Начальная фаза переменного тока: Начальная фаза. Сдвиг фаз — Студопедия

Переменный синусоидальный ток

Колебания маятника также
подчиняются закону синуса.
Если
записать проекцию траектории
движения математического
маятника на
движущуюся бумажную ленту —
получится синусоида.

Синусоидальным
током называется периодический переменный
ток, который с течением времени изменяется
по закону синуса.

Синусоидальный ток —
элементарный, то есть его невозможно
разложить на другие более простые
переменные токи.

Переменный
синусоидальный ток выражается формулой:

,
где

 —
амплитуда
синусоидального тока;

 —
некоторый угол,
называемый фазой
синусоидального тока.

Фаза синусоидального
тока изменяется
пропорционально времени .

Множитель ,
входящий в выражение фазы  —
величина постоянная, называемая угловой
частотой переменного
тока.

Угловая
частота синусоидального
тока зависит от частоты этого
тока и определяется формулой:

,
где

 —
угловая частота
синусоидального тока;

 —
частота синусоидального
тока;

 — период синусоидального
тока;

 —
центральный
угол окружности,
выраженный в радианах.

Зависимость
синусоидального тока от времени

Зависимость
синусоидального тока от угла ωt

Периоду соответствует
угол ,
половине периода угол и
так далее…

Исходя
из формулы ,
можно определить размерность угловой
частоты:

,
где

 — время в секундах,

 —
угол в радианах,
является безразмерной величиной.

Фаза синусоидального
тока измеряется радианами.

1
радиан = 57°17′, угол 90° = радиан,
угол 180° = радиан,
угол 270° = радиан,
угол 360° = радиан,
где радиан;  — число
«Пи», ° — угловой
градус и ′ — угловая
минута.

Формула описывает
случай, когда наблюдение за изменением
переменного синусоидального тока
начинается с момента времени при .
Если не
равен нулю, тогда формула для определения
мгновенного значения переменного
синусоидального тока примет следующий
вид:

,
где

 — фаза переменного
синусоидального тока;

 — угол,
называемый начальной
фазой переменного синусоидального
тока.

Начальная
фаза переменного тока 

Начальная
фаза переменного тока 

Если
в формуле принять ,
то будем иметь

, и .

Начальная
фаза — это фаза синусоидального тока
в момент времени .

Начальная
фаза переменного синусоидального тока
может быть положительной или
отрицательной величиной.
При мгновенное
значение синусоидального тока в момент
времени положительно,
при  —
отрицательно.

Если
начальная фаза ,
то ток определяется по формуле .
Мгновенное значение его в момент
времени равно

,
то есть равно положительной амплитуде
тока.

Если
начальная фаза ,
то ток определяется по формуле .
Мгновенное значение его в момент
времени равно

,
то есть равно отрицательной амплитуде
тока.

9. Идеальные элементы
электрической цепи синусоидального
тока

11.
Неразветвленная
цепь синусоидального тока. Резонанс
напряжений

Резонанс
напряжений —
резонанс, происходящий в
последовательном колебательном
контуре при
его подключении к источнику
напряжения, частота которого
совпадает с собственной
частотой контура.

Описание явления

Пусть
имеется колебательный контур с частотой
собственных колебаний f,
и пусть внутри него работает генератор
переменного тока такой же частоты f.

В
начальный момент конденсатор контура
разряжен, генератор не работает. После
включения напряжение на генераторе
начинает возрастать, заряжая конденсатор.
Катушка в первое мгновение не пропускает
ток из-за ЭДС самоиндукции. Напряжение
на генераторе достигает максимума,
заряжая до такого же напряжения
конденсатор.

Далее:
конденсатор начинает разряжаться на
катушку. Напряжение на нем падает с
такой же скоростью, с какой уменьшается
напряжение на генераторе.

Далее:
конденсатор разряжен до нуля, вся энергия
электрического поля, имевшаяся в
конденсаторе, перешла в энергию магнитного
поля катушки. На клеммах генератора в
этот момент напряжение нулевое.

Далее:
так как магнитное поле не может
существовать стационарно, оно начинает
уменьшаться, пересекая витки катушки
в обратном направлении. На выводах
катушки появляется ЭДС индукции, которое
начинает перезаряжать конденсатор. В
цепи колебательного контура течет ток,
только уже противоположно току заряда,
так как витки пересекаются полем в
обратном направлении. Обкладки
конденсатора перезаряжаются зарядами,
противоположными первоначальным.
Одновременно растет напряжение на
генераторе противоположного знака,
причем с той же скоростью, с какой катушка
заряжает конденсатор.

