 $, лечение
$ D $ в виде числа предоставляет информацию о решениях для
дифференциальное уравнение.
Информация здесь взята из A History of Mathematics, by
Карл Б. Бойер, Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья, 1968. Подробнее
информацию см. Лекции о десяти британских математиках , автор
Александр Макфарлейн, Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 1916.
Упражнения 1.1
Пример 1.1.1
Постройте таблицы истинности для следующих логических выражений:
а) $ (P \ land Q) \ lor \ lnot P $
б) $ P \ подразумевает (Q \ land P) $
c) $ (P \ land Q) \ Leftrightarrow (P \ lor \ lnot R) $
d) $ \ lnot P \ подразумевает \ lnot (Q \ lor R) $
Пр. 1.1,2
Проверьте тавтологии теоремы 1.1.3.
Пример 1.1.3
Предположим, что $ P (x, y) $ — это формула «$ x + y = 4 $», а $ Q (x, y) $ —
формула «$ x
$ P (x, y) \ land Q (x, y) $, $ \ lnot P (x, y) \ lor Q (x, y) $,
$ P (x, y) \ влечет \ lnot
Q (x, y) $, $ \ lnot (P (x, y) \ Leftrightarrow Q (x, y)) $,
используя значения:
a) $ x = 1, y = 3 $ c) $ x = 1, y = 2 $
b) $ x = 3, y = 1 $ d) $ x = 2, y = 1 $
Пр. 1.1,4
a) Найдите таблицы истинности для
$$
P \ land (\ lnot Q) \ land R, \ quad \ quad (\ lnot P) \ land Q \ land (\ lnot R)
$$
б) Используйте их, чтобы найти таблицу истинности для
$$
(П \ земля (\ lnot Q) \ земля R) \ lor ((\ lnot P) \ земля Q \ земля (\ lnot R))
$$
c) Используйте метод, предложенный в частях (a) и (b)
найти формулу со следующей таблицей истинности.
$ P $ $ Q $ $ $ ???
T T T T
F T T F
T F T F
F F T F
T T F T
F T F T
T F F F
F F F F
г)
Используйте метод, предложенный частями (a) — (c), чтобы
объясните, почему любой список из $ 2 ^ n $ T и F является
последний столбец таблицы истинности для некоторой формулы с $ n $ буквами.
Пример 1.1.5
Если $ P_1, P_2, \ ldots, P_n $ — это список $ n $ формул,
самое большее, сколько составных формул можно составить с использованием этого списка,
нет двух из которых эквивалентны?
.{k} \ to \ mathbb {A},} где k {\ displaystyle k \!} — неотрицательное целое число, а A {\ displaystyle \ mathbb {A}} — область логических значений {false, true}. {\ displaystyle \ {\ operatorname {false}, \ operatorname {true} \}.} Имена логических значений или значений истинности обычно сокращаются в соответствии с уравнениями F = false {\ displaystyle \ operatorname { F} = \ operatorname {false}} и T = true. {\ Displaystyle \ operatorname {T} = \ operatorname {true}.}
Во многих приложениях функцию истинности обычно представляют логической функцией, то есть функцией вида f: Bk → B, {\ displaystyle f: \ mathbb {B} ^ {k} \ to \ mathbb {B},} где k {\ displaystyle k \!} — неотрицательное целое число, а B {\ displaystyle \ mathbb {B}} — логическая область {0,1}.{\ displaystyle \ {0,1 \}. \!} В большинстве приложений false {\ displaystyle \ operatorname {false}} представлен 0 {\ displaystyle 0 \!}, а true {\ displaystyle \ operatorname {true}} представлен 1 {\ displaystyle 1 \!}, но возможно и обратное представление, в зависимости от общего представления функций истинности как логических функций. Остальная часть статьи предполагает обычное представление, принимая как должное уравнения F = 0 {\ displaystyle \ operatorname {F} = 0} и T = 1 {\ displaystyle \ operatorname {T} = 1}.
Логическое отрицание — это операция с одним логическим значением, обычно значением предложения, которая дает значение true , когда его операнд ложный, и значение false , когда его операнд истинен.
