Расчет сложных цепей постоянного тока: РАСЧЕТ СЛОЖНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА — Студопедия.Нет

Расчет сложной электрической цепи постоянного тока — Студопедия

При расчете сложных электрических цепей постоянного тока пользуются законами Кирхгофа. Рассмотрим электрическую схему, приведенную на рисунке 1.

Как видно из рисунка 1, данная схема содержит узла и ветвей. Для каждой ветви произвольно выбираем направления токов, а для каждого контура – направления обхода, как это показано на рисунке 2.

I закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма токов I_k, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:

где n – число ветвей, которые сходятся в узле.

При этом токи, направленные к узлу, считаются отрицательными, а токи направленные от узла, — положительными. По второму закону Кирхгофа во всяком замкнутом электрическом контуре алгебраическая сумма ЭДС E_kравна алгебраической сумме напряжений U_k на сопротивлениях, входящих в этот контур:

где m – число ветвей, которые образуют контур.

При этом напряжения, направления которых совпадают с направлением обхода контура, считаются положительными, а напряжения, направления которых противоположно направлению обхода контура, — отрицательными.

При расчете сложной цепи, основываясь на законах Кирхгофа, придерживаются следующих правил:

1. Выбирают положительные направления токов в ветвях;

2. Составляют (n_у-1) независимых уравнений по первому закону Кирхгофа;

3. Выбирают направления обхода независимых контуров;

4. Составляют n_в-(n_у-1) независимых уравнений по второму закону Кирхгофа;

5. Решают совместно полученную систему уравнений.

Составим уравнения по первому и второму законам Кирхгофа:

A)

B)

C)

I)

II)

III)

Если сложная цепь содержит 1 источник энергии, стремятся использовать метод эквивалентных преобразований. Если же несколько источников энергии, то используют методы, позволяющие сократить число расчетных уравнений.

Метод контурных токов

1. Введем контурные токи I₁₁, I₂₂, I₃₃.

2. Выразим старые токи через контурные токи:

; ; ; ; ;

3. Для контурных токов составляется полная система уравнений Кирхгофа. Сначала для узла A:

0 = 0

Для остальных узлов также получим выражение 0 = 0.

Теперь в уравнениях Кирхгофа для контура подставим значение старых токов через новые:

I)

II)

III)

Упростив данные уравнения получаем следующие:

I)

II)

III)

Вводим значения контурных сопротивлений:

; ;

Сопротивления смежных ветвей выразим через сопротивления, расположенные на границе рассматриваемых контуров:

; ;

Знак «+», если контурные токи на этом сопротивлении в одном направлении, «-» — если в разных. Правую часть этих уравнений выразим через контурные ЭДС E₁₁, E₂₂, E₃₃. Они равны алгебраической сумме ЭДС, входящих в состав рассматриваемых контуров. Знак «+», если направление источника ЭДС совпадает с направлением контурного тока, «-» — если не совпадает:

; ;

В общем случае система наших уравнений примет вид:

I)

II)

III)

Расчет сложных цепей постоянного тока по I и II законам Кирхгофа

Технология урока: интерактивная.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Цели урока:

образовательные:

• помочь учащимся получить представление об
  основах расчета сложных цепей постоянного тока
  по I и II законам Кирхгофа;
• разобраться в выборе направлений протекания
  токов и обходов контуров;

воспитательные:

• воспитание информационной культуры учащихся,
  внимательности, аккуратности,
  дисциплинированности, организованности;

развивающие:

• развитие познавательных интересов;
• самоконтроля;
• умения конспектировать;
• памяти.

Оборудование: доска, компьютер, мультимедиа
проектор, программа презентаций Microsoft Office PowerPoint
2003.

Методическое обеспечение урока: компьютерная
презентация, электронные тесты, карточки
самоконтроля учащихся, карточка контроля
учащихся

План проведения урока.

Организационный момент – 2 мин.

Проверка и актуализация опорных знаний – 5 мин.

Объяснение нового материала – 20 мин.

Проверка усвоения новых знаний и умений – 12
мин.

Подведение итогов – 4 мин.

Домашнее задание – 2 мин.

План урока

Ход урока

Организационный момент

Учащиеся заходят в класс, приветствуют
преподавателя, рассаживаются, достают тетради и
ручки

Формулировка темы урока. Постановка цели урока

Учитель сообщает тему урока “Расчет сложных
цепей постоянного тока по I и II законам Кирхгофа”
и его план.

Сегодня мы проверим, как вы усвоили материал
прошлого урока и научимся рассчитывать сложные
цепи постоянного тока по законам Кирхгофа. Затем
мы проверим, как вы усвоили новый материал.

У вас на столах лежат карточки самоконтроля. В
них вы будете заносить полученные баллы за
ответы на уроке, а также за тест. За каждый
правильный устный ответ вы будете ставить себе
один балл. За каждый правильный ответ на вопрос
из теста оценивается также в один балл. На доске
находится таблица соответствия набранных баллов
оценке. При подведении итогов урока вы выставите
эти оценки в карточки самоконтроля и сдадите их.
Эти оценки будут выставлены в журнал.