Далее:
катушка перезарядила конденсатор до
максимального напряжения. Напряжение
на генераторе к этому моменту тоже
достигло максимального.

Возникла
следующая ситуация. Конденсатор и
генератор соединены последовательно
и на обоих напряжение, равное напряжению
генератора. При последовательном
соединении источников питания их
напряжения складываются.

Следовательно,
в следующем полупериоде на катушку
пойдет удвоенное напряжение (и от
генератора, и от конденсатора), и колебания
в контуре будут происходить при удвоенном
напряжении на катушке.

В
контурах с низкой добротностью напряжение
на катушке будет ниже удвоенного, так
как часть энергии будет рассеиваться
(на излучение, на нагрев) и энергия
конденсатора не перейдет полностью в
энергию катушки). Соединены как бы
последовательно генератор и часть
конденсатора.

Действующее и среднее значения переменного тока

Действующее
значение переменного тока численно
равно такому постоянному току, который,
проходя через то же сопротивление, что
и переменный ток, выделяет за время,
равное 1 периоду, одинаковое количество
тепла. Все приборы показывают действующее
значение
.

Если левые части
уравнения равны, то и правые будут тоже
равны. Приравняв правые части и выполнив
операцию интегрирования, получим:

Среднее арифметическое
значение переменного тока определяется
в течении полупериода; если через
поперечное сечение проводника в течении
1 полупериода будет протекать один и
тот же заряд при постоянном и переменном
токе, то такое значение постоянного
тока будет равно среднему значению
переменного тока
.

Среднее значение
тока за период равно нулю.

Коэффициенты формы и амплитуды

Отношение
действующего значения переменного тока
(напряжения или ЭДС) к среднему значению
называется коэффициентом формы,
а отношение амплитудного значения к
действующему –коэффициентом
амплитуды.

Для синусоидального
тока:

,
а
.

Для кривых, имеющих
более острую форму, чем синусоида:
;.

Начальная фаза. Сдвиг фаз

Но т.к. витки
сдвинуты в пространстве, то наводимая
в них ЭДС будет достигать амплитудных
и нулевых значений не одновременно.

В начальный момент
времени
ЭДС витка будет:

В этих выражениях
углы
иназываютсяфазными, илифазой.
Углыиназываютсяначальной фазой.
Фазный угол определяет значение ЭДС в
любой момент времени, а начальная фаза
определяет значение ЭДС в начальный
момент времени.

Разность начальных
фаз двух синусоидальных величин
одинаковой частоты и амплитуды называется
углом сдвига фаз

Разделив угол
сдвига фаз на угловую частоту, получим
время, прошедшее с начала периода:

Графическое изображение синусоидальных величин

Синусоидальные
величины можно изображать графически
при помощи синусоид или вращающихся
векторов.

Любая синусоидальная
величина характеризуется:

1. амплитудой;

2. угловой частотой;

3. начальной фазой.

При изображении
величины с помощью синусоиды ординаты
синусоиды в масштабе представляют собой
мгновенное значение, абсциссы –
промежутки времени.

При этом длина
вектора равна амплитудному значению
величины, угол
между положительным направлением оси
абсцисс и векторов даст начальную фазу.
Вектор вращается против часовой стрелки
с угловой скоростью.
Проекция конца вектора на ось ординат
даст мгновенное значение синусоидальной
величины.

Совокупность
нескольких синусоид называется
синусоидальной (волновой) диаграммой.

Совокупность
нескольких векторов называется векторной
диаграммой.

Сложение и вычитание синусоидальных величин

.

Для сложения двух
синусоидальных величин с помощью
синусоид необходимо сложить их ординаты
в каждый момент времени.

Для того, чтобы
сложить две величины с помощью векторов,
необходимо к концу первого вектора
добавить второй, не изменяя его величины
и направления. Соединив начало первого
вектора с концом второго, получим
суммарный вектор.

Основные понятия об электрических цепях переменного тока

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ цепи переменного тока

Урок 5

Тема урока: Получение переменного тока. Основные понятия и определения, изображение переменного тока

Цель урока: формирование знаний по теме, воспитывать познавательный интерес; расширять кругозор учащихся; развивать мышление и память.

Теоретическая часть

Переменный ток, в отличие от тока постоянного, непрерывно изменяется как по величине, так и по направлению, причем изменения эти происходят периодически, т. е. точно повторяются через равные промежутки времени.

