Узел электрической цепи: Открытая Физика. Правила Кирхгофа для разветвленных цепей *)

Содержание

Открытая Физика. Правила Кирхгофа для разветвленных цепей *)

Для упрощения расчетов сложных электрических цепей, содержащих неоднородные участки, используются правила Кирхгофа, которые являются обобщением закона Ома на случай разветвленных цепей.

В разветвленных цепях можно выделить узловые точки (узлы), в которых сходятся не менее трех проводников (рис. 1.10.1). Токи, втекающие в узел, принято считать положительными; вытекающие из узла – отрицательными.

Узел электрической цепи. I₁, I₂ > 0; I₃, I₄ < 0

В узлах цепи постоянного тока не может происходить накопление зарядов. Отсюда следует первое правило Кирхгофа:

Алгебраическая сумма сил токов для каждого узла в разветвленной цепи равна нулю:
I₁ + I₂ + I₃ + … + I_n = 0.

Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения электрического заряда.

В разветвленной цепи всегда можно выделить некоторое количество замкнутых путей, состоящих из однородных и неоднородных участков. Такие замкнутые пути называются контурами. На разных участках выделенного контура могут протекать различные токи. На рис. 1.10.2 представлен простой пример разветвленной цепи. Цепь содержит два узла a и d, в которых сходятся одинаковые токи; поэтому только один из узлов является независимым (a или d).

Пример разветвленной электрической цепи. Цепь содержит один независимый узел (a или d) и два независимых контура (например, abcd и adef)

В цепи можно выделить три контура abcd, adef и abcdef. Из них только два являются независимыми (например, abcd и adef), так как третий не содержит никаких новых участков.

Второе правило Кирхгофа является следствием обобщенного закона Ома.

Запишем обобщенный закон Ома для участков, составляющих один из контуров цепи, изображенной на рис. 1.10.2, например, abcd. Для этого на каждом участке нужно задать положительное направление тока и положительное направление обхода контура. При записи обобщенного закона Ома для каждого из участков необходимо соблюдать определенные «правила знаков», которые поясняются на рис. 1.10.3.

«Правила знаков»

Для участков контура abcd обобщенный закон Ома записывается в виде:

Для участка bc: I₁R₁ = Δφ_bc – ℰ₁.

Для участка da: I₂R₂ = Δφ_da – ℰ₂.

Складывая левые и правые части этих равенств и принимая во внимание, что Δφ_bc = – Δφ_da , получим:

I₁R₁ + I₂R₂ = Δφ_bc + Δφ_da – ℰ₁ + ℰ₂ = –ℰ₁ – ℰ₂.

Аналогично, для контура adef можно записать:

– I₂R₂ + I₃R₃ = ℰ₂ + ℰ₃.

Второе правило Кирхгофа можно сформулировать так: алгебраическая сумма произведений сопротивления каждого из участков любого замкнутого контура разветвленной цепи постоянного тока на силу тока на этом участке равна алгебраической сумме ЭДС вдоль этого контура.

Первое и второе правила Кирхгофа, записанные для всех независимых узлов и контуров разветвленной цепи, дают в совокупности необходимое и достаточное число алгебраических уравнений для расчета значений напряжений и сил токов в электрической цепи. Для цепи, изображенной на рис. 1.10.2, система уравнений для определения трех неизвестных токов I₁, I₂ и I₃ имеет вид:
I₁R₁ + I₂R₂ = – ℰ₁ – ℰ₂,

– I₂R₂ + I₃R₃ = ℰ₂ + ℰ₃,

– I₁ + I₂ + I₃ = 0.

Таким образом, правила Кирхгофа сводят расчет разветвленной электрической цепи к решению системы линейных алгебраических уравнений. Это решение не вызывает принципиальных затруднений, однако, бывает весьма громоздким даже в случае достаточно простых цепей. Если в результате решения сила тока на каком-то участке оказывается отрицательной, то это означает, что ток на этом участке идет в направлении, противоположном выбранному положительному направлению.

Цепи постоянного тока

Конденсаторы в цепях постоянного тока

Узел цепи электрической — Энциклопедия по машиностроению XXL

Рассмотрим случай, когда сила действует в вертикальном направлении. Задачу будем решать с привлечением прямых электромеханических аналогий. Прежде всего изобразим устройство в виде схемы соединения отдельных механических элементов (рис. II.4.6, б). Здесь имеется смешанное соединение элементов механического устройства гибкость с и импеданс фундамента гф соединены в цепочку масса и сила, а также цепочка, состоящая из гибкости с и импеданса 2ф, соединены в узел. По электрической схеме прямых аналогий соединению в узел соответствует последовательное соединение электрических элементов, а соединению в цепочку —их параллельное соединение. Отсюда следует, что аналоговая электрическая схема устройства должна содержать последовательное соединение импеданса, соответствующего массе М, с импедансом механической цепи с параллельным соединением 2ф и 1/(/озс) (рис. П.4.6, в). На схеме применены обозначения с использованием символов механических величин. Обозначим для сокращения записей включенные в схему механические импедансы Zi==/o)M, г2=1/(/о)с), гз =2ф и найдем силу тока, текущего через импеданс (токи обозначены символами механической скорости I). Так как параллельные ветви с сопротивлениями гг и Zg находятся под одним и тем же напряжением, то токи и з обратно пропорциональны сопротивлениям соответствующих ветвей, а их сумма равна полному току в цепи ii. [c.67]

Решение. Окружим узел цепи замкнутой поверхностью S. Пусть V означает объем, ограниченный зтл поверхностью. Ток может поступать внутрь, этого объема и выходить наружу только в тех точках, где проводники пересекают поверхность S. Физически очевидно. что в узле не может накапливаться электрический заряд. Поэтому из уравнения непрерывности [c.40]

Один из таких прессов конструкции МАЗа для холодной клепки 9,5 мм заклепок обоймы дифференциала раздаточной коробки показан на рис. 231. Пресс развивает силу до 20 Т. Узел устанавливается на роликовые призмы и может легко поворачиваться. Для выполнения рабочего цикла нажимают ногой на педаль управления, отчего кнопкой замыкается электрическая цепь одного из соленоидов, который передвигает золотник в положение рабочего хода. Масло от насосной установки поступает в рабочий цилиндр и поршень пресса совершает рабочий ход. В конце рабочего хода давление масла возрастает в связи с этим срабатывает реле давления, переключающее микропереключатель, и замыкается цепь второго соленоида, который передвигает золотник в положение обратного хода. Для повторения цикла опять необходимо нажать педалью на кнопку управления. [c.288]

Рве. 16. Электрическая схема лифта грузоподъемностью 320(500) кг (y=t м/с) с залипающими кнопками и парным управлением с — электрические цепи силовые, сигнализации, регистрации вызовов и приказов — б — электрические цепи управления лифтами А и Б в — узел выбора направления движения и замедления лифта А г — узел выбора направления движения и замедления лифта Б [c.59]

Люк для подъема на крышу и санитарный узел находятся в машинном помещении 1-й секции. Между кузовами 1-й и 2-й секций имеются межсекционные соединения электрических цепей и воздушных магистралей. Кабины управления, машинные помещения, высоковольтные камеры, проходы в кузове и ходовые части освещаются электрическими лампами, установленными в плафонах и светильниках. [c.12]

Пресс развивает усилие до 20 т. Узел устанавливается на роликовые призмы и при клепке последовательно легко поворачивается. Для выполнения рабочего цикла нажимают ногой на педаль управления, отчего кнопкой замыкается электрическая цепь одного из соленоидов, который передвигает золотник в положение рабочего хода. Масло от насосной установки поступает в рабочий [c.284]

Схема электропривода поворотного механизма. Для приведения в действие механизма поворота на экскаваторе ЭКГ-4,6 применяются два двигателя постоянного тока 1ДВ и 2ДВ, которые получают питание от генератора поворота ГВ. Электрическая схема управления этим приводом также не отличается от рассмотренной выше схемы привода подъема, за исключением того, что здесь отсутствует узел ослабления поля двигателя. Кроме того, в рассматриваемой схеме предусматривается реле контроля напряжения РП, включенное на падение напряжения в главной цепи (точки 210—240). Это реле включает узел гашения ноля генератора (н. о. контакты 252). [c.273]

Контакторы любого назначения разделяют на два основных узла контактный узел, осуществляющий включение и выключение электрических цепей, и узел, обеспечивающий движение подвижных частей контактора, называемый приводом. [c.33]

Узел силовых цепей, т. е. соединений электрических элементов энергетической цепи, В передаче постоянного тока — это генератор и тяговые электродвигатели, в передаче переменно-постоянного тока — генератор, узел выпрямления тока и тяговые электродвигатели, в передаче переменного тока — генератор, узел выпрямления тока, узел инвертирования и тяговые электродвигатели. Такая система может быть построена и без комплекса выпрямитель-инвертор, Тогда промежуточным звеном между генератором и тяговыми двигателями должно быть устройство для регулирования напряжения и частоты переменного тока, [c.175]