Таблица истинности NOT⁡ p, {\ displaystyle \ operatorname {NOT} ~ p,} также записывается как ¬p, {\ displaystyle \ lnot p, \!} Отображается ниже:
Отрицание предложения p {\ displaystyle p \!} Может быть обозначено различными способами в различных контекстах применения, часто просто для удобства типографского изображения.Среди этих вариантов можно выделить следующие:
Логическое соединение — это операция над двумя логическими значениями, обычно значениями двух предложений, которая дает значение истинно тогда и только тогда, когда оба его операнда истинны.
Таблица истинности p AND⁡ q, {\ displaystyle p ~ \ operatorname {AND} ~ q,} также записывается как p∧q {\ displaystyle p \ land q \!} Или p⋅q, {\ displaystyle p \ cdot q, \!} появится ниже:
Логическая дизъюнкция , также называемая логическим чередованием , представляет собой операцию над двумя логическими значениями, обычно значениями двух предложений, которая производит значение false тогда и только тогда, когда оба его операнда ложны.
Таблица истинности p OR⁡ q, {\ displaystyle p ~ \ operatorname {OR} ~ q,} также записывается как p∨q, {\ displaystyle p \ lor q, \!}, Появляется ниже:
Логическое равенство — это операция над двумя логическими значениями, обычно значениями двух предложений, которая дает значение истина тогда и только тогда, когда оба операнда ложны или оба операнда истинны.
Таблица истинности p EQ⁡ q, {\ displaystyle p ~ \ operatorname {EQ} ~ q,} также записывается как p = q, {\ displaystyle p = q, \!} P⇔q, {\ displaystyle p \ Стрелка влево-вправо q, \!} Или p≡q, {\ displaystyle p \ Equiv q, \!} Появляется ниже:
Исключительная дизъюнкция , также известная как логическое неравенство или симметричная разность , представляет собой операцию над двумя логическими значениями, обычно значениями двух предложений, которая дает значение истинное на случай, если ровно один из его операндов правда.
Таблица истинности p XOR⁡ q, {\ displaystyle p ~ \ operatorname {XOR} ~ q,} также записывается p + q {\ displaystyle p + q \!} Или p ≠ q, {\ displaystyle p \ neq q, \!} появляется ниже:
Затем могут быть выведены следующие эквиваленты:
п + q знак равно (p∧¬q) ∨ (¬p∧q) = (p∨q) ∧ (¬p∨¬q) = (p∨q) ∧¬ (p∧q) {\ displaystyle {\ begin {matrix} p + q & = & (p \ land \ lnot q) & \ lor & (\ lnot p \ land q) \\ [6pt] & = & (p \ lor q) & \ land & (\ lnot p \ lor \ lnot q) \\ [6pt] & = & (p \ lor q) & \ land & \ lnot (p \ land q) \ end {matrix}}}
Отношение логического импликации и материальная условная функция связаны с операцией над двумя логическими значениями, обычно значениями двух предложений, которая дает значение false тогда и только тогда, когда первый операнд истинен и второй операнд ложный.
Таблица истинности, связанная с материальным условным условием, если p, затем q, {\ displaystyle {\ text {if}} ~ p ~ {\ text {then}} ~ q, \!} Символизирует p → q, {\ displaystyle p \ rightarrow q, \!}, а из логического следствия p следует q, появляется {\ displaystyle p ~ {\ text {implies}} ~ q, \!} символизированный p⇒q, {\ displaystyle p \ Rightarrow q, \!} ниже:
Логическая И-НЕ — это операция над двумя логическими значениями, обычно значениями двух предложений, которая дает значение false тогда и только тогда, когда оба его операнда истинны.Другими словами, он дает значение true тогда и только тогда, когда хотя бы один из его операндов ложен.
Таблица истинности p NAND⁡ q, {\ displaystyle p ~ \ operatorname {NAND} ~ q,}
.Генератор таблиц истинности
— онлайн-калькулятор булевой алгебры для таблиц