В конце урока вы получите домашнее задание.

Проверка опорных знаний

Дайте определение сложной электрической цепи.

Сложными называются разветвленные
электрические цепи со многими источниками
энергии.

Дайте формулировку I закону Кирхгофа.

Алгебраическая сумма токов в каждом узле любой
цепи равна нулю. При этом направленный к узлу ток
принято считать положительным, а направленный от
узла — отрицательным. Алгебраическая сумма
токов, направленных к узлу равна сумме токов,
направленных от узла.

где I_i – ток в узле,

n – число проводников, сходящихся в узле

Иными словами, сколько тока втекает в узел,
столько из него и вытекает.

Дайте формулировку II закону Кирхгофа

Алгебраическая сумма падений напряжений на
всех ветвях, принадлежащих любому замкнутому
контуру цепи, равна алгебраической сумме ЭДС
ветвей этого контура. Если в контуре нет
источников ЭДС, то суммарное падение напряжений
равно нулю.

Объяснение нового материала

На рисунке представлена схема электрической
цепи.

Для ее расчета, т.е. для определения токов во
всех ее ветвях, необходимо составить систему
уравнений по законам Кирхгофа. Общее число
уравнений в системе должно соответствовать
числу неизвестных токов, т.е. числу ветвей.

Давайте посчитаем количество ветвей в нашей
электрической цепи.

Получилось пять ветвей, а значит и пять
неизвестных токов I₁, I₂, I₃, I₄
и I₅ (токам пока не задано направление).

По первому закону Кирхгофа составляется
число уравнений, на единицу меньшее числа узлов
цепи, поскольку уравнение для последнего узла
есть следствие всех предыдущих уравнений и не
дает ничего нового для расчета.

Посчитаем количество узлов электрической цепи.

В цепи три узла, значит по 1-му закону Кирхгофа
надо составить (3 – 1 = 2) два уравнения.

По второму закону Кирхгофа составляются все
недостающие уравнения для любых произвольно
выбранных контуров цепи.

Посчитаем количество недостающих уравнений: 5
– 2 = 3.

В нашем примере по II закону Кирхгофа надо
составить три уравнения.

Предварительно следует задаться (произвольно)
направлением токов во всех ветвях цепи и
направлением обхода выбранных контуров.

Заметим, что произвольность выбора направлений
токов в ветвях цепи и направлений обхода
контуров не влияет на конечный результат
расчета. Если в результате расчетов некоторые из
найденных токов будут иметь знак (–), то это будет
означать, что их истинное направление
противоположно предварительно принятому.

Зададим направление токов во всех ветвях цепи.

При составлении уравнений по первому закону
Кирхгофа токи, подходящие к узлу, будем считать
положительными и брать со знаком (+), а токи,
отходящие от узла – отрицательными и брать со
знаком (–).

По I закону Кирхгофа надо составить два
уравнения. Для этого выберем любые два узла цепи.
Например, первый и второй.

Узел 1: –I₁ – I₃ – I₄ = 0

Узел 2: I₁ – I₂ + I₄ + I₅ = 0

Зададим направление обхода выбранных контуров.

При составлении уравнений по II закону Кирхгофа
ЭДС и токи, совпадающие с выбранным направлением
обхода контура будем брать со знаком (+), а
несовпадающие – со знаком (–).

Контур I: I₁R₁ – I₄R₄ = E₁

Контур II: I₄R₄ – I₅R₅ – I₃R₃
= E₃

Контур III: I₂R₂ + I₄R₄ = –E₂

Запишем систему уравнений.

–I₁ – I₃ – I₄ = 0

I₁ – I₂ + I₄ + I₅ = 0

I₁R₁ – I₄R₄ = E₁

I₄R₄ – I₅R₅ – I₃R₃
= E₃

I₂R₂ + I₄R₄ = –E₂

Решим полученную систему уравнений и определим
токи во всех пяти ветвях этой цепи.

Выводы.

Количество уравнений по законам Кирхгофа =
количество неизвестных токов цепи, т.е.
количеству ветвей цепи.

1. Количество уравнений по I закону Кирхгофа =
   количество узлов цепи – 1.
2. Количество уравнений по II закону Кирхгофа =
   общее количество уравнений – количество
   уравнений по I закону Кирхгофа.
3. Для уравнений по I закону Кирхгофа: токи
   входящие в узел записываются со знаком (+), а
   выходящие – со знаком (–).
4. Для уравнений по II закону Кирхгофа: ЭДС и токи,
   совпадающие с выбранным направлением обхода
   контура записываются со знаком (+), а
   несовпадающие – со знаком (–).

Проверка усвоения новых знаний и умений.