Электрическая схема тепловозов с гидропередачей и дизель-поездов ДР условно может быть разделена на ряд основных узлов и цепей узел возбуждения и регулирования напряжения вспомогательного генератора узел заряда аккумуляторной батареи цепи управления пуском дизелей цепи управления и блокировки реверса цепи трогания тепловоза система автоматического управления гидропередачи узлы автоматической защиты и контроля дизеля и гидропередачи. [c.209]

Реле давления (рис. 31, а) применяют в гидросистеме для передачи команды рабочим органам станка. Команда передается путем замыкания поршнем I электрических контактов 2 при повышении давления в цепи. Гидроклапан выдержки времени (рис. 31, б) служит для задержки передачи какого-либо сигнала, чтобы один узел станка пришел в движение после другого через определенное время. Время выдержки в реле можно регулировать изменением объема вытесняемой поршнем 1 жидкости, для чего служит винт-ограничитель 3 (рис. 31, в), или установкой регулируемого дросселя 4 (рис. 31, б), который изменяет сопротивление истечению жидкости из определенного объема. [c.27]

КОММУТИРУЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО -конструктивный узел электрического аппарата для коммутации тока в управляемой аппаратом электрической цепи. [c.64]

КОНТАКТ (электрического аппарата) — конструктивный узел, который осуществляет замыкание или размыкание электрической цепи. К. состоит из подвижного и неподвижного элементов. [c.65]

Индуктивный датчик ИД-31. Катушка, магнитопровод и штепсельный разъем 5 индуктивного датчика (рис. 117) залиты эпоксидным компаундом и представляют собой единый неразъемный узел. Якорь датчика сочленяется со штоком серводвигателя регулятора мощности. Датчик — это электрический преобразователь, в котором линейное перемещение якоря вызывает изменение значения индуктивного сопротивления катушки. Максимальный сигнал датчика соответствует положению якоря, выдвинутому за корпус, а минимальный — максимально вдвинутому положению. При увеличении нагрузки поршень серводвигателя перемещается и вдвигает якорь в катушку индуктивного датчика, за счет чего уменьшается ток в цепи регулировочной обмотки амплистата. При изменении частоты вращения вала дизеля меняется напряжение и частота питания индуктивного датчика. Однако в связи с тем что индуктивное сопротивление катушки намного больше активного, ток в регулировочной обмотке амплистата не зависит от позиции контроллера, а зависит от положения якоря в катушке. Напряжение датчика 10 В частота питающего напряжения 133 Гц ход якоря при изменении сопротивления от минимального до максимального 65 мм минимальное полное сопротивление катушки (не более) 5,5 Ом максимальное полное сопротивление катушки (не менее) 70 Ом ток продолжительный 1,4 А. [c.155]

Если аналоговые и цифровые компоненты взаимодействуют в процессе моделирования, устройства интерфейса включаются в схему замещения цепи автоматически, когда они соединяются друг с другом. Для обеспечения такого режима предварительно в библиотеки цифровых компонентов включаются ассоциируемые с каждым компонентом модели устройств интерфейса, оформленные в виде макромоделей. При расщеплении узла интерфейса для автоматического включения устройства интерфейса программа МС7 создает новый цифровой узел. Заметим, что узел интерфейса характеризуется электрическим напряжением, а дополнительный цифровой узел — логическим состоянием. [c.260]

Описание технологии. На участке дуговых электрических печей вместо свальцованных из стального листа обечаек, снизу которых укреплены 22 цепи и тросовой узел крепления объемом 8 т, внедрена завалочная бадья новой конструкции, которая позволила существенно снизить расход электроэнергии. [c.72]

Разделение дисбалансов двух плоскостей коррекции в электрической цепи. Электрическим аналогом ротора в цепях измерения дисбалансов является потенциометр с двумя источниками ЭДС, развиваемых датчиками станка и пропорциональных действующим в опорах силам. В соответствующих точках решающей электросхемы действуют напряжения, пропорциональные неуравновешенным центробежным силам в плоскостях коррекции. Для исключения влияния одной из плоскостей коррекции ползунок потенциометра устанавливают так, что напряжение на нем от составляющих ЭДС, вызванных дисбалансом исключаемой плоскости, равно нулю, а от составляющих ЭДС, вызванных дисбалансом другой плоскости, отлично от нуля. Это полохгение ползунка моделирует полохгение узла колебаний ротора между опорами балансировочного станка от дисбаланса исключаемой плоскости коррекции. Напряжение сигнала дисбаланса пропорционально амплитуде колебаний ротора в плоскости, пересекающей этот узел. [c.55]

Прямая система электромеханических аналогий не является един-ственно возможной. Можно составить и другие системы аналогий, основанные на сходстве дифференциальных уравнений. Среди них в электроакустике используют обратную (инверсную) систему аналогий, Она основана на сходстве уравнений (11.3.10) для простой механической системы с соединением механических элементов в цепочку с (И.3.8) для электрической цепи с последовательным соединением электрических элементов. Эти уравнения подобны, и можно построить систему аналогий, в которой механическим аналогом индуктивности является гибкость, аналогом сопротивления потерь — величина, обратная механическому сопротивлению, аналогом напряжения — скорость. Такую систему называют инверсной. При этом параллельному соединению электрических элементов соответствует в механических системах соединение в узел, последовательному — в цепочку. Сравнивая элекромеханические схемы одного и того же механического устройства, составленные по прямой и инверсной системам аналогий, видно, что они дуальны одна из них импедансная, а другая представляет собой схему обратных сопротивлений. Пользуясь правилом перехода от одной дуальной цепи к другой, легко перейти от схемы, составленной согласно прямой системе электромеханических аналогий, к соответвующей инверсной схеме. [c.61]

Здесь импедансы гф и 1/(/сос2), а также масса mi и гибкость f соединены в цепочку. Эти две цепочки соединены с массой в узел (рис. П.4.10, б). Скорости движения элементов системы и механические силы, действующие на отдельные элементы, должны удовлетворять дифференциальным уравнениям, которые согласно правилам прямых электромеханических аналогий можно составить для электрических напряжений и токов эквивалентной электрической цепи, а электрическая цепь изображена на рис. II.4.10, в, где напряжение, индуктивность и емкости отмечены символами механических сил, масс и гибкостей соответствующих элементов системы, причем соединению механических элементов в узел отвечает последовательное соединение электрической цепи, а соединению в цепочку—, параллельное. [c.71]

Датчик длины стрелы (рис.54) представляет собой основание 6, в которое вмонтирован подщипниковый узел 8, обеспечивающий поворот оси 9 датчика с укрепленным на ее конце экраном 7. Последний располагается в блоке катущек 5 трансформаторного преобразователя и при его повороте происходит изменение электрического сигнала преобразователя. Экран 7 имеет две профильные кромки. Блок катущек 5 также имеет две пары расположенных друг против друга катущек. Каждая пара катушек подключается к одной из двух схем преобразователя. На выходе датчика появляются два сигнала в зависимости от угла поворота оси 9 датчика один передается по цепи на указатель длины, а другой в сумматор по цепи образования защитной характеристики. Устанавливается датчик длины на стреле так же, как и датчик ограничителя ОГБ-3 (см.рис.53). При помощи струны 2 и рычага изменения длины стрелы преобразуется в пропорциональное угловое перемещение оси 9 (рис. 54), с закрепленным на ней экраном 7. [c.110]

Электрические цепи управления тепловозов ТЭЗ разделены на следующие узлы пуск дизеля, трогание тепловоза (набор первой позиции), разгон поезда, регулирование скорости путем ослабления возбуждения тяговых электродвигателей, регулирование температуры воды и масла дизеля, подача песка. Для каждого узла даны описание последовательности срабатывания аппаратов, входящих в узел электрической цепи аппарата, последовательности осмотра аппаратов при определении несработав-шего и схемы проверок элементов, образующих цепь катушки каждого аппарата. [c.221]

На тепловозах ТЭ1, ТЭ2 и ТЭМ2 применяется автоматическое изменение схемы соединения двигателей. На схеме (рис. 22) при.замкнутом контакторе С и разомкнутых контакторах СП1 и С172 группы двигателей соединены последовательно, при замкнутых СП и разомкнутом С — параллельно. На отечественных тепловозах этот способ регулирования не применяется, так как ток нагрузки генератора в момент изменения схемы резко возрастает и этим вызывается наиболее трудный переходный процесс в электрической цепи генератора с многократными, хотя и затухающими колебаниями. Кроме того, узел автоматического переключения двигателей является одним из самых сложных узлов схемы управления. [c.20]

Самостоятельное значение имеет силовая цепь пуска дизеля. При передаче постоянного тока — это цепь включения тягового генератора в качестве стартер ного двигателя при тяговом генераторе переменного тока — цепь включения стартерного двигателя. В обоих случаях в узел входит источник электрической энергии — аккумуляторная батарея. Цепи управления процессом пуска дизеля входят в общий комплекс цепей управления. На всех тепловозах имеются цепи агрегатов собственных нужд, цепи измерительных приборов, сигналов и освещения. [c.175]