Чтобы вызвать в цепи такой ток, используются источники переменного тока, создающие переменную ЭДС, периодически изменяющуюся по величине и направлению. Такие источники называются генераторами переменного тока.

На рисунке показана схема устройства (модель) простейшего генератора переменного тока.

Прямоугольная рамка, изготовленная из медной проволоки, укреплена на оси и при помощи ременной передачи вращается в поле магнита. Концы рамки припаяны к медным контактным кольцам, которые, вращаясь вместе с рамкой, скользят по контактным пластинам (щеткам).

Магнит создает между своими полюсами равномерное магнитное поле, в котором плотность магнитных силовых линий в любой части поля одинаковая. Вращаясь, рамка пересекает силовые линии магнитного поля, и в каждой из ее сторон а и б индуктируются ЭДС.

Стороны в и г рамки — нерабочие, так как при вращении рамки они не пересекают силовых линий магнитного поля и, следовательно, не участвуют в создании ЭДС.

В любой момент времени ЭДС, возникающая в стороне а, противоположна по направлению ЭДС, возникающей в стороне б, но в рамке обе ЭДС действуют согласно и в сумме составляют обшую ЭДС, т. е. индуктируемую всей рамкой. В этом можно убедиться, если использовать для определения направления ЭДС известное как правило правой руки.

Для этого надо ладонь правой руки расположить так, чтобы она была обращена в сторону северного полюса магнита, а большой отогнутый палец совпадал с направлением движения той стороны рамки, в которой мы хотим определить направление ЭДС. Тогда направление ЭДС в ней укажут вытянутые пальцы руки.

Для какого бы положения рамки мы ни определяли направление ЭДС в сторонах а и б, они всегда складываются и образуют общую ЭДС в рамке. При этом с каждым оборотом рамки направление общей ЭДС изменяется в ней на обратное, так как каждая из рабочих сторон рамки за один оборот проходит под разными полюсами магнита.

Величина ЭДС также изменяется, так как изменяется скорость, с которой стороны рамки пересекают силовые линии магнитного поля. Действительно, в то время, когда рамка подходит к своему вертикальному положению и проходит его, скорость пересечения силовых линий сторонами рамки бывает наибольшей, и в рамке индуктируется наибольшая ЭДС. В те моменты времени, когда рамка проходит свое горизонтальное положение, ее стороны как бы скользят вдоль магнитных силовых линий, не пересекая их, и ЭДС не индуктируется.

Таким образом, при равномерном вращении рамки в ней будет индуктироваться ЭДС, периодически изменяющаяся как по величине, так и по направлению. ЭДС, возникающую в рамке, можно измерить прибором и использовать для создания тока во внешней цепи. Используя явление электромагнитной индукции, можно получить переменную ЭДС и, следовательно, переменный ток.

Переменный ток для промышленных целей и для освещения вырабатывается мощными генераторами, приводимыми во вращение паровыми или водяными турбинами и двигателями внутреннего сгорания.

Графическое изображение переменного тока

Построение графиков переменных величин, меняющихся с течением времени, начинают с построения двух взаимно перпендикулярных линий, называемых осями графика. Затем на горизонтальной оси в определенном масштабе откладывают отрезки времени (или угол поворота рамки), а на вертикальной, также в некотором масштабе, — значения той величины, график которой собираются построить (ЭДС, напряжения или тока).

Полученная волнообразная кривая называется синусоидой, а ток, ЭДС или напряжение, изменяющиеся по такому закону, называются синусоидальными.

Синусоидальный характер изменения тока — самый распространенный в электротехнике, поэтому, говоря о переменном токе, в большинстве случаев имеют в виду синусоидальный ток.

Для сравнения различных переменных токов (ЭДС и напряжений) существуют величины, характеризующие тот или иной ток. Они называются параметрами переменного тока.

Переменный ток характеризуется периодом, амплитудой и частотой.

Промежуток времени, на протяжении которого совершается полный цикл изменения тока, называется периодом. Период обозначается буквой Т и измеряется в секундах.

Максимальное значение переменного тока (ЭДС или напряжения) называется его амплитудой или амплитудным значением тока. Общепринятые обозначения амплитуд тока, ЭДС и напряжения — Im, Em и Um.

Значение переменного тока (ЭДС, напряжения), соответствующее любому выбранному моменту времени, называется его мгновенным значением (i, u, е соответственно).