Учащиеся выполняют тест (приложение
1). Проверяют его сами (приложение
2). Заполняют карточки самоконтроля (приложение 3). Выставляют себе
отметки. Таблица соответствия отметок и баллов
определяется учителем и выводится на доске.

Рефлексия.

Домашнее задание.

Учащиеся получают домашнее задание.

Презентация

Расчёт электрических цепей онлайн | FaultAn.ru

На сайте появилась программа для расчёта установившихся режимов электрических цепей по законам ТОЭ. На настоящий момент реализованы методы расчёта по законам Ома, по законам Кирхгофа, по методу узловых потенциалов и методу контурных токов. Программа позволяет нарисовать схему, задать параметры её элементов и рассчитать схему. В результате формируется текстовое описание порядка расчёта и строятся векторные диаграммы.

Рисование схемы производится путём перетаскивания элементов методом drag-and-drop из боковой панели и последующим соединением выбранных элементов.

В боковой панели доступны следующие элементы с задаваемыми параметрами:

Инструкция по применению программы приведена здесь.

Методы расчёта

После завершения рисования схемы при нажатии кнопки «Расчёт» запускается расчёт электрической цепи. Программа анализирует исходную схему и при выявлении каких-либо ошибок сообщает об этом. При успешном анализе схемы запускается расчёт по методам ТОЭ.

Расчёт по закону Ома

Расчёт по закону Ома осуществляется для одноконтурных схем. Используемая методика расчёта приведена здесь.

Пример схемы и расчёт:

Исходные данные и схема:

• E1:
  • Номер элемента: 1
  • Амплитудное значение: 100 В
  • Начальная фаза: 0
• R1:
  • Номер элемента: 1
  • Сопротивление, Ом: 1

После нажатия кнопки «Расчёт» формируется решение:

В исходной схеме только один контур. Рассчитаем её по закону Ома.

Согласно закону Ома, ток в замкнутой цепи равен отношению ЭДС цепи к сопротивлению. Составим уравнение, приняв за положительное направление тока $ \underline{I} $ направление источника ЭДС $ \underline{E}_{1} $:

$$ R_{1}\cdot \underline{I} = \underline{E}_{1} $$

Подставим в полученную систему уравнений значения сопротивлений и источников и получим:

$$ 1.0\cdot \underline{I}=100 $$

Отсюда искомый ток в цепи равен

$$ \underline{I} = 100\space \textrm{А}$$

Расчёт по законам Кирхгофа

Для многоконтурных схем расчёт осуществляется по законам Кирхгофа. Используемая методика расчёта приведена здесь.

Пример схемы и расчёт:

Исходные данные и схема:

• E1:
  • Номер элемента: 1
  • Амплитудное значение: 100 В
  • Начальная фаза: 0
• R1:
  • Номер элемента: 1
  • Сопротивление, Ом: 1
• L1:
  • Номер элемента: 1
  • Сопротивление, Ом: 1
• C1:
  • Номер элемента: 1
  • Сопротивление, Ом: 1

После нажатия кнопки «Расчёт» на исходной схеме появляется нумерация узлов и формируется решение:

Рассчитаем схему по законам Кирхгофа.

В данной схеме: узлов − 2 , ветвей − 3, независимых контуров − 2.

Произвольно зададим направления токов в ветвях и направления обхода контуров.

Принятые направления токов:
Ток $ \underline{I}_{1} $ направлен от узла ‘2 у.’ к узлу ‘1 у.’ через элементы $ \underline{E}_{1} $, $ R_{1} $.
Ток $ \underline{I}_{2} $ направлен от узла ‘1 у.’ к узлу ‘2 у.’ через элементы $ L_{1} $.
Ток $ \underline{I}_{3} $ направлен от узла ‘1 у.’ к узлу ‘2 у.’ через элементы $ C_{1} $.

Принятые направления обхода контуров:
Контур №1 обходится через элементы $ \underline{E}_{1} $, $ R_{1} $, $ L_{1} $ в указанном порядке.
Контур №2 обходится через элементы $ L_{1} $, $ C_{1} $ в указанном порядке.

Составим уравнения по первому закону Кирхгофа. При составлении уравнений «втекающие» в узел токи будем брать со знаком «+», а «вытекающие» − со знаком «−».

Количество уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно $ N_\textrm{у} − 1 $, где $ N_\textrm{у} $ − число узлов. Для данной схемы количество уравнений по первому закону Кирхгофа равно 2 − 1 = 1.

Составим уравнение для узла №1:

$$ \underline{I}_{1} − \underline{I}_{2} − \underline{I}_{3} = 0 $$

Составим уравнения по второму закону Кирхгофа. При составлении уравнений положительные значения для токов и ЭДС выбираются в том случае, если они совпадают с направлением обхода контура.

Количество уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно $ N_\textrm{в} − N_\textrm{у} + 1 $, где $ N_\textrm{в} $ — число ветвей. Для данной схемы количество уравнений по второму закону Кирхгофа равно 3 − 2 + 1 = 2.