В системе управления реверс-режимом гидропередачи УГП имеются особенности, обусловленные типом гидропередачи и техническим исполнением системы управления. Гидропередачи УГП750, имеющие гидромуфту, в электрической схеме не имеют цепей доворота, так как он осуществляется за счет действия воздуха, находящегося в гидромуфте. В гидроп АДаыах-УГП750/2Т, не имеющих гидромуфты, доворот осуществляется посредством кратковременного наполнения гидротрансформатора, для управления которым в электрическую схему вводится узел доворота. Особенности в принципиальной схеме системы управления реверс-режимом объясняются также и назначением ее для управления одним или двумя тепловозами. [c.212]

Схемы электрические классификация 175, 176 силовая цепь 177—180 узел возбуждения генератора тепловоза 2ТЭ10В 180—182 узел возбуждения генератора тепловоза с передачей переменно-постоянного тока 182—188 цепи управления тепловоза 2ТЭ10В 189-191 Схемы электрические тепловозов и дизель-поездов с гидравлической передачей устройства и цепи автоматической защиты 215, 216 цепи управления и блокирования реверса 211-214 цепи управления пуском 210, 211 цепи трогания 215 [c. 254]

Стенды нередко воспроизводят схему машины, в которой применяют данный узел трения. Учитывая высокую стоимость конструирования и зготовления стендов, целесообразно в качестве их базовых элементов использовать натурные механизмы машин (например, для исследования канатов — электрическую таль, крановую тележку и др. для исследования тяговых цепей — натурные механизмы конвейеров и т. д.), оснащая их специальными элементами, необходимыми для исследовательских целей (например, устройствами, приспособлениями и пр. для воспроизведения видов изнашивания, наиболее близких к возможным в реальных условиях эксплуатации приборами для определения нагрузок, пройденного пути, числа циклов нагружений и т, д. устройствами безопасности и автоматизации работы и т. д.). Особое внимание при разработке стенда следует уделять воспроизведению на нем ведущего вида изнашивания, проявляющегося в реальных условиях эксплуатации. Несоблюдение этого правила в лучшем случае приведет к удлинению сроков испыта-92 [c. 92]

Неподвижный контакт И, дугогасительная система и узел блок-контактов смонтированы на изоляционном пластмассовом основании 5. В дугогасительную систему входят катушка 7, сердечник 8, полюсы 10, рога 9 и /5 и дугогасительная камера 1. Дугога-сительная камера зажата между полюсами 10 специальной гайкой 2. При подключении втягивающей катушки к цепи питания якорь поворачивается вокруг кромки сердечника и прижимает подвижной контакт 12 к неподвижному И. Нажимая пластинкой (планкой) на траверсу блок-контактов, он производит их переключение. При отключении втягивающей катушки якорь под воздействием возвратной пружины отходит от сердечника, размыкая главные контакты и переключая блок-контакты в исходное положение. Электрическая дуга при размыкании главных контактов под воздействием магнитного поля между полюсами 10 перебрасывается на рога 9 и 13, вталкивается внутрь дугогасительной камеры, растягивается и гаснет. [c.185]

Останавливать движущийся узел в предельных положениях можно электрическими конечными выключателями простого или моментного действия, механическими либо комбинированными электромеханическими или электрогидромеханическими устройствами, Принцип работы механических систем точного ограничения хода состоит в том, что движущаяся часть станка в определенной точке пути встречает жесткий (мертвый) упор, закрепленный на неподвижной части станка. В результате кинематическая цепь привода движущейся части станка разрывается. Это может быть осуществлено различными способами. На рис. 40, а салазки 2 при встрече с жестким упором 1 останавливаются, и фрикционная муфта 3 начинает буксовать. Так продолжается до тех пор, пока не будет выключен электродвигатель или салазки не будут отведены от упора, например, реверсированием электродвигателя. Вместо фрикционной муфты может быть использована, например, кулачковая предохранительная муфта. [c.61]

Теоретические основы электротехники: метод узловых напряжений

Метод узловых напряжений – это расчет электрических цепей, в которых переменными являются значения напряжений в узлах цепей относительно базисного узла. Уравнения составляются на базе первого закона Кирхгофа, что позволяет сократить число уравнений системы до значения k-1, где k — число узлов цепи. Этот метод лучше использовать, когда число ветвей электрической цепи больше двух. Метод узловых напряжений нашел применение в компьютерных программах моделирования электрических цепей, за счет простоты алгоритма формирования уравнений узлов.

Узловыми напряжениями называются напряжения между произвольным опорным узлом (в нем потенциал принимается равным нулю) и каждым из узлов. На схемах опорный узел отображают заземленным.

Рассмотрим различные методы расчета электрических цепей

Сущность этого метода, заключается в решении системы уравнений, при помощи которых определяются потенциалы каждого узла схемы по отношению с опорным узлом. После этого производится расчет цепей при помощи закона Ома, то есть определяются значения токов всех ветвей.

Расчет сложных цепей производится в следующей последовательности:

1. Составляется принципиальная схема, со всеми элементами.

2. Назначается произвольный опорный узел. Причем рекомендуется выбирать такой узел, в котором сходится наибольшее количество ветвей.

3. Задается произвольное направление токов во всех ветвях, что и обозначается на схеме.

4. Для расчета потенциалов оставшихся узлов по отношению к выбранному опорному узлу составляется система уравнений.

Равенства такой системы будут иметь следующий вид:

U1G11 – U2G12 — … — UsG1s – UnG1n = ∑1EG + ∑1J

-U1G21 + U2G22 — … — UsG2s – UnG2n = ∑2EG + ∑2J

…………………………………………………………………………….

U1Gn1 – U2Gn2 — … — UsGns + UnGnn = ∑nEG + ∑nJ, где:

G – сумма проводимости ветвей подключенных к узлу;
U – значение узловых напряжений;
∑EG – алгебраическая сумма значений произведений ЭДС ветвей, которые примыкают к узлу, на их проводимости. (В том случае, когда ЭДС действует в направлении узла, тогда произведению присваивается знак «+», в обратном случае – «-».)

Описанная выше система уравнений разрешает легко рассчитывать искомые значения узловых напряжений. Она имеет название – система узловых уравнений. В том случае, когда сложная электрическая цепь состоит из n-го количества узлов, необходимо составить узловые уравнения на один меньше, чем численность узлов. Учитывая то, что все уравнения записаны на базе первого закона Кирхгофа, то рассчитываемая цепь должна содержать исключительно независимые источники электрического тока. В том случае, когда схема содержит источники напряжения, их необходимо заменять на эквивалентные источники тока. Кроме того, узловые уравнения возможно записать в матричной форме.

5. Система уравнений решается относительно узловых напряжений, определяя их значения.

6. После этого для каждой ветви отдельно по закону Ома вычисляются все значения электрического тока в цепи.

I = (Ua – Ub + ∑Eab)/ ∑Rab, где:

I – значение тока ветви цепи;
Ua – потенциал узла а;
Ub – потенциал узла b;
∑Eab — алгебраическая сумма данной ветви;
∑Rab – арифметическая сумма сопротивлений данной ветви.

Метод узловых напряжений для схем, состоящих из двух узлов

При расчете электрических цепей, которые содержат всего два узла, система уравнений будет состоять из одного уравнения, из которого возможно напрямую вычислить значение узлового напряжения:

U = (∑nEnGn + ∑nJn)/ ∑mGm, где:

∑nEnGn – алгебраическая сумма значений произведений ЭДС ветвей на проводимости этих ветвей;
∑nJn – алгебраическая сумма значений источников тока;
∑mGm – арифметическая сумма проводимостей всех ветвей между узлами.

Метод узловых напряжений имеет следующие математические преимущества: удобство вычислений и значительное сокращение количества арифметических операций.

Законы Кирхгофа и их применение

Для расчета разветвленной сложной электрической цепи существенное значение имеет число ветвей и узлов.
Ветвью электрической цепи и ее схемы называется участок, состоящий только из последовательно включенных источников ЭДС и приемников с одним и тем же током. Узлом цепи и схемы называется место или точка соединения трех и более ветвей (узлом иногда называют и точку соединения двух ветвей).
При обходе по соединенным в узлах ветвям можно получить замкнутый контур электрической цепи; каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, при этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более одного раза.