Мгновенное значение тока, как и амплитудное его значение, легко определить с помощью графика. Для этого из любой точки на горизонтальной оси, соответствующей интересующему нас моменту времени, проведем вертикальную линию до точки пересечения с кривой тока; полученный отрезок вертикальной прямой определит значение тока в данный момент, т. е. мгновенное его значение.

Число полных периодов, совершаемых током в 1 секунду, называется частотой переменного тока и обозначается латинской буквой f. Чтобы определить частоту переменного тока, т. е. узнать, сколько периодов своего изменения ток совершил в течение 1 секунды, необходимо 1 секунду разделить на время одного периода f = 1/T. Частота переменного тока измеряется единицей, называемой герцем.

При определении сопротивления различных цепей переменному току использовать еще одна вспомогательную величину, характеризующую переменный ток, так называемую угловую или круговую частоту.

Круговая частота обозначается буквой ω, измеряется в радианах и связана с частотой соотношением

ω = 2πf

В общем виде в момент времени t=0 мгновенное значение переменных величин можно записать в виде:

i = I_m sin ωt ,

u = U_m sin ωt,

е = Е_msin ωt.

При этом начальный период времени t=0 совпадает с нулевыми значениями функций. Но в общем случае на оси времени можно выбрать любой момент отсчета, тогда формулы мгновенных значений будут иметь вид:

i = I_m sin(ωt + φ_i),

u = U_m sin(ωt +φ_u),

е = Е_m sin(ωt +φ_е),

где φ_i,_{φu,φе – начальный фазовый угол или начальная фаза.}

Временно́й сдвиг между максимальными значениями в разных витках определяется разностью фаз:

Если для синусоидальных величин разность фаз равна ±π, то они противоположны по фазе, если начальные фазы одинаковые и их разность равна 0, то это означает. Что они совпадают по фазе.

При расчетах цепей переменного тока, а также при электрических измерениях неудобно пользоваться мгновенными или амплитудными значениями токов и напряжений из-за емких расчетов. Для этих целей ввели понятие действующих значений тока, напряжения.

Действующее значение переменного тока равно такому постоянному току, который, проходя через то же сопротивление, что и переменный ток, за то же время выделяет такое же количество энергии.

Электрические приборы показывают действующие значения переменных величин, которые обозначаются прописными буквами без индексов (I, U, Е).

; ;

Вопросы для самопроверки:

— Объясните понятие «переменный ток».

— Что такое амплитуда переменного тока?

— Что такое частота тока? Единицы измерения частоты?

— Что такое угловая частота? Единицы измерения угловой частоты?

— Что такое разность фаз?

— В чем разница между действующими и амплитудными значениями синусоидальных величин?

— Запишите и расшифруйте математическое выражение мгновенного синусоидального тока.

— Запишите и расшифруйте математическое выражение мгновенного синусоидального напряжения.

Практическая часть:

Пример 1. Определите угловую частоту, если частота сети равна 50Гц? 60Гц? 1кГц?

Пример 2. Амперметр показывает значение 10А. Определите амплитудное (максимальное) значение тока и запишите мгновенное значение тока (фазовый угол равен нулю).

Пример 3. Мгновенное значение напряжение равно u=282sin(ωt-47). Определить действующее значение и начальную фазу напряжения.

Урок 6

Тема урока: Элементы электрической цепи синусоидального тока.

Цель урока: расширение и обобщение знаний по теме, применение теоретических знаний на практике; развитие памяти и логики.

Теоретическая часть

На любом участке цепи переменного тока одновременно осуществляются необратимые процессы преобразования электрической энергии в другие виды и проявляется действие переменного электромагнитного поля.

При решении большинства электротехнических задач вводят допущения, которые позволяют раздельно учитывать каждое из явлений и упрощают задачу расчета электрических цепей переменного тока.

1. Цепь с идеальным резистивным элементом.

Рассмотрим, например, процессы, происходящие в обыкновенной лампе накаливания, включенной в сеть переменного тока. Между отдельными витками нити накаливания существует электрическая емкость, и нить обладает определенной индуктивностью, но они незначительны. Поэтому считают, что С=0 и L=0. В этом случае при анализе электрической цепи лампу называют идеальным резистивным элементом цепи с сопротивлением R.

Величина сопротивления переменному току больше, чем сопротивлению постоянному току, за счет неравномерного распределения тока в проводе (поверхностный эффект). Поэтому в отличие от сопротивления постоянному току сопротивление в цепи переменного тока называют активным сопротивлением. Активное сопротивление измеряется в омах.

