Изображение электрического поля: Электрическое поле

Содержание

Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Графическое представление электростатического поля.

Электрическое поле. Напряженность электрического поля.
Закон Кулона не объясняет механизм передачи электромагнитного взаимодействия: близкодействие (непосредственный контакт) или дальнодействие? Если заряды действуют друг на друга на расстоянии, то скорость передачи взаимодействия должна быть бесконечно большой, взаимодействие должно распространяться мгновенно. На опыте скорость конечна (скорость света с=3^.10⁸м/с).
Для объяснения вводится понятие электрического поля (впервые — М. Фарадей) — особый вид материи, существующий вокруг любого электрического заряда и проявляющий себя в действии на другие заряды.
*Напряженность — силовая характеристика электрического поля.*
Пусть заряд q₀ создает поле, в произвольную точку которого мы помещаем положительный заряд q. Во сколько бы раз мы не изменяли заряд q в этой точке, сила взаимодействия изменится во столько же раз (з-н Кулона).
Следовательно: — величина постоянная в данной точке данного поля.
Напряженность — векторная физическая величина, численно равная отношению силы, действующей на заряд, помещенный в данную точку данного поля, к величине этого заряда.
Напряженность не зависит от величины заряда, помещенного в поле. , если q>0. , если q<0. Т.е. вектор напряженности направлен от положительного заряда и к отрицательному.
Напряженность в данной точке поля равна 1, если на заряд в 1 Кл, помещенный в эту точку, действует сила в 1 Н. (Напряженность равна 1 , если между точками электростатического поля, находящимися на расстоянии 1 м друг от друга, существует разность потенциалов 1 В).
Принцип суперпозиции полей: напряженность поля, созданного системой зарядов равна геометрической сумме напряженностей полей, созданных каждым зарядом. Т.е. напряженности складываются геометрически: (Это опытный факт.)	Пример:
Графическое представление электростатического поля.
*Силовые линии* (линии напряженности) — непрерывные (воображаемые) линии вектор напряженности касателен к каждой точке которых. Способ описания с помощью силовых линий введен Фарадеем.
*Свойства:*
Начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах. Не пересекаются. Густота линий тем больше, чем больше напряженность. Т.е. напряженность поля прямо пропорциональна количеству силовых линий, проходящих через единицу площади поверхности. Можно договориться изображать поля так, что количество проведенных линий пропорционально величине заряда.

Графическое изображение электрических полей. Линии напряженности.

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 11Следующая ⇒

1. Электрические поля изображаются силовыми линиями или линиями напряженности.

Линии напряженности – это линии по касательным, к которым располагаются вектора сил, действующих на пробный положительный заряд или вектора напряженности.

Свойства линий напряженности:

А) Выходят из положительных зарядов , а входят в отрицательные заряды.

Б) Нигде не пересекаются.

В) Густота линий говорит об интенсивности электрического поля.

Изображение электрических полей

А) Электрическое поле изолированного положительного заряда

Б) Электрическое поле изолированного отрицательного заряда

В) Электрическое поле системы двух разноименных зарядов

Г) Электрическое поле системы двух одноименных зарядов

Д) Электрическое поле плоского конденсатора. Однородное электрическое поле

Вопрос

Работа электрического поля по перемещению заряда.

A_AB = F_ЭЛ ∙ AB ∙ cosα = F_ЭЛ ∙ AC

A_ACB = A_AC + A_CB = F_ЭЛ ∙ AC ∙ cos0 + F_ЭЛ ∙ CB ∙ cos90^О = F_ЭЛ ∙ AC

Вывод:

1. Работа электрического поля не зависит от формы траектории заряда, определяется его начальным положением и конечным.

2. Работа по перемещению заряда по замкнутому контуру равна 0.

Поля с такими свойствами называются потенциальными, значит электрическое поле – потенциально. И можно ввести характеристику потенциал.

Потенциал – это энергетическая характеристика электрического поля, она численно равна потенциальной энергии единичного положительного заряда данной точки поля.

Потенциал.

φ =

[φ]си = 1 = 1В (вольт)

Родственные потенциалу величины, разность потенциалов и напряжение.

φ₂ – φ₁ = Δφ = = φ

Δφ = U =

[U] = 1В

Потенциал точечного заряда. r

φ = K ∙

Взаимосвязь разности потенциалов или напряженности электрического поля.

Δφ = E ∙d U = E ∙ d

Вопрос

Проводники и диэлектрики в электрическом поле.

1. Проводники вне электрического поля

Проводник в электрическом поле

Внутри проводника электрическое поле отсутствует (электростатическая защита от электрических полей)

2.Различают 2 вида диэлектриков с жесткими и мягкими диполями.

Диэлектрик с жесткими диполями вне электрического поля.

Диполь – это поляризованная молекула.

В электрическом поле

Диэлектрик с мягкими диполями вне электрического поля.

Диэлектрик с мягкими диполями в электрическом поле

Вывод: диэлектрик ослабляет внешнее электрическое поле в ε раз.

Вопрос

Электрическая емкость проводника. Конденсаторы.

Электрическая емкость – это характеристика проводника. Она численно равна заряду, который нужно сообщить проводнику, что бы его потенциал возрос на 1 единицу.

[C]си = 1Ф (Фарада)

1мкФ = 10^-6Ф

1пФ = 10^-12Ф

Электрическая емкость зависит от формы, размеров проводника, вида диэлектрика, но не зависит от материала проводника.

1. Особый интерес вызывают системы двух проводников разделенных диэлектриком – конденсаторы.

Конденсаторы — это накопители электрической энергии.

Виды конденсаторов:

1. По форме пластин

А) Плоский конденсатор

Б) Лейденская банка

В) Сферические

2. По виду диэлектрика

А) Воздушный

Б) Стеклянный

В) Бумажный

3. По емкости

А) Постоянный

Б) Переменный

Вопрос

Соединение конденсатора в батарее.

W_ЭЛ =

Вопрос

Электрический ток. Направление тока. Величины, характеризующие ток.

1. Электрический ток – это направленное движение заряженных частиц.

2. Направление тока

Различают истинное и техническое направление тока.

Истинное направление – это направление движения тех заряженных частиц, которое создают ток.

Техническое направление тока (которое отмечается в схемах) – это направление движения положительно заряженных частиц.

3. Скорость тока

Различают:

— Скорость направленного движения частиц (электронов)

— Под скоростью тока понимают скорость распространение электрического поля в цепи

4. Величины, характеризующие ток:

1. Сила тока – это величина численно равная заряду, проходящему через поперечное сечение проводника в единицу времени.

[I]си = 1

2. Плотность тока j

Вопрос

Условия возникновения тока. Внешний и внутренний участки цепи. ЭДС. Закон Ома для полной цепи (1 форма).

Условия

1) Замкнутая цепь

2) Источник тока, который поддерживает электрическое поле в цепи.

2. Электрическую цепь делят на 2 части

1) Внутренний участок цепи (источник тока)

2) Внешний участок цепи (потребитель)

Источник тока характеризуется особой величиной — электродвижущей силой (ЭДС), которая родственна напряжению.

ЭДС – это величина, численно равная работе сторонних сил по перемещению единичного заряда на внутреннем участке цепи.

[E]си = 1В

Закон Ома для полной цепи

Закон Ома для полной цепи:

ЭДС источника тока равна сумме напряжения на внешнем и на внутреннем участках цепи.

Вопрос

Графическое изображение поля — Студопедия

Электрическое поле изображают с помощью электрических линий и следов эквипотенциальных поверхностей.

Поверхность, проведённая в пространстве так, что все её точки имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной.

Рисунок 1.7 – Неоднородное симметричное поле

Рисунок 1.8 – Неоднородное несимметричное поле

Рисунок 1.9 – Однородное несимметричное поле

Если вектор напряженности в каждой точке поля одинаков по величине и направлению то поле считается однородным.

Силовые линии магнитного поля (линии напряженности) проводятся так что:

1. Направление от положительного заряда и к отрицательному заряду;

2. Густота силовых линий отражает величину напряженности;

3. Проводятся так, чтобы вектор напряженности в каждой точке линии был направлен по касательной к ней.

Силовые линии это мысленные траектории движения пробного положительного заряда, внесенного в данную точку поля.

Следы эквипотенциальных поверхностей проводятся так, чтобы они пересекались с силовыми линиями под прямым углом, между каждыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями разность потенциалов одинакова.

1.3 Электропроводность веществ: проводники, диэлектрики, полупроводники

Почти в любом объёме любого вещества содержится некоторое количество свободных зарядов, их число в единице объёма называется концентрацией.

При отсутствии внешнего электрического поля свободные заряды совершают хаотическое тепловое движение, попадая в электрическое поле они приобретают скорость упорядоченного, направленного движения.

Упорядоченное направленное движение зарядов под действием сил внешнего электрического поля называется электрическим током.

Способность веществ, проводить электрический ток называется электропроводностью.

В зависимости от электропроводности все вещества делят на три группы:

1) Проводники – вещества, обладающие хорошей электропроводимостью, следовательно, хорошо проводящие электрический ток. Делятся на две подгруппы:

а) Первого рода – металлы и их сплавы. В них большое количество свободных электронов, которые под действием сил внешнего электрического поля приобретают скорость направленного движения, следовательно ток в проводника первого рода – это упорядоченное направленное движение электронов, а значит не сопровождается переносом вещества и химическими реакциями.

Проводник первого рода помещён в электростатическое поле, происходит явление электромагнитной индукции –мгновенное перемещение свободных зарядов к одной поверхности проводника. На этой поверхности возникает избыточный отрицательный заряд, недостаток электронов у противоположной поверхности создаёт избыточный положительный заряд, следовательно заряженные поверхности проводника создают собственное поле, направленное против внешнего и всегда его уравновешивающего. На этом основано экранирование – защита части пространства от внешних электрических полей.

б) Второго рода – это электролиты – водные растворы солей, кислот, щелочи, в них под действием растворителя (воды) происходит расход молекул на положительно и отрицательно заряженные ионы (электролитическая диссонация). Во внешнем электрическом поле ионы приобретают скорость направленного движения, значит ток в проводниках второго рода – это направленное движение ионов, а значит, сопровождается переносом вещества и химическими реакциями.

2) Диэлектрики – вещества, не имеющие свободных зарядов, а потому не способные проводить постоянный электрический ток. Делятся на две группы: неполярные и полярные диэлектрики.

У неполярных диэлектриков электронные орбиты расположены так, что при отсутствии внешнего поля электрические центры «+» и « — » в одной точке атом не создаёт диполя. Во внешнем поле орбиты смещаются так, что электрические центры «+» и « — » в разных точках, образовалась диполь – два одинаковых по величине, но противоположных по знаку связанных заряда. Произошла поляризация диэлектрика – деформационная.

У полярных диэлектриков диполи существуют от природы без всякого внешнего поля, но ариентированны хаотически. Во внешнем поле диполи поворачиваются и выстраиваются вдоль линий внешнего поля, происходит поляризация, которая называется ориентационной.

Внутри любого поляризованного диэлектрика поле существует, но по сравнению со внешним оно ослаблено в E раз.

Постоянный электрический ток диэлектрики не проводят, а переменный ток проводят – направленное колебательное движение диполей под действием сил внешнего переменного электрического поля.

О том, что колебательные движения диполей можно назвать электрическим током говорит опыт Эйхенвольда.

При протягивании диэлектрика в месте AB происходит … временный поворот на 180° и это сопровождается возникновением магнитного поля, которое всегда сопутствует электрическому току.

Существуют:

Ток проводимости – упорядоченное направленное движение свободных зарядов под действием сил внешнего электрического поля (постоянный и переменный).

Ток смещения связанных зарядов (в диэлектрике) – колебательное движение диполей под действием сил внешнего переменного электрического поля

3) Полупроводники – вещества, занимающие промежуточное положение по электропроводимости между проводниками и диэлектриками. Ток в них это направленное движение свободных электронов и дырок, зависит от некоторых факторов (температура, освещённость, наличие примесей).

Графическое изображение электрических полей — Студопедия

Электрическое поле невидимо, но иногда очень важно представить, как оно распределено в пространстве. В этом случае электрическое поле можно изобразить графически с помощью линий вектора напряженности , которые также называют силовыми линиями электрического поля.

Линией вектора напряженности или силовой линией называют линию, в каждой точке которой вектор напряженности электрического поля направлен по касательной к ней. Так как касательная определяет два взаимно противоположных направления, то силовой линии приписывают определенное направление, отмечая его на рисунке стрелкой.

На рисунке 22.1.3а изображена силовая линия некоторого электрического поля.

Выберем на этой линии произвольные точки А, В и С (Рис.22.1.3б).

Для того, чтобы указать векторы напряженности , , в этих точках, проведем векторы, касательные к этим точкам, причем начала каждого из этих векторов должны находиться в соответствующих точках (Рис.22.2.3в).

Вопрос о величинах , , рассматривать пока не будем.

Чтобы при помощи силовых линий изобразить не только направление, но и величину напряженности поля (качественно), условились на графическом изображении поля проводить силовые линии так с определенной густотой, а именно так, чтобы число силовых линий, проходящих через единицу поверхности, перпендикулярной к силовым линиям, было пропорциональным величине напряженности поля в данном месте.

Изображая силовые линии поля, мы получаем своеобразное графическое изображение, которое наглядно показывает, как напряженность поля изменяется в пространстве.

На рисунке 22.1.4 изображена плоская картина части некоторого электрического поля. Из рисунка видно, что величина напряженности поля в точках, принадлежащих плоскости 1, меньше величины напряженности поля, принадлежащих плоскости 2. если эти точки находятся на одной силовой линии.

При графическом построении изображения электростатическихических полей с помощью силовых линий нужно руководствоваться следующими соображениями:

силовые линии всегда разомкнуты, они начинаются положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных зарядах или уходят на бесконечность от положительных зарядов, или входят из бесконечности в отрицательные заряды;
силовые линии никогда не пересекаются, т.к. их пересечение означало бы наличие в точке пересечения двух различных направлений одного и того же вектора напряженности, направленного по касательной к ним, что не имеет смысла;
чем гуще располагаются силовые линии, тем больше напряженность поля в этом месте; при этом силовые линии не могут сливаться, т.к. это означало бы бесконечно большую величину напряженности поля.

Поле, изображенное не рисунке 22.1.4 это пример неоднородного поля, т.е. поля с переменной от точки к точке напряженностью.

Такие поля изображаются или кривыми силовыми линиями (Рис.22.1.5а), или непараллельными прямыми (Рис.22.1.5б), или параллельными прямыми, но расположенными с разной густотой (Рис.22.1.5в).

Однако очень часто встречается случай, когда с какой-то области пространства создается однородное электрическое поле.

Определение однородного электрического поля:

Поле, в каждой точке которого вектор напряженности постоянный по величине а направлению ( =const), называется однородным.

Силовые линии однородного электрического поля представляют собой параллельные прямые, распределенные по пространству с одинаковой густотой, т.е. отстоящие друг от друга на равных расстояниях.

На рисунке 22.1.5а изображен плоская картина распределения силовых линий некоторого однородного электрического поля.

Выберем произвольные точки этого поля: A, B, C, D, F (Рис.22.1.5б). электрического поля представляют собой параллельные прямые, распределенные по пространству с одинаковой густотой, т.е. равлений

Во всех этих точках вектор напряженности одинаков по модулю и по направлению.

Графическое изображение электростатических полей — Студопедия

Для графического изображения электростатических полей используют линии вектора — они проводятся так, чтобы в каждой точке вектор был направлен по касательной к ним (рис. 6.2). Линии вектора нигде не пересекаются, они начинаются на положительных зарядах, заканчиваются на отрицательных или уходят в бесконечность. Примеры графического изображения полей точечных зарядов приведены на рис. 6.2б,в,г.

В случае однородного поля (рис. 6.2∂) в каждой точке которого вектор одинаков и по модулю, и по направлению, линии представляют собой прямые, параллельные друг другу и отстоящие друг от друга на одинаковом расстоянии.

Рис. 6.2

Обычно линии проводят так, чтобы их густота в каждой точке поля определяла числовое значение вектора . Под густотой линий понимают количество линий, пронизывающих перпендикулярную к ним плоскую поверхность фиксированной площади.

На рис. 6.2 пунктирными линиями изображены эквипотенциальные поверхности. Эквипотенциальная поверхность – это поверхность равного потенциала, в каждой точке поверхности потенциал φ будет одинаковым. Поэтому элементарная работа по перемещению заряда qпо такой поверхности будет равна нулю: dA= – qdφ= 0. Соответственно вектор в каждой точке поверхности будет перпендикулярен к ней, то есть будет направлен по вектору нормали (рис. 6.2е).

Условились проводить эквипотенциальные поверхности так, чтобы разность потенциалов между соседними поверхностями была одинаковой.

Лекция 7

7.1. Поток и циркуляция вектораэлектростатического поля.

Теорема Гаусса длявектора

Возьмем произвольный контур Г и произвольную поверхность Sв неоднородном электростатическом поле (см. рис. 7.1а,б).

Тогда циркуляцией вектора по произвольному контуру Г называют интеграл вида

(7.1)

а потоком Ф_Е вектора через произвольную поверхность Sследующее выражение:

(7.2)

Входящие в эти формулы векторы и определяются следующим образом. По модулю они равны элементарной длине dlконтура Г и площади dSэлементарной поверхности S. Направление вектора совпадает с направлением обхода контура Г, а вектор направлен по вектору нормали к площадке dS(рис. 7.1).

В случае электростатического поля циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру Г в соответствии с формулой (6.4) будет равна нулю:

(7.1а)

где А_круг – работа сил поля по перемещению точечного заряда qпо этому контуру.

Как отмечено в Прил., этот факт является признаком потенциальности электростатического поля. Следовательно, электрические заряды в электростатическом поле обладают потенциальной энергией.

Уравнение (7.1а) в дифференциальной форме, справедливой для малой окрестности какой-либо точки электростатического поля, можно записать следующим образом (см. Прил. ):

(7.1б)

Теорема Гаусса в отсутствии диэлектрика (вакуум) формулируется следующим образом: поток векторачерез произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, охватываемых этой поверхностью и деленной на ε₀:

(7.2)

Покажем справедливость теоремы для случая поля точечного заряда. Пусть замкнутая поверхность представляет собой сферу радиусом R, в центре которой находится точечный положительный заряд q(рис. 7.2а).

Тогда

(7.3)

Полученный результат не изменится, если вместо сферы выбрать произвольную замкнутую поверхность (рис. 7.2б), так как поток вектора численно равен количеству линий , пронизывающих поверхность, а число линий в случаях (а)и (б) одинаково.

Подобные рассуждения с использованием принципа суперпозиции электростатических полей можно привести и в случае нескольких зарядов, попадающих внутрь замкнутой поверхности, что и подтверждает теорему Гаусса.

Запишем дифференциальную форму теоремы Гаусса, справедливую для любой малой окрестности какой-либо точки поля. С учетом формулы (П.10) Прил. получим

(7.4)

где введена объемная плотность ρ свободных электрических зарядов

то есть это заряд, содержащийся в единице объема.

7.2. Применение теоремы Гаусса для расчета электростатических полей

Пример 1. Электрическое поле равномерно заряженной по поверхности бесконечно протяженной плоскости.

1-й этап. Введем поверхностную плотность заряда σ.Для этого на заряженной поверхности вблизи какой-либо ее точки выбирают элементарную площадку площадью dS, содержащую заряд dq, и рассчитывают по формуле

то есть σпредставляет собой заряд, приходящийся на единицу поверхности. Если плоскость заряжена равномерно, то тогда во всех ее точках σбудет одинаковой (σ= const), и поэтому поле такой бесконечно протяженной плоскости является однородным – линии представляют прямые, перпендикулярные к ней (рис. 7.3).

2-й этап. Выбираем замкнутую поверхность в виде цилиндра, образующая которого перпендикулярна к плоскости (рис. 7.3). Тогда поток Ф_Е через боковую поверхность будет равен нулю (α =90⁰, линии не пересекают боковой поверхности), и поэтому остается поток только через основание площади S₁ = S₂= S:

3-й этап. Рассчитаем заряд плоскости, попадающий внутрь цилиндра:

4-й этап. Применяем теорему Гаусса для расчета модуля вектора :

(7.5)

здесь учтен случай отрицательно заряженной плоскости.

Формула (7.5) позволяет провести расчет поля плоского конденсатора как поля двух параллельных плоскостей с равными по модулю и противоположными по знаку поверхностными зарядами (рис. 7.4а).

Используя принцип суперпозиции электростатических полей, можно сделать вывод о том, что поле конденсатора существует между его пластинами (рис. 7.4б), а модуль вектора этого поля

(7.6)

где — модуль заряда одной из пластин конденсатора площадью S. Между обкладками конденсатора вакуум или газ.

Оценим разность потенциалов φ₁ – φ₂ (или напряжение U) между обкладками конденсатора, находящимися на расстоянии dдруг от друга. Для этого используем формулы (6.5) и (7.6):

(7.7)

Пример 2. Поле равномерно заряженной бесконечно длинной прямолинейной нити.

1-й этап. Введем линейную плотность заряда нити. Для этого на заряженной нити выбираем элемент длины dl, содержащий заряд dq, и рассчитаем τпо формуле

Для равномерно заряженной нити во всех ее точках τбудет одинаковой (τ = const), поэтому поле такой нити обладает осевой симметрией: линии представляют собой прямые, выходящие из нити и лежащие в плоскостях, перпендикулярных к ней (рис. 7.5а).

На одинаковых расстояниях от нити, то есть на цилиндрических поверхностях, модуль будет одинаковым.

2-й этап. Выбираем замкнутую поверхность в виде цилиндра, имеющего высоту Hи радиус r, ось цилиндра совпадает с нитью. Поток Ф_Е через основания цилиндра равен нулю (α=90⁰), поэтому остается поток только через боковую поверхность:

3-й этап. Рассчитаем заряд отрезка нити длины H, попадающий внутрь цилиндра:

4-й этап. Применяем теорему Гаусса для расчета модуля вектора :

(7.8)

Формула (7.8) позволяет оценить разность потенциалов между двумя точками, находящимися на расстояниях r₁ и r₂ от нити (рис. 7.5а):

(7.9)

1.5. Графическое изображение электрических полей. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности

Для
большей наглядности электрическое поле
часто изображается при помощи силовых
линий и эквипотенциальных поверхностей.

Силовые
линии –
это непрерывные
линии, касательные к которым в каждой
точке, через которую они проходят,
совпадают с вектором напряженности
электрического поля (рис. 1.5). Густота
силовых линий (число силовых линий,
проходящих через единицу площади)
пропорциональна напряженности
электрического поля.

Эквипотенциальные
поверхности (эквипотенциали)
– поверхности
равного потенциала. Это поверхности
(линии), при движении по которым потенциал
не меняется. Иначе, разность потенциалов
между двумя любыми точками эквипотенциали
равна нулю. Силовые линии перпендикулярны
эквипотенциалям и направлены в сторону
убывания потенциала. Это следует из
уравнения (1.10).

Рассмотрим
в качестве примера электрическое поле,
создаваемое на расстоянии
от точечного заряда. Согласно (1.11,б)
вектор напряженности совпадает с
направлением вектора,
если заряд положительный, и противоположен
ему, если заряд отрицательный. Следовательно
силовые линии расходятся радиально от
заряда (рис. 1.6, а, б). Густота силовых
линий, как и напряженность, обратно
пропорциональна квадрату расстояния
()
до заряда. Эквипотенциали электрического
поля точечного заряда представляют
собой сферы с центром в месте расположения
заряда.

На рис.
1.7 показано электрическое поле системы
двух равных по модулю, но противоположных
по знаку точечных зарядов. Мы предоставляем
разобрать этот пример читателям
самостоятельно. Отметим лишь, что силовые
линии всегда начинаются на положительных
зарядах и заканчиваются на отрицательных.
В случае электрического поля одного
точечного заряда (рис. 1.6, а, б) предполагается,
что силовые линии обрываются на очень
удаленных зарядах противоположного
знака. Считается, что Вселенная в целом
нейтральна. Поэтому, если имеется заряд
одного знака, то где-то обязательно
найдется равный ему по модулю заряд
другого знака.

1.6. Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме

Основной задачей
электростатики является задача о
нахождении напряженности и потенциала
электрического поля в каждой точке
пространства. В п. 1.4 мы решили задачу о
поле точечного заряда, а также рассмотрели
поле системы точечных зарядов. В этом
параграфе речь пойдет о теореме,
позволяющей рассчитывать электрическое
поле более сложных заряженных объектов.
Например, заряженной длинной нити
(прямой), заряженной плоскости, заряженной
сферы и других. Рассчитав напряженность
электрического поля в каждой точке
пространства, используя уравнения
(1.12) и (1.13), можно вычислить потенциал в
каждой точке или разность потенциалов
между двумя любыми точками, т.е. решить
основную задачу электростатики.

Для математического
описания введем понятие потока вектора
напряженности или потока электрического
поля. Потоком (Ф) вектора
электрического поля через плоскую
поверхность площадиназывается величина:

,
(1.16)

где
– напряженность электрического поля,
которая предполагается постоянной в
пределах площадки;–
угол между направлением вектораи единичного вектора нормалик площадке(рис. 1.8). Формулу (1.16) можно записать,
используя понятие скалярного произведения
векторов:

. (1.15,а)

В
случае, когда поверхность
не плоская, для вычисления потока ее
необходимо разделить на малые части,
которые можно приблизительно считать
плоскими, а затем записать выражение
(1.16) или (1.16,а) для каждого куска поверхности
и сложить их. В пределе, когда поверхностьS_i
очень мала (),
такую сумму называют поверхностным
интегралом и обозначают.
Таким образом, поток вектора напряженности
электрического поля через произвольную
поверхностьопределяется выражением:

.
(1.17)

В
качестве примера рассмотрим сферу
радиуса
,
центром которой служит положительный
точечный заряд
,
и определим поток электрического поля
через поверхность этой сферы. Силовые
линии (см., например, рис.1.6, а) выходящие
из заряда, перпендикулярны поверхности
сферы, и в каждой точке сферы модуль
напряженности поля один и тот же

Площадь
сферы
,

тогда

Величина
и представляет собой поток электрического
поля через поверхность сферы. Таким
образом, получаем.
Видно, что поток через поверхность сферы
электрического поля не зависит от
радиуса сферы, а зависит только от самого
заряда.
Поэтому, если провести ряд концентрических
сфер, то поток электрического поля через
все эти сферы будет одинаковым. Очевидно,
что число силовых линий, пересекающих
эти сферы, тоже будет одинаковым.
Условились число силовых линий, выходящих
из заряда, принимать равным потоку
электрического поля:.

Если
сферу заменить любой другой замкнутой
поверхностью, то поток электрического
поля и число силовых линий, пересекающих
ее, не изменятся. Кроме того, поток
электрического поля через замкнутую
поверхность, а значит и число силовых
линий, пронизывающих эту поверхность,
равняется
не только для поля точечного заряда, но
и для поля, создаваемого любой совокупностью
точечных зарядов, в частности – заряженным
телом. Тогда величинуследует считать как алгебраическую
сумму всей совокупности зарядов,
находящихся внутри замкнутой поверхности.
В этом и состоит суть теоремы Гаусса,
которая формулируется так.

Поток
вектора напряженности электрического
поля через произвольную замкнутую
поверхность, внутри которой находится
система зарядов, равняется
,
где


алгебраическая сумма этих зарядов.

Математически
теорему можно записать в виде

.
(1.18)

Отметим,
что если на некоторой поверхности S
вектор
постоянен и параллелен вектору,
то поток через такую поверхность.
Преобразуя первый интеграл, мы сначала
воспользовались тем, что векторыипараллельны, а значит.
Затем вынесли величинуза знак интеграла в силу того, что она
постоянна в любой точке сферы.
Применяя теорему Гаусса для решения
конкретных задач, специально в качестве
произвольной замкнутой поверхности
стараются выбирать поверхность, для
которой выполняются описанные выше
условия.

Приведем
несколько примеров на применение теоремы
Гаусса.

Пример 1.2.
Рассчитать напряженность
электрического поля равномерно заряженной
бесконечной нити. Определить разность
потенциалов между двумя точками в таком
поле.

Решение.
Предположим для определенности, что
нить заряжена положительно. В силу
симметрии задачи можно утверждать, что
силовые линии будут радиально расходящимися
от оси нити прямыми (рис.1.9), густота
которых по мере удаления от нити
уменьшается по какому-то закону. По
этому же закону будет уменьшаться и
величина электрического поля .
Эквипотенциальными поверхностями
будут цилиндрические поверхности с
осью, совпадающей с нитью.

Пусть
заряд единицы длины нити равен
.
Эта величина называется линейной
плотностью заряда и измеряется в СИ в
единицах [Кл/м]. Для расчета напряженности
поля применим теорему Гаусса. Для этого
в качестве произвольной замкнутой
поверхностивыберем цилиндр радиусаи длины,
ось которого совпадает с нитью (рис.1.9).
Вычислим поток электрического поля
через площадь поверхности цилиндра.
Полный поток складывается из потока
через боковую поверхность цилиндра и
потока через основания

Однако,
,
поскольку в любой точке на основаниях
цилиндра.
Это значит, чтов этих точках. Поток через боковую
поверхность.
По теореме Гаусса этот полный поток
равен.
Таким образом, получили

Сумма
зарядов, находящихся внутри цилиндра,
выразим через линейную плотность заряда
:.
Учитывая, что,
получим

откуда:

,
(1.19)

т.е.
напряженность и густота силовых линий
электрического поля равномерно заряженной
бесконечной нити убывает обратно
пропорционально расстоянию ().

Найдем
разность потенциалов между точками,
находящимися на расстояниях
иот нити (принадлежащими эквипотенциальным
цилиндрическим поверхностям с радиусамии).
Для этого воспользуемся связью
напряженности электрического поля с
потенциалом в виде (1.9,в):.
Учитывая выражение (1.19), получим
дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными:

Пример 1.3.
Рассчитать напряженность
электрического поля равномерно заряженной
плоскости. Определить разность
потенциалов между двумя точками в таком
поле.

Решение.
Электрическое поле равномерно
заряженной плоскости показано на рис.
1.10. В силу симметрии силовые линии должны
быть перпендикулярны плоскости. Поэтому
сразу можно сделать вывод о том, что
густота линий, а, следовательно,
и напряженность электрического поля
при удалении от плоскости меняться не
будут. Эквипотенциальные поверхности
представляют собой плоскости,
параллельные данной заряженной плоскости.
Пусть заряд единицы площади плоскости
равен
.
Эта величина называется поверхностной
плотностью заряда и измеряется в СИ в
единицах [Кл/м²].

Применим
теорему Гаусса. Для этого в качестве
произвольной замкнутой поверхности
выберем цилиндр длиной,
ось которого перпендикулярна плоскости,
а основания равноудалены от нее
(рис.1.10). Общий поток электрического
поля.
Поток через боковую поверхность равен
нулю. Поток через каждое из оснований
равен,
поэтому.
По теореме Гаусса получим:

Сумму
зарядов, находящихся внутри цилиндра
,
найдем через поверхностную плотность
заряда:.
Тогда,
откуда:

.
(1.20)

Из
полученной формулы видно, что напряженность
поля равномерно заряженной плоскости
не зависит от расстояния до заряженной
плоскости, т.е. в любой точке пространства
(в одной полуплоскости) одинакова и по
модулю, и по направлению. Такое поле
называется однородным.
Силовые линии однородного поля
параллельны, их густота не меняется.

Найдем
разность потенциалов между двумя точками
однородного поля (принадлежащим
эквипотенциальным плоскостям
и,
лежащим в одной полуплоскости относительно
заряженной плоскости (рис.1.10)). Направим
осьвертикально вверх, тогда проекция
вектора напряженности на эту ось равна
модулю вектора напряженности.
Воспользуемся уравнением (1.9):

Постоянную
величину
(поле однородно) можно вынести из под
знака интеграла:
.
Интегрируя, получаем:
.
Итак, потенциал однородного поля линейно
зависит от координаты.

Разность
потенциалов между двумя точками
электрического поля – есть напряжение
между этими точками ().
Обозначим расстояние между эквипотенциальными
плоскостями.
Тогда можно записать, что в однородном
электрическом поле:

.
(1.21)

Еще
раз подчеркнем, что при использовании
формулы (1.21) нужно помнить, что величина

не расстояние между точками 1 и 2, а
расстояние между эквипотенциальными
плоскостями, которым эти точки принадлежат.

Пример
1.4. Рассчитать
напряженность электрического
поля двух параллельных плоскостей,
однородно заряженных с поверхностными
плотностями зарядов
и.

Решение. Воспользуемся
результатом примера 1.3 и принципом
суперпозиции. Согласно этому
принципу результирующее электрическое
поле в любой точке пространства
,
гдеи— напряженности электрических полей
первой и второй плоскости. В пространстве
между плоскостями вектораинаправлены в одну сторону, поэтому
модуль напряженности результирующего
поля.
Во внешнем пространстве вектораинаправлены в разные стороны, поэтому(рис. 1.11). Таким образом, электрическое
поле есть только в пространстве между
плоскостями. Оно однородно, так как
является суммой двух однородных полей.

Пример 1.5.
Найти напряженность и потенциал
электрического поля равномерно заряженной
сферы. Суммарный заряд сферы равен
,
а радиус сферы –.

Решение.
В силу симметрии распределения заряда
силовые линии должны быть направлены
вдоль радиусов сферы.

Рассмотрим
область внутри сферы. В качестве
произвольной поверхности
выберем сферу радиуса,
центр которой совпадает с центром
заряженной сферы. Тогда поток электрического
поля через сферуS:
.
Сумма зарядов внутри сферырадиусаравна нулю, поскольку все заряды
располагаются на поверхности сферы
радиуса
.
Тогда по теореме Гаусса:
.
Поскольку

,
то.
Таким образом внутри равномерно
заряженной сферы поля нет.

Рассмотрим
область вне сферы. В качестве произвольной
поверхности
выберем сферу радиуса,
центр которой совпадает с центром
заряженной сферы. Поток электрического
поля через сферу:.
Сумма зарядов внутри сферы равна полному
зарядузаряженной сферы радиуса.
Тогда по теореме Гаусса:.
Учитывая, что

,
получим:

Рассчитаем
потенциал электрического поля. Удобнее
начать с внешней области
,
поскольку мы знаем, что на бесконечном
расстоянии от центра сферы потенциал
принимается равным нулю. Используя
уравнение (1.11,а)
получаем дифференциальное уравнение
с разделяющимися переменными:

Константа
,
посколькупри.
Таким образом, во внешнем пространстве
():.

Точки
на поверхности заряженной сферы ()
будут иметь потенциал.

Рассмотрим
область
.
В этой области,
поэтому из уравнения (1.11,а) получаем:.
В силу непрерывности функцииконстантадолжна быть равна значению потенциала
на поверхности заряженной сферы:.
Таким образом, потенциал во всех точках
внутри сферы:.

Итак, мы получили,
что напряженность и потенциал
электрического поля, создаваемого
равномерно заряженной сферой, вне сферы
равны напряженности и потенциалу поля,
создаваемого точечным зарядом той же
величины
,
что и заряд сферы, помещенным в центр
сферы. Во внутреннем пространстве поле
отсутствует, а потенциал во всех
точках одинаков. Электрическое поле
(силовые линии и эквипотенциальные
поверхности) заряженной сферы изображены
на рис. 1.12. Предполагается, что сфера
заряжена положительно. Вне сферы силовые
линии и распределены в пространстве
точно так же, как и силовые линии точечного
заряда.

На рис. 1.13 изображены
графики зависимости
и.
Функциянепрерывна, а функцияскачкообразно меняется при переходе
через границу заряженной сферы. Величина
скачка равна.
Действительно, вблизи заряженной сферы
()
напряженность поля во внешнем пространстве,
а внутри равна нулю.

Величину скачка
можно выразить через поверхностную
плотность заряда на сфере:

Заметим,
что это общее свойство электростатического
поля: на заряженной поверхности проекция
напряженности на направление нормали
всегда испытывает скачок
независимо от формы поверхности.
Рекомендуем проверить этот принцип для
поля равномерно заряженной плоскости
и поля двух параллельных заряженных
плоскостей (примеры 1.3, 1.4).

С
точки зрения математики непрерывность
потенциала в точках заряженной поверхности
означает, что.
С точки зрения физики непрерывность
функцииможно объяснить следующим образом. Если
бы потенциал на границе некоторой
области имел бы скачок (разрыв), то при
бесконечно малом перемещении некоторого
зарядаиз точки 1, лежащей с одной стороны
границы, в точку 2, лежащую на другой ее
стороне, совершалась бы конечная работа,
гдеи
потенциалы точек 1 и 2 соответственно,
а величина
равна величине скачка потенциала на
границе области. Конечная работа,
совершенная на бесконечно малом
перемещении, означает, что на границе
раздела бы действовали бесконечно
большие силы, что невозможно.

Напряженность
электрического поля, в отличие от
потенциала, на границе области может
меняться очень резко (скачкообразно).

Пример 1.6.
Две концентрические сферы радиусов
и()
равномерно заряжены равными по модулю,
но противоположными по направлению
зарядамии(сферический конденсатор). Определить
напряженность и потенциал электрического
поля во всем пространстве.

Решение.
Решение этой задачи можно было бы также
начать с применения теоремы Гаусса.
Однако, используя результаты предыдущего
примера и принцип суперпозиции (1.13,
1.14), ответ можно получить быстрее.

Во
внешних точках пространства ()
электрическое поле создается зарядами
обеих сфер. Величина напряженности поля
первой сферыи направлена от сфер вдоль радиусов.
Величина напряженности поля второй
сферы такая же,
но направлена противоположно.
Следовательно, согласно принципу
суперпозиции, во всех внешних точках
пространства электрическое поле будет
отсутствовать.

Рассмотрим
точки пространства между сферами ().
Эти точки являются внутренними для
отрицательно заряженной сферы, поэтому
в этой области(см. пример 1.5). Для положительно заряженной
сферы эти точки являются внешними,
поэтому.
Таким образом, величина напряженности
поля в этой области.
Здесь поле создают только заряды меньшей
сферы.

Наконец,
во внутренних точках пространства ()и,
поэтому электрического поля в этих
точках нет.

Аналогично можно
применить принцип суперпозиции и для
потенциалов. Получаются следующие
результаты:

:
;

:
.

Рекомендуем
самостоятельно получить эти результаты,
а также схематически изобразить
электрическое поле и построить графики

и.

1.5. Графическое изображение электрических полей. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности

Эквипотенциальные
поверхности (эквипотенциали)
– поверхности
равного потенциала. Это поверхности
(линии), при движении по которым потенциал
не меняется. Иначе, разность потенциалов
между двумя любыми точками эквипотенциальной
поверхности равна нулю. Силовые линии
перпендикулярны эквипотенциальным
поверхностям и направлены в сторону
наиболее резкого убывания потенциала.
Этот факт следует из уравнения (1.10) и
доказывается в курсе математического
анализа разделе «Скалярные и векторные
поля».

Рассмотрим
в качестве примера электрическое поле,
создаваемое на расстоянии
от точечного заряда. Согласно (1.11,б)
вектор напряженности совпадает с
направлением вектора,
если заряд положительный, и противоположен
ему, если заряд отрицательный.
Следовательно, силовые линии расходятся
радиально от заряда (рис. 1.6, а, б). Густота
силовых линий, как и напряженность,
обратно пропорциональна квадрату
расстояния ()
до заряда. Эквипотенциальные поверхности
электрического поля точечного заряда
представляют собой сферы с центром в
месте расположения заряда.

На рис. 1.7 показано
электрическое поле системы двух равных
по модулю, но противоположных по знаку
точечных зарядов. Мы предоставляем
разобрать этот пример читателям
самостоятельно. Отметим лишь, что силовые
линии всегда начинаются на положительных
зарядах и заканчиваются на отрицательных.
В случае электрического поля одного
точечного заряда (рис. 1.6, а, б) предполагается,
что силовые линии обрываются на очень
удаленных зарядах противоположного
знака. Считается, что Вселенная в целом
нейтральна. Поэтому, если имеется заряд
одного знака, то где-то обязательно
найдется равный ему по модулю заряд
другого знака.

1.6. Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме

Основной задачей электростатики является
задача о нахождении напряженности и
потенциала электрического поля в каждой
точке пространства. В п. 1.4 мы решили
задачу о поле точечного заряда, а также
рассмотрели поле системы точечных
зарядов. В этом параграфе речь пойдет
о теореме, позволяющей рассчитывать
электрическое поле более сложных
заряженных объектов. Например, заряженной
длинной нити (прямой), заряженной
плоскости, заряженной сферы и других.
Рассчитав напряженность электрического
поля в каждой точке пространства,
используя уравнения (1.12) и (1.13), можно
вычислить потенциал в каждой точке или
разность потенциалов между двумя любыми
точками, т.е. решить основную задачу
электростатики.

Для
математического описания введем понятие
потока вектора напряженности или потока
электрического поля. Потоком (Ф) вектора
электрического поля через плоскую
поверхность площадиназывается величина:

,
(1.16)

. (1.15,а)

.
(1.17)

Площадь
сферы
,

тогда

Поток
вектора напряженности электрического
поля через произвольную замкнутую
поверхность
равняется
,
где


алгебраическая
сумма зарядов, заключенных внутри
этой
поверхности.

Математически
теорему можно записать в виде

.
(1.18)

Приведем
несколько примеров на применение теоремы
Гаусса.

Сумма
зарядов, находящихся внутри цилиндра,
выразим через линейную плотность заряда
:.
Учитывая, что,
получим

откуда:

,
(1.19)

Сумму
зарядов, находящихся внутри цилиндра
,
найдем через поверхностную плотность
заряда:.
Тогда,
откуда:

.
(1.20)

.
(1.21)

Пример 1.4.
Рассчитать напряженность
электрического поля двух параллельных
плоскостей, однородно заряженных с
поверхностными плотностями зарядов
и.

Пример
1.5. Найти
напряженность и потенциал электрического
поля равномерно заряженной сферы.
Суммарный заряд сферы равен
,
а радиус сферы –.

Решение.
В силу симметрии распределения заряда
силовые линии должны быть направлены
вдоль радиусов сферы.

Рассчитаем
потенциал электрического поля. Удобнее
начать с внешней области
,
поскольку мы знаем, что на бесконечном
расстоянии от центра сферы потенциал
принимается равным нулю. Используя
уравнение (1.11,а) получаем дифференциальное
уравнение с разделяющимися переменными:

Константа
,
посколькупри.
Таким образом, во внешнем пространстве
():.

Точки
на поверхности заряженной сферы ()
будут иметь потенциал.

Величину
скачка можно выразить через поверхностную
плотность заряда на сфере:

Пример 1.6.Две концентрические сферы
радиусови()
равномерно заряжены равными по модулю,
но противоположными по знаку зарядамии(сферический конденсатор). Определить
напряженность и потенциал электрического
поля во всем пространстве.

Наконец,
во внутренних точках пространства ()и,
поэтому электрического поля в этих
точках нет.

Аналогично можно
применить принцип суперпозиции и для
потенциалов. Получаются следующие
результаты:

:
;

:
.

и.

изображений, фотографий и векторов линий электрического поля

В настоящее время вы используете старую версию браузера, и ваш опыт работы может быть не оптимальным. Пожалуйста, подумайте об обновлении. Учить больше. ImagesImages homeCurated collectionsPhotosVectorsOffset ImagesCategoriesAbstractAnimals / WildlifeThe ArtsBackgrounds / TexturesBeauty / FashionBuildings / LandmarksBusiness / FinanceCelebritiesEditorialEducationFood и DrinkHealthcare / MedicalHolidaysIllustrations / Clip-ArtIndustrialInteriorsMiscellaneousNatureObjectsParks / OutdoorPeopleReligionScienceSigns / SymbolsSports / RecreationTechnologyTransportationVectorsVintageAll categoriesFootageFootage homeCurated collectionsShutterstock SelectShutterstock ElementsCategoriesAnimals / WildlifeBuildings / LandmarksBackgrounds / TexturesBusiness / FinanceEducationFood и DrinkHealth CareHolidaysObjectsIndustrialArtNaturePeopleReligionScienceTechnologySigns / SymbolsSports / RecreationTransportationEditorialAll categoriesEditorialEditorial главнаяРазвлеченияНовостиРоялтиСпортМузыкаМузыка домойПремиумBeatИнструментыShutterstock EditorМобильные приложенияПлагиныИзменение размера изображенияКонвертер файловСоздатель коллажейЦветовые схемыБлогГлавная страница блогаДизайнВидеоКонтроллерНовости

PremiumBeat blogEnterprisePric ing

Войти

Зарегистрироваться

Меню

ФильтрыВсе изображения

Все изображения
Фото
Векторы
Иллюстрации
Редакционные
Кадры
Музыка

Поиск по изображению

линий электрического поля

Сортировка от

Наиболее актуальные

Свежее содержание

Тип изображения

Все изображения

Фото

Векторы

Иллюстрации

Ориентация

Все ориентации

По горизонтали

По вертикали

Цвет .

Физика

	Закон Кулона с двумя заряженными объектами Это базовое моделирование, показывающее силу притяжения или отталкивания между двумя заряженными объектами. Заряд каждого объекта и положение объектов могут быть изменены. Результирующие силы показаны векторами сил, а также числовая величина.
	Эксперимент Милликена с каплей нефти Это задание позволяет студентам смоделировать упрощенную версию эксперимента Роберта Милликена с каплей нефти.Инструкции приведены под моделированием.
	Электромагнитные волны Это простая анимация, представляющая электромагнитную волну. Зеленые векторы показывают колебания электрического поля, красные векторы показывают колебания магнитного поля.
	Электрическое поле и потенциал Моделирование, показывающее электрическое поле и карту электрического потенциала вокруг набора точечных зарядов.
	Электрическая цепь с четырьмя идентичными лампочками Это имитация комбинированной цепи с источником питания, четырьмя идентичными лампочками и тремя переключателями. Открывайте и закрывайте переключатели и делайте прогнозы о величине напряжения на лампах, токах в лампах и яркости ламп (которая связана с мощностью, рассеиваемой каждой в виде тепла и света). Используйте флажки, чтобы показать или скрыть напряжения и токи.
	Capacitor Lab Моделирование заряда конденсатора. Используйте ползунки для регулировки напряжения аккумулятора, сопротивления резистора, площади пластины и расстояния между пластинами. Используйте флажки, чтобы открывать и закрывать переключатель, а также включать анимацию. Когда анимация выключена, вы можете использовать пошаговые кнопки для перемещения вперед или назад небольшими шагами.
	Заряженная частица в электрическом поле Это моделирование заряженной частицы, выстреливаемой в однородное электрическое поле.Используйте ползунки для регулировки различных величин. Нажмите «Беги», чтобы выстрелить частицей в поле.
	Заряженная частица в магнитном поле Это симуляция заряженной частицы, выстреливаемой в магнитное поле. Его можно использовать для изучения взаимосвязей между массой, зарядом, скоростью, напряженностью магнитного поля и результирующим радиусом пути частицы в поле. Используйте ползунки для регулировки массы, заряда и начальной скорости частицы, а также силы магнитного поля.
	Заряженная частица в магнитном поле 3D Это трехмерное моделирование заряженной частицы, движущейся в магнитном поле. Отрегулируйте силу магнитного поля, массу частицы, заряд частицы и ее начальную скорость в направлениях x и z с помощью ползунков. Нажмите кнопку RUN, чтобы наблюдать за движением частицы в магнитном поле.
	Эквипотенциалы и электрическое поле двух зарядов В этом моделировании вы можете регулировать заряд и положение двух зарядов с помощью ползунков или полей ввода.Ползунки работают, но не работают плавно из-за сложности вычислений, поэтому вам может быть лучше использовать поля ввода. Выберите просмотр в 3D, и электрический потенциал будет показан в третьем измерении. Выберите эквипотенциальный вид, и вы увидите 2D-вид с показанными эквипотенциальными линиями. В этом представлении вы также можете выбрать отображение векторов, показывающих направление электрического поля.
	Двигатель постоянного тока В этом моделировании двигателя постоянного тока вы можете регулировать напряжение, магнитное поле и количество витков в катушке.
	Электромагнитная индукция В этом моделировании ток может быть индуцирован в катушке с проволокой движением стержневого магнита.