На рис. 1.13 в качестве примера показана схема электрической цепи с пятью узлами и девятью ветвями. В частных случаях встречаются ветви только с резистивными элементами без источников ЭДС (ветвь 1 — у) и с сопротивлениями, практически равными нулю (ветвь 2 — р). Так как напряжение между выводами ветви 2 — р равно нулю (сопротивление равно нулю), то потенциалы точек 2 и р одинаковы и оба узла можно объединить в один.
Режим электрической цепи произвольной конфигурации полностью определяется первым и вторым законами Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна пулю:

В этом уравнении одинаковые знаки должны быть взяты для токов, имеющих одинаковые положительные направления относительно узловой точки. В дальнейшем будем в уравнениях, составленных по первому закону Кирхгофа, записывать токи, направленные к узлу, с отрицательными знаками, а направленные от узла, — с положительными.
Если к данному узлу присоединен источник тока, то ток этого источника также должен быть учтен. В дальнейшем будет показано, что в ряде случаев целесообразно писать в одной части равенства (1.19а) алгебраическую сумму токов в ветвях, а в другой части алгебраическую сумму токов, обусловленных источниками токов:

где I — ток одной из ветвей, присоединенной к рассматриваемому узлу, a J — ток одного из источников тока, присоединенного к тому же самому узлу; этот ток входит в (1.196) с положительным знаком, если направлен к узлу, и с отрицательным, если направлен от узла.
Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех элементах и участках цепи, входящих в этот контур, равна нулю:

при этом положительные направления для напряжений на элементах и участках выбираются произвольно; в уравнении (1.20а) положительные знаки принимаются для тех напряжений, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура.

Часто применяется другая формулировка второго закона Кирхгофа: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех участках с сопротивлениями, входящими в этот контур, равна алгебраической сумме ЭДС:

В этом уравнении положительные знаки принимаются для токов и ЭДС, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода рассматриваемого контура.
В теории электрических цепей решаются задачи двух типов. К первому типу относятся задачи анализа электрических цепей, когда, например, известны конфигурация и элементы цепи, а требуется определить токи, напряжения и мощности тех или иных участков. Ко второму типу относятся обратные задачи, в которых, например, заданы токи и напряжения на некоторых участках, а требуется найти конфигурацию цепи и выбрать ее элементы. Такие задачи называются задачами синтеза электрических цепей. Отметим, что решение задач анализа намного проще решения задач синтеза.
В практической электротехнике довольно часто встречаются задачи анализа. Кроме того, для овладения приемами синтеза цепей необходимо предварительно изучить методы их анализа, которые преимущественно и будут в дальнейшем рассматриваться.
Задачи анализа могут быть решены при помощи законов Кирхгофа. Если известны параметры всех элементов цепи и ее конфигурация, а требуется определить токи, то при составлении уравнений по законам Кирхгофа рекомендуется придерживаться такой последовательности: сначала выбрать произвольные положительные направления токов во всех ветвях электрической цепи, затем составить уравнения для узлов на основании первого закона Кирхгофа и, наконец, составить уравнения для контуров на основании второго закона Кирхгофа.
Пусть электрическая цепь содержит В ветвей и У узлов. Покажем, что на основании первого и второго законов Кирхгофа можно составить соответственно У — 1 и В — У + 1 взаимно независимых уравнений, что в сумме дает необходимое и достаточное число уравнений для определения В токов (во всех ветвях).
На основании первого закона Кирхгофа для У узлов (рис. 1.13) можно написать У уравнений:

Так как любая ветвь связывает между собой только два узла, то ток каждой ветви должен обязательно войти в эти уравнения 2 раза, причем I₁₂=-I₂₁; I₁₃=-I₃₁ и т.д.
Следовательно, сумма левых частей всех У уравнений дает тождественно нуль. Иначе говоря, одно из У уравнений может быть получено как следствие остальных У — 1 уравнений или число взаимно независимых уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгофа, равно У — 1, т. е. на единицу меньше числа узлов. Например, в случае цепи по рис. 1.14,о с четырьмя узлами

Добавим к этим У — 1 = 3 уравнениям уравнение

Суммируя четыре уравнения, получаем тождество 0 = 0; следовательно, из этих четырех уравнений любые три независимые, например первые три (1.21а).
Так как беспредельное накопление электрических зарядов не может происходить как в отдельных узлах электрической цепи, так и в любых ее частях, ограниченных замкнутыми поверхностями, то первый закон Кирхгофа можно применить не только к какому-либо узлу, но и к любой замкнутой поверхности — сечению.

Электрические цепи постоянного тока в электротехнике (ТОЭ)

Содержание:

Расчет электрических цепей постоянного тока:

Основная цель расчета электрической цепи заключается в определении токов в ее ветвях. Зная токи, нетрудно найти напряжения и мощности ветвей и отдельных элементов цепи.

Величины токов, напряжений, мощностей дают возможность оценить условия и эффективность работы электротехнического оборудования и приборов во всех участках электрической цепи.

Связь между э.д.с., напряжениями и токами линейных электрических цепей выражается линейными уравнениями, т. е. уравнениями первой степени, поэтому для расчета их применяются аналитические методы с обычными алгебраическими преобразованиями.

Законы Кирхгофа

Для расчета электрических цепей наряду с законом Ома применяются два закона Кирхгофа, являющиеся следствиями закона сохранения энергии.

Первый закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам электрических цепей:
в ветвях, образующих узел электрической цепи, алгебраическая сумма токов равна нулю:

В эту сумму токи входят с разными знаками в зависимости от направления их по отношению к узлу. На основании первого закона Кирхгофа для каждого узла можно составить уравнение токов. Например, для точки 3 схемы рис. 3.16 такое уравнение имеет вид

I₁+ I₂ — I₄ — I₇ = 0.

В этом уравнении токи, направленные к узлу, условно взяты положительными, а токи, направленные от узла, — отрицательными:

I₁+ I₂ = I₄ + I₇. (4.2)

Уравнение (4.2) позволяет дать другую формулировку первого закона Кирхгофа:
сумма токов, направленных к узлу электрической цепи, равна сумме токов, направленных от этого узла.

Этот закон следует из принципа непрерывности тока. Если допустить преобладание в узле токов одного направления, то заряд одного знака должен накапливаться, а потенциал узловой точки непрерывно изменяться, что в реальных цепях не наблюдается.

Второй закон Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрических цепей:
в контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений на его ветвях равна нулю:

Для доказательства второго закона Кирхгофа обойдем контур 1-2-3-4-5-6-1 в схеме рис. 3.16 по часовой стрелке и запишем выражения потенциалов точек контура при указанных направлениях токов в ветвях (выбраны произвольно). Обход начнем от точки 1, потенциал которой V₁. Потенциал каждой последующей точки выразим относительно точки предыдущей: V₂ = V₁ + Е₁; V₃ = V₂ — I₁R₁; V₄ = V₃ — I₄R₄; V₅ = V₄ — E₃; V₆ = V₅ + I₆R₆; V₁ = V₆ — I₃R₃.

Изменение потенциала по выбранному контуру должно быть равно нулю, так как оно выражает работу, затраченную на перемещение частиц, обладающих вместе единицей заряда, по замкнутому пути в электрических полях источников и приемников энергии. Таким образом, в замкнутом контуре

или

В этом уравнении напряжения ветвей

поэтому

В уравнении (4. 4) напряжения, направленные по обходу контура, считаются положительными, а направленные против обхода — отрицательными.

Уравнение (4.4) перепишем в следующем виде:

Уравнение (4.5) позволяет дать другую формулировку второго закона Кирхгофа:
в контуре электрической цепи алгебраическая сумма падений напряжения на пассивных элементах равна алгебраической сумме э. д. с. этого контура:

Другим контурам соответствуют другие уравнения, которые нетрудно написать, не прибегая к выражениям потенциалов точек контура.

Для этого можно пользоваться следующим правилом. В левую часть уравнения следует записать алгебраическую сумму падений напряжения в пассивных элементах контура, а в правую—алгебраическую сумму э.д.с., встречающихся при обходе контура.

При этом положительными считаются токи и э. д. с., направление которых совпадает с направлением обхода.

Согласно этому правилу, запишем уравнения для двух других контуров схемы, представленной на рис. 3.16:

для 1-2-3-6-1

для 3-4-6-3

Неразветвленная электрическая цепь

Элементы неразветвленной электрической цепи соединены между собой последовательно.

Отличительной особенностью последовательного соединения является то, что электрический ток во всех участках цепи один и тот же.

Общий случай последовательного соединения

Рассмотрим общий случай последовательного соединения источников и приемников электрической энергии (рис. 4.1), пренебрегая внутренними сопротивлениями источников. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа, произвольно задавшись направлением тока в цепи и направлением обхода контура (например, по часовой стрелке):

Ток в цепи

При обходе контура видно, что относительно направления обхода э. д. с. Е₁ и Е₃ направлены одинаково, т. е. согласно, а э. д. с. Е₂ — им навстречу.

Ток в цепи определяется действием всех трех э. д.с., и при заданных направлениях э. д. с. и тока нетрудно установить, что элементы с э. д. с. E₁ и Е₃ вырабатывают электрическую энергию, а элемент с э. д. с. Е₂ ее потребляет. Если в качестве источников э. д. с. в данном случае предположить аккумуляторы, то источники Е₁ и Е₃ разряжаются, а источник Е₂ заряжается.