Если напряжение u = U_msinωt),подключить к сопротивлению R, то через него протекает ток

Это показывает, что напряжение на сопротивлении и ток, протекающий через него, совпадают по фазе: .

Напряжение, совпадающее по фазе с током, называют активным напряжением и обозначают U_a.

2. Цепь с идеальным индуктивным элементом.

Примером идеального индуктивного элемента может служить индуктивная катушка. Электрическая энергия, выделяемая в катушке за счет нагрева провода обмотки, как правило, невелика, как и межвитковая емкость, и во многих практических случаях ими можно пренебречь (R=0, C=0). При принятых допущениях индуктивную катушку называют идеальным индуктивным элементом цепи или L-элементом.

Параметром идеального индуктивного элемента является индуктивность L, а энергетические процессы в нем определяются только явлениями, происходящими в магнитном поле.

Индуктивность — коэффициент пропорциональности между электрическим током, текущим в каком-либо замкнутом контуре, и магнитным потоком, создаваемым этим током через поверхность, краем которой является этот контур. На электрических схемах используют условные графические обозначения катушек индуктивностей, примеры которых приведены на рисунке.

Условные графические обозначения индуктивностей:

а – обозначение катушки индуктивности; б – с магнитодиэлектрическим сердечником;

в – с ферромагнитным сердечником

При прохождении электрического тока по катушке, ток создаст переменный магнитный поток Ф. Силовые линии этого потока, пересекая витки катушки, будут индуктировать в ней э.д.с. самоиндукции. По закону электромагнитной индукции

e_L=

Так как в цепи, куда включена индуктивность L, отсутствует активное сопротивление (рассматривается идеальная катушка индуктивности), то по второму закону Кирхгофа u+e_L=0, т. е. u = -e_L Следовательно, напряжение источника всегда равно по величине и противо-положно по направлению э. д. с. самоиндукции.

Если в формулу подставить значение тока и продифференцировать, то получим:

Обозначим величину ωL· равной амплитуде напряжения U_m. Тогда по закону Ома

Величину называют индуктивным сопротивлением, измеряют в Омах и обозначают

Так как , то начальную фазу напряжения можно представить как φ _u= φ _i+ 90 и, следовательно,

Выведенное соотношение показывает, что если в катушке протекает синусоидальный ток, то напряжение также имеет синусоидальный характер, но при этом оно опережает ток на четверть периода (90).

3. Цепь с идеальным емкостным элементом

Конденсатор – элемент электрической цепи, предназначенный для использования его ёмкости. В конденсаторе накапливается энергия электрического поля. Свойство элемента запасать электрический заряд характеризует ёмкость (С). Этот параметр является коэффициентом пропорциональности между зарядом q (Кл) и прикладываемым напряжением u (В).

q = C·u,

При изменении напряжения на конденсаторе изменяется заряд и возникает электрический ток

Идеализированный конденсатор обладает только ёмкостью С (R=0, L=0).

Рассмотрим электрические процессы в цепи с идеальным ёмкостным элементом. Пусть напряжение источника изменяется по закону u = Um·sinωt, (φ_u = 0).

В цепи возникает ток

 Из полученного выражения видно, что начальная фаза тока φ_i = . Угол сдвига фаз между напряжением и током составляет

Следовательно, синусоида напряжения на емкости отстаёт от синусоиды тока на угол 90. На практике, если в электрической цепи напряжение отстаёт по фазе от тока, говорят об ёмкостном характере нагрузки.

Амплитуда тока будет равна Im = ω·C·Um=.

Величину называют ёмкостным сопротивлением конденсатора и измеряют в Омах 

Xc=1/ ω•C =1/2πfC.

Итак, в цепях переменного тока выделяют следующие виды сопротивлений:

— активное (активным называют сопротивление резистора). Единицей измерения сопротивления является Ом. Сопротивление резистора не зависит от частоты сети.

— реактивное (индуктивное X_L и емкостное Х_С). Единицей измерения индуктивного и емкостного сопротивления также является Ом. Величина индуктивного сопротивления линейно зависит от частоты. А величина ёмкостного сопротивления обратнопропорциональна частоте сети. В цепях со смешанным соединением нагрузки (активной, индуктивной, ёмкостной) реактивным сопротивлением цепи называют величину

X = X_L — X_C.