Составим уравнение для контура №1:

$$ R_{1}\cdot \underline{I}_{1} + jX_{L1}\cdot \underline{I}_{2}=\underline{E}_{1} $$

Составим уравнение для контура №2:

$$ jX_{L1}\cdot \underline{I}_{2} − (−jX_{C1})\cdot \underline{I}_{3}=0 $$

Объединим полученные уравнения в одну систему, при этом перенесём известные величины в правую сторону, оставив в левой стороне только составляющие с искомыми токами. Система уравнений по законам Кирхгофа для исходной цепи выглядит следующим образом:

$$ \begin{cases}\underline{I}_{1} − \underline{I}_{2} − \underline{I}_{3} = 0 \\ R_{1}\cdot \underline{I}_{1}+jX_{L1}\cdot \underline{I}_{2} = \underline{E}_{1} \\ jX_{L1}\cdot \underline{I}_{2}−(−jX_{C1})\cdot \underline{I}_{3} = 0 \\ \end{cases} $$

Подставим в полученную систему уравнений значения сопротивлений и источников и получим:

$$ \begin{cases}\underline{I}_{1} − \underline{I}_{2} − \underline{I}_{3}=0 \\ \underline{I}_{1}+ j \cdot \underline{I}_{2}=100 \\ j \cdot \underline{I}_{2}+ j \cdot \underline{I}_{3}=0 \\ \end{cases} $$

Решим систему уравнений и получим искомые токи:

$$ \underline{I}_{1} = 0 $$
$$ \underline{I}_{2} = −100j $$
$$ \underline{I}_{3} = 100j $$

Рекомендуемые записи

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА —

Суть расчетов заключается, как правило, в том, чтобы по известным значениям всех сопротивлений цепи и параметров источников (ЭДС или тока) определить токи во всех ветвях и напряжения на всех элементах (сопротивлениях ) цепи.

Для расчета электрических цепей постоянного тока могут применяться различные методы. Среди них основными являются :

– метод, основанный на составлении уравнений Кирхгофа;

– метод эквивалентных преобразований;

– метод контурных токов ;

– метод наложения;

– метод узловых потенциалов;

– метод эквивалентного источника;

Метод, основанный на составлении уравнений Кирхгофа, является универсальным и может применяться как для одноконтурных, так и для многоконтурных цепей. При этом количество уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, должно быть равно количеству внутренних контуров схемы.

Количество уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше количества узлов в схеме.

Например, для данной схемы

Рис.3.11.

составляется 2 уравнения по 1-му закону Кирхгофа и 3 уравнения по 2-му закону Кирхгофа.

Рассмотрим остальные методы расчета электрических цепей:

Метод эквивалентных преобразований применяется для упрощения схем и расчетов электрических цепей. Под эквивалентным преобразованием понимается такая замена одной схемы другой, при которой электрические величины схемы в целом не меняются ( напряжение, ток, потребляемая мощность остаются неизменными ).

Рассмотрим некоторые виды эквивалентных преобразований схем.

а). последовательное соединение элементов

Рис.3.12.

Общее сопротивление последовательно соединенных элементов равно сумме сопротивлений этих элементов.

R_Э =Σ R _j (3.12)

R_Э=R₁+R₂+R₃

б). параллельное соединение элементов.

Рис.3.13.

Рассмотрим два параллельно соединенных элемента R1 и R₂ . Напряжение на этих элементах равны, т.к. они подключены к одним и тем же узлам а и б.

U_R1= U_R2= U_АБ

Применяя закон Ома получим

U_R1=I₁R₁ ; U_R2=I₂R₂

Отсюда

I₁R₁=I₂R₂ или I₁ / I₂=R₂ / R₁

Применим 1-й закон Кирхгофа к узлу ( а )

I – I₁ – I₂ =0 или I=I₁+I₂

Выразим токи I₁ и I₂ через напряжения получим

I₁= U_R1 / R₁ ; I₂= U_R2 / R₂

I= U_АБ / R₁ + U_АБ / R₂ = U_АБ(1 / R₁ +1/R₂)

В соответствии с законом Ома имеем I=U_АБ / R_Э ; где R_Э – эквивалентное сопротивление

Учитывая это, можно записать

U_АБ / R_Э= U_АБ(1 / R₁ +1 / R₂),

откуда

1/R_Э=(1 / R₁ +1/R₂)

Введем обозначения: 1/R_Э=G_Э – эквивалентная проводимость

1/R₁=G₁ – проводимость 1-го элемента

1/R₂=G₂ – проводимость 2-го элемента.

Запишем уравнение (6) в виде

G_Э=G₁+G₂ (3.13)

Из этого выражения следует, что эквивалентная проводимость параллельно соединенных элементов равна сумме проводимостей этих элементов.

На основе (3.13) получим эквивалентное сопротивление

R_Э=R₁R₂ / (R₁+R₂) (3.14)

в). Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратное преобразование.