В элементах цепи, характеризующихся сопротивлениями R₁, R₂ и R₃, электрическая энергия преобразуется в тепловую. Рассматривая в качестве примера схему рис. 4.1, нетрудно убедиться в том, что второй закон Кирхгофа является следствием закона сохранения энергии в применении его к контуру электрической цепи.

Рис. 4.1. Схема неразветвленной электрической цепи

Для этого достаточно умножить уравнение (4.7) на I, перенеся предварительно Е₂ в левую часть:

Получим уравнение баланса мощности — для рассматриваемой цепи: сумма мощностей источников электрической энергии равна сумме мощностей приемников.

Ток в цепи с последовательным соединением элементов (рис. 4.1) не изменится и баланс мощностей сохранится, если произвести перестановку элементов цепи, сгруппировав э. д. с. и сопротивления, как показано на рис. 4.2, а.

Рис. 4.2. Преобразование схемы неразветвленной электрической цепи

Последовательное соединение пассивных элементов

Участок цепи 4-5-6-1 представляет собой последовательное соединение резисторов. На рассматриваемом участке действует напряжение U, равное алгебраической сумме э. д. с. левой части схемы [см. правую часть уравнения (4.7)]. Это напряжение равно также сумме падений напряжения в правой части схемы [см. левую часть уравнения (4.7)].

Вынеся I за скобку, получим

или

Отношение U/I = R есть некоторое сопротивление, эквивалентное по своему действию всем трем сопротивлениям:

Это равенство позволяет на участке 4-5-6-1 три сопротивления заменить одним (эквивалентным) и получить более простую схему (рис. 4.2, б) при условии неизменности тока в цепи и сохранении того же баланса мощностей. Этот вывод можно распространить на любое число последовательно включенных пассивных элементов:

т. е. общее сопротивление неразветвленной цепи равно сумме сопротивлений ее участков.

Последовательное соединение источников э.д.с.

Участок 1-2-3-4 цепи на рис. 4.2, а представляет собой последовательное соединение источников э. д. с. Напряжение между точками 4-1

Последнее равенство позволяет на участке 1-2-3-4 три э. д. с. заменить одной (эквивалентной)

и получить более простую схему (рис. 4.2, в), в которой только одна (эквивалентная) э. д. с. Е.

Этот вывод можно распространить на любое число последовательно включенных источников. Если э. д. с. всех источников равны и направлены согласно, как это имеет место при включении аккумуляторных элементов в батарее, то общая э. д. с. может быть определена по формуле

где Е_n — э. д. с. одного элемента; n — число элементов в батарее.

Согласно составленной эквивалентной схеме (рис. 4.2, в),

Потенциальная диаграмма

В схеме, представленной на рис. 4.1, при переходе от точки 1 к точке 2 потенциал повышается на величину Е₁, а при переходе от точки 2 к точке 3 — снижается на величину U_2.3 = IR₁. При переходе от точки 3 к точке 4 потенциал понижается на величину U_3.4 = —E₂.

Рис. 4.3. Потенциальная диаграмма электрической цепи

Изменение потенциалов в электрической цепи можно наглядно изобразить графически в виде потенциальной диаграммы.

Потенциальная диаграмма представляет собой график изменения потенциала при обходе цепи, построенный в прямоугольной системе координат, в которой по оси абсцисс откладываются в определенном масштабе сопротивления участков цепи, а по оси ординат — потенциалы соответствующих точек. Потенциальная диаграмма цепи, изображенной на рис. 4.1, показана на рис. 4.3.

Потенциалы точек цепи найдены согласно равенствам

причем потенциал точки 1 принят равным нулю.

Поскольку внутренние сопротивления источников э. д. с. приняты равными нулю, при переходе через эти элементы потенциалы изменяются скачком.

Задача 4.3.

Генератор постоянного тока, аккумуляторная батарея и два резистора с постоянным сопротивлением составляют неразветвленную цепь Э. д. с. генератора E_г = 120 В; внутреннее сопротивление r_г = 1,0 Ом, э. д. с. батареи Е_а = 72 В, внутреннее сопротивление r_а = 3 Ом, R₁ = 16 Ом, R₂ = 12 Ом.

Определить ток в цепи, составить баланс мощностей и построить потенциальную диаграмму цепи.
Решение. По условию задачи составлена схема (рис 4.4), из которой видно, что генератор и аккумуляторная батарея включены согласно: относительно произвольно выбранного направления обхода цепи обе э. д. с. направлены одинаково.

Рис. 4.4. К задаче 4.3

Эквивалентная э. д. с. цепи

Эквивалентное внутреннее сопротивление

Эквивалентное сопротивление нагрузки

Ток в цепи

Для составления баланса мощностей найдем мощность каждого элемента цепи:

генератора

аккумуляторной батареи

потерь внутри генератора

потерь внутри аккумуляторной батареи

потребления в резисторе R₁

потребления в резисторе R₂

Баланс мощностей (общая мощность источников энергии равна суммарной мощности потребления)

Для построения потенциальной диаграммы найдем потенциалы точек цепи, полагая потенциал точки 1 V₁ = 0:

Потенциальная диаграмма показана на рис. 4.5.

Рис. 4.5. Потенциальная диаграмма.

Разветвленная электрическая цепь с двумя узлами

Разветвленная электрическая цепь, как видно из названия, состоит из нескольких ветвей.

Ветви, присоединенные к одной паре узлов, включены параллельно (рис. 4.7, а). Отличительной особенностью параллельного соединения является то, что ко всем ветвям приложено одно и то же напряжение.

Рис. 4.7. Преобразование схемы с параллельным соединением приемников

Параллельное соединение пассивных элементов

Приемники электрической энергии, представленные на схеме рис.4. 7, а сопротивлениями R₁, R₂, R₃ и источник электрической энергии Е с внутренним сопротивлением r подключены к одной паре узлов (точки А и Б). Составим уравнение токов для узла А в соответствии с первым законом Кирхгофа:

Токи приемников можно выразить, используя напряжение между узлами и проводимости ветвей:

где

Разделим это уравнение на U:

Отношение UU есть проводимость G, соответствующая общему току цепи и общему напряжению:

Этот вывод можно распространить на любое число n параллельно соединенных приемников:

При параллельном соединении пассивных ветвей общая проводимость между двумя узлами равна сумме проводимостей всех ветвей.

Исходя из формул (4.13) и (4.14), можно заменить три проводимости (в общем случае n проводимостей) одной (эквивалентной) проводимостью GО и получить более простую схему (рис. 4.7, б).

Эквивалентное сопротивление при параллельном соединении нескольких ветвей определяется из равенства

Очень часто встречается параллельное соединение двух ветвей. В этом случае эквивалентное сопротивление определяется по формуле

или

Схема на рис. 4.7, б, полученная после замены трех проводимостей одной (эквивалентной), представляет собой простейшую схему электрической цепи.

Ток в этой схеме, равный току в неразветвленной части (рис. 4.7,а), определяется по формуле

Целью расчета электрической цепи является не только определение общего тока, но и тока в каждой ветви.

Если заданы э.д.с. и все сопротивления, то после определения общего тока по формуле (3.15) нужно определить напряжение между узловыми точками и токи в ветвях по закону Ома:

Параллельное соединение источников энергии

В практике часто встречаются случаи параллельного включения источников электрической энергии, работающих совместно на один или несколько приемников (рис. 4.8).

Рис. 4.8. Преобразование схемы с параллельным соединением источников

В таких случаях определением токов в источниках решается важная задача распределения нагрузки между ними.

Представим источники энергии в схеме рис. 4.8, а эквивалентными схемами источников тока, а сопротивление приемника заменим проводимостью G (рис. 4.8, б):

где U = U_аб — напряжение между узловыми точками А и Б.

По первому закону Кирхгофа, для узла А

или

Это равенство дает основание три источника тока заменить одним (эквивалентным), а схему рис. 4.8, б заменить более простой (рис. 4.8, в). Эквивалентный источник тока характеризуется током короткого замыкания

и внутренней проводимостью

Для схемы рис. 4.8, в

Напряжение между узлами

Токи в ветвях можно определить по следующим формулам:

Из этих выражений следует, что источники с относительно большей э. д. с. и меньшим внутренним сопротивлением имеют больший ток, т. е. принимают на себя большую нагрузку. Если э. д. с. и внутренние сопротивления источников одинаковы, нагрузка между ними распределяется поровну.

Общий ток в этом случае определяется произведением тока одного источника I_n на число параллельно включенных источников:

Величина тока каждого источника ограничена его номинальным значением I_ном, сверх которого нагружать источник нельзя. Параллельное соединение источников применяется для увеличения общего тока, благодаря чему достигается увеличение мощности потребления энергии без изменения напряжения.

От схемы с эквивалентным источником тока можно перейти к схеме с эквивалентным источником э. д. с. (рис. 4.8, г), разделив уравнение (4.17) на g:

Так как l/g = r — внутреннее сопротивление эквивалентного источника э. д. с., то I_кr = Ir + U.