Для того, чтобы найти общее сопротивление электрической цепи со смешанным соединением нагрузки используют понятие полного сопротивления цепи, которое определяется как

Вопросы для самопроверки:

— Объясните физический смысл активного сопротивления проводника переменному току по сравнению с сопротивлением проводника постоянному току?

— Что такое индуктивность катушки? От чего она зависит?

— Что понимается под действующим значением переменного синусоидального тока? Как его рассчитать через амплитудное значение тока?

— Опишите физические явления, наблюдаемые в резисторе в цепи переменного синусоидального тока?

— Запишите математическую связь между мгновенным напряжением, мгновенным током и активным сопротивлением?

— Запишите математические выражения мгновенного напряжения и тока на активном сопротивлении, приняв начальную фазу напряжения φ=45.

— Что понимается под углом сдвига фаз? Чему он равен на участке цепи с резистором? индуктивностью? ёмкостью?

— Как рассчитать индуктивное сопротивление идеальной катушки?

— Запишите математическое выражение мгновенного напряжения на индуктивном сопротивлении, приняв начальную фазу тока φ=45.

— Объясните физический смысл ёмкостного сопротивления. Как рассчитать ёмкостное сопротивление идеального конденсатора?

— Чему равен угол сдвига фаз в ёмкости?

— Что понимается под термином реактивное сопротивление? Как его определить?

— Как в сети переменного тока определяется полное сопротивление?

Практическая часть:

Пример 1. В цепи переменного тока к резистору подведено напряжение u=141sin(t-30)В. Сопротивление идеального резистора равно 100 Ом. Определить амплитуду и начальную фазу тока; записать мгновенное и действующее значение тока.

Пример 2. К идеальной катушке подведено напряжение u=141sin(t+73)В. Частота тока в сети равна 50Гц. Индуктивность катушки равна 12,7 мГн. Определить индуктивное сопротивление катушки, амплитуду и начальную фазу тока; записать мгновенное и действующее значение тока.

Пример 3. К идеальному конденсатору подведено напряжение u=282sin(t+30)В. Частота тока в сети равна 50Гц. Ёмкость конденсатора равна 159мкФ. Определить ёмкостное сопротивление конденсатора, амплитуду и начальную фазу тока; записать мгновенное и действующее значение тока.

Урок 7

Тема урока: Неразветвленные цепи переменного тока. Мощность цепи синусоидального тока. Коэффициент мощности.

Цель урока: получение практического навыка расчета элементов цепи переменного тока; расширение знаний о физических явлениях в реальной катушке и реальном конденсаторе.

Теоретическая часть

Рассмотрим более сложные варианты цепи, где последовательно с активным сопротивлением в цепь включено индуктивное и ёмкостное сопротивление.

1. Цепь с активно-индуктивным сопротивлением.

Фаза напряжения на индуктивном сопротивлении опережает фазу тока на 90°, а фаза напряжения на активном сопротивлении совпадает с фазой тока.

Полное сопротивление цепи с активным сопротивлением и индуктивностью

а) — схема цепи; б) — сдвиг фаз тока и напряжения; в) — треугольник напряжений; д) — треугольник сопротивлений

Произведем геометрическое сложение радиусов-векторов U_L и U_R. Результирующий вектор U_AB будет являеться гипотенузой прямоугольного треугольника. Из геометрии известно, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

По закону Ома напряжение должно равняться силе тока, умноженной на сопротивление. Разделим обе части уравнение на

Извлекая квадратный корень из обеих частей этого равенства, получим,

Полное сопротивление можно находить не только путем вычисления, но и путем построения треугольника сопротивлений

2. Цепь с активно-ёмкостным сопротивлением.

Полное сопротивление такой цепи можно определить при помощи треугольника сопротивлений.

Полное сопротивление цепи с активным сопротивлением и емкостью

а) — схема цепи; б) — треугольник сопротивлений.

Разница между обоими случаями состоит лишь в том, что треугольник сопротивлений для активно-емкостной цепи будет повернут в другую сторону вследствие того, что ток в емкостной цепи не отстает от напряжения, а опережает его

В общем случае, когда цепь содержит все три вида сопротивлений, сначала определяется реактивное сопротивление этой цепи, а затем уже полное сопротивление цепи.

Полное сопротивление цепи содержащей R, L и C

а) — схема цепи; б) — треугольник сопротивлений.

Реактивное сопротивление этой цепи состоит из индуктивного и емкостного сопротивлений. Так как эти два вида реактивного сопротивления противоположны друг другу по своему характеру, то общее реактивное сопротивление цепи будет равно их разности

Общее реактивное сопротивление цепи может иметь индуктивный или емкостный характер, в зависимости от того, какое из этих двух сопротивлений преобладает.