Поиск инструмента
Таблица истинности
Инструмент для создания логических таблиц истинности. В булевой алгебре или электронике логические таблицы истинности позволяют определять функцию / вентиль / элемент / компонент в соответствии с его входами и выходами.
Результаты
Таблица истинности — dCode
Тег (и): Символьные вычисления, Электроника
Поделиться

dCode и вы
dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокэшинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !
Генератор таблицы истинности
Уравнение из поисковика таблицы истинности
Инструмент для создания логических таблиц истинности.В булевой алгебре или электронике логические таблицы истинности позволяют определять функцию / вентиль / элемент / компонент в соответствии с его входами и выходами.
Ответы на вопросы
Что такое таблица истинности?
Таблица истинности — это таблица, представляющая выходные логические значения логического выражения на основе их записей. Таким образом, в таблице представлены все возможные комбинации входных логических переменных (обычно 0 / ЛОЖЬ и 1 / ИСТИНА) и результат уравнения в качестве выходных данных.
Пример: Таблица функции логического НЕ:
Каждая электронная схема связана с таблицей истинности , которая ее описывает.
Как работает калькулятор Truch table?
dCode интерпретирует логическое логическое выражение и вычисляет, используя булеву алгебру, все возможные комбинации 0 и 1 для каждой переменной (среди запрошенных логических переменных), чтобы составить таблицу истинности .
Какова таблица истинности для логического И?
Таблица истинности для функции И:
Что такое таблица истинности для логического ИЛИ?
Таблица истинности для функции ИЛИ:
Что такое таблица истинности для логического XOR?
Таблица истинности для функции XOR:
Что такое таблица истинности для логической NAND?
Таблица истинности для функции И-НЕ:
Что такое таблица истинности для логического ИЛИ?
Таблица истинности для функции ИЛИ:
Задайте новый вопрос
Исходный код
dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Таблица истинности».За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любой алгоритм, апплет или фрагмент (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любая функция (преобразование, решение, дешифрование / encrypt, decipher / cipher, decode / encode, translate) написано на любом информатическом языке (PHP, Java, C #, Python, Javascript, Matlab и т. д.), доступ к данным, скриптам или API не будет бесплатным, то же самое для таблицы истинности скачать для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android!
Нужна помощь?
Пожалуйста, заходите в наше сообщество в Discord для получения помощи!
Вопросы / комментарии
Сводка
Инструменты аналогичные
Поддержка
Форум / Справка

Рекламные объявления
Ключевые слова
истина, таблица, логическое, логическое, электронное, логическое
Ссылки
Источник: https: // www.dcode.fr/boolean-truth-table
© 2020 dCode — Лучший «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокешинга / CTF.
.

Таблицы истинности логических операций ✔️ алгоритм построения и решение задач с помощью таблиц, примеры

Определения и понятия

Виды логических операций

Аксиомы и законы

Алгоритм построения

Пример задания

Вычисления онлайн

Презентация к уроку: Основные логические операции, таблицы истинности

Базовые логические операции и схемы. Таблицы истинности — Студопедия

Таблицы истинности. 8-й класс

I. Организационный момент (2 минуты)

II. Повторение

III. Самостоятельная работа

IV. Проверка самостоятельной работы

III. Объяснение нового материала

Логические операции и таблицы истинности

Основы логики, логические операции и таблицы истинности

Конъюнкция

Таблица истинности конъюнкция

Обозначения

Дизъюнкция

Таблица истинности для дизъюнкции

Обозначения

Инверсия

Обозначение

Таблица истинности Инверсия

Импликация

Таблица импликация

Обозначение

Эквивалентность

Таблица Эквивалентность

Обозначение

Таблица истинности — это… Что такое Таблица истинности?

Таблицы истинности для основных двоичных логических функций

Таблицы истинности для некоторых троичных логических функций

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

Таблицы истинности и логические утверждения

0

1.1 Логические операции

Упражнения 1.1

— онлайн-калькулятор булевой алгебры для таблиц

Генератор таблицы истинности

Уравнение из поисковика таблицы истинности

Ответы на вопросы

Что такое таблица истинности?

Как работает калькулятор Truch table?

Какова таблица истинности для логического И?

Что такое таблица истинности для логического ИЛИ?

Что такое таблица истинности для логического XOR?

Что такое таблица истинности для логической NAND?

Что такое таблица истинности для логического ИЛИ?

Исходный код

Нужна помощь?

Вопросы / комментарии

alexxlab

Вам также может понравиться

В квартире никто не прописан как платить за свет: Как Платить За Электроэнергию Если Никто Не Прописан — Юридические Советы

Фтор протоны нейтроны электроны: «Сколько электронов, протонов и нейтронов содержит атом фтора F?» — Яндекс.Кью

Формулы давления в физике: Недопустимое название — Викиверситет

Добавить комментарий Отменить ответ