Алгебра логики схемы: Таблицы истинности и логические схемы | ЕГЭ по информатике

5. Логические схемы — Информатика

4.4. Логические элементы и синтез логических схем. Информатика: аппаратные средства персонального компьютера

4.4. Логические элементы и синтез логических схем

Сложные цифровые логические устройства, входящие в состав компьютера, состоят из ряда элементарных логических элементов, построенных на базе средств электронной техники. При производстве этих электронных логических элементов используют различные технологии и схемотехнические решения, такие как: ДТЛ (диодно-транзисторная логика), ТТЛ (транзисторно-транзисторная логика), ЭСЛ (эмиттерно-связанная логика), технологии, основанные на использовании полевых транзисторов, и т. д. Логические элементы позволяют реализовать любую логическую функцию. Входные и выходные сигналы логических элементов, соответствующие двум логическим состояниям 1 и 0, могут иметь один из двух установленных уровней электрического напряжения, который зависит от схемотехнического решения логического элемента. Например, для логических элементов, основанных на технологии ТТЛ, высокий уровень электрического напряжения (2,4 ? 5 В) соответствует значению логической единицы (истина), а низкий уровень (0 ? 0,4 В)   – логическому нулю (ложь).

Три приведенных ниже логических элемента составляют функционально полную систему для проектирования цифровых логических устройств, в том числе и соответствующих логических блоков и устройств компьютера, поскольку реализуют функционально полный набор логических функций, состоящий из логических функций: И (конъюнкции), ИЛИ (дизъюнкции), НЕ (отрицания).

1. Логический элемент НЕ, который называется также инвертором, выполняет логическую операцию отрицания (инверсии).

2. Логический элемент И, называемый также конъюнктором, выполняет операцию логического умножения (конъюнкции), теоретически может иметь бесконечное число входов, на практике ограничиваются числом входов от двух до восьми.

3. Логический элемент ИЛИ, называемый также дизъюнктором, выполняет операцию логического сложения (дизъюнкции), теоретически может иметь бесконечное число входов, на практике ограничиваются числом входов от двух до восьми.

При проектировании цифровых логических устройств часто возникает задача по заданной таблице истинности записать выражение для логической функции и реализовать ее в виде логической схемы, состоящей из функционально полного набора логических элементов. Данную задачу называют также задачей синтеза логических схем или логических устройств.

Синтез логических схем на основе функционально полного набора логических элементов состоит из представления логических функций, описывающих данные логические схемы в нормальных формах. Нормальной формой представления считается форма, полученная посредством суперпозиций вспомогательных логических функций – минтермов и макстернов.

Минтермом называют логическую функцию, которая принимает значение логической единицы только при одном значении логических переменных и значение логического нуля при других значениях логических переменных. Например, минтермами являются логические функции F₂, F₃, F₅и F₉(см. рис. 4.3).

Макстерном называют логическую функцию, которая принимает значение логического нуля только при одном значении логических переменных и значение логической единицы при других значениях логических переменных. Например, макстернами являются логические функции F₈, F₁₂, F₁₄и F₁₅(см. рис. 4.3).

Из минтермов и макстернов методом суперпозиции можно составить логические функции, которые называются соответственно логической функцией, представленной посредством совершенных дизъюнктивных нормальных форм (СДНФ), и логической функцией, представленной посредством совершенных конъюнктивных нормальных форм (СКНФ). Полученные таким образом функции СДНФ и СКНФ будут представлять искомую логическую функцию по заданной таблице истинности. После получения функций СДНФ и СКНФ их необходимо преобразовать (минимизировать). Преобразование данных функций с целью их минимизации осуществляется с помощью законов алгебры логики и специальных разработанных методов: метод Квайна, карты Карно, диаграммы Вейча и т. д.

Рассмотрим задачу синтеза на примере модифицированной таблицы истинности, приведенной на рис. 4.6. Для данной таблицы истинности необходимо записать выражение для выходной функции F, провести ее преобразование (минимизацию) на основе законов алгебры логики и, используя основные логические элементы – НЕ, И и ИЛИ, разработать логическую схему реализации выходной функции F.

Рис. 4.6. Таблица истинности логических переменных A, В и С

Значения логических переменных А, В и С и соответствующие значения функции F приведены в таблице истинности (см. рис. 4.6), где в столбце № – указан номер комбинации логических переменных A, В и С.

Для решения указанной задачи представим логическую функцию F в виде СДНФ, а затем и в СКНФ. Найдем вспомогательные функции минтермы и макстермы. В заданной таблице истинности выходная функция F принимает логическое значение, равное логической единице, при комбинациях логических переменных A, В и С, указанных под номерами 3, 6, 8, а значение, равное логическому нулю – при комбинациях, указанных под номерами 1, 2, 4, 5,7.

Минтермы запишем в следующем виде:

Минтермы представляют собой логические произведения (конъюнкции) логических переменных А, В, и С при значениях логической функции F, равных логической единице (комбинации 3, 6, 8). Сомножители (логические переменные A, В и С) входят в минтерм в прямом виде (без отрицания), если их значения равны логической единице, и в инверсном (с отрицанием), если их значения равны логическому нулю. Логическая функция F в СДНФ будет равна логической сумме минтермов:

После минимизации логической функции Fc использованием законов алгебры логики получим ее искомое выражение:

Макстермы запишем в следующем виде:

Макстермы представляют собой логические суммы (дизъюнкции) логических переменных А, В, и С при значениях логической функции F, равных логическому нулю (комбинации 1, 2, 4, 5, 7). Слагаемые (логические переменные A, В, и С) входят в макстерм в прямом виде (без отрицания), если их значения равны логическому нулю, и в инверсном (с отрицанием), если их значения равны логической единице. Логическая функция F в СКНФ будет равна логическому произведению макстермов:

Поскольку полученное выражение для F в виде СКНФ является более громоздким по сравнению с представлением F в виде СДНФ, то в качестве окончательного выражения для F примем ее выражение в виде СДНФ, т. е.

Аналогичным образом можно получить выражение для любой логической функции, которая представлена с помощью заданной таблицы истинности с Означениями логических переменных.

Используем полученное выражение логической функции F для разработки (построения) логической схемы на основе функционально полного набора логических элементов НЕ, И и ИЛИ. При построении логической схемы необходимо учитывать установленные в алгебре логики правила (приоритеты) для выполнения логических операций, которые в данном случае реализуются с помощью логических элементов НЕ, И и ИЛИ. Порядок производимых логических операций будет следующий: операция инверсии (отрицания), операция логического умножения (конъюнкции) и затем операция логического сложения (дизъюнкции). Реализация функции F в виде логической схемы, приведена на рис. 4.7.

Рис. 4.7. Реализация функции F в виде логической схемы

Для графического отображения логических схем существуют различные компьютерные программы, называемые графическими редакторами. Данные программы могут быть включены в другие компьютерные программы, например в программах Microsoft Word и Microsoft Excel такие редакторы реализованы с помощью панелей инструментов «Рисование», или быть самостоятельными программами, например Paint, Microsoft Visio и т. д. Воспользуемся встроенным графическим редактором (панель «Рисование») программы MS Excel для графического отображения логической схемы функции F. Данная логическая схема показана на рис. 4.8.

Рис. 4.8. Графическое отображение логической функции F с помощью программы MS Excel

На основе функционально полного набора логических элементов построены различные электронные устройства, входящие в состав компьютера. К таким устройствам относятся сумматоры (выполняющие операции сложения двоичных чисел), триггеры (устройства, имеющие два устойчивых состояния: логического нуля и логической единицы и используемые в качестве двоичных элементов памяти), регистры памяти (состоящие из набора триггеров), двоичные счетчики, селекторы (переключатели сигналов), шифраторы, дешифраторы и т. д.

Рассмотренные выше таблицы истинности логических элементов показывают установившиеся значения логических переменных. Однако когда логические переменные представлены в виде электрических сигналов, то необходимо некоторое время для того, чтобы значение логической функции достигло уровня установившегося состояния из-за внутренних задержек по времени в электронных логических элементах. В среднем задержка электрического сигнала такого элемента составляет 10^-9 с. В компьютере двоичные сигналы проходят через множество электронных схем, и задержка по времени может стать значительной. В этом случае выделяется отрезок времени (такт) на каждый шаг логической операции. Если операция заканчивается раньше, чем заканчивается тактовое время, то устройство, входящее в состав компьютера, ожидает ее окончания. В результате скорость выполнения операций несколько снижается, но достигается высокая надежность, так как обеспечивается синхронизация между многими параллельно выполняющимися операциями в компьютере. Синхронизация устройств в компьютере обеспечивается с помощью специального генератора – генератора тактовой частоты, который вырабатывает электрические импульсы стабильной частоты.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Продолжение на ЛитРес

построение логических схем. Совершенная конъюнктивная нормальная форма

средняя общеобразовательная школа №22 г. Владикавказа

Конспект урока по информатике

на тему:

«Основы логики:

построение логических схем»

учитель информатики

Гресева Т.В.

2015 г.

Конспект урока на тему: «Основы логики: построение логических схем».

Данный урок четвёртый в рамках темы «Основы логики». Предполагается, что обучающиеся уже знакомы с основными определениями и логическими операциями, умеют строить таблицы истинности для простых и сложных логических выражений.

Цели урока:

создание условий для формирования знаний по построению логических схем для сложных выражений;

Задачи:

изучить принципы построения логических схем для сложных выражений;

способствовать развитию логического мышления;

сформировать у учащихся представления об устройствах элементной базы компьютера.

Тип урока:

урок совершенствования знаний, умений и навыков;

целевого применения усвоенного.

Вид урока:
комбинированный.

Используемое оборудование:

компьютер;

приложение Microsoft Office PowerPoint 2003
ивыше;

мультимедиа проектор;

интерактивная доска (по возможности).

План урока:

Организационный момент (1 мин)

Опрос по материалу прошлого урока (4 мин)

Представление нового материала (20 мин)

Выполнение практического задания (12 мин)

Подведение итогов урока. Задание на дом (3 мин)

Ход урока:

1. Организационный момент.
   

Приветствие учащихся. Проверка присутствующих. Настрой на урок.

1. Опрос по материалу прошлого урока.
   

На прошлом уроке мы с вами познакомились с основными логическими операциями. Обучающимся предлагается ответить на следующие вопросы:

1. Представление нового материала.
   

Над возможностями применения логики в технике ученые и инженеры задумывались уже давно. Например, голландский физик Пауль Эренфест (1880 — 1933) говорил «…Пусть имеется проект схемы проводов автоматической телефонной станции. Надо определить: 1) будет ли она правильно функционировать при любой комбинации, могущей встретиться в ходе деятельности станции; 2) не содержит ли она излишних усложнений. Каждая такая комбинация является посылкой, каждый маленький коммутатор есть логическое «или-или», воплощенное в эбоните и латуни; все вместе – система чисто качественных… «посылок», ничего не оставляющая желать в отношении сложности и запутанности… правда ли, что, несмотря на существование алгебры логики, своего рода «алгебра распределительных схем» должна считаться утопией?». Созданная позднее М. А. Гавриловым (1903 – 1979) теория релейно-контактных схем показала, что это вовсе не утопия.

Посмотрим на микросхему.

На первый взгляд ничего того, что нас удивило бы, мы не видим. Но если рассматривать ее при сильном увеличении она поразит нас своей стройной архитектурой.