Полное сопротивление цепи при параллельном соединении активного и реактивного сопротивления.

3. Параллельное соединение активного и реактивного элемента

Для того чтобы вычислить полное сопротивление цепи, составленной из активного и индуктивного сопротивлений, соединенных между собой параллельно, нужно сначала вычислить проводимость каждой из параллельных ветвей.

Полное сопротивление цепи при параллельном соединении активного и реактивных элементов

а) — параллельное соединение R и L; б) — параллельное соединение R и C.

Проводимость активной ветви, как известно, равна 1/R, аналогично проводимость индуктивной ветви равна 1/ωL , а полная проводимость равна 1/Z

Полная проводимость равна корню квадратному из суммы квадратов активной и реактивной проводимости, т. е.

откуда:

Нахождение полного сопротивления для этого случая может быть произведено и геометрическим путем. Для этого нужно построить в соответствующем масштабе треугольник сопротивлений, и затем произведение длин катетов разделить на длину гипотенузы. Полученный результат и будет соответствовать полному сопротивлению.

Аналогично случаю, рассмотренному выше, полное сопротивление при параллельном соединении R и С :

Мощность цепи синусоидального тока

Мгновенной мощностью называют произведение мгновенного напряжения на входе цепи на мгновенный ток.

Пусть мгновенные напряжение и ток определяются по формулам:

Тогда

Среднее арифметическое значение мощности за период называют активной мощностью и обозначают буквой P.

Эта мощность измеряется в ваттах и характеризует необратимое преобразование электрической энергии в другой вид энергии, например, в тепловую, световую и механическую энергию.

Возьмем реактивный элемент (индуктивность или емкость). Активная мощность в этом элементе , так как напряжение и ток в индуктивности или емкости различаются по фазе на 90. В реактивных элементах не происходит нагрева элементов. Происходит обратимый процесс в виде обмена электрической энергией между источником и приемником. Для качественной оценки интенсивности обмена энергией вводится понятие реактивной мощности Q.

Реактивная мощность, измеряемая в вольтамперах реактивных (Вар), расходуется на создание магнитного поля в индуктивности или электрического поля в емкости. Энергия, накопленная в емкости или в индуктивности, периодически возвращается источнику питания.

Полная мощность, измеряемая в вольтамперах, равна произведению действующих значений напряжения и тока:

, ВА

В соответствии с формулой , реактивная мощность может быть как положительной величиной (если нагрузка имеет активно-индуктивный характер), так и отрицательной (если нагрузка имеет активно-ёмкостный характер). Данное обстоятельство подчёркивает тот факт, что реактивная мощность не участвует в работе электрического тока. Когда устройство имеет положительную реактивную мощность, то принято говорить, что оно её потребляет, а когда отрицательную — то производит, но это чистая условность, связанная с тем, что большинство электропотребляющих устройств (например, асинхронные двигатели), а также чисто активная нагрузка, подключаемая через трансформатор, являются активно-индуктивными.

Синхронные генераторы, установленные на электрических станциях, могут как производить, так и потреблять реактивную мощность в зависимости от величины тока возбуждения, протекающего в обмотке ротора генератора. За счёт этой особенности синхронных электрических машин осуществляется регулирование заданного уровня напряжения сети. Для устранения перегрузок и повышения коэффициента мощности электрических установок осуществляется компенсация реактивной мощности.

Применение современных электрических измерительных преобразователей на микропроцессорной технике позволяет производить более точную оценку величины энергии возвращаемой от индуктивной и емкостной нагрузки в источник переменного напряжения.

Измерительные преобразователи реактивной мощности, использующие формулу , более просты и значительно дешевле измерительных преобразователей на микропроцессорной технике.

Коэффициент мощности и его экономическое значение

Коэффициент мощности — безразмерная физическая величина, характеризующая потребителя переменного электрического тока с точки зрения наличия в нагрузке реактивной составляющей. Коэффициент мощности показывает, насколько сдвигается по фазе переменный ток, протекающий через нагрузку, относительно приложенного к ней напряжения.

Численно коэффициент мощности равен косинусу этого фазового сдвига.

