Применение комплексных чисел в электротехнике доклад: Комплексные числа в электротехнике

Содержание

Комплексные числа в электротехнике

Господа, в сегодняшней статье я хотел бы вам немного рассказать про комплексные числа и сигналы. Данная статья будет в основном теоретической. Ее задача – подготовить некоторый фундамент для возможности понимания дальнейших статей. Просто когда речь заходит про фазу или, допустим, про поведение конденсатора в цепи переменного тока, так сразу и начинаю лезть все эти комплексности. А про фазу все-таки хочется поговорить, штука важная. Нет, эта статья ни в коем случае не будет кратким курсом ТФКП, мы рассмотрим только лишь очень узкую область из этой вне всякого сомнения интересной и обширной темы. Итак, поехали!

Но прежде чем начать говорить непосредственно про комплексные числа, я бы хотел еще рассказать про такую любопытную штуку, как тригонометрический круг. Господа, вот мы с вами уже на протяжении аж трех (раз, два, три) статей говорим про синусоидальный ток. Но как вообще формируется функция синуса? Да и косинуса тоже? Можно по-разному ответить на этот вопрос, но в контексте данной статьи я выбрал следующее объяснение. Взгляните, пожалуйста, на рисунок 1. На нем изображен так называемый тригонометрический круг.

Рисунок 1 – Тригонометрический круг

Там много всего намалевано, поэтому давайте разбираться постепенно что там есть что. Во-первых, там есть, собственно, некоторая окружность, центр которой совпадает с центром системы координат с осями Х и Y. Радиус этой окружности равен единице. Просто единице, без всяких вольт, ампер и прочего. Далее из центра этой окружности проведены два радиус-вектора ОА и ОЕ. Очевидно, длина этих векторов равна единице, потому что у нас окружность единичного радиуса. Угол между вектором ОА и осью Х равен φ₁, угол между вектором ОЕ и осью Х равен φ₂

А теперь самое интересное, господа. Давайте рассмотрим, чему равны проекции этих векторов на оси Х и Y. Проекция вектора ОА на ось Х – это отрезок ОВ, а на ось Y – это отрезок ОС. И все вместе (сам вектор ОА и его проекции ОВ и ОС) образует прямоугольный треугольник ОАВ. По правилам работы с прямоугольным треугольником мы можем найти его стороны ОВ и ОС, то есть проекции радиус вектора ОА на оси Х и Y:

Абсолютно аналогично можно найти соотношения для вектора OE:

Если не понятно почему так, советую погуглить про соотношения сторон в прямоугольном треугольнике. Ну а мы для себя сейчас выносим один немаловажный вывод – проекция единичного вектора на ось Х равна косинусу угла между вектором и осью Х, а проекция на ось Y – синусу этого угла.

А теперь давайте начнем вращать радиус-вектор против часовой стрелки с некоторой частотой. Ну, так, чтобы он своим концом вычерчивал окружность. И, как вы уже, вероятно, догадались, при таком вращении проекция вектора на ось Х будет вырисовывать функцию косинуса, а проекция на ось Y – функцию синуса. То есть, если этот наш радиус-вектор делает за секунду, например, 50 оборотов (то есть вращается с частотой 50 Гц), то это значит, что его проекция на ось Х формирует функцию

а его проекция на ось Y – вырисовывает функцию

Довольно интересный факт на мой взгляд. И вообще тригонометрический круг – любопытная штука. Рекомендую познакомиться с ним поближе, погуглив на эту тему. Он позволяет многое лучше понять. Мы же сейчас рассмотрели только немногие из фич, которые нам будут нужны. Сейчас давайте пока временно оставим этот факт и поговорим непосредственно про комплексные числа.

Итак, господа, комплексное число – это выражение вида

a – это действительная часть комплексного числа z.

b – это мнимая часть комплексного числа z.

На самом деле в серьезных книжках по математике комплексное число определяют несколько по-другому, однако нас вполне устроит и такой вариант.

По-научному – это алгебраическая форма записи комплексного числа. Есть еще и другие, с ними познакомимся чуть позже.

а и b – это обычные числа, к которым мы с вами все привыкли. Например, 42, 18, -94, 100500, 1.87 ну и так далее. То есть абсолютно любые. Например, могут иметь место вот такие записи

А число j – это так называемая мнимая единица. Часто ее обозначают не j, а i, но i – это обычно ток в электротехнике, поэтому мы будем использовать буковку j. Что это такое? Формально, это можно записать так

Немного не понятно, как это может быть корень из отрицательного числа . Все мы с детства привыкли, что под корнем у нас только лишь положительные числа. Но математики ввели вот такую вот абстракцию, которая позволяет извлечь корень и из отрицательных чисел. И, как ни странно, подобная абстракция неплохо помогает описывать вполне себе реальные, а вовсе никакие не абстрактные процессы в электротехнике.

То есть мы видим, что комплексное число само по себе как бы просто состоит из двух самых обычных чисел. Да, перед втором стоит некоторое мифическое j, но сути дела это не меняет.

Давайте теперь познакомимся с графическим представление комплексных чисел.

Господа, взгляните на рисунок 2. Там как раз-таки это представление и изображено.

Рисунок 2 – Комплексная плоскость

Итак, в чем здесь, собственно, фишка? А фишка в том, что мы берем и рисуем систему координат. В ней мы ось Х обзываем Re, а ось Y – Im. Re – это ось действительных чисел, а Im – это ось мнимых чисел. Теперь на оси Re мы откладываем величину a, а на оси Im – величину b нашего комплексного числа z. В итоге мы получаем точку на комплексной плоскости с координатами (а, b). И теперь можно провести радиус вектор из начала координат в эту точку. Собственно, этот вектор и можно считать комплексным числом.

Интересный факт: давайте представим, что b равно 0. Тогда получается, что комплексное число вырождается в самое обыкновенно, «одномерное»: мнимая часть просто обнуляется. И, естественно, вектор в этом случае будет лежать на оси Re. То есть, можно сказать, что все числа, которые нас окружают в обычной жизни, находятся на оси Re, а комплексное число – это выход за пределы этой оси, в некотором роде расширение границ. Ну да не будем углубляться в это .

Давайте лучше углубимся в другое. А именно в то, как еще можно представить комплексные числа. Только что мы пришли к выводу, что комплексное число – по сути это вектор. А вектор можно характеризовать длинной и углом наклона, например, к оси Х. Действительно, эти два параметра полностью определяют любой вектор при условии, что у нас двумерное пространство, само собой. Для объема или какого-нибудь многомерного пространства (ужас какой) это не верно, а для двумерного – это так. Давайте теперь выразим сказанное математически. Итак, давайте теперь исходить из того, что нам известна длина вектора (обзовем ее |z|) и угол φ₁.

Что мы можем найти, исходя из этих знаний? Да вообще говоря, довольно много. По сути нам известна гипотенуза прямоугольного треугольника и один из его углов, то есть, согласно каким-то там теоремам геометрии, прямоугольный треугольник полностью определен. Поэтому давайте найдем его катеты а и b:

А теперь, господа, можно сделать небольшой финт ушами? Помните алгебраическую запись комплексного числа? Ну, вот эту

Давайте-ка подставим сюда a и b, представленные через синусы с косинусами. Получим

Мы получили интересное выражение. Выражение вида

называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Она хороша, если нам известна длина нашего вектора |z| и угол его наклона φ₁. Когда речь пойдет об электротехнике, длина вектора внезапно превратится в амлитуду сиганала, а угол наклона – в фазу сигнала. Кстати, обратите внимание, что тригонометрическая форма записи комплексного числа чем-то близка к тригонометрическому кругу, который мы нарисовали в начале статьи. Но к этому сходству мы вернемся чуть позже.

Господа, теперь нам осталось познакомиться с последней формой записи комплексного числа – показательной. Для этого необходимо знать так называемую формулу Эйлера. С вашего позволения я не буду затрагивать вывод этой формулы и рассматривать, откуда она взялась. Это немного выходит за рамки статьи и, к тому же, есть много источников, где, вне всякого сомнения, вам расскажут про вывод этой формулы гораздо более профессионально, чем это смогу сделать я. Мы же просто приведем готовый результат. Итак, формула Эйлера имеет вид

где е – это экспонента или, как ее еще называют, показательная функция. Для математиков это некоторый предел при стремлении чего-то там к бесконечности, а если по-простому – обычное число

Да, просто две целых и семь десятых .