Чтобы понять, как она работает, вспомним, что компьютер работает на электричестве, то есть любая информация представлена в компьютере в виде электрических импульсов. Поговорим о них.

С точки зрения логики электрический ток либо течет, либо не течет; электрический импульс есть или его нет; электрическое напряжение есть или его нет… В связи с этим поговорим о различных вариантах управления включением и выключением обыкновенной лампочки (лампочка также работает на электричестве). Для этого рассмотрим электрические контактные схемы, реализующие логические операции.

Виды логических элементов (вентилей):

1. Конъюнктор (И):

2. Дизъюнктор (ИЛИ):

3. Инвертор НЕ:

Недостатками контактных схем являлись их низкая надежность и быстродействие, большие размеры и потребление энергии. Поэтому попытка использовать такие схемы в ЭВМ не оправдала себя. Появление вакуумных и полупроводниковых приборов позволило создавать логические элементы с быстродействием от 1 миллиона переключений в секунду. Именно такие электронные схемы нашли свое применение к качестве элементной базы ЭВМ. Вся теория, изложенная для контактных схем, была перенесена на электронные схемы.

Логический элемент (вентиль)
— это электронное устройство, реализующее одну из логических функций.

Обычно у вентилей бывает от двух до восьми входов и один или два выхода.

Логическая схема
— это электронное устройство, которое реализует любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера.

Физически каждый логический элемент представляет собой электронную схему, в которой на вход подаются некоторые сигналы, кодирующие 0 либо 1, а с выхода снимается также сигнал, соответствующий 0 или 1 в зависимости от типа логического элемента.

Обработка любой информации на компьютере сводится к выполнению процессором различных арифметических и логических операций. Для этого в состав процессора входит так называемое арифметико-логическое устройство
. Оно состоит из ряда устройств, построенных на рассмотренных выше логических элементах.

Важнейшими из таких устройств являются регистры
и сумматоры
.

Регистр представляет собой электронный узел, предназначенный для хранения многоразрядного двоичного числового кода. Упрощенно можно представить регистр как совокупность ячеек, в каждой из которых может быть записано одно из двух значений: 0 или 1, то есть один разряд двоичного числа. Такая ячейка, называемая триггером
, представляет собой некоторую логическую схему, составленную из рассмотренных выше логических элементов.

Под воздействием сигналов, поступающих на вход триггера, он переходит в одно из двух возможных устойчивых состояний, при которых на выходе будет выдаваться сигнал, кодирующий значение 0 или 1. Для хранения в регистре одного байта информации необходимо 8 триггеров.

Сумматор
— это электронная схема, предназначенная для выполнения операции суммирования двоичных числовых кодов.

Правила построения логических схем:

1) Определить число логических переменных.

2) Определить количество базовых логических операций и их порядок.
3) Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей логический элемент.
4) Соединить логические элементы в порядке выполнения логических операций.

Построим логическую схему для логического выражения:

Для этого нам потребуется 3 логических элемента:

1. Выполнение практического задания.
   

Задание №1

Построить логическую схему для логического выражения и выяснить, при каких входных сигналах на выходе схемы не будет напряжения?

Задание №2

По построенной логической схеме составить логическое выражение

1. Подведение итогов урока. Задание на дом.
   

Ответы на вопросы учащихся. Подведение итога урока. Выставление оценок.

Домашнее задание (слайд 18).

Знания из области математической логики можно использовать для конструирования электронных устройств. Нам известно, что 0 и 1 в логике не просто цифры, а обозначение состояний какого-то предмета нашего мира, условно называемых «ложь» и «истина». Таким предметом, имеющим два фиксированных состояния, может быть электрический ток. Устройства, фиксирующие два устойчивых состояния, называются бистабильными (например, выключатель, реле). Если вы помните, первые вычислительные машины были релейными. Позднее были созданы новые устройства управления электричеством — электронные схемы, состоящие из набора полупроводниковых элементов. Такие электронные схемы, которые преобразовывают сигналы только двух фиксированных напряжений электрического тока (бистабильные), стали называть логическими элементами
.

На элементарном уровне конъюнкцию можно представить себе в виде последовательно соединенных выключателей, а дизъюнкцию — в виде параллельно соединенных выключателей:

Логические элементы имеют один или несколько входов и один выход, через которые проходят электрические сигналы, обозначаемые условно 0, если «отсутствует» электрический сигнал, и 1, если «имеется» электрический сигнал. Простейшим логическим элементом является инвертор
, выполняющий функцию отрицания. Если на вход поступает сигнал, соответствующий 1, то на выходе будет 0. И наоборот. У этого элемента один вход и один выход. На функциональных схемах он обозначается:

Логический элемент, выполняющий логическое сложение, называется дизъюнктор
. Он имеет, как минимум, два входа. На функциональных схемах он обозначается:

Логический элемент, выполняющий логическое умножение, называется конъюнктор.
Он имеет, как минимум, два входа. На функциональных схемах он обозначается:

Специальных логических элементов для импликации и эквивалентности нет, т.к. А => В можно заменить на А V В; А В можно заменить на (A & B)V(A & B).

Другие логические элементы построены из этих трех простейших и выполняют более сложные логические преобразования информации. Сигнал, выработанный одним логическим элементом, можно подавать на вход другого элемента, это дает возможность образовывать цепочки из отдельных логических элементов. Например:

Эта схема соответствует сложной логической функции F(A,B)= (А V В).

Попробуйте проследить изменения электрического сигнала в этой схеме. Например, какое значение электрического сигнала (0 или 1) будет на выходе, если на входе: А=1 и В=0.

Такие цепи из логических элементов называются логическими устройствами
. Логические устройства же, соединяясь, в свою очередь образуют функциональные схемы
(их еще называют структурными или логическими схемами
). По заданной функциональной схеме можно определить логическую формулу, по которой эта схема работает, и наоборот.

Пример 1.
Логическая схема для функции будет выглядеть следующим образом:

Правила составления электронных логических схем по заданным таблицам истинности остаются такими же, как для контактных схем.

Пример 2.
Составить логическую схему для тайного голосования трех персон A, B, C, условия которого определяются следующей таблицей истинности:

Решение

По таблице построим СДНФ логической функции и упростим ее:

Правильность полученной формулы можно проверить, составив для нее таблицу истинности:

Значение полученной функции совпадает с исходным, что можно заметить, сравнивая таблицы.

Логическая схема полученной функции имеет вид:

Рассмотрим еще два логических элемента, которые играют роль базовых при создании более сложных элементов и схем.

Логический элемент И-НЕ состоит из конъюнктора и инвертора:

Логический элемент ИЛИ-НЕ состоит из дизъюнктора и инвертора:

Выходная функция выражается формулой .

Вопросы для самоконтроля

1. Основные логические операции: конъюнкция, дизъюнкия (оба вида), отрицание, импликация, эквивалентность. Примеры логических выражений.

2. Таблица истинности. Примеры. A and not A; A or not A

3. Основные законы математической логики: перестановочное, сочетательное и распределительное

4. Законы де Моргана (закон отрицания).

5. (Совершенная) дизъюнктивная нормальная форма. Пример

Пример решение логических задач средствами алгебры логики

Логические схемы

Логическая схема
– это схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их проводников, а также из входов и выходов, на которые подаётся и с которых снимается электрический сигнал.

Каждый переключатель имеет только два состояния: замкнутое
и разомкнутое
. Переключателю Х поставим в соответствие логическую переменную х, которая принимает значение 1 в том и только в том случае, когда переключатель Х замкнут и схема проводит ток; если же переключатель разомкнут, то х равен нулю.

Две схемы называются равносильными

, если через одну из них проходит ток тогда и только тогда, когда он проходит через другую (при одном и том же входном сигнале).

Из двух равносильных схем более простой считается та схема, функция проводимости которой содержит меньшее число логических операций или переключателей.

При рассмотрении переключательных схем возникают две основные задачи: синтез

и анализ

схемы.

СИНТЕЗ СХЕМЫ по заданным условиям ее работы сводится к следующим трём этапам:

1. составлению функции проводимости по таблице истинности, отражающей эти условия;
2. упрощению этой функции;
3. построению соответствующей схемы.

АНАЛИЗ СХЕМЫ сводится к:

1. определению значений её функции проводимости при всех возможных наборах входящих в эту функцию переменных.
2. получению упрощённой формулы.

Задача
: Составить таблицу истинности для данной формулы: (x ~ z) | ((x y) ~ (y z)).

Решение
: В таблицу истинности данной формулы полезно включить таблицы истинности промежуточных функций:

Методические указания для выполнения практического задания №2. «Алгебра логики». Построение таблиц истинности.

Цель работы
: Ознакомиться с основными арифметическими операциями, базовыми логическими элементами (И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ, исключающее ИЛИ) и изучить методы построения на их основе таблиц истинности.

Задание:

1. В приложении 2 выбрать вариант задания и составить таблицу истинности

.

2. Выполнить задание, используя пример решение логических задач средствами алгебры логики.

Задача
:

Построить логическую схему по заданному булевому выражению:

F =`BA + B`A + C`B.

Решение:

Как правило, построение и расчет любой схемы осуществляется начиная с ее выхода.

Первый этап
: выполняется логическое сложение, логическую операцию ИЛИ, считая входными переменными функции`B A, B`A и C`B:

Второй этап
: к входам элемента ИЛИ подключаются логические элементы И, входными переменными которых являются уже A, B, C и их инверсии:

Третий этап
: для получения инверсий`A и`B на соответствующих входах ставят инверторы:

Данное построение основано на следующей особенности, – поскольку значениями логических функций могут быть только нули и единицы, то любые логические функции могут быть представлены как аргументы других более сложных функций. Таким образом, построение логической схемы осуществляется с выхода ко входу.

Методические указания для выполнения практического задания №3. «Алгебра логики». Построение логических схем

Цель работы
: Ознакомиться с основными арифметическими операциями, базовыми логическими элементами (И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ, исключающее ИЛИ) и изучить методы построения на их основе простейших логических схем.

Задание:

1. В приложении 2 выбрать вариант задания и построить логическую схему

.

2. Выполнить задание, используя пример построения логических схем.

3. Оформить работу в тетради для практических работ.

4. Результат работы предъявить преподавателю.

5. Защитить выполненную работу у преподавателя.

Приложение 2. Таблица вариантов заданий

4. Индивидуальное задание. Модуль 1. «Построение логических схем по заданным булевым выражениям»

Задания к ИДЗ:

1. В приложении 3 выбрать вариант индивидуального задания.
2. Выполнить задание, пользуясь теоретическими сведениями
3. Проверить логическую схему у тьютора.
4. Оформить ИДЗ в формате А4, титульный лист по образцу Приложение 4.
5. Результат работы предъявить преподавателю.
6. Защитить выполненную работу у преподавателя.

Приложение 3. Таблица вариантов индивидуального задания

Приложение 4. Титульный лист ИДЗ

Цели урока:

Образовательные:

• закрепить у учащихся представление об
  устройствах элементной базы компьютера;
• закрепить навыки построения логических схем.