Значения коэффициента мощности электрических установок переменного тока различны. Электрические лампы обладают, главным образом, активным сопротивлением, поэтому при их включении сдвиг фаз между током и напряжением практически отсутствует. Следовательно, для осветительной нагрузки коэффициент мощности можно считать равным единице. Коэффициент мощности для двигателей переменного тока зависит от нагрузки. При номинальной расчетной нагрузке двигателя cosφ = 0,8-0,9, а у крупных двигателей даже выше. При недогрузке двигателей коэффициент мощности их резко снижается (при холостом ходе cosφ = 0,25-0,3).

Коэффициент мощности учитывают при проектировании электросетей. Низкий коэффициент мощности ведёт к увеличению доли потерь электроэнергии в электрической сети в общих потерях. Коэффициент мощности повышают различными способами. Основной из них — включение параллельно приемникам электрической энергии специальных устройств, называемых компенсаторами. В качестве последних чаще всего используют батареи конденсаторов.

Практическая часть

Задача. Катушка с активным сопротивлением R1=200 Ом и индуктивностью L=0,24 Гн соединена параллельно с конденсатором, активным сопротивлением R2=70 Ом и емкостью С=8*10^-6Ф и подключена к источнику переменного тока с частотой f=200 Гц и амплитудным значением напряжения Um=300 В. Определить действующее значение токов в каждой ветке и общее значение тока в цепи, полное сопротивление цепи, полную, активную и реактивную мощности. Построить векторную диаграмму тока и напряжения.

Метод наложения

Основан на принципе,
согласно которому, ток в которой ветви
может быть найден, как алгебраическая
сумма токов от действия каждой ЕДС в
отдельности

Порядок расчета

1. Поочередно
   оставляем в схеме по одному источнику

2. Внутренние
   сопротивления исключаемых источников
   остаются

3. Получаем расчет
   схемы для нахождения частичных токов.
   Эти токи обозначаем со « ′ » и рассчитываем
   по закону Ома

4. Находим действительные
   токи ветви, как алгебраическую сумму
   частичных токов. Действительный ток
   направлен в сторону большего
   действительного

Пусть при решении
получилось

,

,.
Тогда

Пример решения
задачи:

Получение синусоидального эдс

Синусоидальную
ЭДС получают с помощью явления
электромагнитной индукции. Рамку
помещают в магнитное поле и равномерно
вращают вокруг своей оси. Рамка пересекает
магнитные линии и на ее концах наводится
ЭДС электромагнитной индукции, которая
изменяется по закону

ω- угол на который
рамка поворачивается за 1с, называется
угловой скоростью или угловой частотой.

[ω]=с^-1(рад/с)

,
где f-
циклическая частота, Гц

За время
рамка
поворачивается на угол ,тогда получим

Начальная фаза. Фаза

Угол, под которым
рамка находится к положительному
направлению к горизонтальной оси в
нулевой момент времени называется
начальной фазой. Начальная фаза может
быть положительной и отрицательной.

Начальная фаза
обозначается

Общее уравнение
гармонических колебаний:

Начальная фаза
определяет значение переменной в нулевой
момент времени.

Фаза определяет
значение переменной в любой момент
времени.

Пример решения
задачи.

Дано:

Найти:

(при (t)=0)

Решение:

В

В

=314с^-1

f
=50 Гц

с

=20^о

Действующие значения переменного тока

Действующими
значениями переменного тока называют
такой постоянный ток, который за время
равное периоду выделяет в сопротивление
R,
такое же количество тепла, что и переменный
ток.

Действующее
значение характеризует энергетические
свойства сигнала. Мгновенное значение
характеризует информационные свойства
сигнала. Приборы показывают действующее
значение.

Выведем формулу
действующего значения переменного
тока:

Энергия на
постоянном токе = энергии на переменном
токе.

Энергия на постоянном
токе за период

Чтобы узнать
энергию на переменном токе за периоднадо:

Рассчитать
элементарную энергию за маленький
промежуток времени
,
а затем все эти энергии сложить, то есть
взять интеграл за период.

—
действующее значение переменного тока.

Действующее
значение еще называют среднеквадратичным
значением.

Вывод: Действующее
значение — это замена сигнала данной
формы сигналом не изменяющемся во
времени.

Выведем формулу,
связывающую действующее и максимальное
значение гармонического сигнала.

Пусть

=

Получается разность
интегралов, где второй интеграл от
гармонической функции

аналогично
.

Формулы, которые
связывают максимальное и действующее
значения гармонического сигнала.

Реализуйте фильтр второго порядка — Simulink
— MathWorks India

.

Внедрить фильтр с переменной настройкой второго порядка — Simulink

.