А теперь сравните формулу Эйлера и тригонометрической записью комплексного числа. Не замечаете интереснейшего сходства? Скрестив эти два выражения, можно получить как раз-таки показательную форму записи комплексного числа:

Как ни странно, эта мудреная запись используется в электротехнике не так уж и редко.

Итак, мы познакомились с основными вариантами записи комплексных числе. Теперь давайте постепенно продвигаться к нашей любимой электротехнике. Запишем закон изменения косинусоидального напряжения.

Мы уже записывали этот закон неоднократно, например, в самой первой статье, посвященной переменному току. Правда, там был синус, а здесь косинус, но это абсолютно ничего не меняет по сути, просто тут косинус немного удобнее для объяснения.

А сейчас внимание, господа. Очень хитрая последовательность действий.

Во-первых, никто нам не мешает рассмотреть косинус, который стоит в этом выражении, на тригонометрическом круге, который мы чертили на рисунке 1 в самом начале статьи. А что? Почему нет? Будем представлять себе, что некоторый вектор Á_m, равный амплитуде нашего косинусоидального напряжения, вращается в прямоугольной системе координат с круговой частотой ω. И тогда в силу выше изложенных обстоятельств его проекция на оси Х будет вырисовывать как раз наш закон v(t). Вроде бы никакого подвоха пока нет.

Смотрим дальше. На оси Х проекция рисует нашу функцию времени, а ось Y пока что вообще не при делах. А что б она просто так не простаивала – давайте-ка считать, что это не просто абы какая ось Y, а ось мнимых чисел. То есть мы сейчас вводим то самое комплексное пространство. В этом пространстве при вращении вектора Á_m (вектора обычно обозначаются буквой с точкой или стрелочкой сверху) в то время как его проекция на оси Х рисует косинус, на оси Y у нас будет рисоваться функция синуса. Вся фишка в том, что мы сейчас как бы скрещиваем тригонометрический круг с комплексной плоскостью. И в результате получаем что-то типа того, что показано на рисунке 3 (картинка кликабельна).

Рисунок 3 – Представление напряжения на комплексной плоскости

Что мы на нем видим? Собственно, то, о чем только что говорили. Вектор, равный по длине амплитуде нашего напряжения, вращается в системе координат, на оси Х (которая Re) вырисовывается закон косинуса (он полностью совпадает нашим сигналом v(t)). А на оси Y (которая Im) вырисовывается закон синуса. Итого на основе вышесказанного наш исходный сигнал

мы можем представить в тригонометрической форме вот так

или в показательной форме вот так

Давайте представим теперь, что у нас не косинусоидальный сигнал, а синусоидальный. К нему мы как-то больше привыкли. То есть, пусть напряжение изменяется вот по такому закону

Проведем все рассуждения аналогичным образом. Единственное отличие будет в том, что теперь наш сигнал «рисуется» на мнимой оси Im, а ось Re как бы не при делах. Но вводя комплексное пространство, мы внезапно получаем, что комплексная запись сигнала для данного случая точно такая же, как и для случая косинуса. То есть и для сигнала

мы можем записать комплексное представление в тригонометрической форме вот так

или в показательной форме вот так

Выходит, что комплексное представление для случая синусоидального и косинусоидального сигнала имеет один и тот же вид. Кстати, это довольно очевидно, если вспомнить, что при вращении вектора по окружности и синус и косинус вырисовываются одновременно на разных осях. А само комплексное число описывает именно этот вращающийся вектор и, таким образом, содержит в себе инфу как про ось Х, так и про ось Y.

Давайте теперь пойдем от обратного и представим, что у нас есть запись некоторого комплексного сигнала в виде

Или, например, в таком виде

Как понять – что он описывает: синус или косинус? Ответ – да никак. Он описывает и то, и то одновременно. И если мы имеем косинусоидальный сигнал, то мы должны взять действительную часть этого комплексного сигнала, а если синусоидальный – мнимую. То есть для случая косинуса это выглядит как-то так:

или так

А для случая синуса это выглядит вот так

или так

Здесь Re() и Im() – функции взятия действительной или мнимой части комплексного числа. Кстати, они определены во многих математических САПРах и их можно прям вот в таком виде использовать. То есть передавать им комплексное число, а на выходе получать дейтсвительную или мнимую часть.

Возможно, вы спросите: а зачем так все усложнять? Какая с этого выгода? В чем профит? Профит, безусловно, есть, но о нем мы поговорим чуть позже, в следующих статьях. На сегодня пока все, господа. Спсибо что прочитали и пока!

Вступайте в нашу группу Вконтакте

Вопросы и предложения админу: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.

Применение комплексных чисел для расчета цепей переменного тока Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Подобные задачи, с одной стороны, могут предлагаться на занятиях по линейной алгебре для выработки умений оперировать с матрицами, а с другой, иллюстрируют приложение матричной алгебры в экономике. Задачи такого типа относят к профессионально ориентированным. Они повышают интерес к предмету, создают условия для внутренней мотивации, значительно повышают эффективность процесса обучения.

Одним из условий реализации прикладной направленности матричной алгебры, в частности, и обучения, в общем смысле, является использование межпредметных связей. Установление межпредметных связей общеобразовательных и специальных дисциплин способствует повышению качества профессиональной подготовки будущего специалиста, актуализации знаний и умений [1, с. 65]. «Перенос пропедевтического знания из той дисциплины, где оно было сформировано, на предмет изучения другой дисциплины является условием синтеза субъективно нового знания» [2, с. 290].

Решая такие сюжетные задачи, у обучающихся не будет складываться впечатление, что они изучают некие абстрактные теории, которые им не понадобятся, у них возникает ощущение приобретения реальных трудовых навыков.

Список литературы:

1. Белых О.Н. Межпредметная интеграция как один из принципов проектирования содержания политехнической подготовки будущего учителя сельской малокомплектной школы [Текст] / О.Н. Белых // Вестник Поморского университета. Серия «Физиологические и психолого-педагогические науки». — 2007. — № 3. — С. 63-66.

2. Белых О.Н. Межпредметная интеграция как условие повышения качества политехнической подготовки будущего учителя физики и математики сельской малокомплектной школы [Текст] / О.Н. Белых // Сибирский педагогический журнал. — 2007. — № 6. — С. 286-290.

3. Васильева Е.Г., Инхеева Л.И., Улымжиев М.Д. Применение линейной алгебры в экономике: методическое пособие. — Улан-Удэ, 2004. — 22 с.

ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ ДЛЯ РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Дальневосточный федеральный университет, г. Владивосток

В данной работе рассматривается применение комплексных чисел при расчете цепей переменного тока, рассмотрена теоретическая часть, разобран пример.

* Кафедра Электроэнергетики и электротехники. Научный руководитель: Дмух Г.Ю., доцент кафедры Алгебры, геометрии и анализа к.п.н.

Ключевые слова: прямоугольная система координат, полярная система координат, ток, напряжение, сопротивление, закон Ома, законы Кирхгофа.

Для расчета цепей переменного тока используется представление мгновенных значений токов, напряжений, ЭДС в виде векторов.

Между мгновенным значением и векторным представлением синусоидальной величины существует взаимооднозначное соответствие — вектор несет информацию о действующем значении величины (длина вектора) и начальной фазе (угол поворота вектора относительного положительного направления горизонтальной оси). Т.е. вектор с точки зрения информации о параметрах синусоидальной величины является комплексом, совокупностью двух параметров.

Для графического изображения такого рода величин в математике существует комплексная плоскость, на которой вектор может быть представлен двумя способами: в полярной и прямоугольной системе координат.

Рассмотрим представление некой синусоидальной величины в комплексной форме:

Комплексное число можно представить на координатной плоскости в прямоугольной и полярной системах координат.

В электротехнике принято обозначать комплексную единицу буквой

Комплексы синусоидально изменяющихся величин обозначается: А, а величин, не зависящих от времени: А.

Представление комплексного числа в прямоугольной системе координат:

А = Ат$т(®1 + у).

J — ось мнимых чисел

А»

А’ +1 — ось действительных чисел

Рис. 1

А = А’ + ]А» — комплексное число представлено в алгебраической форме, где А’ — проекция на ось действительных чисел, А» — проекция на ось мнимых чисел.