Но I_кr — Е — э. д. с. эквивалентного источника; Ir — падение напряжения во внутреннем сопротивлении, поэтому Е = U + Ir.

Рассматривается метод расчета разветвленных электрических цепей, предусматривающий замену всех источников э.д.с. одним (эквивалентным), который принято называть эквивалентным генератором.

Общий случай параллельного соединения источников и приемников электрической энергии

Выводы и формулы, полученные ранее, могут быть применены для расчета электрических цепей с двумя узловыми точками, между которыми содержится любое число параллельных ветвей с источниками и приемниками энергии, в том числе и такие ветви, которые имеют несколько элементов, соединенных последовательно (например, схема рис. 4.9).

Порядок расчета таких цепей, предусматривающий предварительное определение напряжения между узловыми точками, называется методом узлового напряжения.

Для применения этого метода должны быть заданы э.д.с. источников и проводимости ветвей (последние можно определить, если заданы сопротивления элементов каждой ветви).

Рис. 4.9. Схема с двумя узлами

В общем случае токи в ветвях и э. д. с. могут иметь различное направление, поэтому при определении узлового напряжения нужно взять алгебраическую сумму произведений ЕG и формула (4.18) примет вид

Знак э. д. с. устанавливается в соответствии с положительным направлением токов в ветвях, которое выбирается произвольно, но одинаково для всех ветвей (например, от Б к А).

Э. д. с. ветви считается положительной, если ее направление совпадает с положительным направлением тока. В противном случае э. д. с. подставляют со знаком минус в формулу (4.21) и также при определении токов по формулам (4.19).

Задача 4.8.

Для схемы, изображенной на рис. 4.7, а, известны: Е = 130 В, r = 0,5 Ом, R₁ = 30 Ом, R₂ = 20 Ом, R₃ = 12 Ом. Определить токи в схеме, мощность передачи энергии приемникам и к. п. д. источника.
Решение. Вначале определим эквивалентное сопротивление между точками А и Б:

Ток в неразветвленной части цепи

Для определения токов в параллельных ветвях между узловыми точками определим напряжение на зажимах источника, которое в данном случае равно напряжению на приемниках:

Проверим правильность определения токов по уравнению (4. 1):

Мощность передачи энергии приемникам

К. п. д. источника

Задача 4.10.

Для схемы, изображенной на рис. 4.7, а, известны: R₁ = 10 Ом; R₂ = 15 Ом; R₃ = 6 Ом, r = 0,5 Ом, l₃ = 10 А. Определить токи в схеме, мощность и к. п. д. источника.
Решение. Используя данные условия, относящиеся к третьей ветви, определим напряжение между узлами А и Б по закону Ома:

Напряжение U является общим для всех ветвей, присоединенных к точкам А и Б. Это дает возможность использовать ту же формулу для определения токов в двух ветвях:

Ток в неразветвленной части цепи

Э. д. с. источника

Мощность источника

Мощность потребления энергии приемниками

К. п. д. источника

Задача 4.12.

Определить токи и составить баланс мощностей для схемы, изображенной на рис. 4.9, если известны: E₁ = 120 В; E₂ = 80 В; E₃ = 60 В; r₁ = 0,5 Ом; r₂ = 0,4 Ом; r₃ = 0,2 Ом; R₁ = 2 Ом; R₂ = 15,6 Ом; R₃ = 12,4 Ом; R₄ = 7,5 Ом; R₅ = 7,4 Ом.
Решение. Применяя метод узлового напряжения, найдем U_АБ по формуле (4.21). Предварительно зададим положительное направление токов от Б к А и подсчитаем проводимости ветвей:

Токи в ветвях:

Токи l₁ и l₃ положительны. Их направление совпадает с выбранным ранее условно-положительным направлением от узла Б к узлу А. Направление тока l₂ противоположно положительному направлению; в результате расчета этот ток получился отрицательным. На схеме рис. 4.9 пунктиром показано положительное направление токов в ветвях, а сплошной стрелкой — их действительное направление.

Для составления баланса мощностей необходимо подсчитать мощность каждого элемента схемы, в том числе и мощность потерь внутри источников. Заметим, что направления э. д. с. и токов во всех ветвях совпадают — источники Э. д. с. являются источниками энергии.

Мощности источников: P_1.1 = E₁I₁ = 120 • 7,3 = 876 Вт; P_1.2 = Е₂I₂ = 80 • 7,95 = 636 Вт; Р_1.3 = E₃I₃ = 60 • 0,65 = 39 Вт.

Общая мощность источников 1551 Вт.

При определении мощности источников можно не задумываться над тем, в каком режиме работает тот или другой источник. Ответ на этот вопрос дает знак полученной мощности, если токи и э. д. с. подставлять с теми знаками, какие были приняты или получены в расчете. Например, мощность второго источника положительна: P_1.2 = —80 • (—7,95) = 636 Вт. Это указывает на то, что в данной ветви работает источник энергии. Раньше Е₂ и I₂ сразу были взяты положительными, так как отмечено совпадение направлений напряжения и тока.

Мощность потерь внутри источников:

Общая мощность потерь внутри источников приблизительно 52 Вт. Мощность приемников:

Общая мощность приемников 1499 Вт.

Баланс мощностей (мощность источников равна мощности приемников плюс мощность потерь внутри источников) 1551 Вт = 1499 + 52 Вт.

Расчет электрических цепей методом эквивалентных сопротивлений (метод «свертывания» цепи)

Метод эквивалентных сопротивлений применяется для расчета таких электрических цепей, в которых имеются пассивные элементы, включенные между собой последовательно, параллельно или по смешанной схеме.

Определение эквивалентных сопротивлений

На схеме рис. 4.10, а сопротивления R₃ и R₄ включены последовательно: между ними (в точке 3) нет ответвления с током, поэтому I₃ = I₄. Эти два сопротивления можно заменить одним (эквивалентным), определив его как сумму

После такой замены получается более простая схема (рис. 4.10, б). Сопротивления R₂ и R_{3. 4} соединены параллельно, их можно заменить одним (эквивалентным), определив его по формуле (4.16):

и получить более простую схему (рис. 4.10, в).

Рис. 4.10. К методу эквивалентных сопротивлений

В схеме рис. 4.10, в сопротивления R₁, К_2.4, К₅ соединены последовательно. Заменив эти сопротивления одним (эквивалентным) сопротивлением между точками 1 и 5, получим простейшую схему (рис. 4.10, г).

Подобными преобразованиями схему смешанного соединения пассивных элементов с одним источником энергии в большинстве случаев можно привести к простейшей схеме. В более сложных схемах методом эквивалентных сопротивлений достигается упрощение, которое значительно облегчает расчет.

Определение токов

В простейшей схеме (рис. 4.10, г) ток I определяется по закону Ома с использованием формулы (3.15). Токи в других ветвях первоначальной схемы определяют, переходя от схемы к схеме в обратном порядке.

Из схемы рис. 4.10, в видно, что

Кроме того, напряжение между точками 2 и 4

Зная это напряжение, легко определить токи I₂ и I₃ = I₄:

После определения токов I₁ и I₅ напряжение U_2.4 можно найти как разность потенциалов между точками 2 и 4. Для этого положим V₄ известным (например, равным нулю), а V₂ найдем так же, как при построении потенциальной диаграммы, обойдя от точки 4 неразветвленный участок цепи с током I₁ =I₅:

Метод преобразования треугольника и звезды сопротивлений

Пассивные элементы в электрических цепях соединяются не только последовательно или параллельно. Во многих схемах можно выделить группы из трех элементов, образующих треугольник или звезду сопротивлений.

При расчете подобных цепей упрощение схем выполняют известным методом эквивалентных сопротивлений, но предварительно проводят преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду или наоборот.

Треугольник и звезда сопротивлений

Рассмотрим в качестве примера схему рис. 4 .11, а, которая применяется для измерения сопротивлений (схема моста Уитстона).

В этой схеме нет элементов, соединенных последовательно или параллельно, но имеются замкнутые контуры из трех сопротивлений (треугольники сопротивлений), причем точки, разделяющие каждую пару смежных сопротивлений, являются узловыми.

К узловым точкам a, b, c присоединен треугольник сопротивлений R_ab, R_bc, R_ca. Его можно заменить эквивалентной трехлучевой звездой сопротивлений R_a, R_b, R_c (на рисунке изображены штриховыми линиями), присоединенных с одной стороны к тем же точкам a, b, c, а с другой — в общей (узловой) точке e.

Рис. 4.11. Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду

Смысл замены становится понятным при рассмотрении эквивалентной схемы 4.11, б, где сопротивления R_b и R_bd соединены между собой последовательно, так же как b сопротивления R_c и R_dc.

Две ветви между узловыми точками e и d с этими парами сопротивлений соединены параллельно. Соответствующими преобразованиями схему можно привести к простейшему виду.

Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду

Замена треугольника сопротивлений эквивалентной звездой и наоборот осуществляется при условии, что такая замена не изменяет потенциалов узловых точек a, b, c, являющихся вершинами треугольника и эквивалентной звезды.