Развивающие:

• формировать развитие алгоритмического
  мышления;
• развить конструкторские умения;
• продолжать способствовать развитию ИКТ —
  компетентности;

Воспитательные:

• продолжить формирование познавательного
  интереса к предмету информатика;
• воспитывать личностные качества:
• активность,
• самостоятельность,
• аккуратность в работе;

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

• основные базовые элементы логических схем;
• правила составления логических схем.

Учащиеся должны уметь:

• составлять логические схемы.

Тип урока:
урок закрепления
изученного материала

Вид урока:
комбинированный

Методы организации учебной деятельности:

• фронтальная;
• индивидуальная;

Программно-дидактическое обеспечение:

• ПК, SMART Board, карточки с индивидуальным домашним
  заданием.

Урок разработан с помощью программы Macromedia Flash
.

Ход урока

I. Постановка целей урока.

Добрый день!

Сегодня мы продолжаем изучение темы
«Построение логических схем».

Приготовьте раздаточный материал «Логические
основы ЭВМ. Построение логических схем»
Приложение 1

Вопрос учителя.
Назовите основные
логические элементы. Какой логический элемент
соответствует логической операции И, ИЛИ, НЕ?

Ответ учащихся.
Логический элемент
компьютера — это часть электронной логической
схемы, которая реализует элементарную
логическую функцию. Основные логические
элементы конъюнктор (соответствует логическому
умножению), дизъюнктор (соответствует
логическому сложению), инвертор (соответствует
логическому отрицанию).

Вопрос учителя.
По каким правилам
логические элементы преобразуют входные
сигналы. Рассмотрим элемент И. В каком случае на
выходе будет ток (сигнал равный 1).

Ответ учащихся.
На первом входе есть
ток (1, истина), на втором есть (1, истина), на выходе
ток идет (1, истина).

Вопрос учителя.
На первом входе есть
ток, на втором нет, однако на выходе ток идет. На
входах тока нет и на выходе нет. Какую логическую
операцию реализует данный элемент?

Ответ учащихся.
Элемент ИЛИ —
дизъюнктор.

Вопрос учителя.
Рассмотрим логический
элемент НЕ. В каком случае на выходе не будет тока
(сигнал равный 0)?

Ответ учащихся.
На входе есть ток,
сигнал равен 1.

Вопрос учителя.
В чем отличие
логической схемы от логического элемента?

Ответ учащихся.
Логические схемы
состоят из логических элементов, осуществляющих
логические операции.

Проанализируем схему и определим сигнал на
выходе.

II. Закрепление изученного материала.

Почему необходимо уметь строить логические
схемы?

Дело в том, что из вентилей составляют более
сложные схемы, которые позволяют выполнять
арифметические операции и хранить информацию.
Причем схему, выполняющую определенные функции,
можно построить из различных по сочетанию и
количеству вентилей. Поэтому значение
формального представления логической схемы
чрезвычайно велико. Оно необходимо для того,
чтобы разработчик имел возможность выбрать
наиболее подходящий ему вариант построения
схемы из вентилей. Процесс разработки общей
логической схемы устройства (в том числе и
компьютера в целом), становится иерархическим,
причем на каждом следующем уровне в качестве
«кирпичиков» используются логические схемы,
созданные на предыдущем этапе.

Дома вам необходимо было построить логические
схемы, соответствующие логическим выражениям.

Вопрос учителя.
Каков алгоритм
построение логических схем?

Ответ учащихся.
Алгоритм построение
логических схем:

Определить число логических переменных.

Определить количество базовых логических
операций и их порядок.

Изобразить для каждой логической операции
соответствующий ей элемент (вентиль).

Соединить вентили в порядке выполнения
логических операций.

Проверка домашнего задания Приложение
1
. Домашнее задание. Часть 1

Построить логическую схему для логического
выражения:

Построить логическую схему для логического
выражения:

Построить логическую схему для логического
выражения:

Построить логическую схему для логического
выражения:

Построить логическую схему для логического
выражения:

Алгебра логики дала конструкторам мощное
средство разработки, анализа и
совершенствования логических схем. Проще, и
быстрее изучать свойства и доказывать
правильность работы схемы с помощью выражающей
её формулы, чем создавать реальное техническое
устройство.

Таким образом, цель нашего следующего урока —
изучить законы алгебры логики.

IV. Домашнее задание. Часть 2

V. Практическая работа.

Программа — тренажер «Построение логических
схем»

www.Kpolyakov.narod.ru Программа «Logic»,

Конспект урока


«Построение логических схем с помощью базовых логических элементов»

10 класс

Тип урока:

лекция, самостоятельная работа.

Оборудование:

проектор, карточки с заданиями.

Формы работы:

коллективная, индивидуальная.

Продолжительность урока:

45 мин.

Цели урока:

Образовательные:

научиться строить логические схемы для логических функций с помощью основных базовых логических элементов;

научиться выписывать соответствующую логическую функцию из логической схемы.

Воспитательные:

привитие навыков самостоятельности в работе, воспитание аккуратности, дисциплинированности.

Развивающие:

развитие внимания, мышления, памяти учащихся.

Ход урока:

1. Организационный момент (1 мин).



2. Проверка пройденного материала (5 мин).

Фронтальный опрос.

Перечислите основные логические операции.

Что такое логическое умножение?

Что такое логическое сложение?

Что такое инверсия?

Что такое таблица истинности?

Что такое сумматор?

Что такое полусумматор?

3. Изучение нового материала (20 мин).

Дискретный преобразователь, который после обработки входных двоичных сигналов выдает на выходе сигнал, являющийся значением одной из логических операций, называется логическим элементом.
Поскольку любая логическая операция может быть представлена в виде комбинаций трех основных, любые устройства компьютера, производящие обработку или хранение информации, могут быть собраны из базовых логических элементов, как из «кирпичиков».
Логические элементы компьютера оперируют сигналами, представляющими собой электрические импульсы. Есть импульс – логический смысл сигнала – 1, нет импульса – 0. На входы логического элемента поступают сигналы-значения аргументов, на выходе появляется сигнал-значение функции.
Преобразование сигнала логическим элементом задается таблицей состояния, которая фактически является таблицей истинности, соответствующей логической функции.
На доске приведены условные обозначения (схемы) базовых логических элементов, реализующих логическое умножение (конъюнктор), логическое сложение (дизъюнктор) и отрицание (инвертор).

Логический элемент «И»:

Логический элемент «ИЛИ»:

Логический элемент «НЕ»:

Устройства компьютера (сумматоры в процессоре, ячейки памяти в оперативной памяти и др.) строятся на основе базовых логических элементов.

Пример 1.

построить логическую схему.

Наше построение схемы, мы начнем с логической операции, которая должна выполнятся последней. В нашем случае такой операцией является логическое сложение, следовательно, на выходе логической схемы должен быть дизъюнктор. На него сигналы будут подаваться с двух конъюнкторов, на которые в свою очередь подаются один входной сигнал нормальный и один инвертированный (с инверторов).

Пример 2.

Выписать из логической схемы соответствующую ей логическую формулу:

Решение:

4. Закрепление нового материала (15 мин).

Для закрепления материала учащимся раздаются карточки на два варианта для самостоятельной работы.

Вариант 1.

Решение:

Решение:

Вариант 2.

1. По заданной логической функции
построить логическую схему и таблицу истинности.
Решение:

2. Выписать из логической схемы соответствующую ей логическую формулу:

Решение:

5. Постановка домашнего задания. (3 мин).

По заданной логической функции
построить логическую схему и таблицу истинности.

6. Подведение итогов урока. (1 мин).

Проанализировать, дать оценку успешности достижения цели и наметить перспективу на будущее. Оценка работы класса и отдельных учащихся, аргументация выставления отметок, замечания по уроку.

Литература, эор:

Информатика и информационные технологии. Учебник для 10-11 классов, Н. Д. Угринович – 2007г.;

Практикум по информатике и информационным технологиям. Учебное пособие для общеобразовательных учреждений, Н. Д. Угринович, Л. Л. Босова, Н. И. Михайлова – 2007г.

Логические схемы алгебра логики

Автор На чтение 15 мин. Опубликовано 12.12.2019

Цели урока:

Образовательные:

• закрепить у учащихся представление об устройствах элементной базы компьютера;
• закрепить навыки построения логических схем.

Развивающие:

• формировать развитие алгоритмического мышления;
• развить конструкторские умения;
• продолжать способствовать развитию ИКТ – компетентности;

Воспитательные:

• продолжить формирование познавательного интереса к предмету информатика;
• воспитывать личностные качества:
• активность,
• самостоятельность,
• аккуратность в работе;

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

• основные базовые элементы логических схем;
• правила составления логических схем.

Учащиеся должны уметь:

• составлять логические схемы.

Тип урока: урок закрепления изученного материала

Вид урока: комбинированный

Методы организации учебной деятельности:

• фронтальная;
• индивидуальная;

Программно-дидактическое обеспечение:

• ПК, SMART Board, карточки с индивидуальным домашним заданием.

Урок разработан с помощью программы Macromedia Flash.

Ход урока

I. Постановка целей урока.

Сегодня мы продолжаем изучение темы «Построение логических схем».

Приготовьте раздаточный материал «Логические основы ЭВМ. Построение логических схем» Приложение 1

Вопрос учителя. Назовите основные логические элементы. Какой логический элемент соответствует логической операции И, ИЛИ, НЕ?

Ответ учащихся. Логический элемент компьютера – это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию. Основные логические элементы конъюнктор (соответствует логическому умножению), дизъюнктор (соответствует логическому сложению), инвертор (соответствует логическому отрицанию).

Вопрос учителя. По каким правилам логические элементы преобразуют входные сигналы. Рассмотрим элемент И. В каком случае на выходе будет ток (сигнал равный 1).

Ответ учащихся. На первом входе есть ток (1, истина), на втором есть (1, истина), на выходе ток идет (1, истина).

Вопрос учителя. На первом входе есть ток, на втором нет, однако на выходе ток идет. На входах тока нет и на выходе нет. Какую логическую операцию реализует данный элемент?

Ответ учащихся. Элемент ИЛИ – дизъюнктор.

Вопрос учителя. Рассмотрим логический элемент НЕ. В каком случае на выходе не будет тока (сигнал равный 0)?

Ответ учащихся. На входе есть ток, сигнал равен 1.

Вопрос учителя. В чем отличие логической схемы от логического элемента?

Ответ учащихся. Логические схемы состоят из логических элементов, осуществляющих логические операции.

Проанализируем схему и определим сигнал на выходе.

II. Закрепление изученного материала.

Почему необходимо уметь строить логические схемы?

Дело в том, что из вентилей составляют более сложные схемы, которые позволяют выполнять арифметические операции и хранить информацию. Причем схему, выполняющую определенные функции, можно построить из различных по сочетанию и количеству вентилей. Поэтому значение формального представления логической схемы чрезвычайно велико. Оно необходимо для того, чтобы разработчик имел возможность выбрать наиболее подходящий ему вариант построения схемы из вентилей. Процесс разработки общей логической схемы устройства (в том числе и компьютера в целом), становится иерархическим, причем на каждом следующем уровне в качестве «кирпичиков» используются логические схемы, созданные на предыдущем этапе.

Дома вам необходимо было построить логические схемы, соответствующие логическим выражениям.

Вопрос учителя. Каков алгоритм построение логических схем?

Ответ учащихся. Алгоритм построение логических схем:

Определить число логических переменных.

Определить количество базовых логических операций и их порядок.

Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей элемент (вентиль).

Соединить вентили в порядке выполнения логических операций.

Проверка домашнего задания Приложение 1. Домашнее задание. Часть 1

Построить логическую схему для логического выражения: .

1. Две переменные – А и В.
2. Две логические операции: &,
3. Строим схему.

Построить логическую схему для логического выражения:

Построить логическую схему для логического выражения:

Построить логическую схему для логического выражения:

Построить логическую схему для логического выражения:

Построить логическую схему для логического выражения:

Построить логическую схему для логического выражения:

Вычислить значение данного выражения для А=1, В=0.

III. Пропедевтика (законы логики)

Выполним задачу обратную данной. Составим логическое выражение по заданной логической схеме:

Данное логическое выражение можно упростить.

Операция И – логическое умножение, ИЛИ – сложение. Запишем выражение, заменяя знаки & и U на * и + соответственно.

F= (A*B+B*С) Упростим F= (B*(А+С)), затем запишем и тогда логическая схема примет вид:

Вывод: Логические схемы, содержащие минимальное количество элементов, обеспечивают большую скорость работы и увеличивают надёжность устройства.

Алгебра логики дала конструкторам мощное средство разработки, анализа и совершенствования логических схем. Проще, и быстрее изучать свойства и доказывать правильность работы схемы с помощью выражающей её формулы, чем создавать реальное техническое устройство.

Таким образом, цель нашего следующего урока – изучить законы алгебры логики.

IV. Домашнее задание. Часть 2

V. Практическая работа.

Программа – тренажер «Построение логических схем»

Логические основы работы компьютера

Знания из области математической логики можно использовать для конструирования электронных устройств. Нам известно, что 0 и 1 в логике не просто цифры, а обозначение состояний какого-то предмета нашего мира, условно называемых “ложь” и “истина”. Таким предметом, имеющим два фиксированных состояния, может быть электрический ток.

Логические элементы имеют один или несколько входов и один выход, через которые проходят электрические сигналы, обозначаемые условно 0, если “отсутствует” электрический сигнал, и 1, если “имеется” электрический сигнал.

Базовые логические элементы реализуют три основные логические операции: «И», «ИЛИ», «НЕ».

Логический элемент «НЕ» (инвертор)

Простейшим логическим элементом является инвертор, выполняющий функцию отрицания. Если на вход поступает сигнал, соответствующий 1, то на выходе будет 0. И наоборот.

У этого элемента один вход и один выход. На функциональных схемах он обозначается:

Говорят также, что элемент «НЕ» инвертирует значение входной двоичной переменной.

Проверь соответствие логического элемента “НЕ” логическому элементу “НЕ”. Воспользуйся тренажером Логические элементы.xlsx

Логический элемент «И» (конъюнктор)

Логический элемент «И» (конъюнктор) выдает на выходе значение логического произведения входных сигналов.

Он имеет один выход и не менее двух входов. На функциональных схемах он обозначается:

Сигнал на выходе конъюнктора появляется тогда и только тогда, когда поданы сигналы на все входы. На элементарном уровне конъюнкцию можно представить себе в виде последовательно соединенных выключателей. Известным примером последовательного соединения проводников является елочная гирлянда: она горит, когда все лампочки исправны. Если же хотя бы одна из лампочек перегорела, то гирлянда не работает.

Проверь соответствие логического элемента “И” логическому элементу “И”. Воспользуйся тренажером Логические элементы.xlsx

Логический элемент «ИЛИ» (дизъюнктор)

Логический элемент «ИЛИ» (дизъюнктор) выдает на выходе значение логической суммы входных сигналов. Он имеет один выход и не менее двух входов. На функциональных схемах он обозначается:

Сигнал на выходе дизъюнктора не появляется тогда и только тогда, когда на все входы не поданы сигналы.

На элементарном уровне дизъюнкцию можно представить себе в виде параллельно соединенных выключателей.

Примером параллельного соединения проводников является многорожковая люстра: она не работает только в том случае, если перегорели все лампочки сразу.

Проверь соответствие логического элемента “ИЛИ” логическому элементу “ИЛИ”. Воспользуйся тренажером Логические элементы.xlsx

Пример 1.
Составьте логическую схему для логического выражения: F=A / B / A.

1. Две переменные – А и В.

2. Две логические операции: 1-/, 2-/.

Пример 2.
Постройте логическую схему, соответствующую логическому выражению F=А/В/ ¬(В/А). Вычислить значения выражения для А=1,В=0.

1. Переменных две: А и В; 1 4 3 2

2. Логических операций три: / и две /; А/В/ ¬ (В/ А).

3. Схему строим слева направо в соответствии с порядком логических операций:

4. Вычислим значение выражения: F=1 / 0 / ¬(0 / 1)=0

В данной статье мы начнем обозревать булевую алгебру или алгебру логики. Рассмотрим элементы функции на схеме, а так же приведем таблицы истинности для всех логических функций.

Введение в булевую алгебру

В 1854 году Джордж Буль провел исследование «законов мышления», которые основывались на упрощенной версии теории «групп» или «множеств», и из этого была выведена булевая алгебра.

Булева алгебра имеет дело, главным образом, с теорией, согласно которой логические операции и операции над множествами являются либо «ИСТИННЫМИ», либо «ЛОЖНЫМИ», но не обеими одновременно.

Например, A + A = A, а не 2A, как это было бы в обычной алгебре. Булева алгебра — это простой и эффективный способ представления действия переключения стандартных логических вентилей, а основные логические операторы, которые нас здесь интересуют, задаются операциями логических вентилей функций И , ИЛИ и НЕ.

Логическая функция «И» (умножение)

Функция логики И утверждает, что два или более события должны происходить вместе и одновременно, чтобы происходило выходное действие. Порядок, в котором происходят эти действия, не имеет значения, поскольку он не влияет на конечный результат. Например, & B = B & . В булевой алгебре функция логики И подчиняется коммутативному закону, который допускает изменение положения любой переменной.

Функция «И» представлена в электронике символом точки или полной остановки ( . ) Таким образом, 2-входное ( АВ ) «И» элемент имеет выходной термин, представленный логическим выражением A.B или просто AB.

Представление функции «И» на схеме

Здесь два переключателя A и B соединены вместе, образуя последовательную цепь. Поэтому в вышеупомянутой цепи оба выключателя A «И» B должны быть замкнуты (логика «1»), чтобы включить лампу. Другими словами, оба переключателя должны быть замкнуты или должны иметь логическую «1», чтобы лампа горела.

Тогда логический элемент этого типа (логический элемент «И» ) создает выход только тогда, когда все его входы истины. В терминах булевой алгебры вывод будет ИСТИНА, только когда все его входы ИСТИНА. В электрическом смысле логическая функция «И» равна последовательной цепи, как показано выше.

Поскольку имеется только два переключателя, каждый с двумя возможными состояниями «открытый» или «закрытый». Определяя логическую «0» как то, когда переключатель разомкнут, и логическую «1», когда переключатель замкнут, существует четыре различных способа или комбинации расположения двух переключателей вместе, как показано в таблице ниже.

Таблица истинности для функции «И»

Логические «И» элементы доступны как стандартные пакеты ic, такие как общие TTL 74LS08 Четырехпозиционные 2-входные положительные элементы «И» (или эквивалент CMOS 4081), TTL 74LS11 Тройные 3-входные положительные элементы «И» или 74LS21 Двойные 4-входные положительные элементы «И». «И» ворота можно также «каскадировать» вместе для создания цепей с более чем 4 входами.

Логическая функция «ИЛИ» (сложение)

Функция логического «ИЛИ» заявляет, что выходное действие станет ИСТИНОЙ, если одно «ИЛИ» больше событий ИСТИНЫ, но порядок, в котором они происходят, не имеет значения, поскольку он не влияет на конечный результат.

Так , например, А + В = В + А . В булевой алгебре функция логического «ИЛИ» подчиняется коммутативному закону так же, как и для логической функции «И», что позволяет изменять положение любой переменной.

Логика или логическое выражение, данное для логического элемента «ИЛИ», является логическим выражением, которое обозначается знаком плюс, ( + ). Таким образом, 2-входной ( АВ ) Логический элемент «ИЛИ» имеет выход термин, представленный булевой выражением: A + B = Q .

Представление функции «ИЛИ» на схеме

Здесь два переключателя А и B соединены параллельно и, либо переключатель A «ИЛИ» переключатель B может быть закрыт, чтобы включить лампу. Другими словами, выключатель может быть замкнут, либо быть на логике «1», чтобы лампа была включена.

Тогда этот тип логического элемента генерирует и выводит только тогда, когда присутствует «ЛЮБОЙ» из его входов, и в терминах Булевой алгебры выход будет ИСТИНА, если любой из его входов ИСТИНЕН. В электрическом смысле логическая функция «ИЛИ» равна параллельной цепи.

Как и в случае с функцией «И», есть два переключателя, каждый с двумя возможными положениями, открытыми или закрытыми, поэтому будет 4 различных способа расположения переключателей.

Таблица истинности для функции «ИЛИ»

Логические «ИЛИ» элементы доступны в виде стандартных пакетов ic, таких как общие TTL 74LS32 Четырехместные 2-входные положительные «ИЛИ» элементы. Как и в предыдущем логическом элементе «И», «ИЛИ» также может быть «каскадно» соединен для создания цепей с большим количеством входов, таких как системы охранной сигнализации (зона A или зона B или зона C и т.д.).

Логическая функция «НЕ» (отрицание)

Функция «Логическое НЕ» — это просто инвертор с одним входом, который изменяет вход логического уровня «1» на выход логического уровня «0» и наоборот.

«Функция логического НЕ» называется так, потому что ее выходное состояние НЕсовпадает с его входным состоянием с ее логическим выражением, обычно обозначаемым чертой или линией ( ¯ ) над его входным символом, который обозначает операцию инвертирования (отсюда ее название как инвертор).

Поскольку логическое «НЕ» выполняет логическую функцию инвертирования или комплементационной, их чаще называют инверторами, поскольку они инвертируют сигнал. В логических схемах это отрицание может быть представлено нормально замкнутым переключателем.

Представление функции «НЕ» на схеме

Если A означает, что переключатель замкнут, то «НЕ» A или А (с верхней чертой) говорит, что переключатель НЕ замкнут или, другими словами, он разомкнут. Функция логического НЕ имеет один вход и один выход, как показано на рисунке.

Таблица истинности для функции «НЕ»

Индикатор инверсии для логической функции «НЕ» является символом «пузыря», ( O) на выходе (или входе) символа логических элементов. В булевой алгебре инвертирующая логическая функция «НЕ» следует Закону дополнения, создающему инверсию.

Логические «НЕ» элементы или «Инверторы», как их чаще называют, могут быть связаны со стандартными элементами «И» и» ИЛИ» для создания элементов «НЕ И» и «НЕ ИЛИ» соответственно. Инверторы также могут использоваться для генерации «дополнительных» сигналов в более сложных декодерах / логических схемах, например, дополнение логики A — это «НЕ» A , а два последовательно соединенных инвертора дают двойную инверсию, которая выдает на своем выходе исходное значение A.

При проектировании логических схем вам может понадобиться только один или два инвертора в вашей конструкции, но если у вас нет места или денег для выделенного чипа инвертора, такого как 74LS04. Тогда вы можете легко заставить логику «НЕ» функционировать, используя любые запасные элементы «НЕ А» или «НЕ ИЛИ», просто соединяя их входы вместе, как показано ниже.

Логическая функция «НЕ И»

Функция «НЕ И» представляет собой комбинацию двух отдельных логических функций, функции «И» и функции «НЕ» последовательно. Логическая функция «НЕ И» может быть выражена логическим выражением AB (с верхней чертой)

Функция логического «НЕ И» генерирует выход, только когда «ЛЮБЫЕ» из ее входов отсутствуют, и в терминах булевой алгебры выход будет ИСТИНА, только когда любой из ее входов ЛОЖЬ (0).

Представление функции «НЕ И» на схеме

Таблица истинности для функции «НЕ И» противоположна таблице для предыдущей функции «И», потому что элемент «НЕ И» выполняет обратную операцию элемента «И». Другими словами, элемент «НЕ И» является дополнением элемента «И».

Таблица истинности для функции «НЕ И»

Функция «НЕ И» обозначается вертикальной чертой или стрелкой вверх, например, логический B = A | Bили A ↑ B .

Логика «НЕ И» используется в качестве основных «строительных блоков», чтобы построить другие функции логического элемента и доступны в стандартных IC пакетов, такие как общий TTL — 74LS00 Четырехместный 2-входной «НЕ И» элемент, TTL — 74LS10 Тройной 3-входной «НЕ И» элемент или 74LS20 Двойной 4-х входной «НЕ И» элемент. Есть даже один чип 74LS30 с 8 входами «НЕ И» элемента.

Логическая функция «НЕ ИЛИ»

Логический элемент «НЕ ИЛИ» представляет собой комбинацию двух отдельных логических функций, «НЕ» и «ИЛИ», соединенных вместе, чтобы сформировать единую логическую функцию, которая идентична функции «ИЛИ», за исключением того, что выход инвертирован.

Чтобы создать вентиль «НЕ ИЛИ», функция «ИЛИ» и функция «НЕ» соединены вместе последовательно, и ее операция определяется булевым выражением как, A + B (с верхней чертой).

Функция логического «НЕ ИЛИ» генерирует и выводит только тогда, когда отсутствуют «ВСЕ» ее входы, и в терминах булевой алгебры выход будет ИСТИНА только тогда, когда все ее входы ЛОЖНЫ .

Представление функции «НЕ ИЛИ» на схеме

Таблица истинности для функции «НЕ ИЛИ» противоположна таблице для предыдущей функции «ИЛИ», потому что элемент «НЕ ИЛИ» выполняет обратную операцию элемента «ИЛИ». Тогда мы можем видеть, что элемент «НЕ ИЛИ» является дополнением элемента «ИЛИ».

Таблица истинности для функции «НЕ ИЛИ»

Функция «НЕ ИЛИ» иногда известна как функция Пирса и обозначается стрелкой вниз, А «НЕ ИЛИ» B = A ↓ B.

Логика элемента «НЕ ИЛИ» доступны как стандартные IC пакетов, таких как TTL 74LS02 Четырехместный 2-входной элемент «НЕ ИЛИ», TTL 74LS27 Тройной 3-входной элемент «НЕ ИЛИ» или 74LS260 Двойной 5-входной элемент «НЕ ИЛИ».

Тимеркаев Борис — 68-летний доктор физико-математических наук, профессор из России. Он является заведующим кафедрой общей физики в Казанском национальном исследовательском техническом университете имени А. Н. ТУПОЛЕВА — КАИ

Программа-тренажер «Логика» для изучения логических элементов: сайт Константина Полякова

Логика

Что это такое?

Тренажер «Логика» предназначен для проведения практических занятий
по теме «Математическая логика» в игровой форме. Подобная игра была
ранее написана для компьютеров «Ямаха» (программисты П. Меняйло и
М. Щекочихин). Оригинал программы вместе с имитатором MSX-компьютера
можно скачать здесь (спасибо
Михаилу Бондаревскому).

Программа работает под управлением операционных систем
линейки Windows 95/98/NT/2000/XP/2003 на любых современных
компьютерах.
После распаковки архива она находится в работоспособном состоянии
и не требует никаких дополнительных настроек.

Скачать

Программа является бесплатной для некоммерческого использования.
Исходные тексты программы не распространяются.

Программа поставляется «as is», то есть, автор не несет никакой
ответственности за всевозможные последствия ее использования,
включая моральные и материальные потери, вывод оборудования из
строя, физические и душевные травмы.

Программа содержит конструктор, позволяющий создавать
новые схемы и подключать их в качестве уровней. Здесь можно скачать готовые схемы всех уровней,
а также схемы триггеров на элементах «И-НЕ» и «ИЛИ-НЕ».

Достоинства

• игровая форма закрепления учебного материала;
• программа имеет встроенный набор логических схем (задач) для каждого из 10 уровней;
• существует возможность составлять новые схемы и проверять их работу, не выходя из программы;
• с каждым уровнем можно связать свою схему; список нестандартных
  схем хранится в файле инициализации LOGIC.INI; таким образом,
  можно составить несколько ini-файлов с разнотипными заданиями;
• кроме стандартного набора логических элементов (И, ИЛИ, НЕ)
  в схемах можно использовать включенные (непонятно почему) в
  школьную программу элементы «импликация», «эквивалентность»,
  а также полусумматор, сумматор и RS-триггер.

Правила игры

Задача заключается в том, чтобы последовательно передавать кристалл с верхней площадки на
нижнюю. Подавая ток на вход механизмов в правой части схемы, можно выдвигать
площадки на пути кристалла. Если на входе механизма нет тока, площадка убирается.

Для управления механизмами используют выключатели в левой части поля. Их состояние
изменяется щелчком мыши. Если выключатель включен, по цепи идет ток и поступает
на логические схемы, включенные в эту цепь (средняя часть поля). Логические схемы
преобразуют входные сигналы по следующим правилам:

• схема НЕ: на выходе будет ток (сигнал 1), если на входе тока нет (сигнал 0), и наоборот;
• схема И: на выходе будет 1, если на обоих входах 1;
• схема ИЛИ: на выходе будет 1, если хотя бы на одном входе 1;
• схема XOR (исключающее ИЛИ): на выходе будет 1, если только на одном входе 1;
• схема импликация (1—>2): на выходе будет 0, если на первом входе 1, а на втором — 0; иначе на выходе 1;
• схема эквивалентность (<—>): на выходе будет 1, если оба входа равны; иначе на выходе 0.

Кристалл нельзя передавать сразу через несколько «пролетов» — в этом случае он разбивается
и приходится начинать уровень заново. Кроме того, у вас есть только 5 кристаллов на всю игру,
если вы разобьете их все, задание считается невыполненным.

Игра состоит из 10 уровней. Если вы сможете пройти все уровни, сохранив хотя бы один кристалл
и наберете больше нуля очков, вы увидите картинку.

Логические элементы компьютера

Основные логические элементы реализуют 3 основные логические операции:

• логическое умножение;
• логическое сложение;
• инверсию (отрицание).

Устройства компьютера, которые выполняют обработку и хранение информации, могут быть собраны из базовых логических элементов, у которых $2$ входа и $1$ выход. К логическим устройствам компьютера относятся группы переключателей, триггеры, сумматоры.

Связь между алгеброй логики и компьютерной техникой также лежит в двоичной системе счисления, которая используется в ЭВМ. Поэтому в устройствах ПК можно хранить и обрабатывать как числа, так и значения логических переменных.

Определение 1

Логический элемент компьютера – это часть электронной схемы, которая выполняет элементарную логическую функцию.

Переключательные схемы

В ЭВМ используются электрические схемы, которые состоят из большого количества переключателей. Переключатель, находясь в замкнутом состоянии ток пропускает, в разомкнутом – не пропускает. Работа таких схем удобно описывается при помощи алгебры логики. В зависимости от состояния переключателя можно регулировать получение или неполучение сигналов на выходах.

Вентили

Среди логических элементов компьютеров выделяют электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И–НЕ, ИЛИ–НЕ и другие (их называют вентили).

Эти схемы позволяют реализовать любую логическую функцию, которая описывает работу устройств ПК. Обычно вентили имеют $2–8$ входов и $1$ или $2$ выхода.

Для представления двух логических состояний ($1$ и $0$) в вентилях, входные и выходные сигналы имеют разные уровни напряжения. Например, $+3 \ B$ (вольт) для состояния $«1»$ и $0 \ B$ для состояния $«0»$.

У каждого логического элемента есть условное обозначение, выражающее его логическую функцию, но не указывающее на электронную схему, которая в нем реализована. Такой подход реализован для упрощения записи и понимания сложных логических схем.

Работа логических элементов описывается таблицами истинности.

Рисунок 1.

Триггер

Триггеры и сумматоры состоят из вентилей.

Триггер – важнейшая структурная единица оперативной памяти ПК и внутренних регистров процессора.

Определение 2

Триггер – логическая схема, которая способна хранить $1$ бит информации ($1$ или $0$). Строится на $2$-х элементах ИЛИ–НЕ или на $2$-х элементах И–НЕ.

Рисунок 2.

Самый распространённый тип триггера – $RS$-триггер (Reset/Set), который имеет $2$ входа $S$ и $R$ и два выхода $Q$ и $\bar{Q}$.
На каждый из входов $S$ и $R$ могут подаваться входные сигналы в виде кратковременных импульсов (рис.3): есть импульс – $1$, нет импульса – $0$.

Рисунок 3. Кратковременный импульс

Сумматор

Сумматоры широко применяются в арифметико-логических устройствах процессора и отвечают за суммирование двоичных разрядов.

Определение 3

Сумматор – логическая схема, которая способна суммировать 2 одноразрядных двоичных числа с переносом из предыдущего разряда.

Рисунок 4.

Сумматор может находить применение и в других устройствах машины.

Для суммирования двоичных слов длиной от двух бит можно использовать последовательное соединение многоразрядных сумматоров, причём для двух соседних сумматоров выход переноса одного сумматора является входом для другого.

Пример реализации логической схемы

Рисунок 5.

Алгоритм реализации:

1. Определим количество переменных данного выражения, значит столько входов будет иметь схема. В данном случае это входы $A, B, C$.

2. С помощью базовых логических элементов реализуются основные операции в порядке их следования:

   I – инверсия переменных $A, B, C$ реализуется логическим элементом «НЕ»;

   II – логическое умножение реализуется логическим элементом «И»;

   III – логическое сложение реализуется логическим элементом «ИЛИ».

На выходе каждого элемента прописывается логическое выражение, которое реализуется данным элементом, что позволяет осуществить обратную задачу, т.е. по готовой схеме составить логическое выражение, которое реализует данная схема.

Построение логических схем

Цели урока:

Образовательные:

• закрепить у учащихся представление об
  устройствах элементной базы компьютера;
• закрепить навыки построения логических схем.

Развивающие:

• формировать развитие алгоритмического
  мышления;
• развить конструкторские умения;
• продолжать способствовать развитию ИКТ -
  компетентности;

Воспитательные:

• продолжить формирование познавательного
  интереса к предмету информатика;
• воспитывать личностные качества:
• активность,
• самостоятельность,
• аккуратность в работе;

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

• основные базовые элементы логических схем;
• правила составления логических схем.

Учащиеся должны уметь:

• составлять логические схемы.

Тип урока: урок закрепления
изученного материала

Вид урока: комбинированный

Методы организации учебной деятельности:

• фронтальная;
• индивидуальная;

Программно-дидактическое обеспечение:

• ПК, SMART Board, карточки с индивидуальным домашним
  заданием.

Урок разработан с помощью программы Macromedia Flash.

Ход урока

I. Постановка целей урока.

Добрый день!

Сегодня мы продолжаем изучение темы
«Построение логических схем».

Приготовьте раздаточный материал «Логические
основы ЭВМ. Построение логических схем» Приложение 1

Вопрос учителя. Назовите основные
логические элементы. Какой логический элемент
соответствует логической операции И, ИЛИ, НЕ?

Ответ учащихся. Логический элемент
компьютера — это часть электронной логической
схемы, которая реализует элементарную
логическую функцию. Основные логические
элементы конъюнктор (соответствует логическому
умножению), дизъюнктор (соответствует
логическому сложению), инвертор (соответствует
логическому отрицанию).

Вопрос учителя. По каким правилам
логические элементы преобразуют входные
сигналы. Рассмотрим элемент И. В каком случае на
выходе будет ток (сигнал равный 1).

Ответ учащихся. На первом входе есть
ток (1, истина), на втором есть (1, истина), на выходе
ток идет (1, истина).

Вопрос учителя. На первом входе есть
ток, на втором нет, однако на выходе ток идет. На
входах тока нет и на выходе нет. Какую логическую
операцию реализует данный элемент?

Ответ учащихся. Элемент ИЛИ -
дизъюнктор.

Вопрос учителя. Рассмотрим логический
элемент НЕ. В каком случае на выходе не будет тока
(сигнал равный 0)?

Ответ учащихся. На входе есть ток,
сигнал равен 1.

Вопрос учителя. В чем отличие
логической схемы от логического элемента?

Ответ учащихся. Логические схемы
состоят из логических элементов, осуществляющих
логические операции.

Проанализируем схему и определим сигнал на
выходе.

II. Закрепление изученного материала.

Почему необходимо уметь строить логические
схемы?

Дело в том, что из вентилей составляют более
сложные схемы, которые позволяют выполнять
арифметические операции и хранить информацию.
Причем схему, выполняющую определенные функции,
можно построить из различных по сочетанию и
количеству вентилей. Поэтому значение
формального представления логической схемы
чрезвычайно велико. Оно необходимо для того,
чтобы разработчик имел возможность выбрать
наиболее подходящий ему вариант построения
схемы из вентилей. Процесс разработки общей
логической схемы устройства (в том числе и
компьютера в целом), становится иерархическим,
причем на каждом следующем уровне в качестве
«кирпичиков» используются логические схемы,
созданные на предыдущем этапе.

Дома вам необходимо было построить логические
схемы, соответствующие логическим выражениям.

Вопрос учителя. Каков алгоритм
построение логических схем?

Ответ учащихся. Алгоритм построение
логических схем:

Определить число логических переменных.

Определить количество базовых логических
операций и их порядок.

Изобразить для каждой логической операции
соответствующий ей элемент (вентиль).

Соединить вентили в порядке выполнения
логических операций.

Работа со SMART Board Приложение 2

Проверка домашнего задания Приложение
1. Домашнее задание. Часть 1

Построить логическую схему для логического
выражения: .

1. Две переменные — А и В.
2. Две логические операции: &,
3. Строим схему.

Построить логическую схему для логического
выражения:

Построить логическую схему для логического
выражения:

Построить логическую схему для логического
выражения:

Построить логическую схему для логического
выражения:

Построить логическую схему для логического
выражения:

Построить логическую схему для логического
выражения:

Вычислить значение данного выражения для А=1,
В=0.

Ответ F=1

III. Пропедевтика (законы логики)

Выполним задачу обратную данной. Составим
логическое выражение по заданной логической
схеме:

Данное логическое выражение можно упростить.

Операция И — логическое умножение, ИЛИ -
сложение. Запишем выражение, заменяя знаки & и U
на * и + соответственно.

F= (A*B+B*С) Упростим F= (B*(А+С)), затем запишем и тогда
логическая схема примет вид:

Вывод: Логические схемы, содержащие
минимальное количество элементов, обеспечивают
большую скорость работы и увеличивают
надёжность устройства.

Алгебра логики дала конструкторам мощное
средство разработки, анализа и
совершенствования логических схем. Проще, и
быстрее изучать свойства и доказывать
правильность работы схемы с помощью выражающей
её формулы, чем создавать реальное техническое
устройство.

Таким образом, цель нашего следующего урока -
изучить законы алгебры логики.

IV. Домашнее задание. Часть 2

V. Практическая работа.

Программа — тренажер «Построение логических
схем»

www.Kpolyakov.narod.ru Программа «Logic»,

Спасибо за урок!

Учебник по булевой алгебре и примеры булевой алгебры

Булева алгебра и законы булевой алгебры могут использоваться для идентификации ненужных логических вентилей в цифровой логической схеме, сокращая количество вентилей, требуемых для экономии энергопотребления и затрат.

В этом разделе мы видели, что функции цифровой логики могут быть определены и отображены либо как выражение логической алгебры, либо как таблица истинности логического элемента. Итак, вот несколько примеров того, как мы можем использовать Boolean Algebra для упрощения больших цифровых логических схем.

Пример булева алгебры №1

Создайте таблицу истинности для логических функций в точках C, D и Q в следующей схеме и определите один логический вентиль, который можно использовать для замены всей схемы.

Первые наблюдения говорят нам, что схема состоит из логического элемента И-НЕ с 2 входами, логического элемента ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ с 2 входами и, наконец, логического элемента ИСКЛЮЧИТЕЛЬНОЕ ИЛИ с 2 входами на выходе. Поскольку в схеме только 2 входа, обозначенных A и B, может быть только 4 возможных комбинации входа (2 ² ), а именно: 0-0, 0-1, 1-0 и, наконец, 1-1. .Построение логических функций каждого элемента в табличной форме даст нам следующую таблицу истинности для всей логической схемы, представленной ниже.

Из приведенной выше таблицы истинности столбец C представляет функцию вывода, сгенерированную логическим элементом И-НЕ, а столбец D представляет функцию выхода логического элемента Ex-OR.Оба этих двух выходных выражения затем становятся входным условием для логического элемента Ex-NOR на выходе.

Из таблицы истинности видно, что выход на Q присутствует, когда любой из двух входов A или B находится на уровне логики 1. Единственная таблица истинности, которая удовлетворяет этому условию, — это таблица логики ИЛИ. Таким образом, вся указанная выше схема может быть заменена только одним вентилем ИЛИ с 2 входами .

Пример булева алгебры №2

Найдите выражение булевой алгебры для следующей системы.

Система состоит из ворот И, ИЛИ, и, наконец, ворот ИЛИ. Выражение для логического элемента И — A.B, а для логического элемента ИЛИ — A + B. Оба эти выражения также являются отдельными входами для логического элемента ИЛИ, который определяется как A + B. Таким образом, окончательное выходное выражение имеет вид:

Выход системы задается как Q = (A.B) + (A + B), но обозначение A + B такое же, как обозначение Де Моргана A.B, Затем подставляем A.B в выходном выражении дает нам окончательную выходную нотацию Q = (A.B) + (A.B), которая является логической нотацией для шлюза Exclusive-NOR, как показано в предыдущем разделе.

Затем всю схему, указанную выше, можно заменить только одним единственным шлюзом Исключающее ИЛИ, и действительно шлюз Исключающее ИЛИ состоит из этих отдельных функций вентилей.

Пример булева алгебры №3

Найдите выражение булевой алгебры для следующей системы.

Эта система может показаться более сложной для анализа, чем две другие, но опять же, логическая схема состоит только из простых логических элементов И, ИЛИ и НЕ, соединенных вместе.

Как и в предыдущих логических примерах, мы можем упростить схему, записав логическую нотацию для каждой функции логического элемента по очереди, чтобы дать нам окончательное выражение для выхода в Q.

Выход логического элемента И с 3 входами имеет только логическую «1», когда ВСЕ входы ворот имеют ВЫСОКИЙ уровень на логическом уровне «1» (A.B.C). На выходе нижнего логического элемента ИЛИ будет только «1», когда один или оба входа B или C находятся на логическом уровне «0». Выходной сигнал логического элемента И с двумя входами равен «1», когда вход A равен «1», а входы B или C имеют значение «0». Тогда выход на Q равен только «1», когда входы A.B.C равны «1» или A равны «1», а оба входа B или C равны «0», A.(В + С).

При использовании «теоремы де Моргана » входы B и вход C компенсируются, так как для получения выхода на Q они могут быть либо на логической «1», либо на логическом «0». Тогда это просто оставляет вход A в качестве единственного входа, необходимого для вывода в Q, как показано в таблице ниже.

Затем мы можем видеть, что вся логическая схема, указанная выше, может быть заменена только одним единственным входом, обозначенным «A», тем самым сокращая схему из шести отдельных логических вентилей до одного единственного куска провода (или буфера).Этот тип анализа схем с использованием булевой алгебры может быть очень мощным и быстро определять любые ненужные логические элементы в цифровой логической схеме, тем самым уменьшая количество требуемых элементов, потребляемую мощность схемы и, конечно же, стоимость.

Таблицы истинности логической алгебры для логических вентильных функций

Помимо стандартного логического выражения, входная и выходная информация любого логического элемента Logic Gate или схемы может быть представлена ​​в стандартной таблице для визуального представления функции переключения системы.

Таблица, используемая для представления логического выражения функции логического элемента, обычно называется таблицей истинности . Таблица истинности логического элемента показывает каждую возможную комбинацию входов для элемента или схемы с результирующим выходом в зависимости от комбинации этих входов.

Например, рассмотрим одну логическую схему с двумя входами с входными переменными, обозначенными как A и B. Существует «четыре» возможных комбинации входов или 2 ² из «ВЫКЛ» и «ВКЛ» для двух входов.Однако, имея дело с логическими выражениями и особенно с таблицами истинности логических вентилей, мы обычно не используем «ON» или «OFF», а вместо этого даем им битовые значения, которые представляют логический уровень «1» или логический уровень «0» соответственно.

Тогда четыре возможных комбинации A и B для логического элемента с 2 входами задаются как:

• Комбинация входов 1. — «ВЫКЛ» — «ВЫКЛ» или (0, 0)
• Комбинация входов 2. — «ВЫКЛ» — «ВКЛ» или (0, 1)
• Комбинация входов 3. — «ВКЛ» — «ВЫКЛ» или (1, 0)
• Комбинация входов 4.- «ВКЛ» — «ВКЛ» или (1, 1)

Следовательно, логическая схема с 3 входами будет иметь 8 возможных комбинаций входов или 2 ³ , а логическая схема с 4 входами будет иметь 16 или 2 ⁴ и так далее по мере увеличения количества входов. Тогда логическая схема с числом входов «n» будет иметь 2 ⁿ возможных комбинаций входов как «ВЫКЛ», так и «ВКЛ».

Итак, чтобы упростить понимание, в этом руководстве мы будем иметь дело только со стандартными логическими вентилями типа с двумя входами и , но принципы остаются теми же самыми для вентилей с более чем двумя входами.

Тогда таблицы истинности для логического элемента И с 2 входами, логического элемента ИЛИ с 2 входами и логического элемента НЕ с одним входом представлены как:

2 входа И ворота

Для логического элемента И с двумя входами, выход Q является истинным, если ОБА входа A «И», вход B оба истинны, что дает логическое выражение: (Q = A и B).

Обратите внимание, что логическое выражение для логического элемента И с двумя входами может быть записано как: A.B или просто AB без десятичной точки.

2 входа ИЛИ (включительное ИЛИ) Gate

Для логического элемента ИЛИ с 2 входами выход Q является истинным, если ЛИБО вход A «ИЛИ», вход B истинен, что дает логическое выражение: (Q = A или B).

НЕ затвор (инвертор)

Для одиночного входного логического элемента НЕ выход Q истинен ТОЛЬКО, когда вход «НЕ» истинен, выход является инверсией или дополнением входа, дающим логическое выражение: (Q = НЕ А).

Шлюзы И-НЕ и ИЛИ-ИЛИ представляют собой комбинацию вентилей И и ИЛИ, соответственно, с вентилем НЕ (инвертор).

2-входное И-НЕ (не И), шлюз

Для логического элемента И-НЕ с двумя входами выход Q НЕ истинен, если ОБА вход A и вход B истинны, что дает логическое выражение: (Q = not (A AND B)).

2 входа NOR (Not OR) Gate

Для логического элемента ИЛИ-ИЛИ с 2 входами выход Q является истинным, если ОБА вход A и вход B НЕ истинны, что дает логическое выражение: (Q = not (A OR B)).

Помимо стандартных логических вентилей, существуют также два специальных типа функций логических вентилей, которые называются вентилем исключающее ИЛИ и вентилем исключающее ИЛИ.Логическое выражение для обозначения функции «Исключающее ИЛИ» или «Исключающее ИЛИ» относится к символу со знаком плюс внутри круга (⊕).

Коммутационные действия обоих этих типов вентилей могут быть созданы с использованием вышеуказанных стандартных логических вентилей. Однако, поскольку они являются широко используемыми функциями, теперь они доступны в стандартной форме IC и включены здесь в качестве справочных.

2 входа EX-OR (Исключающее ИЛИ) Gate

Для логического элемента Ex-OR с 2 входами выход Q является истинным, если ЛИБО вход A или вход B истинен, но НЕ оба дают логическое выражение: (Q = (A и NOT B) или (NOT A и Б)).

2 входа EX-NOR (Exclusive NOR) Gate

Для логического элемента Ex-NOR с 2 входами выход Q является истиной, если ОБА вход A и вход B одинаковы, либо истина, либо ложь, что дает логическое выражение: (Q = (A и B) или (NOT A а НЕ Б)).

Сводка логических вентилей с 2 ​​входами

В следующей таблице истинности сравниваются логические функции вышеупомянутых логических вентилей с 2 ​​входами.

В следующей таблице приводится список общих логических функций и их эквивалентные логические обозначения.

Таблицы истинности логических вентилей с 2 ​​входами приведены здесь в качестве примеров работы каждой логической функции, но есть намного больше логических вентилей с 3, 4 и 8 отдельными входами.Множественные входные вентили ничем не отличаются от простых вентилей с 2 ​​входами, описанных выше. Таким образом, вентиль И с 4 входами по-прежнему требует наличия ВСЕХ 4 входов для получения требуемого выхода на Q, и его большая таблица истинности будет отражать это.

примеров упрощения схем | Булева алгебра

Начнем с полупроводниковой схемы затвора, нуждающейся в упрощении.

Предполагается, что входные сигналы «A», «B» и «C» поступают от переключателей, датчиков или, возможно, других схем затвора.

Не имеет значения, откуда берутся эти сигналы в задаче уменьшения стробирования.

Как написать логическое выражение для упрощения схем

Нашим первым шагом к упрощению должно быть написание логического выражения для этой схемы.

Эта задача легко выполняется шаг за шагом, если мы начнем с написания подвыражений на выходе каждого элемента, соответствующих соответствующим входным сигналам для каждого элемента.

Помните, что вентили ИЛИ эквивалентны логическому сложению, а вентили И эквивалентны логическому умножению.

Например, я напишу подвыражения на выходах первых трех ворот:

. . . затем еще одно подвыражение для следующих ворот:

Наконец, результат («Q») равен выражению AB + BC (B + C):

Теперь, когда у нас есть логическое выражение, с которым можно работать, нам нужно применить правила булевой алгебры, чтобы привести выражение к его простейшей форме (простейшая определяется как требующая реализации наименьшего числа вентилей):

Последнее выражение, B (A + C), намного проще исходного, но выполняет ту же функцию.

Если вы хотите проверить это, вы можете создать таблицу истинности для обоих выражений и определить статус Q (выход схемы) для всех восьми комбинаций логических состояний A, B и C для обеих схем. Две таблицы истинности должны быть идентичными.

Создание схематических диаграмм из логических выражений

Теперь мы должны сгенерировать схематическую диаграмму из этого логического выражения.

Для этого оцените выражение, следуя правильному математическому порядку операций (умножение перед сложением, операции в скобках перед чем-либо еще), и нарисуйте ворота для каждого шага.

Еще раз вспомните, что вентили ИЛИ эквивалентны логическому сложению, а вентили И эквивалентны логическому умножению.

В этом случае мы бы начали с подвыражения «A + C», которое является логическим элементом ИЛИ:

Следующим шагом в оценке выражения «B (A + C)» является умножение (логический элемент И) сигнала B на выходной сигнал предыдущего элемента (A + C):

Очевидно, что эта схема намного проще оригинала, имея только два логических элемента вместо пяти.

Такое уменьшение компонентов приводит к более высокой скорости работы (меньшее время задержки от перехода входного сигнала к переходу выходного сигнала), меньшему потреблению энергии, меньшим затратам и большей надежности.

Как использовать логическое упрощение для схем электромеханических реле

Электромеханические релейные схемы, обычно более медленные, потребляющие больше электроэнергии для работы, более дорогие и имеющие более короткий средний срок службы, чем их полупроводниковые аналоги, значительно выигрывают от логического упрощения.Рассмотрим пример схемы:

Как и раньше, нашим первым шагом в приведении этой схемы к ее простейшей форме должно быть создание логического выражения из схемы.

Самый простой способ, который я нашел, — это выполнить те же шаги, которые я обычно выполняю, чтобы уменьшить последовательно-параллельную резисторную сеть до одного полного сопротивления.

Например, рассмотрите следующую схему резисторов с резисторами, расположенными в той же схеме подключения, что и контакты реле в предыдущей цепи, и соответствующей формулой общего сопротивления:

На приведенном выше рисунке длинный штрих (-) используется для обозначения последовательного соединения резисторов.

Помните, что параллельные контакты эквивалентны логическому сложению, а последовательные контакты эквивалентны логическому умножению.

Напишите логическое выражение для этой контактной цепи реле в том же порядке приоритета, что и при уменьшении последовательно-параллельной цепи резисторов до полного сопротивления.

Может оказаться полезным написать логическое подвыражение слева от каждой «ступеньки» лестницы, чтобы упорядочить написание выражений:

Теперь, когда у нас есть логическое выражение, с которым можно работать, нам нужно применить правила булевой алгебры, чтобы привести выражение к его простейшей форме (простейшая определяется как требующая реализации наименьшего числа релейных контактов):

Более склонные к математике должны быть в состоянии увидеть, что два шага, использующие правило «A + AB = A», могут быть объединены в один шаг, причем правило может быть расширено до: «A + AB + AC + AD +.. . = A ”

Как видите, сокращенная схема намного проще исходной, но выполняет ту же логическую функцию:

ОБЗОР:

• Чтобы преобразовать схему затвора в логическое выражение, пометьте каждый выход затвора логическим подвыражением, соответствующим входным сигналам затвора, до тех пор, пока на последнем затворе не будет достигнуто окончательное выражение.
• Чтобы преобразовать логическое выражение в схему затвора, оцените выражение, используя стандартный порядок операций: умножение перед сложением и операции в круглых скобках перед любыми другими.
• Чтобы преобразовать схему релейной логики в логическое выражение, пометьте каждую ступень логическим подвыражением, соответствующим входным сигналам контактов, до тех пор, пока не будет достигнуто окончательное выражение на последней катушке или индикаторе. Чтобы определить правильный порядок оценки, относитесь к контактам так, как если бы они были резисторами, и как если бы вы определяли общее сопротивление последовательно-параллельной цепи, образованной ими. Другими словами, сначала ищите контакты, которые либо непосредственно, последовательно, либо непосредственно параллельно друг другу, затем «свертывают» их в эквивалентные логические подвыражения, прежде чем переходить к другим контактам.
• Чтобы преобразовать логическое выражение в схему релейной логики, оцените выражение, используя стандартный порядок операций: умножение перед сложением и операции в круглых скобках перед любыми другими.

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ:

Логические вентили и булева алгебра

Булева алгебра — это математическая основа цифровых схем. Булева алгебра определяет отношения между логическими переменными, которые используются для разработки схем комбинационной логики с использованием логических вентилей.Таблица истинности показывает реакцию выхода логической схемы на все входные комбинации.

Булева алгебра

• Логическая переменная принимает значение 0 (Ложь) или 1 (Истина).
• Символы используются для представления логических переменных, например А, Б, В, Х, Y, Z
• Есть три основные логические операции И, ИЛИ, НЕ
• Логические операторы: • + ‾
  • A + B означает A OR B
  • A • B означает A И B
  • А означает НЕ А
• Узлы в цепи представлены логическими переменными

На практике логическая алгебра используется для упрощения логических выражений.
Это означает, что для реализации комбинационной логической схемы используется меньше логических элементов.

Логические ворота

Логические вентили — это электронные схемы, реализующие основные функции булевой алгебры. У каждых ворот есть символ.

Таблица истинности

Таблица истинности показывает значения выхода схемы для всех входных значений.

Примеры

Логическое выражение

Символ ворот

Таблица истинности

Логические уровни (0 или 1) представлены с помощью уровня напряжения

• Высокое напряжение (5 В, 3.3 В, 2,5 В и т. Д.) Равно 1
• Низкое напряжение (0 В) равно 0

Эквивалентные схемы

Рис. 1 представляет собой пример четырех схем, которые эквивалентны, потому что их таблицы истинности идентичны.

• (a) — схема НЕ И
• (b) — логический элемент NAND, получивший свое название от конфигурации N, или И . Он использует пузырь для представления логического элемента НЕ на его выходе.
• (c) реализует функцию И-НЕ с помощью логических элементов ИЛИ и НЕ.
• (d) — еще один способ нарисовать (c) с использованием пузыря для представления логического элемента НЕ на его входе.

Применение логических вентилей

Логические вентили используются для реализации следующей цифровой схемы.

Банковская сигнализация

Банк хочет установить сигнализацию с 3 датчиками движения.

Для предотвращения ложных тревог, вызванных срабатыванием одного датчика, тревога срабатывает только тогда, когда одновременно срабатывают как минимум два датчика.

Решите проблему с тревогой прямо сейчас!

Другие логические приложения, например
Нечетные числа, мультиплексоры, сумматоры, декодер BCD до 7 сегментов …
которые вы узнаете, как использовать логические вентили, чтобы реализовать их за считанные минуты!

Поскольку доходы от рекламы падают, несмотря на рост числа посетителей, нам нужна ваша помощь в поддержании и улучшении этого сайта, что требует времени, денег и тяжелого труда.Благодаря щедрости наших посетителей, которые давали ранее, вы можете использовать этот сайт бесплатно.

Если вы воспользовались этим сайтом и можете, пожалуйста,
отдать 10 долларов через Paypal . Это позволит нам
продолжаем в будущее. Это займет всего минуту. Спасибо!

Я хочу дать!

Wolfram | Примеры альфа: булева алгебра

Булева алгебра

Выполняет логическую алгебру, вычисляя различные свойства и формы и создавая различные диаграммы.

Проанализируйте логическое выражение:

Другие примеры

Таблицы истинности

Создает полные таблицы истинности для булевой функции многих логических переменных.

Вычислить таблицу истинности для логической функции:

Другие примеры

Логические схемы

Визуализируйте логическую схему произвольного логического выражения.

Вычислите логическую схему для логической функции:

Другие примеры

Нормальные формы

Вычисляет различные нормальные формы логического выражения.

Преобразуйте логическое выражение в дизъюнктивную нормальную форму:

Преобразуйте логическое выражение в конъюнктивную нормальную форму:

Преобразуйте логическое выражение в алгебраическую нормальную форму:

Другие примеры

Общие логические функции

Вычисление с помощью логических функций, заданных целочисленным индексом и количеством переменных.

Задайте логическую функцию по номеру:

Укажите минимальный или максимальный срок по номеру:

Другие примеры

Научные статьи, журналы, авторы, подписчики, издатели

Приложения логической алгебры: Клод Шеннон и схемотехника

Введение

В 1938 году американский математик и инженер-электрик Клод Э. Шеннон (1916–2001) защитил кандидатскую диссертацию по электротехнике в Массачусетском технологическом институте. Ванневер Буш (1890–1974), декан инженерного факультета Массачусетского технологического института и изобретатель первого механического компьютера, названного «дифференциальный анализатор», был достаточно впечатлен тезисом Шеннона, чтобы спонсировать его публикацию в инженерном журнале.Эта отмеченная наградами статья «Символьный анализ реле и коммутационных схем» [4] произвела революцию в исследовании переключателей и реле, которые, в свою очередь, образуют схемы, лежащие в основе двоичной арифметики современных компьютеров.

Вдохновленный идеей своего исследования символической логики в студенческом курсе философии, Шеннон описал общую проблему, которую необходимо решить, и предложенный им подход к ней следующим образом [4, с. 713]:

В схемах управления и защиты сложных электрических систем часто необходимо выполнять сложные соединения контактов реле и переключателей.Примеры этих схем встречаются в автоматических телефонных станциях, промышленном оборудовании для управления двигателями и почти в любых схемах, предназначенных для автоматического выполнения сложных операций. В этой статье будет проведен математический анализ некоторых свойств таких сетей. …

Метод решения этих проблем можно кратко описать следующим образом: любая схема представлена ​​набором уравнений, члены которых соответствуют различным реле и переключателям в схеме.Исчисление разработано для манипулирования этими уравнениями с помощью простых математических процессов, большинство из которых подобны обычным алгебраическим алгоритмам. Показано, что это исчисление в точности аналогично исчислению предложений, используемому при символическом изучении логики.

«Исчисление предложений, используемое в символическом исследовании логики», на которое здесь ссылается Шеннон, сегодня более широко известно под названием «логическая алгебра» в честь викторианского математика Джорджа Буля (1815–1864), чья собственная революционная работа по изучению логики в [1, 2] началась эта важная область математики.

На основе работ многочисленных людей, которые внесли свой вклад в рассказ о рождении и развитии логической алгебры как абстрактной математической структуры и мощного прикладного инструмента, мы создали три основных проектных модуля, подходящих для студентов вводных или промежуточных курсов дискретной математики:

Все три проекта являются частью более крупной коллекции, опубликованной в Convergence, , и весь вводный курс дискретной математики можно преподавать на основе выбранных проектов в этом сборнике.Дополнительные проекты см. В разделе «Основные исторические источники в классе: дискретная математика и информатика».

Наш проект «Приложения булевой алгебры: Клод Шеннон и схемотехника» готов для студентов, а исходный текст Latex также доступен для преподавателей, которые могут пожелать изменить проект для студентов. Подробные «Примечания для инструктора», представленные далее, также прилагаются к самому проекту.

Рисунок 3. Клод Шеннон, исследователь Bell Labs, основал теорию информации.Позже он стал профессором Массачусетского технологического института. (Источники: Convergence Portrait Gallery, MIT News)

На заметку инструктору

Проект «Приложения булевой алгебры: Клод Шеннон и схемотехническое проектирование» предназначен для вводного или промежуточного курса дискретной или конечной математики, который рассматривает булеву алгебру с точки зрения математики или информатики. Проект действительно предполагает некоторое (очень минимальное) знакомство с заданными операциями объединения и пересечения.Этот предварительный материал может быть получен путем выполнения сопутствующего (логического) проекта, описанного ниже, путем чтения стандартного учебника, описывающего элементарные операции над наборами, или посредством короткого обсуждения / лекции в классе. Хотя никакие другие предварительные знания не требуются для какой-либо части проекта, разделы 3 и 4 предполагают несколько более высокий уровень математической зрелости со стороны студентов, примерно соизмеримый с уровнем студента, завершившего математическое исследование I (для Раздел 3) и Исчисление II (для Раздела 4).

Этот проект, основанный на отмеченной наградами статье Клода Шеннона «Символьный анализ цепей реле и коммутации» [4], начинается с краткого обзора двух исторических предшественников работы Шеннона. Первая из них — это оригинальная работа Джорджа Буля по «логике классов», включенная частично для того, чтобы предоставить учащимся связь с другим конкретным примером булевой алгебры, на котором они могут рисовать; второй из них — работа Эдварда Хантингтона по аксиоматизации булевых алгебр, включенная частично для того, чтобы подчеркнуть для студентов взаимосвязь между абстрактными аксиоматическими структурами и конкретными моделями как примерами этих структур.Раздел 2 проекта вводит и развивает использование логических выражений для представления параллельных и последовательных схем. В конкретном контексте двузначной булевой алгебры, связанной с этими схемами, в этом разделе развиваются стандартные свойства булевой алгебры; конкретные вопросы проекта в этом разделе также дают студентам возможность попрактиковаться в использовании этих идентификаторов для упрощения логических выражений и управления ими. В разделе 3 понятие «дизъюнктивной нормальной формы» для логических выражений вводится в контексте проектирования схем.Затем в разделе 4 исследуется более сложный метод применения логической алгебры к проблеме упрощения сложных схем.

Поскольку многие концепции в этом проекте развиваются с помощью упражнений, инструкторам рекомендуется проработать все упражнения заранее, чтобы определить, какие из них, если таковые имеются, она может пожелать пропустить. Для полного завершения проекта требуется примерно четыре 50-минутных урока. Раздел 4 можно легко пропустить для тех, кто хочет, чтобы студенты изучали только более фундаментальные концепции логической алгебры, или для использования со студентами, которые еще не имеют необходимого уровня математической зрелости для последующих разделов.Оба раздела 3 и 4 также могут быть опущены по тем же причинам. Преподавателям, которые решили заполнить Раздел 4, рекомендуется, чтобы студенты также заполняли Раздел 3.

Два других проекта по булевой алгебре доступны в качестве дополнений к этому проекту, один или оба из которых также могут использоваться независимо от этого проекта. Первый сопутствующий проект «Происхождение булевой алгебры в логике классов»: Джордж Буль, Джон Венн и Ч. С. Пирс подходит в качестве предварительной подготовки либо к проекту Хантингтона, либо к проекту Шеннона.Не вводя явным образом современные обозначения для операций над множествами (до заключительного раздела), этот проект развивает современное понимание этих операций и их основных свойств в контексте ранних попыток разработать символическую алгебру для логики. Постепенно повышая уровень абстракции, этот проект также закладывает основу для более абстрактного обсуждения логической алгебры как дискретной структуры и исследует множество других математических тем, включая понятие обратной операции, вопросы, связанные с математической нотацией. , а также стандарты строгости и доказанности.

Второй сопутствующий проект «Булева алгебра как абстрактная структура: Эдвард В. Хантингтон и аксиоматизация» может быть использован либо как предварительный, либо как продолжение проекта Шеннона по проектированию схем. Этот проект исследует раннюю аксиоматизацию булевой алгебры как абстрактной структуры на основе статьи Хантингтона 1904 года «Наборы независимых постулатов для алгебры логики» [3]. В дополнение к введению теперь стандартных аксиом для структуры логической алгебры, проект иллюстрирует, как использовать эти постулаты для доказательства некоторых основных свойств булевых алгебр.Конкретные вопросы проекта также дают студентам возможность попрактиковаться в использовании символических обозначений и побуждают их анализировать логическую структуру количественных утверждений. В проекте также исследуется использование Хантингтоном двузначной булевой алгебры на \ (K = \ {0,1 \} \) — впервые изученной Джорджем Булем в его работе над логикой классов — в качестве модели для установления независимости и непротиворечивость одного из его наборов постулатов. В последнем разделе проекта обсуждаются современные (студенческие) обозначения и аксиомы для булевых алгебр, а также предлагаются несколько практических упражнений для закрепления идей, разработанных в предыдущих разделах.

Реализация со студентами любого из этих проектов может быть достигнута посредством индивидуально заданной работы, работы в малых группах и / или обсуждения в классе; Комбинация этих учебных стратегий рекомендуется для того, чтобы воспользоваться разнообразием вопросов, включенных в проект.

Загрузите проект «Приложения булевой алгебры: Клод Шеннон и схемотехника» в виде файла PDF, готового для использования в классе.

Загрузите изменяемый исходный файл Latex для этого проекта.

Дополнительные проекты см. В разделе «Основные исторические источники в классе: дискретная математика и информатика».

Библиография

[1] Boole, G., Mathematical Analysis of Logic, MacMillan, Barclay & MacMillan, Cambridge, 1847. Переиздано Open Court, La Salle, 1952.

[2] Буль Г., Исследование законов мысли, на которых основаны математические теории логики и вероятностей, Уолтон и Маберли, Лондон, 1854.Переиздано Dover Publications, Нью-Йорк, 1958.

[3] Хантингтон Э. В., Наборы независимых постулатов для алгебры логики, Труды Американского математического общества, 5: 3 (1904), 288-309.

[4] Шеннон, К. Э., Символьный анализ реле и коммутационных цепей, Американский институт инженеров-электриков, 57 (1938), 713-723. Перепечатано в Claude Elwood Shannon: Collected Papers, N. J. A. Sloane и A. D. Wyner (редакторы), IEEE Press, New York, 1993, 471-495.

Благодарность

Разработка учебных материалов по дискретной математике была частично поддержана Программой усовершенствования курсов, учебных программ и лабораторий Национального научного фонда в рамках грантов DUE-0717752 и DUE-0715392, за которые авторы очень благодарны. Любые мнения, выводы, выводы или рекомендации, выраженные в этом материале, принадлежат авторам и не обязательно отражают точку зрения Национального научного фонда.