Соединение трех элементов цепи R₁ , R₂ , R₃ , имеющее вид трех лучевой звезды с общей точкой ( узлом ), называется соединением “звезда”, а соединение этих же элементов, при котором они образуют стороны замкнутого треугольника – соединением “треугольник”.

Рис.3.14. Рис.3.15.

соединение – звезда ( ) соединение – треугольник ( )

Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду проводится по следующим правилу и соотношениям:

Сопротивление луча эквивалентной звезды равно произведению сопротивлений двух примыкающих сторон треугольника, деленному на сумму всех трех сопротивлений треугольника.

(3.15)

Преобразование звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник производится по следующим правилу и соотношениям:

Сопротивление стороны эквивалентного треугольника равно сумме сопротивлений двух примыкающих лучей звезды плюс произведение этих двух сопротивлений, деленное на сопротивление третьего луча:

(3.16)

г). Преобразование источника тока в эквивалентный источник ЭДС Если в схеме имеется один или несколько источников тока, то часто для удобства расчетов следует заменить источники тока на источники ЭДС

Пусть источник тока имеет параметры I_К и G_ВН .

Е_Э

J

Рис.3.16. Рис.3.17.

Тогда параметры эквивалентного источника ЭДС можно определить из соотношений

E_Э=I_К / G_ВН ; R_{ВН .Э}=1 / G_ВН (3.17)

При замене источника ЭДС эквивалентным источником тока необходимо использовать следующие соотношения

I_{К Э}=E / R_ВН ; G_{ВН, Э}=1 / R_ВН (3.18)

Метод контурных токов.

Этот метод применяется, как правило, при расчетах многоконтурных схем, когда число уравнений, составленных по 1-му и 2-му законам Кирхгофа, равно шести и более.

Для расчета по методу контурных токов в схеме сложной цепи определяются и нумеруются внутренние контуры. В каждом из контуров произвольно выбирается направление контурного тока, т.е. тока, замыкающегося только в данном контуре.

Рис.3.18.

Затем для каждого контура составляется уравнение по 2-му закону Кирхгофа. При этом, если какое-либо сопротивление принадлежит одновременно двум смежным контурам, то напряжение на нем определяется как алгебраическая сумма напряжений, создаваемых каждым из двух контурных токов.

Если количество контуров n , то и уравнений будет n. Решая данные уравнения ( методом подстановки или определителей ), находят контурные токи. Затем, используя уравнения , записанные по 1-му закону Кирхгофа, находят токи в каждой из ветвей схемы.

Пример:

Запишем контурные уравнения для данной схемы.

Для 1-го контура:

I₁R₁+(I₁+I₂)R₅+(I_I+I_III)R₄=E₁-E₄

Дл

Расчет сложных электрических цепей постоянного тока

1.3.1. Метод уравнений Кирхгофа

    Этот метод сводится к решению системы уравнений, количество которых равно числу неизвестных токов (числу ветвей). Покажем его применение на примере схемы, изображенной на рис. 1.9.

Первый закон Кирхгофа: в узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю.

    Произвольно задавшись направлениями токов в ветвях и принимая токи, подтекающие к узлу, положительными, а оттекающие от узла – отрицательными, записываем:

(1,6)

    Число независимых уравнений в первом законе Кирхгофа – на единицу меньше числа узлов, поэтому для последнего узла d уравнение не пишем.

    В заданной схеме семь ветвей, семь неизвестных токов. Система (1.6) содержит только три уравнения. Недостающие четыре записываем по второму закону Кирхгофа.

    Второй закон Кирхгофа: в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех сопротивлениях контура.

    Число уравнений, составляемых по этому закону, равно числу взаимно независимых контуров. При рассмотрении схемы каждый последующий контур является независимым относительно предыдущих, если он отличается от них хотя бы одной новой ветвью. В заданной схеме таких контуров четыре. Они отмечены пронумерованными дугообразными стрелками. Любой другой контур новых ветвей не содержит, поэтому не является независимым. Дугообразные стрелки показывают произвольно выбранные направления обхода контуров. Если направления ЭДС и токов совпадают с направлением обхода контура, то они записываются с плюсом, если не совпадают – то с минусом.

(1.7)

Системы (1.6) и (1.7) дают достаточное количество уравнений для отыскания всех неизвестных токов.

1.3.2. Метод узловых потенциалов

    Уравнения, составляемые по этому методу, называются узловыми уравнениями. В качестве неизвестных они содержат потенциалы узлов, причем один из них задается заранее – обычно принимается равным нулю. Пусть таким узлом будет узел d: φ _d = 0. Равенство нулю какой-то точки схемы обычно показывается как ее заземление.

Запишем для каждой ветви выражение закона Ома:

    (1.8)

    Подставляя формулы (1.8) в систему (1.6) после несложных преобразований получаем следующие уравнения, количество которых на единицу меньше числа узлов:

(1.9)

   При решении практических задач указанный вывод не делают, а узловые уравнения записывают сразу, пользуясь следующим правилом.