Одновременно предполагают, что в остальной части схемы, не затронутой преобразованием, режим работы не изменяется (не меняются токи, напряжения, мощности). Для доказательства возможности перехода от треугольника к звезде и наоборот рассмотрим схемы рис. 4.11, в, г.

Эти схемы остаются эквивалентными для всех режимов, в том числе и для режима, при котором I_a = 0, что соответствует обрыву общего провода, ведущего к точке а. В этом случае в схеме треугольника между точками b и c включены параллельно две ветви с сопротивлениями R_bc и R_ab + R_ca

Общее сопротивление между этими точками

В схеме звезды между точками b и c включены последовательно сопротивления R_b и R_c. Общее сопротивление между этими точками R_b + R_c.

По условиям эквивалентности напряжение между точками b и c и токи I_b и I_c в обеих схемах должны быть одинаковыми. Следовательно, и сопротивления между точками b и c в обеих схемах одинаковы, т. е.

Полагая I_b =0, а затем I_c = 0, получим:

Совместное решение трех полученных уравнений приводит к следующим выражениям, которые служат для определения сопротивлений трехлучевой звезды по известным сопротивлениям эквивалентного треугольника:

Преобразование звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник

Для расчета некоторых схем применяется преобразование трехлучевой звезды в эквивалентный треугольник, которое показано на рис. 4.12, а, где схема взята такой же, как на рис. 4.11, а.

При этом для определения параметров треугольника по заданным параметрам звезды пользуются формулами, которые записаны применительно к схемам рис. 4.12, а, б:

где G_ad; G_dc; G_ca — проводимости сторон треугольника; G_a; G_d; G_c — проводимости лучей звезды.

Зная проводимости, нетрудно определить сопротивления треугольника, если это необходимо.

Рис. 4.12. Преобразование трехлучевой звезды в эквивалентный треугольник

1.1.
Основные пояснения и термины

Электротехника — это область науки и техники, изучающая
электрические и магнитные явления и их использование в практических
целях.

Каждая наука имеет свою терминологию. Запомним термины, понятия электротехники.

Электрическая цепь — это совокупность устройств, предназначенных для
производства, передачи, преобразования и использования электрического
тока.

Все электротехнические устройства по назначению, принципу действия и
конструктивному оформлению можно разделить на три большие группы.

Источники энергии, т.е. устройства, вырабатывающие электрический ток
(генераторы, термоэлементы, фотоэлементы, химические элементы).

Приемники, или нагрузка, т.е. устройства, потребляющие электрический
ток (электродвигатели, электролампы, электромеханизмы и т.д.).

Проводники, а также различная коммутационная аппаратура (выключатели,
реле, контакторы и т.д.).

Направленное движение электрических зарядов называют электрическим током.
Электрический ток может возникать в замкнутой электрической цепи. Электрический
ток, направление и величина которого неизменны, называют постоянным
током и обозначают прописной буквой I.

Электрический ток, величина и направление которого не остаются постоянными,
называется переменным током. Значение переменного тока в рассматриваемый
момент времени называют мгновенным и обозначают строчной буквой i.

Для работы электрической цепи необходимо наличие источников энергии.
В любом источнике за счет сторонних сил неэлектрического происхождения
создается электродвижущая сила. На зажимах источника возникает разность
потенциалов или напряжение, под воздействием которого во внешней, присоединенной
к источнику части цепи, возникает электрический ток.

Различают активные и пассивные цепи, участки и элементы цепей. Активными
называют электрические цепи, содержащие источники энергии, пассивными
— электрические цепи, не содержащие источников энергии.

Электрическую цепь называют линейной, если ни один параметр цепи не
зависит от величины или направления тока, или напряжения.

Электрическая цепь является нелинейной, если она содержит хотя бы один
нелинейный элемент. Параметры нелинейных элементов зависят от величины
или направления тока, или напряжения.

Электрическая схема — это графическое изображение электрической цепи,
включающее в себя условные обозначения устройств и показывающее соединение
этих устройств. На рис. 1.1 изображена электрическая схема цепи, состоящей
из источника энергии, электроламп 1 и 2, электродвигателя 3.

Рис. 1.1

Для
облегчения анализа электрическую цепь заменяют схемой замещения.

Схема замещения — это графическое изображение электрической цепи с помощью
идеальных элементов, параметрами которых являются параметры замещаемых
элементов.

На рисунке 1.2 показана схема замещения.

Рис. 1.2

1.2.
Пассивные элементы схемы замещения

Простейшими
пассивными элементами схемы замещения являются сопротивление, индуктивность
и емкость.

В реальной цепи электрическим сопротивлением обладают не только реостат
или резистор, но и проводники, катушки, конденсаторы и т.д. Общим свойством
всех устройств, обладающих сопротивлением, является необратимое преобразование
электрической энергии в тепловую. Тепловая энергия, выделяемая в сопротивлении,
полезно используется или рассеивается в пространстве. В схеме замещения
во всех случаях, когда надо учесть необратимое преобразование энергии,
включается сопротивление.

Сопротивление проводника определяется по формуле

(1.1)

где l — длина
проводника;

S — сечение;

r — удельное сопротивление.

Величина, обратная сопротивлению, называется проводимостью.

Сопротивление
измеряется в омах (Ом), а проводимость — в сименсах (См).

Сопротивление пассивного участка цепи в общем случае определяется
по формуле

где P —
потребляемая мощность;

I — ток.

Сопротивление в схеме замещения изображается следующим образом:

Индуктивностью называется
идеальный элемент схемы замещения, характеризующий способность цепи
накапливать магнитное поле. Полагают, что индуктивностью обладают только
индуктивные катушки. Индуктивностью других элементов электрической цепи
пренебрегают.

Индуктивность катушки, измеряемая в генри [Гн], определяется по формуле

где W — число витков катушки;

Ф — магнитный поток катушки, возбуждаемый током i.

На рисунке показано изображение индуктивности в схеме замещения.

Емкостью
называется идеальный элемент схемы замещения, характеризующий способность
участка электрической цепи накапливать электрическое поле. Полагают,
что емкостью обладают только конденсаторы. Емкостью остальных элементов
цепи пренебрегают.

Емкость конденсатора, измеряемая в фарадах (Ф), определяется по формуле:

где q — заряд на
обкладках конденсатора;

Uс — напряжение на конденсаторе.

На рисунке показано изображение емкости в схеме замещения

Активные
элементы схемы замещения

Любой источник
энергии можно представить в виде источника ЭДС или источника тока. Источник
ЭДС — это источник, характеризующийся электродвижущей силой и внутренним
сопротивлением.Идеальным называется источник ЭДС, внутреннее сопротивление
которого равно нулю.

На рис. 1.3 изображен источник ЭДС, к зажимам которого подключено
сопротивление R.

Ri — внутреннее сопротивление источника ЭДС.

Стрелка ЭДС направлена от точки низшего потенциала к точке высшего потенциала,
стрелка напряжения на зажимах источника U12 направлена в противоположную
сторону от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом.

Рис. 1.3

тЙУ. 1.3

Ток

(1.2)

(1.3)

У идеального источника ЭДС
внутреннее сопротивление Ri = 0, U12 = E.

Из формулы (1.3) видно, что напряжение на зажимах реального источника
ЭДС уменьшается с увеличением тока. У идеального источника напряжение
на зажимах не зависит от тока и равно электродвижущей силе.

Возможен другой путь идеализации источника: представление его в виде
источника тока.

Источником тока называется источник энергии, характеризующийся величиной
тока и внутренней проводимостью.

Идеальным называется источник тока, внутренняя проводимость которого
равна нулю.

Поделим левую и правую части уравнения (1. 2) на Ri и получим

где
— ток источника тока;

— внутренняя проводимость.

У идеального источника тока gi
= 0 и J = I.

Ток идеального источника не зависит от сопротивления внешней части
цепи. Он остается постоянным независимо от сопротивления нагрузки. Условное
изображение источника тока показано на рис. 1.4.

Любой реальный источник ЭДС можно преобразовать
в источник тока и наоборот. Источник энергии, внутреннее сопротивление
которого мало по сравнению с сопротивлением нагрузки, приближается по
своим свойствам к идеальному источнику ЭДС.

Рис. 1.4

Если внутреннее
сопротивление источника велико по сравнению с сопротивлением внешней
цепи, он приближается по своим свойствам к идеальному источнику тока.

1.4.Основные
определения, относящиеся к схемам

Различают разветвленные
и неразветвленные схемы.

На рис. 1.5 изображена неразветвленная схема.

На рис. 1.6 показана разветвленная схема, содержащая два источника ЭДС
и 5 сопротивлений.

Сопротивления соединительных проводов принимают равными нулю.

Разветвленная схема — это сложная комбинация соединений
пассивных и активных элементов.

На рис. 1.6 показана разветвленная схема, содержащая два источника ЭДС
и 5 сопротивлений.