Представление комплексного числа в полярной системе координат:

А = Ае!¥ — комплексное число представлено в показательной форме, где А — модуль комплексного числа (соответствует длине вектора),

у — аргумент комплексного числа (соответствует повороту вектора относительно положительного направления оси действительных чисел).

Разные формы записи комплексного числа используются для выполнения различных действий.

Для сложения и вычитания используется алгебраическая форма записи комплексного числа, а для умножения, деления и возведения в степень -показательная.

При вычислениях будет необходимо переходить из одной формы записи комплексного числа в другую:

А’ = А ■ соБу А» = А ■ Бту, А = Аеф = А ■ соБу+А ■ ] ■ =А’ + ¡А»,

А = у](А)2 + (А»)2, Т = агЩ —.

А»

Существует также третья, неосновная форма записи комплексного числа — тригонометрическая: А = А ■ соБу + А ■ ] ■ Бшу. Она чаще всего используется для перехода из одной формы в другую.

Основные характеристики электрических цепей переменного тока в комплексной форме.

1. Ток в комплексной форме.

Комплексом действующего значения синусоидального тока (комплексом тока) является величина, модуль которой равен действующему значению тока, а аргумент начальной фазе.

г = + у)

Т — 1т

I = 1е*

2. Напряжение в комплексной форме.

Комплексом действующего значения синусоидального напряжения (комплексом напряжения) является величина, модуль которой равен действующему значению, а аргумент начальной фазе.

и = ит$,т(Ш + *

и = Чт

и = ие*

3. Сопротивление в комплексной форме.

Для вывода сопротивления можно воспользоваться законом Ома — комплексная величина равная отношению комплексного напряжения к комплексному току называется комплексным сопротивлением:

2 = Ч = Ч* = Ч,.* *) =

— I 1е* I

Рис. 3

где 2 — модуль комплексного сопротивления, равен полному сопротивлению, р = *и — * — аргумент комплексного сопротивления, равен разности фаз между напряжением и током.

2′ = Я — проекция на ось действительных чисел равна активному сопротивлению, 2″ = X — проекция на ось мнимых чисел равна реактивному сопротивлению.

г=г’ + ¡г»=я + ¡х

4. Частные случаи комплексного сопротивления. 1. Цепь с активным сопротивлением (Я):

г=и = г’ + ¡г» = яе0″=я + j • о=я.

2. Цепь с идеальной катушкой индуктивности (X):

г=г’ = г’ + ¡г»=х’ = о + ¡хь = х

3. Цепь с идеальным конденсатором (С):

г = г’ = г’ + ¡г»=хСе»90Р = о — ¡хс = -¡хс.

4. Цепь с реальной катушкой индуктивности (ЯХ):

г = г’ = г’ + ¡г» = г’=я + х

где 2 = у[яГ+х1.

5. Цепь с реальным конденсатором (ЯС):

г=ге^ = г’ + ¡г» = 2е],р=я — х,

где 2 = .

5. Проводимость в комплексной форме. Проводимость — это величина обратная сопротивлению:

Рис. 4

где У — модуль комплексной проводимости, равен полной проводимости, -р = щ — щи — аргумент комплексной проводимости.

У’ = О — проекция на ось действительных чисел равна активной проводимости.

-У» = -В — проекция на ось мнимых чисел равна реактивной проводимости.

У = У’ — ¡У» = О — ¡В 6. Мощность в комплексной форме.

5 = Б’ + ¡Б» = Р + д = 8-р

Б’ = Р +1 Рис. 5

где 8 — модуль комплексной мощности, равен полной мощности, р — аргумент комплексной мощности, равен углу сдвига фаз между током и напряжением: р= щи — щ.

5″ = Р — проекция на ось действительных чисел, равна активной мощности.

Б» = Q — проекция на ось мнимых чисел, равна реактивной мощности.

Комплексная мощность — это произведение комплексного напряжения на комплексный ток.

1. Если щи ф 0, щ = 0 ^ р = щи — щ = р = щи — 0 = щи, то комплексную мощность можно рассчитать, используя комплексное напряжение и комплексный ток.

£ = и ■ I = иещ ■ У0 = ШеЛщ-0) = Бещ

2. Если щи ф 0, щ ф 0 ^ р = щи — щ, тогда для определения комплексной мощности используют сопряженный комплекс тока: I = !езщ (см. рис. 6).

я=и ■ I = иещ ■ = те{щщ = Бер

)

Рис. 6

Законы Кирхгофа в комплексной форме. Первый закон Кирхгофа.

Алгебраическая сумма комплексных токов в узле равна нулю.

Ък = 0.

Рис. 7

к=1

Для составления уравнения по первому закону Кирхгофа нужно выбрать условно-положительное направление токов.

I — ¡1 — ¡2 — ¡3 = 0 или I = ¡1 + ¡2 + ¡3.

В комплексной форме:

1 — 11 — 12 — 13 = 0 или 1 = 11 + 12 + 13.

Второй закон Кирхгофа.

В контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексов Э.Д.С. источников равна алгебраической сумме комплексов падений напряжения:

п т

Е ик=Ее* ■

к=1 я=1

Рис. 8

Для данной схемы:

Я1 + ис + иЬ + Я2 = е1 — е2 В комплексной форме:

Щ + 1(-Хс) + Щь + 1Я2 = ¿1 — Ё2

Рассмотрим пример:

В цепи последовательного соединения с активно-индуктивным сопротивлением (рис. 9) определить /(/), иЯ(/), иЬ(/), если известно: Я = 5 Ом, Ь = 5 мГн, а = 103 с-1 и и(0 = 50Бт( а/ + 45°).

Решение:

По закону Ома:

• Ú 25>/2e

j 45

1 = Ú= 25у,2~ =5eJ0 A.

— J 45

Z 5\fle Следовательно, искомый ток:

i(t) = 5y¡2 sin o)t A. Напряжение на резисторе:

Ú= i ■ R = 25 B, = 2^V2sinoí B. Комплексное сопротивление на индуктивном элементе: I = jXL = j = j5 = 5j Ом, значит, напряжение на нем:

ÚL =i ■ Zl = 25ej90 B, m¿ =25-j2sin{rnt + 90o) B.

Проверим правильность расчетов по векторной диаграмме:

Рис. 10

По второму закону Киргофа:

UR +ÚL-Ú = 0 ^ Ú =UR + UL.

Список литературы:

1. Голубев А.Н. Лекция по ТОЭ № 3 — Представление синусоидальных величин с помощью векторов и комплексных чисел.

2. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи: учеб. пособ. — 7-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2009. — 592 с.: ил.

3. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей: учебник для вузов. — М.: Радио и связь, 1986. — 544 с.: ил.

ЭВОЛЮЦИЯ ГИБРИДНОГО АЛГОРИТМА СЖАТИЯ ДИСКРЕТНО-ТОНОВОЙ ГРАФИКИ

Национальный исследовательский Томский государственный университет, Томск

Представлен гибридный алгоритм сжатия без потерь информации. Описана последовательность качественных изменений гибридного алгоритма, приводивших к увеличению степени сжатия.

Ключевые слова: дискретно-тоновая графика, сжатие изображений, сжатие без потерь.

Введение

В соответствии с классификацией изображений, приведённой в [1], выделяют, в частности:

1. Цветное изображение с непрерывным тоном. Этот тип изображений может иметь много похожих цветов, причём цвета обычно сменяются плавно, без резких переходов. Изображения с непрерывным тоном являются природными (естественными).

2. Цветное дискретно-тоновое (синтетическое) изображение. Обычно это изображение получается искусственным путём. Количество цветов в нём может в значительной степени варьироваться, но в нём нет шумов и пятен естественного происхождения. Примерами таких изображений могут служить страницы текста, карты, рисунки. Искусственные объекты, тексты имеют чёткую форму, хорошо определяемые границы.

Дискретно-тоновые изображения в значительной степени отличаются от непрерывно-тоновых. Дискретно-тоновые изображения требуется сжимать с минимальным уровнем потерь информации, а лучше — вообще без потерь, так как даже небольшой процент потерь может привести к значительному визуальному ухудшению качества изображения.

Автором был разработан гибридный алгоритм — быстрый алгоритм сжатия дискретно-тоновых изображений без потерь информации. С течением вре-

* Аспирант кафедры Теоретических основ информатики. Научный руководитель: Лавров В.А., доцент кафедры Теоретических основ информатики, кандидат технических наук, доцент.

План-конспект урока по теме: Применение комплексных чисел для расчета цепей переменного тока

Применение комплексных чисел для расчета цепей переменного тока.

Между мгновенным значением и векторным представлением синусоидальной величины существует взаимооднозначное соответствие – вектор несет информацию о действующем значении величины (длина вектора) и начальной фазе (угол поворота вектора относительного положительного направления горизонтальной оси). Т.е. вектор с точки зрения информации о параметрах синусоидальной величины является комплексом, совокупностью двух параметров.

Для графического изображения такого рода величин в математике существует комплексная плоскость.

Вектор на комплексной плоскости может быть представлен двумя способами: в полярной и прямоугольной системе координат.

Рассмотрим представление некой синусоидальной величины в комплексной форме —

а=Аm sin(ωt+ψ)

Комплексное число можно представить на координатной плоскости двумя способами:

В прямоугольной системе координат,

В полярной системе координат.

В электротехнике принято обозначать комплексную единицу буквой j=.

Комплексы синусоидально изменяющихся величин обозначается -, а величин, не зависящих от времени — .

Представление комплексного числа в прямоугольной системе координат

+j- ось мнимых чисел

А’’

А’

+1- ось действительных чисел

=А’+jА’’- комплексное число представлено в алгебраической форме,

где А’- проекция на ось действительных чисел,

А’’- проекция на ось мнимых чисел.

Представление комплексного числа в полярной системе координат

=А- комплексное число представлено в показательной форме,

где А- модуль комплексного числа (соответствует длине вектора),

ψ – аргумент комплексного числа (соответствует повороту вектора относительно положительного направления оси действительных чисел).

Разные формы записи комплексного числа используются для выполнения различных действий:

Для сложения и вычитания используется алгебраическая форма записи комплексного числа, а для умножения, деления и возведения в степень – показательная.

При вычислениях будет необходимо переходить из одной формы записи комплексного числа в другую:

А’= А∙cosψ, А’’= А∙sinψ

=А=А∙cosψ+А∙j∙sinψ = А’+jА’’

=, Ψ=arctg

Существует также третья, неосновная форма записи комплексного числа – тригонометрическая: А∙cosψ+А∙j∙sinψ. Она чаще всего используется для перехода из одной формы в другую.

Основные характеристики электрических цепей переменного тока в комплексной форме.

Ток в комплексной форме.

i=Im sin(ωt+ψi)

I=0,707Im

Напряжение в комплексной форме.

u=Um sin(ωt+ψu)

U=0,707Um

Сопротивление в комплексной форме.

Для вывода сопротивления можно воспользоваться законом Ома – комплексная величина равная отношению комплексного напряжения к комплексному току называется комплексным сопротивлением:

где Z — модуль комплексного сопротивления, равен полному сопротивлению,

φ = ψu — ψi – аргумент комплексного сопротивления, равен разности фаз между напряжением и током.

Z’=R – проекция на ось действительных чисел равна активному сопротивлению,

Z’’=X – проекция на ось мнимых чисел равна реактивному сопротивлению.

Z’’=jX

Z’=R

Частные случаи комплексного сопротивления.

Цепь с активным сопротивлением (R):

Цепь с идеальной катушкой индуктивности(L):

Цепь с идеальным конденсатором(C):

Цепь с реальной катушкой индуктивности (RL):

Цепь с реальным конденсатором (RC):

Проводимость в комплексной форме.

Проводимость – это величина обратная сопротивлению:

где Y — модуль комплексной проводимости, равен полной проводимости,

-φ = ψi — ψu – аргумент комплексной проводимости.

Y’=G

-Y’’=-jB

Y’=G – проекция на ось действительных чисел равна активной проводимости,

-Y’’=-B – проекция на ось мнимых чисел равна реактивной проводимости.

Мощность в комплексной форме.

Из треугольника мощностей получим:

S’=P

S’’=jQ

где:

S – модуль комплексной мощности, равен полной мощности,

f – аргумент комплексной мощности, равен углу сдвига фаз между током и напряжением:

φ = ψu — ψi

S’=P – проекция на ось действительных чисел, равна активной мощности,

S’’=Q – проекция на ось мнимых чисел, равна реактивной мощности.

Комплексная мощность – это произведение комплексного напряжения на комплексный ток.

А. Если ψu≠0, ψi=0 (φ = ψu – ψi= ψu-0= ψu), то комплексную мощность можно рассчитать используя комплексное напряжение и комплексный ток.

В. Если ψu≠0, ψi≠0 (φ = ψu – ψi), тогда для определения комплексной мощности используют сопряженный комплекс тока (это такой комплекс тока у которого отрицательная начальная фаза )

-f

Основные законы электрических цепей в комплексной форме.

Закон Ома.

Законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа.

Алгебраическая сумма комплексных токов в узле равна нулю.

составления уравнения по первому закону Кирхгофа нужно выбрать условно-положительное направление токов.

i-i1-i2-i3=0 или i=i1+i2+i3

в комплексной форме:

Второй закон Кирхгофа.

Для данной схемы:

iR1+uc+uL+iR2=e1-e2

в комплексной форме:

Оглавление

Применение комплексных чисел для расчета цепей переменного тока.

Представление комплексного числа в прямоугольной системе координат

Представление комплексного числа в полярной системе координат

Основные характеристики электрических цепей переменного тока в комплексной форме.

1. Ток в комплексной форме.

2. Напряжение в комплексной форме.

3. Сопротивление в комплексной форме.

4. Частные случаи комплексного сопротивления.

5. Проводимость в комплексной форме.

6. Мощность в комплексной форме.

Основные законы электрических цепей в комплексной форме.

Презентация по высшей математике на тему «Применение комплексных чисел в электротехнических расчетах» (Для студентов технических специальностей)

Инфоурок
›

Алгебра
›Презентации›Презентация по высшей математике на тему «Применение комплексных чисел в электротехнических расчетах» (Для студентов технических специальностей)

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ Истинное знание достигается не размышлением. Оно есть то, чем вы являетесь; оно есть то, чем вы становитесь. Шри Ауробиндо. «Путешествие сознания»

2 слайд

Описание слайда:

“АЛГЕБРАИСТЫ”

3 слайд

Описание слайда:

(а+bi) =(a+c) + (c+di) (b+d) + i (а+bi) — (c+di) =(a-c) + (b-d) i

4 слайд

Описание слайда:

(c+dj) = ac bс j = + + + аd bdj (а+bj) j = = (ac-bd) + (аd+bc) j 2

5 слайд

Описание слайда:

= = =

6 слайд

Описание слайда:

Проблемные вопросы Может ли одно комплексное число быть больше другого? Произведение каких комплексных чисел является действительным числом?

7 слайд

Описание слайда:

Вопрос 1 Найти противоположные числа к данным: –2+3j; 0,2 – j; –1 – 5j; 3 + j.

8 слайд

Описание слайда:

Вопрос 2 Найти числа, сопряженные к данным: –5 – 3j; – j ; –0,5 + j; 10; -4j.

9 слайд

Описание слайда:

Вопрос 3 Найти неизвестные: –2 +5jx – 8jy = =11j + 6x – 2y.

10 слайд

Описание слайда:

Вопрос 4 Упростить:

11 слайд

Описание слайда:

ТРИГОНОМЕТРИСТЫ Z=ρ(COSψ+jSINψ)

12 слайд

Описание слайда:

13 слайд

Описание слайда:

Проблемный вопрос Чем отличаются модуль и аргумент сопряженных комплексных чисел? Отличаются ли они у противоположных комплексных чисел?

14 слайд

Описание слайда:

Вопрос 1 Какое геометрическое истолкование модуля КЧ? Что такое аргумент? Для какого числа не существует аргумента?

15 слайд

Описание слайда:

ВОПРОС 2 Где на комплексной плоскости находятся точки, изображающие комплексные числа с аргументами

16 слайд

Описание слайда:

ВОПРОС 3 ИЗОБРАЗИТЬ на комплексной плоскости решения уравнения:

17 слайд

Описание слайда:

Вопрос 4 Записать результат произведения в алгебраической форме :

18 слайд

Описание слайда:

ЭЙЛЕРИСТЫ

19 слайд

Описание слайда:

20 слайд

Описание слайда:

ПРОБЛЕМНЫЙ ВОПРОС Чему равен косинус и синус мнимой единицы?

21 слайд

Описание слайда:

ВОПРОС 1 Выполнить действие, результат представить в показательной форме

22 слайд

Описание слайда:

ВОПРОС 2 Представьте в алгебраической форме

23 слайд

Описание слайда:

ВОПРОС 3 Выполнить действие в показательной форме:

24 слайд

Описание слайда:

ЗАДАЧА 1 Дан комплекс тока: Написать гармоническое уравнение тока.

25 слайд

Описание слайда:

ЗАДАЧА 2 Найти суммарное напряжение, если генераторы , подающие напряжение, соединены последовательно:

26 слайд

Описание слайда:

ЗАДАЧА 3 Записать полное сопротивление цепи которое состоит из активного r и индуктивного сопротивлений, в тригонометрической и показательной формах, если r = 3 Ом, L = 0,0127 Гн, частота f = 50 Гц.

27 слайд

Описание слайда:

ЗАДАЧА 4 При каком значении х комплексные числа будут сопряженными друг другу:

28 слайд

Описание слайда:

Выберите правильные ответы:

29 слайд

Описание слайда:

Домашнее задание

30 слайд

Описание слайда:

ПОЗДРАВЛЯЕМ ПОБЕДИТЕЛЕЙ!!!

Курс повышения квалификации

Курс профессиональной переподготовки

Учитель математики и информатики

Курс профессиональной переподготовки

Учитель математики

Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Выберите категорию:
Все категорииАлгебраАнглийский языкАстрономияБиологияВнеурочная деятельностьВсеобщая историяГеографияГеометрияДиректору, завучуДоп. образованиеДошкольное образованиеЕстествознаниеИЗО, МХКИностранные языкиИнформатикаИстория РоссииКлассному руководителюКоррекционное обучениеЛитератураЛитературное чтениеЛогопедия, ДефектологияМатематикаМузыкаНачальные классыНемецкий языкОБЖОбществознаниеОкружающий мирПриродоведениеРелигиоведениеРодная литератураРодной языкРусский языкСоциальному педагогуТехнологияУкраинский языкФизикаФизическая культураФилософияФранцузский языкХимияЧерчениеШкольному психологуЭкологияДругое

Выберите класс:
Все классыДошкольники1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 класс

Выберите учебник:
Все учебники

Выберите тему:
Все темы

также Вы можете выбрать тип материала:

Краткое описание документа:

Данная презентация разработана для обобщающего занятия по высшей математике на тему «Применение комплексных чисел в электротехнических расчетах» и предназначена для демонстрации материала по изучаемой теме для студентов колледжей технических специальностей.

Занятие проходит в форме семинара-практикума с элементами конкурса. Слайды располагаются в порядке выступления групп, на которые разбиваются студенты для защиты выбранной формы комплексного числа. Каждая группа предлагает решить проблемные вопросы, а также задачи для групп-соперников. После блиц-опроса рассматриваются задачи проблемного характера.

Общая информация

Номер материала:

ДБ-1451382

Оставьте свой комментарий

Применение комплексных чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

9. Полат Е.С. Новые педагогические и информационные технологии в системе образования. — М., 2000.

10. Полат Е.С. Типология телекоммуникационных проектов // Наука и школа. — 1997. — № 4.

Дальневосточный федеральный университет, г. Владивосток

В данной статье рассматривается понятие комплексных чисел, их применение в электротехнике и механике. Рассмотрена теоретическая часть, приведен и разобран пример.

Ключевые слова комплексные числа, применение, электротехника, закон Ома, закон Кирхгофа, механика.

Во время прохождения курса высшей математики мы часто сталкиваемся с таким понятием как комплексные числа. Но что же это такое и где они применяются? В данной статье попробуем найти ответ на этот вопрос.

В давние времена ученые столкнулись с такой вещью как мнимая единица

I = лЛ, это случилось когда стало недоставать действительного числа, при решении, казалось бы, простого квадратного уравнения х2 + рх + д = 0, где «р» и «д» являются числами действительными. На первый взгляд это уравнение довольно таки простое, но при его решении, т.е. вычислении его корней по всем известным в те времена формулам, ученые до века XVI сталкивались с проблемой отрицательного корня. При всем этом, не кому не удавалось объяснить есть ли смысл придавать значение данному выражению, и поэтому решили, что корень из числа отрицательного смысла не имеет. И по сей день при прохождении школьной программы, которая не дает представление о комплексных числах, принято говорить, что при отрицательном корне, решением является ни положительное, ни отрицательное числа и даже ни нуль.

Но вскоре, уже при решении кубического уравнения отказываться от отрицательного значения корня было нельзя. Более 400 лет тому назад несколько итальянских математиков все таки нашли способ как можно решить уравнения третей степени. Одним из тех математиков был Джироламо Кар-дано, в его честь и назван этот способ, изложил способ в 1543 году в своем учебнике. Этот способ сводится к тому, что корни уравнения X + рх + д = 0

* Кафедра Электроэнергетики и электротехники. Научный руководитель: Дмух Г.Ю., доцент кафедры Алгебры, геометрии и анализа, к.п.н.

могут быть вычислены по формуле, так же названной в его честь формулой Кардано:

Все было довольно просто, если бы не одно «но», а именно, что при наличии в решении трех различных действительных корней формула не может дать желаемого результата. Это можно доказать на простом примере: корнями уравнения X — х = 0 являются числа 0, 1, -1,но если попытаться решить данное уравнение вышеизложенным методом, то мы получим следую-

щее: х = , но же нужно сделать, чтобы извлечь из этого

выражения три необходимых нам корня?

После этого математики взялись за данную проблему и приступили к изучению так называемых мнимых чисел. После их изучения было обнаружен весьма приятный факт: многие сложные задачи математик решаются в разы проще, если при их решении применять мнимые числа. Впоследствии К.Ф.Гаусс внес предложение называть мнимые числа комплексными, что впоследствии стало привычным делом.

Даже Ф. Энгельс говорил: «И все же ¿Г является во многих случаях необходимым результатом правильных математических операций, более того, что было бы с математикой, как низшей, так и высшей, если бы ей было запрещено оперировать с ^¡-Т».

Теперь, когда мы знаем что такое комплексные числа, мы можем разобрать их применение в различных дисциплинах.

Начнем с того как применяются комплексные числа в электротехнике.

Описание электромагнитных процессов в цепях переменного тока сводится к решению множества интегралов, а решение их становится столь сложным, что взять их не под силу даже опытным математикам. При расчете простых цепей, которые содержат достаточно небольшое число источников, контуров, индуктивных связей, чаще всего используется тригонометрический метод решения, но с усложнением электрической цепи данная форма расчета является весьма сложной для нахождения результата. В этой ситуации на помощь приходят комплексные числа.

Комплексное число — это число вида 2 = х + /у, где х, у — действительные числа, /-мнимая единица. Изображается на комплексной плоскости точкой, где ось абсцисс — действительная, ось ординат — мнимая.

Комплексные числа могут быть записаны в двух формах: алгебраической и показательной — 2 = х + Iу и 2 = ге’^соответственно. Для перехода из

П-2 У

одной формы в другую пользуются формулами: г = у х + у , ф = arctg—,

где г — модуль комплексного числа, ф — аргумент.

Рассмотрим на примере применение комплексного метода в электротехнике. Для этого решим задачу по нахождению тока, в цепи с последовательным соединением, в общем виде.

Последовательное соединение элементов Я, Ь, С.

I С Ь ^ _I I_ГЛ__

Рис. 1. Схема последовательного соединения элементов электрической цепи

В данной ситуации заданными для нас параметрами являются Я, Ь, С и синусоидальное напряжение и = + ф) на цепи, искомой величиной

является ток / = + ф — у).

Пусть наше синусоидальное напряжение символизируется комплексной функцией иет*, а синусоидальный ток, который нам необходимо найти, комплексной функцией 1е'»; комплексные амплитуды напряжения и тока равны, соответственно и = ите*, I = . Записав уравнение Кирх-

_ Т — 1 г ,

гофа для нашей цепи, мы получим: и = ш + ь — + ^т Г —

Сложение, дифференцирование и интегрирование функций в уравнении заменяются теми же математическими операциями над мнимыми частями комплексных функций:

1т Цу- ) = Ш 1т (!те») + Ь —Ы(1е») +—{( !те» ) Л.

Операции над мнимыми частями комплексных функций могут быть заменены операциями над самими комплексными функциями с последующим выделением мнимой части полученного результата. Тогда, исходя из этого, мы получим:

1т (и е»» ) = 1т \ Ш е*» + Ь—1 е»» + — ГI е**& |.

V т ) — т с ] т j

Полученное уравнение удовлетворяется для любого момента времени. Отсюда, произведя дифференцирование и интегрирование получим:

U = RÍ + jabí i .

m m J m ■ s~i m

jaC

Вынесем ток í за скобки и введем условное обозначение полного комплексного сопротивления цепи:

Z = R + jab +—= R + j \ab —— | = R + jX

jaC ^ aC)

и получим выражение:

U = ZÍ ,

т т’

которое излагает закон Ома для комплексных амплитуд.

Разделив обе части на этого уравнения , мы получим закон Ома для комплексных действующих значений: U = ZÍ. Из этого выражения следует,

7 i

что значение комплексного сопротивления есть Z = —г.

Запишем комплексное сопротивление Z в тригонометрической и показательной формах: Z = z cosф + jz sin^ и Z = zép соответственно, где z — модуль комплексного числа Z — представляет собой полное сопротивление цепи, а р — аргумент комплексного числа Z. Найдем z и р по формулам:

z = л/R2 + X2 и ф = arctgX.

На основании закона Ома для комплексных амплитуд комплексная амплитуда тока:

j _ Um _ Um j (fi-V) Im = = e

z z

где р- v- начальная фаза тока.

Из этого следует, что искомый ток будет иметь вид:

i = Im (ím ea ) = Um sin (at + р-у). z

Вот мы и рассмотрели один и способов применения комплексных чисел. Но так же они применяются не только в электротехнике.

Разберем применение комплексных чисел в механике. Для этого решим задачу, в которой нужно найти величину и направление результирующей силы.

Условие: Сила А, / = ^45°, сила Б, /ъ = 10Z60o, сила С, /с = ^120°.

Рис. 2. Направление векторов сил

Дня начала найдем величину результирующей силы с помощью комплексного метода:

/а + /ъ + Л = ^45° + 10Z60° + 1^120° — это одна из форм записи комплексных чисел.

Отсюда результирующая сила равна:

15(00845° + ;ап45°) + 10(^60° + ;ап60°) + 15(^120° + ;ап120°) = = (10.606 + >10.606) + (5 + >8.66) + (-7.5 + >12.99) = 8.106 + >32.256

Величина результирующей силы есть ^/(8,106)2 + (32,256)2 = 33,26 Н.

( 32 25 6 ^

Направление результирующей силы будет аг^ I I = 75,90.

Таким образом, на простейшем примере, мы увидели, как помогают комплексные числа при решении задач в механике.

В заключение хотелось бы сказать, что комплексные числа в настоящее время используют для решения задач, связанных с самолетостроением и аэромеханикой, а также используются для расчета различных конструкций на прочность. Это говорит о том, что актуальность их с каждым годом возрастает. Также, с помощью комплексных чисел можно решать на первый взгляд не решаемые задачи, что мы и рассмотрели в ходе работы.

Список литературы:

1. Атабеков Г.И. Линейные электрические цепи [Текст] / М-во высш. образования СССР. Моск. ордена Ленина авиац. ин-т им. Серго Орджоникидзе. — М.: Оборонгиз, 1957. — С. 80-84: черт.; 23 см. — 20000 экз.

2. Балк М.Б., Балк Г.Д., Полухин А.А. «Реальные применения мнимых чисел». — Изд. «Радянська школа», 1988. — С. 5-16.

3. Берд Дж. Инженерная математика. Карманный справочник. — М.: До-дэка-XXI, 2008. — С. 266-269.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Дальневосточный федеральный университет, г. Владивосток

В данной статье рассматриваются гиперболические функции, их некоторые свойства, приведены примеры вычисления и разложения в ряд, решения уравнений, содержащих гиперболические функции.

Ключевые слова: гиперболические функции, гиперболические тождества, графики гиперболических функций, уравнения, содержащие гиперболические функции.

Функции, связанные с коническими сечениями — гиперболами, называются гиперболическими функциями. Область применения гиперболических функций включает теорию линий передач и цепных подвесок [1, с. 76].

По определению:

Гиперболический синус х:

shx = е е

Гиперболический косинус х:

ex + e -chx = —

Гиперболический тангенс х:

shx ex — e~

thx =’-

chx ex + e Гиперболический косеканс х:

1 2

cschx = —

shx ex -e Гиперболический секанс х:

Комплексные числа в науке и технике

Реферат на тему: комплексные
числа в науке и технике.

Для решения алгебраических
уравнений недостаточно действительных
чисел. Поэтому естественно стремление
сделать эти уравнения разрешимыми,
что в свою очередь приводит к
расширению понятия числа. Например,
для того чтобы любое уравнение
х+а = в имело корни, положительных
чисел недостаточно и поэтому
возникает потребность ввести отрицательные
числа и нуль.

Древнегреческие математики считали,
что а = с и в = а только
натуральные числа, но в практических
расчетах за два тысячелетия
до нашей эры в Древнем Египте
и Древнем Вавилоне уже применялись
дроби. Следующим важным этапом
в развитии понятия о числе
было введение отрицательных
чисел – это было сделано
китайскими математиками за 2
века до нашей эры. Отрицательные
числа применял в 3 веке нашей
эры древнегреческий математик
Диофант, знавший уже правила
действий над ними, а в 7 веке
нашей эры  эти числа подробно
изучили индийские ученые, которые
сравнивали такие числа с долгом.
С помощью отрицательных чисел
можно было единым образом
описывать изменение величин.
Уже в 8 веке нашей эры было
установлено, что квадратный корень
из положительного числа имеет
два значение — положительное и
отрицательное, а из отрицательных
чисел квадратные корни извлечь
нельзя: нет такого числа х,
чтобы  х2 = -9. В 16 веке в связи
с изучением кубических уравнений
оказалось необходимым извлекать
квадратные корни из отрицательных
чисел. В формуле для решения
кубических уравнений содержатся
кубические и квадратные корни.
Эта формула безотказно действует
в случае, когда уравнение имеет
один действительный корень (например,
для уравнения  х3+3х-4=0), а если
оно имело 3 действительных корня
(например, х3-7х+6=0),то под знаком
квадратного корня оказывалось
отрицательное число. Получалось,
что путь к этим 3 корням уравнения
ведет через невозможную операцию
извлечения квадратного корня
из отрицательного числа.

Чтобы объяснить получившийся
парадокс, итальянский алгебраист
Дж. Кардано в 1545 предложил
ввести числа новой природы.
Он показал, что система уравнений
х+у = 10, ху = 40 не имеющая решений
в   множестве    действительных
чисел,    имеет    решение
всегда х = 5   , у = 5
, нужно только условиться действовать
над такими выражениями  по
правилам обычной   алгебры
и   считать, что   = -а. Кардано
называл такие величины «чисто
отрицательными» и даже «софистически
отрицательными», считая их бесполезными
и стремился не применять их.
В самом деле, с помощью таких
чисел нельзя выразить ни результат
измерения  какой-нибудь величины,
ни изменение этой величины. Но
уже в 1572 г. вышла книга итальянского
алгебраиста Р. Бомбелли, в котором
были установлены первые правила
арифметических операций над
такими числами, вплоть до извлечения
из них кубических корней. Название
«мнимые числа» ввел в 1637г.
французский математик и философ
Р. Декарт, а в 1777г. один из
крупнейших математиков VIII века
Х. Эйлер предложил использовать
первую букву французского числа
i = (мнимой единицы), этот символ
вошел во всеобщее употребление
благодаря К. Гауссу (1831г).

В течениe 17 века продолжалось
обсуждение арифметической природы
мнимостей, возможности дать им
геометрическое истолкование. Постепенно
развивалась техника операций
над комплексными числами. На
рубеже 17-18 веков была построена
общая  теория корней   n-й
степени  сначала   из отрицательных,
а впоследствии и из любых
комплексных чисел.

В конце 18 века французский
математик Ж. Лагранж смог сказать,
что математический анализ уже
не затрудняют мнимые величины.
С помощью комплексных чисел
научились выражать решения линейных
дифференциальных уравнений с
постоянным коэффициентом. Такие
уравнения встречаются, например,
в теории колебаний   материальной
точки  в   сопротивляющейся
среде.

Я. Бернулли применил комплексные
числа для вычисления интегралов.
Хотя в течении 18 века с помощью
комплексных чисел были решены
многие вопросы, в том числе
и прикладные задачи, связанные
с картографией, гидродинамикой
и т. д., однако еще не было
строго логического обоснования
теории этих чисел. Поэтому
французский ученый П. Лаплас
считал, что результаты, получаемые
с помощью мнимых чисел, — только
наведение, приобретающие характер
настоящих истин лишь после
подтверждения прямыми доказательствами.
В конце 18- начале 19 веков было
получено геометрическое
истолкование    комплексных
чисел.      Датчанин Г.Вессель,
француз Ж. Арган и немец
К. Гаусс независимо друг от
друга предложили изображать
комплексное число z=a+bi точкой
М(а,b) на координатной плоскости.
Позднее оказалось, что еще
удобнее изображать число не
самой точкой М, а вектором
ОМ, идущим в эту точку из
начала координат. При таком
истолковании сложению и вычитанию
комплексных чисел  соответствуют
эти  же операции над векторами.

Геометрические истолкования комплексных
чисел позволили определить многие
понятия, связанные с функциями
комплексного переменного, расширило
область их применения. Стало
ясно, что комплексные числа полезны
во многих вопросах, где имеют
дело с величинами, которые изображаются
векторами на плоскости: при
изучении течения жидкости, задач
теории упругости, в теоретической
электротехнике.

комплексные числа в теории электрических цепей, Высшая математика

Пример готового реферата по предмету: Высшая математика

Введение …………………………………………………………………………. 3

Общее введение комплексных чисел в теории электрических цепей ……….. 4

Напряжение и ток ……………………………………………………………….. 6

Сопротивление и проводимость ………………………………………………… 8

Мощность ………………………………………………………………………. 10

Заключение ……………………………………………………………………… 11

Литература ……………………………………………………………………… 12

Содержание

Выдержка из текста

Только с XIX века, после выхода в свет работ Карла Фридриха Гаусса (1777-1855), комплексные числа прижились в науке.Комплексные числа – мощный инструмент для решения задач, связанных с электрическими цепями. Применение комплексных чисел дает возможность использовать законы, формулы и методы расчетов, применяющиеся в цепях постоянного тока, для расчета цепей переменного тока, упростить некоторые расчеты, заменив графическое решение с использованием векторов алгебраическим решением, рассчитывать сложные цепи, которые другим путем решить нельзя, упростить расчеты цепей постоянного и переменного токов.

Источник напряжения — идеализированный элемент электрической цепи, напряжение на зажимах которого не зависит от протекающего через него тока. Внутреннее сопротивление идеального источника напряжения равно нулю.

В своем докладе студент должен четко сформулировать поставленную перед ним задачу, произвести сравнительную оценку наиболее известных методов расчета нелинейных электрических целей и обосновать оригинальность решений, принятых в ходе выполнения курсовой работы, а также анализировать особенности функционирования электрической цепи по полученным результатам расчета.

Изначально идея о необходимости расширения представления действительного числа появилась в итоге формального решения квадратных и кубических уравнений, в которых в формулах для корней уравнения под знаком корня стояло негативное число. В будущем возникшая теория функций комплексного переменного обнаружила использование для решения многих задач во всех областях математики и физики.

PAСЧЕТ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА КОМПЛЕКСНЫМТребуется для заданной схемы в соответствии с вариантом задания произвести расчет цепи в следующем объеме: Построить графики величин, перечисленных в п.4.

Любая электрическая цепь состоит из активных и пассивных элементов. Активным называется элемент, содержащий в своей структуре источник электрической энергии.

выполнить расчет токов в ветвях электрической цепи методом, указанным в варианте задания, с проверкой правильности расчетов посредством баланса мощностей и оценкой их точности; определить режимы работы источников, имеющихся в заданной электрической цепи; рассчитать показания ваттметра, включенного в одну из ветвей электрической цепи;

Систему уравнений по законам Кирхгофа в интегрально-дифференциальном виде;Показание ваттметра в ветви 2,1;Векторную диаграмму токов и напряжений в ветви 2,1.

Список источников информации

1. Теоретические основы электротехники: Теория электрических цепей и электромагнитного поля: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / под ред. С.А. Башарина, В.В. Федорова. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 304 с.

2. Шмидт Н. М. Приложение комплексных чисел в электротехнике // Молодой ученый. — 2012. — № 2. — С. 320– 323.

список литературы

Комплексные числа в Электротехнике Урок

Транскрипция видео

Скачать PDF

Сегодня мы поговорим о комплексных числах в электротехнике. Итак, мы собираемся начать с разговора о том, как инженеры-электрики и ученые используют комплексные числа, а затем приведем несколько примеров.

Итак, давайте начнем с обзора комплексных чисел. Комплексные числа имеют форму a плюс bi, где a — действительная часть комплексного числа, b — мнимая часть комплексного числа, а i — мнимая единица.Мы определили i как равное квадратному корню из отрицательной единицы, и мы говорим, что это мнимое число. И причина, по которой мы называем это мнимым числом, заключается в том, что никакое действительное число в квадрате не может равняться отрицательному числу.

Итак, давайте начнем с рассмотрения двух тем, которые необходимы при умножении или делении комплексных чисел. Итак, первая концепция — это FOIL, которую мы будем использовать при умножении двух комплексных чисел, потому что комплексные числа являются биномами. Итак, мы будем использовать FOIL, что является аббревиатурой от умножения двух биномов вместе.ФОЛЬГА означает «Первый, Снаружи, Внутри, Последний». Итак, мы умножим наши первые два члена вместе, наши внешние два члена, наши внутренние два члена и наши последние два члена, чтобы расширить выражение.

Нам также нужно знать о конъюгатах, которые мы будем использовать при делении комплексных чисел, потому что конъюгаты используются так, что знаменатель дроби не имеет никаких мнимых чисел. А сопряжение комплексного числа или любого бинома — это просто еще один бином с противоположным знаком.Итак, плюс би и минус би являются конъюгатами друг друга.

Итак, давайте посмотрим на формулу, которая используется для представления электрических токов. Формула V равна I умножить на R, где V — напряжение, измеренное в вольтах; I — ток, измеряемый в амперах; R — сопротивление, измеренное в Ом. Поэтому при использовании этой формулы инженеры-электрики будут использовать комплексные числа. Также следует отметить, что инженеры и ученые часто используют строчную букву j для мнимого числа i, и это потому, что если они используют строчную букву i, ее можно спутать с верхней буквой I, которая в этом уравнении является текущий.Итак, если вы видите строчную букву j в этой формуле, знайте, что это мнимое число.

Итак, давайте рассмотрим пример из реальной жизни. Допустим, у меня есть электрическая схема. Сила тока составляет 2 мкА, а сопротивление — 1 минус 3 мкОм. Я хочу найти напряжение или количество вольт для этой электрической цепи. Итак, давайте начнем с использования нашей формулы: V равно I, умноженному на R. Я знаю, что хочу найти напряжение, поэтому мне нужны значения для тока и сопротивления.

Итак, я знаю, что сила тока равна 2 мкА, а сопротивление равно 1 минус 3 мкОм. Так как это два бинома, я могу использовать FOIL для умножения. Я просто проигнорирую единицы, пока умножаю. Итак, я собираюсь начать с умножения 2 на 1, что даст мне 2. 2 раза отрицательное 3j даст мне отрицательное 6j. j умножить на 1 даст мне положительный результат 1j, или просто j. И j умножить на отрицательное 3j даст мне отрицательный квадрат 3j. Умножение моих единиц, ампер на ом, даст мне вольт.

Я могу упростить это, объединив два моих средних члена. Отрицательный 6j плюс j даст мне отрицательный 5j. А затем, подставив отрицательный 1 вместо j в квадрате, у меня получится минус 3, умноженное на отрицательное 1, что совпадает с добавлением 3. Итак, наконец, я могу упростить 2 плюс 3 даст мне пять. Итак, я обнаружил, что вольт или напряжение для моей электрической цепи будет 5 минус 5 мкВ.

Итак, давайте рассмотрим другой пример. Допустим, у меня есть электрическая схема. И на этот раз я знаю, что напряжение составляет 1 плюс j вольт, и я знаю, что сопротивление равно 3 минус 2 j ома.Я хочу найти ток в амперах электрической цепи. Итак, снова я собираюсь начать с формулы, V равно I умножить на R. На этот раз я знаю, что мое напряжение равно 1 плюс j вольт. Это будет равно току, которого я не знаю, поэтому я оставлю это как I, умноженное на мое сопротивление, которое составляет 3 минус 2 Ом.

Итак, если я хочу найти ток, мне придется изолировать эту переменную, что означает, что мне нужно разделить на 3 минус 2j с обеих сторон. А теперь я вижу, что у меня дробь со комплексным числом в знаменателе.Итак, я знаю, что мне нужно будет умножить это комплексное число на сопряжение, чтобы знаменатель не был мнимым числом.

Итак, я собираюсь начать с умножения на сопряженное число 3 минус 2j, которое будет равно 3 плюс 2j, в знаменателе и числителе моей дроби. Упрощая числитель с помощью FOIL, у меня 3 умножения на 1, что дает мне 3; 3 раза j, что даст мне 3j; 2j умножить на 1, что даст мне 2j; и 2j умножить на j, что даст мне 2j в квадрате. И это в вольтах.

Тогда у меня есть знаменатель. Я также собираюсь умножить с помощью ФОЛЬГИ. 3 раза 3 даст мне 9. 3 раза минус 2j даст мне минус 6j. Положительный 2j умноженный на 3 даст мне положительный 6j. И 2j умножить на отрицательное 2j даст мне минус 4j в квадрате. И это в омах. Итак, теперь я могу упростить, объединив два моих средних члена. Это даст мне 3 плюс 5 Дж. И я знаю, что j в квадрате равно отрицательному 1. Итак, 2 раза отрицательное 1 даст мне отрицательное 2. Итак, у меня плюс отрицательный 2.

В моем числителе два моих средних члена будут отменены, так что у меня останется 9 минус 4j в квадрате.Опять же, я знаю, что j в квадрате равно отрицательному 1, поэтому у меня минус 4, умноженный на отрицательный 1, что просто отрицательное 4. Итак, в моем знаменателе 9 минус отрицательный 4. Мои единицы, вольты на ом, будут давать мне усилители. И поэтому мне осталось упростить еще один шаг. 3 плюс минус 2 даст мне 1. И тогда у меня есть 5j. И 9 минус отрицательное 4 равно 13. Таким образом, я могу записать это как 1 на 13 плюс 5 на 13 Дж ампер, что является током моей электрической цепи.

Итак, давайте рассмотрим наши ключевые моменты сегодняшнего дня.Инженеры-электрики часто используют комплексные числа при работе с уравнениями, связывающими напряжение, ток и существование. Комплексное число a плюс bi состоит из действительной части a, мнимой части b и мнимой единицы i. Сопряжение двучлена — это двучлен с противоположными знаками между членами.

Конъюгаты используются при делении комплексных чисел, так что в знаменателе нет мнимых чисел. И инженеры и ученые часто используют букву j для обозначения мнимого числа i, чтобы не путать строчную i с прописной i, которая является переменной для тока.

Итак, я надеюсь, что эти ключевые моменты и примеры помогли вам немного больше понять об использовании комплексных чисел в электротехнике. Продолжайте использовать свои записи и продолжайте практиковаться, и скоро вы станете профессионалом. Спасибо за просмотр.

Введение в комплексные числа — Электротехника

Если мне нужно было описать расстояние между двумя городами, я мог бы дать ответ, состоящий из одного числа в милях, километрах или какой-либо другой единице линейного измерения. Однако, если бы я описал, как путешествовать из одного города в другой, мне пришлось бы предоставить больше информации, чем просто расстояние между этими двумя городами; Я также должен предоставить информацию о направлении , чтобы путешествовать.

Тип информации, который выражает одно измерение, например линейное расстояние, в математике называется скалярной величиной . Скалярные числа — это числа, которые вы до сих пор использовали в большинстве своих математических приложений. Например, напряжение, производимое батареей, является скалярной величиной. Так же как и сопротивление отрезка провода (Ом) или ток через него (амперы).

Однако, когда мы начинаем анализировать цепи переменного тока, мы обнаруживаем, что величины напряжения, тока и даже сопротивления (называемые импедансом в переменном токе) не являются привычными одномерными величинами, которые мы привыкли измерять в цепях постоянного тока. .Скорее, эти величины, поскольку они динамичны (чередуются по направлению и амплитуде), обладают другими измерениями, которые необходимо принимать во внимание. Частота и фазовый сдвиг — два из этих параметров, которые вступают в игру. Даже в относительно простых цепях переменного тока, где мы имеем дело только с одной частотой, у нас все еще есть измерение фазового сдвига, с которым нужно бороться в дополнение к амплитуде.

Для успешного анализа цепей переменного тока нам необходимо работать с математическими объектами и методами, способными представить эти многомерные величины.Вот где нам нужно отказаться от скалярных чисел в пользу чего-то более подходящего: комплексных чисел .

Как и в примере с указанием направлений из одного города в другой, величины переменного тока в одночастотной цепи имеют как амплитуду (аналогия: расстояние), так и фазовый сдвиг (аналогия: направление). Комплексное число — это одна математическая величина, способная одновременно выразить эти два измерения амплитуды и фазового сдвига.

Комплексные числа

Комплексные числа легче понять, если они представлены графически.Если я нарисую линию с определенной длиной (величиной) и углом (направлением), у меня будет графическое представление комплексного числа, которое обычно известно в физике как вектор : (рисунок ниже)

У вектора есть величина и направление.

Подобно расстояниям и направлениям на карте, должна быть какая-то общая система отсчета, чтобы значения углов имели какое-либо значение. В этом случае прямое направление считается равным 0 ^o, а углы отсчитываются в положительном направлении против часовой стрелки: (рисунок ниже)

Векторный компас

В идее представления числа в графической форме нет ничего нового.Мы все узнали это в начальной школе с «числовой линией:» (рисунок ниже)

Номер строки.

Мы даже узнали, как работает сложение и вычитание, увидев, как длины (величины) складываются, чтобы дать окончательный ответ: (Рисунок ниже)

Дополнение к «числовой строке».

Позже мы узнали, что есть способы обозначить значения между целыми числами, отмеченными на линии.Это были дробные или десятичные величины: (рисунок ниже)

$Locating a fraction on the “number line”$

Как найти дробь в «числовой строке»

Позже мы узнали, что числовая прямая может продолжаться и слева от нуля: (рисунок ниже)

«Числовая строка» показывает как положительные, так и отрицательные числа.

Эти поля чисел (целые, целые, рациональные, иррациональные, действительные и т. Д.), Изученные в начальной школе, имеют общую черту: все они одномерные .Это наглядно иллюстрирует прямолинейность числовой прямой. Вы можете перемещаться вверх или вниз по числовой прямой, но все «движение» вдоль этой линии ограничено одной осью (горизонтальной).

Одномерные скалярные числа идеально подходят для подсчета бусинок, представления веса или измерения напряжения батареи постоянного тока, но они не способны представить что-то более сложное, например, расстояние и направление между двумя городами или амплитуду и фаза сигнала переменного тока.

Чтобы представить такие величины, нам нужны многомерные представления. Другими словами, нам нужна числовая линия, которая может указывать в разные стороны, и это именно то, что есть вектор.

ОБЗОР:

A скаляр число — это тип математического объекта, который люди привыкли использовать в повседневной жизни: одномерная величина, такая как температура, длина, вес и т. Д.
A Комплексное число — математическая величина, представляющая два измерения величины и направления.
Вектор — это графическое представление комплексного числа. Это похоже на стрелку с начальной точкой, концом, определенной длиной и определенным направлением. Иногда слово , вектор используется в электрических приложениях, где угол вектора представляет собой фазовый сдвиг между сигналами.

Применение комплексных чисел в электротехнике доклад: Комплексные числа в электротехнике

Комплексные числа в электротехнике

План-конспект урока по теме: Применение комплексных чисел для расчета цепей переменного тока