    Потенциал узла, для которого составляется уравнение (например, в первом уравнении последней системы – это узел а), умножается на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к этому узлу: φ _а (G₁+G₂+G₃).Это произведение записывается в левой части уравнения со знаком плюс. Потенциал каждого соседнего узла (b и с) умножается на проводимости ветвей, лежащих между этим (соседним) узлом и узлом, для которого составляется уравнение.

    Эти произведения φ _b (G₁ + G₂) и j _сG₃ записываются со знаком минус. В правой части уравнения стоит алгебраическая сумма произведений ЭДС на проводимости тех ветвей, которые присоединены к рассматриваемому узлу: E₁G₁, E₂G₂ и E₃G₃. Эти произведения записываются с плюсом, если ЭДС направлены к узлу, и с минусом, если от узла.

    Найдя из (1.9) потенциалы узлов и подставляя их в (1.8), определяем токи ветвей.

Далее: 1.3.3. Метод контурных токов

РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА — Студопедия

Цепь постоянного тока

В цепи постоянного тока действуют постоянные напряжения, протекают постоянные токи и присутствуют только резистивные элементы (сопротивления).

Идеальным источником напряжения называют источник, напряжение на зажимах которого, создаваемое внутренней электродвижущей силой (ЭДС ), на зависит от формируемого им в нагрузке тока (рис. 6.1а). При этом имеет место равенство . Вольтамперная характеристика идеального источника напряжения показана на рис. 6.1б.

Рис. 6.1

Идеальным источником тока называют источник, который отдает в нагрузку ток, не зависящий от напряжения на зажимах источника, Рис. 6.2а. Его вольтамперная характеристика показана на рис. 6.2б.

Рис. 6.2

В сопротивлении связь между напряжением и током определяется законом Ома в виде

. (6.1)

Пример электрической цепи показан на рис. 6.3. В ней выделяются ветви, состоящие из последовательного соединения нескольких элементов (источника E и сопротивления ) или одного элемента ( и ) и узлы – точки соединения трех и более ветвей, отмеченные жирными точками. В рассмотренном примере имеется ветви и узла.

Рис. 6.3

Кроме того, в цепи выделяются независимые замкнутые контуры, не содержащие идеальные источники тока. Их число равно . В примере на рис. 6.3 их число , например, контуры с ветвями E и , показанные на рис. 6.3 овалами со стрелками, указывающими положительное направление обхода контура.

Связь токов и напряжений в цепи определяется законами Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю,

. (6.2)

Втекающие в узел токи имеют знак плюс, а вытекающие минус.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма напряжений на элементах замкнутого независимого контура равна алгебраической сумме ЭДС идеальных источников напряжения, включенных в этом контуре,

. (6.3)

Напряжения и ЭДС берутся со знаком плюс, если их положительные направления совпадают с направлением обхода контура, в противном случае используется знак минус.

Для приведенного на рис. 6.3 примера по закону Ома получим подсистему компонентных уравнений

(6.4)

По законам Кирхгофа подсистема топологических уравнений цепи имеет вид

(6.5)

Расчет на основе закона Ома

Этот метод удобен для расчета сравнительно простых цепей с одним источником сигнала. Он предполагает вычисление сопротивлений участков цепи, для которых известна вели-

чина тока (или напряжения), с последующим определением неизвестного напряжения (или тока). Рассмотрим пример расчета цепи, схема которой приведена на рис. 6.4, при токе идеального источника А и сопротивлениях Ом, Ом, Ом. Необходимо определить токи ветвей и , а также напряжения на сопротивлениях , и .

Известен ток источника , тогда можно вычислить сопротивление цепи относительно зажимов источника тока (параллельного соединения сопротивления и последовательно соединен-

Рис. 6.4 ных сопротивлений и ),

.

Напряжение на источнике тока (на сопротивлении ) равно

В.

Затем можно найти токи ветвей

А,

А.

Полученные результаты можно проверить с помощью первого закона Кирхгофа в виде . Подставляя вычисленные значения, получим А, что совпадает с величиной тока источника.

Зная токи ветвей, нетрудно найти напряжения на сопротивлениях (величина уже найдена)

В,

В.

По второму закону Кирхгофа . Складывая полученные результаты, убеждаемся в его выполнении.

Расчет цепи по уравнениям Кирхгофа

Проведем расчет токов и напряжений в цепи, показанной на рис. 6.3 при и . Цепь описывается системой уравнений (6.4) и (6.5), из которой для токов ветвей получим

(6.6)

Из первого уравнения выразим , а из третьего

.

Тогда из второго уравнения получим

,

и, следовательно

,

.

Из уравнений закона Ома запишем

.

.

Нетрудно убедиться, что выполняется второй закон Кирхгофа

.

Подставляя численные значения, получим

, ,

, .

Эти же результаты можно получить, используя только закон Ома.

Мощность в цепи постоянного тока

Действующие в цепи идеальные источники тока и (или) напряжения отдают мощность в подключенную к ним цепь (нагрузку). Для цепи на рис. 6.1а отдаваемая идеальным источником напряжения мощность равна

, (6.7)

а в цепи на рис. 6.2а идеальный источник тока отдает в нагрузку мощность

. (6.8)

Подключенная к источнику внешняя резистивная цепь потребляет от него мощность, преобразуя ее в другте виды энергии, чаще всего в тепло.

Если через сопротивление протекает ток , а приложенное к нему напряжение равно , то для потребляемой сопротивлением мощности получим

. (6.9)

С учетом уравнений закона Ома (6.1) можно записать

. (6.10)

Если в цепи несколько сопротивлений, то сумма потребляемых ими мощностей равна суммарной мощности, отдаваемой в цепь всеми действующими в ней источниками. Это условие баланса мощностей.

Например, для цепи на рис. 6.3 в общем виде получим

. (6.11)

Подставляя в левую часть равенства (6.11) полученные ранее выражения для токов, получим

что соответствует правой части выражения (6.11).

Аналогичные расчеты можно проделать и для цепи на рис. 6.4.

Условие баланса мощностей позволяет дополнительно контролировать правильность расчетов.

Примеры расчета сложных цепей постоянного тока

8. 1. Расчет по законам Кирхгофа

В
соответствии с заданным вариантом из
таблиц 1.1 и 1.2 выбираем схему и ее
параметры.

Уравнения
по первому закону Кирхгофа.

Уравнения
по второму закону Кирхгофа.

Решаем
систему линейных уравнений матричным
методом относитель- но неизвестных
токов.

Для
чего составляем две матрицы. Матрицу
A, состоящую из коэфи- циентов, стоящих
в правой части системы. И матрицу B,
состоящую из коэфициентов, стоящих в
левой части системы. После умножения
транс- портированной матрицы A на B
получим матрицу C.

I₁=C₀
I₁=
4.508, A

I₂=C₁
I₂=
0.864, A

I₃=C₂
I₃=-1.017,
A

I₄=C₃
I₄=
1.017, A

I₅=C₄
I₅=
3.492, A

I₆=C₅
I₆=-0.153,
A

Все
источники э.д.с. работают как источники
энергии, так как действительные
направления токов в них совпадают с
направлениями э.д.с.

Проверка
баланса:

Pn=188.22,
Вт

Pi
=188.22, Вт

Баланс
сошелся.

2. Расчет методом контурных токов

В
соответствии с заданным вариантом из
таблиц 1.1 и 1.2 выбираем схему и ее
параметры.

Составим
уравнения по второму закону Кирхгофа
для контурных токов.

Решаем
систему уравнений матричным методом
(см. предыдущий пример).

Находим
контурные токи.

Контурные
токи найдены:

Ik₁=C₀
Ik₁=-0.722,
A

Ik₂=C₁
Ik₂=
2.713, A

Ik₃=C₂
Ik₃=
1.948, A

Находим
реальные токи.

Токи
найдены:

I₁=
1.991, A

I₂=
2.713, A

I₃=
1.948, A

I₄=
0.765, A

I₅=
1.226, A

I₆=-0.722,
A

Проверка
баланса.

Pi
=142.565, Вт

Pn=142.565,
Вт

Баланс
сошелся.

Потенциальные диаграммы.

Контур
1

Контур
2

Контур
3

Примечание:
Построение потенциальных диаграмм
можно выполнить либо в программе MathCAD,
либо в ручную. При построении указать
на диаграммах значению сопротивлений
и потенциалов узлов.

3. Расчет методом узловых напряжений (потенциалов)

В
соответствии с заданием из таблиц 1.1 и
1.2 выбираем схему и ее параметры.

Проводимости.

Уравнения
по I закону Кирхгофа:

Выразим
неизвестные токи ветвей через «условно
известные» потенциалы узлов:

Подставим
токи в уравнения по I закону Кирхгофа
и перегруппируем:

Решаем
полученную систему уравнений относительно
потенциалов узлов, с помощью определителей.

Узловые
потенциалы.

Подставляем
полученные потенциалы в уравнении
токов.

Проверка
баланса.

Pn=117.386,
Вт

Pi
=117.386, Вт

Баланс
сошелся.

Что такое цепь постоянного тока? Определение и типы

Определение: Замкнутый путь, по которому протекает постоянный ток, называется цепью постоянного тока. Ток течет только в одном направлении, и он в основном используется в приложениях с низким напряжением. Резистор — это основной компонент цепи постоянного тока.

На рисунке ниже показана простая цепь постоянного тока, которая содержит источник постоянного тока (аккумулятор), лампу нагрузки, переключатель, соединительные провода и измерительные приборы, такие как амперметр и вольтметр.Нагрузочный резистор подключается последовательно, параллельно или последовательно-параллельно в соответствии с требованиями.

Типы цепей постоянного тока

Электрические цепи постоянного тока в основном подразделяются на три группы. Это последовательная цепь постоянного тока, параллельная цепь постоянного тока, а также последовательная и параллельная цепь постоянного тока.

Цепь серии постоянного тока

Цепь, в которой есть последовательный источник постоянного тока и ряд резисторов, подключенных встык, так что через них протекает одинаковый ток, называется последовательной цепью постоянного тока.На рисунке ниже показана простая последовательная схема. В последовательной цепи резисторы R ₁ , R ₂ и R ₃ включены последовательно через напряжение питания V вольт. Одинаковый ток I протекает через все три резистора. Если V ₁ , V ₂ и V ₃ — это падение напряжения на трех резисторах R ₁ , R ₂ и R ₃ соответственно, тогда Пусть R будет полным сопротивлением цепи тогда Общее сопротивление = Сумма отдельных сопротивлений.

В такой схеме все лампы управляются одним переключателем, и ими нельзя управлять по отдельности. Чаще всего эта схема применяется для украшения, когда несколько ламп низкого напряжения соединяются последовательно.

Параллельная цепь постоянного тока

Цепь, имеющая источник постоянного тока и один конец всех резисторов, соединена с общей точкой, а другой конец также соединен с другой общей точкой, так что ток течет через них, называется параллельной цепью постоянного тока.

На рисунке показана простая параллельная схема. В этой схеме три резистора R ₁ , R ₂ и R ₃ подключены параллельно через напряжение питания V вольт. Через них протекает ток I ₁ , I ₂ и I ₃ соответственно. Полный ток, потребляемый цепью. Пусть R будет полным или эффективным сопротивлением цепи, тогда Обратное значение общего сопротивления = сумма, обратная величине отдельного сопротивления..

Все сопротивления работают на одинаковое напряжение, поэтому все они подключены параллельно. Каждым из них можно управлять индивидуально с помощью отдельного переключателя.

Последовательно-параллельная цепь постоянного тока

Цепь, в которой последовательная и параллельная цепь соединены последовательно, называется последовательно-параллельной цепью. На рисунке ниже показана последовательно-параллельная цепь. В этой схеме два резистора R ₁ и R ₂ подключены параллельно друг другу через вывод AB.Остальные три резистора R ₃ , R ₄ и R ₆ подключены параллельно друг другу через клемму BC.

Две группы резисторов R _AB и R _BC соединены последовательно друг с другом через напряжение питания V вольт. Общее или эффективное сопротивление всей цепи можно определить, как указано ниже Аналогично, Общее или эффективное сопротивление цепи,

См. Также: Цепь переменного тока

.

Калькулятор мощности

Калькулятор энергопотребления: рассчитывает электрическую мощность /
напряжение /
текущий /
сопротивление.

Калькулятор мощности постоянного тока

Введите 2 значений , чтобы получить другие значения, и нажмите кнопку Calculate
кнопка:

Расчет мощности постоянного тока

Расчет напряжения (В) по току (I) и сопротивлению (R):

В _(В) = I _(A) × R _(Ом)

Расчет комплексной мощности (S) из напряжения (В) и тока (I):

P _(Ш) = В _(В) × I _(A) = В ² _(В) / R _(Ом) = Я
² _(А) × R _(Ом)

Калькулятор мощности переменного тока

Введите 2 величины + 2 фазовых угла , чтобы получить другие значения, и нажмите кнопку Calculate :

Расчет мощности переменного тока

Напряжение V в вольтах (В) равно току I в амперах (А), умноженному на импеданс Z в омах (Ом):

В _(В) = I _(A) × Z _(Ом) = (| I | × | Z |) ∠
( θ _I + θ _Z )

Комплексная мощность S в вольтах (ВА) равна напряжению V в вольтах (В), умноженному на ток I в амперах (A):

S _(ВА) = В _(В) × I _(A) = (| V | × | I |) ∠
( θ _В — θ _I )

Реальная мощность P в ваттах (Вт) равна напряжению V в вольтах (В), умноженному на ток I в амперах (A), умноженному на коэффициент мощности (cos φ ):

P _(Ш) = В _(В) × I _(А) × cos φ

Реактивная мощность Q в вольт-амперах, реактивная (VAR) равна напряжению V в вольтах (В), умноженному на ток I в амперах (A), на синусоиде комплексного фазового угла мощности ( φ ):

Q _(VAR) = V _(V) × I _(A) × sin φ

Коэффициент мощности (FP) равен абсолютному значению косинуса комплексного фазового угла мощности ( φ ):

PF = | cos φ |

Калькулятор энергии и мощности

Введите 2 значения , чтобы получить другие значения, и нажмите кнопку Рассчитать :

Расчет энергии и мощности

Средняя мощность P в ваттах (Вт) равна потребляемой энергии E в джоулях (Дж), деленной на период времени Δ t в секундах (с):

P _(Ш) = E _(Дж) / Δ т _(с)

Электроэнергия ►

См. Также

.