Сопротивления соединительных проводов принимают равными нулю.

Рис. 1.5 Участок электрической цепи, по которому проходит один и тот
же ток, называется ветвью. Место соединения двух и более ветвей электрической
цепи называется узлом. Узел, в котором сходятся две ветви, называется
устранимым. Узел является неустранимым, если в нем соединены три и большее
число ветвей. Узел в схеме обозначается точкой.

Последовательным
называют такое соединение участков цепи, при котором через все участки
проходит одинаковый ток. При параллельном соединении все участки цепи
присоединяются к одной паре узлов, находятся под одним и тем же напряжением.

Любой замкнутый путь, включающий в себя несколько ветвей, называется
контуром.

Рис. 1.6

1.5.
Режимы работы электрических цепей

В зависимости от нагрузки различают
следующие режимы работы: номинальный, режим холостого хода, короткого
замыкания, согласованный режим.

При номинальном режиме электротехнические устройства работают в условиях,
указанных в паспортных данных завода-изготовителя. В нормальных условиях
величины тока, напряжения, мощности не превышают указанных значений.

Режим холостого хода возникает при обрыве цепи или отключении сопротивления
нагрузки.

Режим короткого замыкания получается при сопротивлении нагрузки, равном
нулю. Ток короткого замыкания в несколько раз превышает номинальный
ток. Режим короткого замыкания является аварийным.

Согласованный режим — это режим передачи от источника к сопротивлению
нагрузки наибольшей мощности. Согласованный режим наступает тогда, когда
сопротивление нагрузки становится равным внутреннему сопротивлению источника.
При этом в нагрузке выделяется максимальная мощность.

1.

6.
Основные законы электрических цепей

На рис. 1.7 изображен
участок цепи с сопротивлением R. Ток, протекающий через сопротивление
R, пропорционален падению напряжения на сопротивлении и обратно пропорционален
величине этого сопротивления.

Падением напряжения на сопротивлении называется
произведение тока, протекающего через сопротивление, на величину этого

Рис. 1.7 сопротивления.

Основными законами электрических
цепей, наряду с законом Ома, являются законы баланса токов в разветвлениях
(первый закон Кирхгофа) и баланса напряжений на замкнутых участках цепи
(второй закон Кирхгофа). В соответствии с первым законом Кирхгофа, алгебраическая
сумма токов в любом узле цепи равна нулю:

Возьмем схему на рис. 1.8 и запишем для нее уравнение
по первому закону Кирхгофа.

Токам, направленным к узлу, присвоим знак «плюс»,
а токам, направленным от узла — знак «минус». Получим следующее
уравнение:

Рис. 1.8

или

Согласно второму закону
Кирхгофа, алгебраическая сумма ЭДС вдоль любого замкнутого контура равна
алгебраической сумме падений напряжений в этом контуре

Возьмем схему на рис. 1.9
и запишем для внешнего контура этой схемы уравнение по второму закону
Кирхгофа.

Для этого выберем произвольно направление обхода
контура, например, по часовой стрелке. ЭДС и падения напряжений записываются
в левую и правую части уравнения со знаком «плюс», если направления
их совпадают с направлением обхода контура, и со знаком «минус»,
если не совпадают.

При определении тока в ветви, содержащей источник ЭДС, используют закон
Ома для активной ветви.

Рис. 1.9

Возьмем ветвь, содержащую сопротивления и источники ЭДС. Ветвь включена
к узлам a-b, известно направление тока в ветви (рис. 1.10).

Возьмем замкнутый контур, состоящий из активной ветви
и стрелки напряжения Uab, и запишем для него уравнение по второму закону
Кирхгофа. Выберем направление обхода контура по часовой стрелке.

Рис.1.10

Получим

Из этого уравнения выведем формулу
для тока

В общем виде:

где ?R — сумма сопротивлений ветви;

?E — алгебраическая сумма ЭДС.

ЭДС в формуле записывается со знаком «плюс», если направление
ее совпадает с направлением тока и со знаком «минус», если
не совпадает.

3 Простые определения узлов, ответвлений и контуров и пример

Ответвления, узлы и контуры необходимы для анализа электрических цепей. Элементы электрической цепи могут быть соединены друг с другом различными способами. Из-за этого нам необходимо понимать базовые знания об электрической цепи, такие как топология сети и схема. Несмотря на то, что это звучит как одно и то же, и сеть, и схема — это разные вещи.

Сеть представляет собой взаимосвязь устройств или элементов.
Цепь — это сеть, состоящая из одного или нескольких замкнутых путей.

При анализе топологии сети мы найдем различные способы соединения и конфигурации электрических элементов. Соединение между элементами схемы образует ветви, узлы и петли. Кто они такие? Их мы узнаем в этом посте, читайте до конца.

Что такое ответвление в электрической цепи

Ответвление — это путь между двумя узлами. Что такое узел? Мы узнаем это после этого.Если вы не знали, что такое узел, мы изучим ветку с более простым объяснением.

По простому объяснению ответвление обычно представляет собой элемент с двумя клеммами, который мы используем для построения электрической цепи. Каждый раз, когда мы используем элемент схемы, электрическая цепь будет подключаться к обеим его клеммам, образуя замкнутый путь.

Как уже упоминалось выше, элементы схемы соединяются между двумя узлами схемы. Путь, образованный между двумя узлами, называется ветвью. Используя более сложный термин, ответвление — это путь между двумя узлами, который может поглощать или отдавать энергию в электрической цепи.

Но следует помнить, что ветвь без какого-либо элемента или короткого замыкания остается ветвью.

В заключение:

Ответвлением является элемент цепи, такой как источник напряжения или тока или резистор, конденсатор, катушка индуктивности.

Для лучшего понимания вы можете рассмотреть пример схемы ниже:

В схеме выше мы видим, что у нас есть пять ветвей:

Источник напряжения 10 В
Резистор 5 Ом
Резистор 20 Ом
Резистор 3 Ом
Источник тока 2А

Что такое узел в электрической цепи

Мы уже упоминали выше, что такое узел, и сейчас мы полностью в этом разберемся.Если ветвь — это путь между двумя узлами или элементом схемы, то узел — это точка, проходящая через элемент схемы. Если мы используем термины элементов схемы, узел — это точка, в которой два или более терминала элементов соединены вместе.

В заключение:

Узел — это точка, в которой две или более ветвей соединяются вместе.

Узел представлен точкой в электрической цепи. Поймите, что если короткое замыкание (плоский провод) соединить с двумя узлами, эти два узла образуют один узел.Обратите внимание на приведенный ниже пример схемы:

В приведенной выше схеме мы можем перечислить три узла, которые существуют внутри нее: узлы a , b и c . Три узла, подключенные к одному проводу, образуют один узел b .

Точно так же, как узел b , мы также можем рассматривать узел c как то же самое. Немного разобравшись с узлом, мы можем перерисовать схему выше в схему ниже:

Не волнуйтесь, обе схемы идентичны.

Что такое петля в электрической цепи

В кратком объяснении петля образуется из узла, проходящего через набор узлов и возвращающегося к исходной точке или узлу без прохождения одного и того же узла дважды или более.

Цикл можно назвать независимым, если он содержит хотя бы одну ветвь, не являющуюся частью другого независимого цикла.

В заключение:

Петля – это замкнутый путь внутри электрической цепи.

Обратите внимание на схему ниже:

Обычно независимая петля не содержит такого ответвления.В приведенной выше схеме мы перечисляем независимый контур:

Путь abca с резистором 2 Ом.
Путь bcb с резистором 3 Ом и источником тока.
Путь с параллельным резистором 3 Ом и резистором 2 Ом.

Заключение ветвей, узлов и циклов

Узнав о ветвях, узлах и циклах, мы можем сделать некоторые выводы, чтобы завершить наше исследование на этом. Предположим, что у нас есть сеть состоит из:

3
- B
  3
- N NE
- L Loops
Эти три числа будут удовлетворять основную теорему топологии сети:
b = l + n – 1
Приведенное выше уравнение очень поможет нам при изучении напряжения и тока в электрической цепи.Термин «узел» можно использовать для различения последовательных и параллельных цепей.
Последовательная цепь — это когда два или более элемента цепи совместно используют один узел и пропускают одинаковую величину тока.
Параллельная цепь — это когда два или более элемента цепи подключены к одним и тем же двум узлам и по ним проходит одинаковое напряжение.
Примеры узлов, ответвлений и циклов
Для лучшего понимания рассмотрим приведенные ниже примеры:
1. Изучите приведенную ниже схему и посчитайте количество ответвлений и узлов.Также определите, какие части соединены последовательно или параллельно.
Вышеприведенная схема состоит из четырех элементов, поэтому она имеет четыре ответвления:
- источник напряжения 10 В,
- резистор 5 Ом,
- резистор 6 Ом и
- источник тока 2 А
- 2
  Подстановка полученных таким образом выражений для I ₁ , I ₂ и I ₃ в уравнение тока Кирхгофа дает следующее: