Как записать число в двоичной системе: Что такое двоичная система счисления? Как перевести десятичное число в двоичное? :: SYL.ru

Что такое двоичная система счисления? Как перевести десятичное число в двоичное? :: SYL.ru

С двоичной системой счисления мы сталкиваемся при изучении компьютерных дисциплин. Ведь именно на базе этой системы построена работа процессора и некоторые виды шифрования. Существуют специальные алгоритмы для записи десятичного числа в двоичной системе и наоборот. Если знать принцип построения системы, оперировать в ней будет несложно.

Принцип построения системы из нулей и единиц

Двоичная система счисления построена с использованием двух цифр: ноль и один. Почему именно эти цифры? Это связано с принципом построения сигналов, которые используются в работе процессора. На самом низком уровне сигнал принимает только два значения: «ложь» и «истина». Поэтому было принято отсутствие сигнала, «ложь», обозначать нулем, а наличие его, «истину», единицей. Такое сочетание легко реализовать технически. Числа в двоичной системе формируются так же, как и в десятичной. Когда разряд достигает своей верхней границы, он обнуляется, и добавляется новый разряд. По такому принципу осуществляется переход через десяток в десятичной системе. Таким образом, числа состоят из сочетаний нулей и единиц, и это сочетание называется «двоичная система счисления».

Как двоичное число записать в виде десятичного?

Существуют онлайн-сервисы, которые осуществляют перевод числа в двоичную систему и наоборот, но лучше уметь делать это самостоятельно. Двоичная система при переводе обозначается нижним индексом 2, например, 101₂. Каждое число в любой системе можно представить в виде суммы чисел, например: 1428 = 1000 + 400 + 20 + 8 – в десятичной системе. Так же представляется число в двоичной. Возьмем произвольное число 101 и рассмотрим его. В нем 3 разряда, поэтому раскладываем число по порядку таким способом: 101₂=1×2²+0×2¹+1×2⁰=4+1=5_10, где индекс 10 обозначает десятичную систему.

Как записать простое число в двоичной системе?

Очень легко осуществить перевод в двоичную систему счисления с помощью деления числа на два. Делить необходимо до тех пор, пока это будет возможно выполнить нацело. Например, возьмем число 871. Начинаем делить, обязательно записывая остаток:

871:2=435 (остаток 1)

435:2=217 (остаток 1)

217:2=108 (остаток 1)

108:2=54 (остаток 0) и так далее до конца.

Ответ записывается по полученным остаткам по направлению от конца к началу: 871₁₀=101100111₂. Проверить правильность вычислений можно с помощью обратного перевода, описанного ранее.

Для чего нужно знать правила перевода?

Двоичная система счисления применяется в большинстве дисциплин, связанных с микропроцессорной электроникой, кодированием, передачей и шифрованием данных, в различных направлениях программирования. Знания основ перевода из любой системы в двоичную помогут программисту разрабатывать различные микросхемы и осуществлять управление работой процессора и других подобных систем программным способом. Двоичная система счисления также необходима для реализации способов передачи пакетов данных по зашифрованным каналам и создания на их основе программных проектов типа «Клиент-сервер». В школьном курсе информатики основы перевода в двоичную систему и наоборот являются базовым материалом для изучения программирования в будущем и создания простейших программ.

Двоичная система счисления

☰

В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (Аналогично у десятичной системы основание 10.)

Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления.

В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд – сотни.

Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две знака-цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела (т.е. единицы), появляется новый разряд, а старый обнуляется.

Попробуем считать в двоичной системе:
0 – это ноль
1 – это один (и это предел разряда)
10 – это два
11 – это три (и это снова предел)
100 – это четыре
101 – пять
110 – шесть
111 – семь и т.д.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

Не трудно заметить, что в двоичной системе счисления длины чисел с увеличением значения растут быстрыми темпами. Как определить, что значит вот это: 10001001? Непривычный к такой форме записи чисел человеческий мозг обычно не может понять сколько это. Неплохо бы уметь переводить двоичные числа в десятичные.

В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и т.д. Например:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

Можно пойти еще дальше и разложить так:

1476 = 1 * 10³ + 4 * 10² + 7 * 10¹ + 6 * 10⁰

Посмотрите на эту запись внимательно. Здесь цифры 1, 4, 7 и 6 — это набор цифр из которых состоит число 1476. Все эти цифры поочередно умножаются на десять возведенную в ту или иную степень. Десять – это основание десятичной системы счисления. Степень, в которую возводится десятка – это разряд цифры за минусом единицы.

Аналогично можно разложить и любое двоичное число. Только основание здесь будет 2:

10001001 = 1*2⁷ + 0*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰

Если посчитать сумму составляющих, то в итоге мы получим десятичное число, соответствующее 10001001:

1*2⁷ + 0*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Т.е. число 10001001 по основанию 2 равно числу 137 по основанию 10. Записать это можно так:

10001001₂ = 137₁₀

Почему двоичная система счисления так распространена?

Дело в том, что двоичная система счисления – это язык вычислительной техники. Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе. Если это десятичная система, то придется создать такое устройство, которое может быть в десяти состояниях. Это сложно. Проще изготовить физический элемент, который может быть лишь в двух состояниях (например, есть ток или нет тока). Это одна из основных причин, почему двоичной системе счисления уделяется столько внимания.

Перевод десятичного числа в двоичное

Может потребоваться перевести десятичное число в двоичное. Один из способов – это деление на два и формирование двоичного числа из остатков. Например, нужно получить из числа 77 его двоичную запись:

77 / 2 = 38 (1 остаток)
38 / 2 = 19 (0 остаток)
19 / 2 = 9 (1 остаток)
9 / 2 = 4 (1 остаток)
4 / 2 = 2 (0 остаток)
2 / 2 = 1 (0 остаток)
1 / 2 = 0 (1 остаток)

Собираем остатки вместе, начиная с конца: 1001101. Это и есть число 77 в двоичном представлении. Проверим:

1001101 = 1*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

Системы счисления. Перевод из одной системы в другую.

1. Порядковый счет в различных системах счисления.

В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные».

Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы.

Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10. Затем опять увеличиваем младший разряд, пока не закончатся все цифры: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличиваем старший разряд на 1 и обнуляем младший: 20. Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100. И так далее.

Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение для 2-ной системы, для 3-ной и т.д.):

Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита. Например, для 12-ричной системы кроме десяти цифр нам понадобятся две буквы ( и ):

2.Перевод из десятичной системы счисления в любую другую.

Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Пример 1. Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления.

Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.

Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.

3. Перевод из любой системы счисления в десятичную.

Для того, чтобы научиться переводить числа из любой другой системы в десятичную, проанализируем привычную нам запись десятичного числа.
Например, десятичное число 325 – это 5 единиц, 2 десятка и 3 сотни, т.е.

Точно так же обстоит дело и в других системах счисления, только умножать будем не на 10, 100 и пр., а на степени основания системы счисления. Для примера возьмем число 1201 в троичной системе счисления. Пронумеруем разряды справа налево начиная с нуля и представим наше число как сумму произведений цифры на тройку в степени разряда числа:

Это и есть десятичная запись нашего числа, т.е.

Пример 4. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.

Пример 5. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.

4. Перевод из двоичной системы в систему с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.).

Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления.

Например, Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную систему. Для этого разобьем его на группы по 3 символа начиная справа (т.к. ), а затем воспользуемся таблицей соответствия и заменим каждую группу на новую цифру:

Таблицу соответствия мы научились строить в п.1.

Т.е.

Пример 6. Переведем двоичное 1100001111010110 число в шестнадцатеричную систему.

5.Перевод из системы с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную.

Этот перевод аналогичен предыдущему, выполненному в обратную сторону: каждую цифру мы заменяем группой цифр в двоичной системе из таблицы соответствия.

Пример 7. Переведем шестнадцатеричное число С3A6 в двоичную систему счисления.

Для этого каждую цифру числа заменим группой из 4 цифр (т.к. ) из таблицы соответствия, дополнив при необходимости группу нулями вначале:

Двоичная система счисления, 0 и 1, двоичные числа

Вспомним материал по системам счисления. В нём говорилось, что наиболее удобной системой счисления для компьютерных систем является двоичная система. Дадим определение этой системе:

Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления, у которой основанием является число 2.

Для записи любого числа в двоичной системе счисления используются всего лишь 2 цифры: 0 и 1.

Общая форма записи двоичных чисел

Для целых двоичных чисел можно записать:

a_n−1a_n−2…a₁a₀=a_n−1⋅2ⁿ⁻¹+a_n−2⋅2ⁿ⁻²+…+a₀⋅2⁰

Данная форма записи числа «подсказывает» правило перевода натуральных двоичных чисел в десятичную систему счисления: требуется вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа.

Правила сложения двоичных чисел

Основные правила сложения однобитовых чисел

0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10

Отсюда видно, что и, как и в десятичной системе счисления, числа, представленные в двоичной системе счисления, складывают поразрядно. Если разряд переполняется, единица переносится в следующий разряд.

Пример сложения двоичных чисел

Правила вычитания двоичных чисел

0-0=0
1-0=0
10-1=1

Но как быть с 0-1=? Вычитание двоичных чисел немного отличается от вычитания десятичных чисел. Для этого используется несколько способов.

Вычитание методом заимствования

Запишите двоичные числа друг под другом – меньшее число под большим. Если меньшее число имеет меньше цифр, выровняйте его по правому краю (так, как вы записываете десятичные числа при их вычитании).
Некоторые задачи на вычитание двоичных чисел ничем не отличаются от вычитания десятичных чисел. Запишите числа друг под другом и, начиная справа, найдите результат вычитания каждой пары чисел.

Вот несколько простых примеров:

1 — 0 = 1
11 — 10 = 1
1011 — 10 = 1001

Рассмотрим более сложную задачу. Вы должны запомнить только одно правило, чтобы решать задачи на вычитание двоичных чисел. Это правило описывает заимствование цифры слева, чтобы вы могли вычесть 1 из 0 (0 — 1).

110 — 101 = ?

В первом столбце справа вы получаете разность 0 — 1. Для ее вычисления необходимо позаимствовать цифру слева (из разряда десятков).

Во-первых, зачеркните 1 и замените ее на 0, чтобы получить такую задачу: 1010 — 101 = ?

Вы вычли («позаимствовали») 10 из первого числа, поэтому вы можете написать это число вместо цифры, стоящей справа (в разряд единиц). 101100 — 101 = ?

Вычтите цифры в правом столбце. В нашем примере:

101100 — 101 = ?

Правый столбец: 10 — 1 = 1.

102 = (1 x 2) + (0 x 1) = 210 (цифры нижнего регистра обозначают систему счисления, в которой записаны числа).

12 = (1×1) = 110.

Таким образом, в десятичной системе эта разность записывается в виде: 2 — 1 = 1.

Вычтите цифры в оставшихся столбцах. Теперь это легко сделать (работайте со столбцами, двигаясь, справа налево):

101100 — 101 = __1 = _01 = 001 = 1.

Вычитание методом дополнения

Запишите двоичные числа друг под другом так, как вы записываете десятичные числа при их вычитании. Этот метод используется компьютерами для вычитания двоичных чисел, так как он основан на более эффективном алгоритме.

Однако простому человеку, привыкшему вычитать десятичные числа, этот метод может показаться более сложным (если вы программист, обязательно познакомьтесь с этим методом вычитания двоичных чисел).

Рассмотрим пример: 101100₂ — 11101₂= ?

Если значность чисел разная, к числу с меньшей значностью слева припишите соответствующее количество 0.

101100₂ — 011101₂= ?

В вычитаемом числе поменяйте цифры: каждую 1 поменяйте на 0, а каждый 0 на 1.

011101₂ → 100010₂.

На самом деле мы «забираем дополнение у единицы», то есть вычитаем каждую цифру из 1. Это работает в двоичной системе, так как у такой «замены» может быть только два возможных результата: 1 — 0 = 1 и 1 — 1 = 0.

К полученному вычитаемому прибавьте единицу.

100010₂+ 1₂ = 100011₂

Теперь вместо вычитания сложите два двоичных числа.

101100₂ +100011₂= ?

Проверьте ответ. Быстрый способ – откройте двоичный онлайн калькулятор и введите в него вашу задачу. Два других метода подразумевают проверку ответа вручную.

1) Переведем числа в двоичную систему счисления:
Допустим, что из числа 101101₂ нужно вычесть 11011₂

2) Обозначим как A число 101101₂ и как B число 11011₂.

3) Запишем числа A и B столбиком, одно под другим, начиная с младших разрядов (нумерация разрядов начинается с нуля).

4) Вычтем разряд за разрядом из числа A число B записывая результат в C начиная с младших разрядов. Правила поразрядного вычитания, для двоичной системы счисления представлены в таблице ниже.

Весь процесс сложения наших чисел выглядит следующим образом:

(красным шрифтом показаны заёмы из соответствующего разряда)

Получилось 101101₂ — 11011₂ = 10010₂

или в десятичной системе счисления: 45₁₀ — 27₁₀ = 18₁₀

Правила умножения двоичных чисел.

В целом эти правила очень просты и понятны.

0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1

Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит точно также как и обычных. Каждое значащий разряд умножаем на верхнее число по приведенным правилам, соблюдая позиции. Умножать просто — так как умножение на единицу даёт одно и тоже число.

Система счисления Методы перевода десятичного числа в двоичное

Двоичная система счисления — Знаешь как

Содержание статьи

При вычислениях мы обычно пользуемся десятичной позиционной системой. В этой системе знаки 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, называемые цифрами, представляют нуль и первые девять целых чисел. Десять обозначается двумя цифрами 1 и 0 и является основанием системы. Каждая цифра представленного ряда имеет различную значимость в зависимости от ее позиции или места в числе. Например, в числе 345,2: справа от запятой, две десятых — 2•10^-1; слева от запятой — пять единиц — 5-10°; четыре десятка — 4 • 10¹ и три сотни — 3 • 10². Следовательно, все число представляется так:

345,2 = 3 • 10² + 4 • 10¹ + 5 • 10⁰ + 2 • 10^-1 единиц.

Рис. 16-10. Двоичное счисление при работе на конторских счетах

Если представить себе счетчик любой системы, то он в каждом разряде должен быть способным принимать девять различных устойчивых положений. Для ЦВУ оказалась удобной система с основанием 2, называемая двоичной, при которой имеются только две цифры 0 и 1. Когда в первом (правом) разряде вместо единицы должно появиться два (2), то двойка переносится в виде единицы (1) в старший разряд, а в младшем ставится

Такой счет получается, если пользоваться счетами, имеющими на каждой спице только по две костяшки (рис. 16-10).

Ниже приведены несколько чисел, написанных в двоичной системе:

Таким образом, число двоичной системы 1011,1 представляет: справа от запятой, одна половина— 1•2^-1 и слева от запятой одна единица — 1-2⁰, одна двойка — 1•2¹, нуль четверок — 0•2² и одна восьмерка—1•2³, т. е. (1011,1)₂ = 1•2³+0•2²+1•2¹+1•2⁰+1•2^-1= (8 + 0 + 2 + 1 + 0,5= 11,5)₁₀. Индексы 2 и 10 обозначают основание системы.

Как можно видеть, в этом случае наличие цифры в каждом разряде (1) или отсутствие ее (0) может характеризоваться счетчиками релейного типа, управляемыми импульсами: включено — выключено,есть сигнал напряжения — нет сигнала, намагничен участок магнитной ленты — не намагничен и т. д.

Например, двоичное число 10111 может быть передано сигналами (импульсами) напряжения, показанными на рис. 16-11. Этот принцип и применяется в ЦВУ. Недостаток двоичной системы; в большом количестве разрядов счетчика по сравнению с системой десятичной, но он искупается большей простотой всего ЦВУ в целом. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и обратно производит само

ЦВУ.

Рис. 16-11. Передача двоичного числа серией импульсов.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ

Большое достоинство двоичной системы в простоте арифметических действий с числами, которые производятся так же, как и в десятичной системе. Сложим два числа, изображенные слева в десятичной системе, а справа — в двоичной..

В десятичной системе при сложении 5 + 9 единица (т. е. один десяток) переносится в старший разряд (десятков) и прибавляется к числам десятков 2 + 1. Точно так же и в двоичной системе: две единицы первого (правого) разряда дают двойку, которая, как единица, переходит в разряд двоек, а в сумме первого разряда получается нуль. Две единицы (двоек) второго разряда дают в сумме четверку, которая, как единица, переносится в разряд четверок. Сумма в разряде двоек равна нулю, а в разряде четверок — единице и т. д.

При вычитании в десятичной системе из разряда десятков пришлось занимать единицу и разность равна шести. При двоичной системе, в случае необходимости, из старшего разряда приходится занимать двойку, четверку и т. д. В первом разряде разность равна нулю. Во втором разряде из занятой двойки вычитается единица и в разности остается единица. В третьем разряде остается единица, а в четвертом и пятом нули.

В ЦВУ вычитание обычно заменяется сложением с числом, записанным обратным кодом, т. е. когда единицы числа заменены нулями,-а нули — единицами. При десятичной системе это делается так: уменьшаемое 25 складывается с числом, дополняющим вычитаемое до числа, выраженного единицей с нулями (100—19 = 81), и в сумме отбрасывают единицу высшего разряда. Ответ получается шесть, как и при вычитании.

В двоичной системе к числу 11001. прибавляется число 10011, записанное обратным кодом, т. е. число 01100. Далее, единица старшего разряда суммы переносится в младший разряд и прибавляется к нему. Ответ получается тот же, что и при вычитании. Все это выполняет самостоятельно арифметическое устройство ЦВУ. Таблица умножения в двоичной системе необычайно проста:

0.0 = 0; 1.0 = 0.1 = 0; 1.1 = l.

Таким образом, при умножении на единицу множимое число переписывается в соответствующий разряд, а при умножении на нуль производится сдвиг влево на один разряд. Все умножение сводится к сдвигу умножаемого числа на один разряд и сложению, что и выполняет арифметическое устройство.

Деление сводится к многократному вычитанию делителя из делимого и дополнению получаемого остатка справа

т. е. 56 : 8 = 7.

Так как умножение заменяется многократным сложением, деление — многократным вычитанием, а вычитание может быть заменено сложением, то все арифметические действия сводятся к сложению.

ПРИНЦИП РАБОТЫ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ЦВУ

Все ЦВУ состоит из устройств: запоминающего, управления, арифметического и др., а каждое из них из отдельных типовых элементов, называемых ячейками. Каждая ячейка выполняет определенные действия и, будучи включена определенным образом в общую схему, пропускает или задерживает посланный импульс усиливает его или сдвигает на разряд и т, д.

Данное состояние ячейки определяется высоким или низким уровнем напряжения, подаваемого на нее, наличием или отсутствием импульса напряжения или использованием импульсов двух полярностей. В ЦВУ используются приборы с односторонней проводимостью, электронные и полупроводниковые диоды и триоды.

Эти приборы в дальнейшем изображаются так, как показано на рис. 16-12. Прибор пропускает ток, когда потенциал анода выше потенциала катода (сопротивление прибора мало) и запирается при обратной полярности напряжения (сопротивление прибора очень большое).

а) Клапан или вентиль

Рис. 16-12. Условное изображение вентиля.

Клапан (вентиль) показан на рис. 16-13. Само название показывает, что он предназначен для задержки или пропуска импульса напряжения. Действительно, если на верхнюю точку входа подан прямоугольный импульс положительной полярности, то через вентиль пойдет ток от анода к катоду и через электрические цепи управляющего входа, не показанные на рисунке, к заземлению. Сопротивление rвелико, а сопротивление вентиля ничтожно и можно считать, что все напряжение падает на сопротивлении r. Следовательно, потенциал анода, а значит, и выход схемы почти не отличается от потенциала земли. Поэтому считают, что на выход импульс не передался (на выходе нуль). Если одновременно с импульсом на входе подать на управляющий вход положительный импульс такой же величины или большей, чем на входе, то вентиль запрется. Ток в сопротивлении r будет равен нулю,

а потенциал выхода равен потенциалу входа, т. е. положительный импульс передан на выход (единица). Этот механизм работы осуществляется во всех схемах с вентилями, приведенных ниже.

Рис. 16-13. Схема работы клапана.

б) Схема совпадения

Схема совпадения (условное обозначение И) показана на рис. 16-14. При появлении положительного импульса на анодах вентилей через них проходит ток. На сопротивлении r падает почти все напряжение и импульс на выход не передается (нуль). Если подать положительный импульс на один из входов A, Б и В, дело не меняется, так как ток будет проходить через два других вентиля. Положительный импульс (единица) передается на выход только в том случае, когда одновременно все три вентиля заперты положительными импульсами на управляющих входах A, Б и В почему и схема называется схемой совпадения.

в) Собирательная схема

Рис. 16-14. Логическая схема совпадения.

Собирательная схема (условное обозначение ИЛИ) показана на рис. 16-15. При подаче положительного импульса, хотя бы на один из входов А, Б, В, через сопротивление r будет протекать ток. Так как внутреннее сопротивление вентилей ничтожно, то все падение напряжения сосредоточено на сопротивлении r, а верхняя точка его и, значит, верхняя точка выхода будут точкой высокого потенциала (единица). Схема потому и называется собирательной, что собирает

импульсы (единицы), поступающие с разных направлений. Одновременно она при подаче положительного импульса на один из входов, например А, запирает высоким потенциалом два других входа Б и В.

г) Схема инвертора

Рис. 16-14. Логическая схема совпадения.

Схема инвертора (условное обозначение НЕ) показана на рис. 16-16. При отсутствии сигнала (нуль) на входе триод заперт отрицательным напряжением смещения Е_с. Потенциал верхней точки выхода равен потенциалу положительного зажима источника анодного напряжения Е_а, т. е. на выходе единица. При появлении положительного импульса на входе (сетке) триод проводит ток и напряжение нижней точки сопротивлений r, т. е, навходе резко падает (нуль). Таким образом, входной сигнал — единица преобразуется в сигнал — нуль.

Из схем основных схем формируются все более сложные схемы ЦВУ. В дальнейших схемах заземляющая их часть для простоты не показывается.

д) Цепочка клапанов

Цепочка клапанов с одним управляющим входом показана на рис. 16- 17. Импульсы с входов на выходы могут быть переданы только в том случае, когда на управляющий вход подан импульс, Запирающий вентили. Если этого импульса нет, то при положительных импульсах на входах через вентили проходит ток и благодаря большому падению напряжения на сопротивлениях r потенциал анодов и выходов близок к нулю.

Рис. 16-15. Логическая схема собирательная.

е) Схема сдвигателя

Схема сдвигателя на один разряд дана на рис. 16-18. Как было показано выше, при умножении на единицу в двоичной системе само множимое число записывалось в соответствующий разряд, а при умножении на нуль это же число записывалось со сдвигом на один разряд. Операцию сдвига и выполняет сдвигатель.

Если высокий потенциал существует только на входах цифр, а на шинах I и II такого потенциала нет, то токи проходят через диоды 1,2,8,4и потенциалы на выходах очень малы (сигналов нет). При подаче положительного импульса на шину I запираются диоды 1 и 2; импульсы проходят через диоды 6 и 8 на средний и правый выходы. Диод 7 заперт высоким потенциалом левого входа. Если подать импульс на шину II, то запираются диоды 3 и 4. Через диоды 5 и 7 импульсы передаются на левый и средний выходы (сдвигаются влево), а диод 6 блокирован высоким потенциалом.

ж) Электронный триггер

Рис. 16-16. Логическая схема инвертора.

Электронный триггер или электронное реле является наиболее важным элементом ЦВУ. Он собирается из двух триодов или одного двойного триода, как показано на рис. 16-19. Особенность этого реле в том, что устойчивое состояние его будет только тогда, когда через одну половину лампы, например правую, ток проходит, а через другую — левую, нет, и наоборот.

Предположим невозможное, что через лампы Л₁ и Л₂ проходят равные токи. Пусть под влиянием ничтожнейшего, случайного изменения сопротивления в цепи лампы Л₁ ток ее возрос. Тогда потенциал точки 1 уменьшится, ток делителя r₅r₆ уменьшится, потенциал точки 2, а значит, напряжение на сетке лампы Л₂ упадет и ток в ее анодной цепи уменьшится. При этом увеличится потенциал точки 3, а следовательно, и напряжение на сетке лампы Л_г. В результате этого ток в анодной цепи лампы Л₁ лавинообразно нарастает, а лампы Л₂ — падает. Таким образом, триггер за микросекунды приходит в такое состояние, когда лампа Л₁ проводит ток (триод открыт), а лампа Л₂ — заперта. Если подать положительный импульс на вход 2 или отрицательный на вход 1, то мгновенно лампа Л₁запирается, а лампа Л₂ — открывается.

Рис. 16-17. Цепочка клапанов с одним управляющим входом.

Схема триггера применяется в запоминающих устройствах и служит для запоминания только одного разряда числа.

Она может быть выполнена и на полупроводниковых триодах. Емкости, включенные параллельно сопротивлениям r₃, r₅ служат для ускорения переброса триггера, так как, представляя в этот момент очень малые сопротивления, они шунтируют большие сопротивления r₃ и r₅.

ПРИНЦИП РАБОТЫ ДВОИЧНОГО СЧЕТЧИКА

Как было сказано выше, триггер служит для запоминания одного разряда числа двоичной системы и фиксирует наличие цифры в разряде (единица) или отсутствие ее (нуль). Таким образом, количество триггеров равно количеству разрядов числа. Цепочка триггеров для запоминания одного числа называется регистром.

На рис. 16-20 показана схема работы двоичного счетчика на три разряда — три последовательно соединенные триггера. Пусть триггеры № 7, №2, №3, показанные в верхнем ряду, находятся в таком состоянии, когда проводит ток их левая часть (заштриховано) и не проводит — правая. Это состояние принято за нуль и число, записанное триггерами, 000. На вход триггера № 1 приходит серия равномерно следующих импульсов.

Рис. 16-18. Схема сдвигателя на один разряд. 

Первый из них произведет переброс триггера в обратное состояние (1), что показано стрелкой → слева направо, на второй строке на рис. 16-20. На счетчике записано число 001. Второй импульс производит обратный переброс триггера № 1, справа налево, при котором проводит левая половина (0), но при этом перебросе триггер выдает свой импульс триггеру 2, в котором произойдет переброс слева направо. Таким образом, записано число 010.

При третьем импульсе на входе триггера № 1 происходит запись еще единицы —001; при четвертом прибавляется еще единица, а так как переброс был справа налево, то происходит передача импульса на триггер № 2. Переброс последнего был справа налево, следовательно, триггеру № 3 передается импульс уже с триггерами. Число, записанное на счетчике, равно 100, и т. д. Восьмой импульс произведет сброс всего числа. Таким образом, трехразрядный счетчик записывает числа от 0 до 7 десятичной системы.

ПРИНЦИП РАБОТЫ СУММАТОРА АРИФМЕТИЧЕСКОГО УСТРОЙСТВА

Предположим, что следует сложить два двоичных числа А = 1110 и Б = 1101. Сложение производится последовательно, разряд за разрядом, как при обычном счете.

Рис. 16-19. Схема триггера.

При сложении чисел первого разряда 0+1 в сумме получается 1; так же и при сложении чисел второго разряда 1 + 0 получается 1. При сложении чисел третьего разряда 1 +1 получается 2 . Следовательно, двойка, как единица, переносится в четвертый разряд или, как мы говорим, (единица вуме). Эта единица поставлена в строке переноса П, над числом А, Складывая четвертый разряд, получаем 3; половина двойки, т, в/1, идет и сумму С, а единица переноса переходит в сумму пятого разряда, где

С = П + А + Б = 1 + 0 + 0 = 1

Очевидно, устройство для суммирования — сумматор пpи последовательном суммировании, как это делалось, должен иметь два входа для чисел А и Б, вход для переноса П, выход для суммы С и выход для числа П, переносимого в следующий разряд. Блок-схема такого устройства, состоящего из запоминающего блока, однозарядного сумматора и устройства задержки (для переноса) на один разряд, показана на рис. 16-21.

Рис. 16-20. Работа двоичного счетчика.

Схема работы сумматора (рис. 16-22), осуществляется при помощи логических схем И, ИЛИ, НЕ. Для простоты все устройства заземления, формирования импульсов, усиления их на рис. 16-22 не показаны. При разборе схемы необходимо вспомнить следующее.

Так как все схемы И, кроме И1, присоединены к положительному зажиму источника энергии Е_а, то через сопротивления r этих схем и внутреннее сопротивление источников сигналов проходит ток. Отрицательный зажим источников заземлен. Потенциал анодов этих схем невысок, так как значительная часть напряжения падает на сопротивлениях r. Импульсы высокого потенциала на анодах появляются только в те моменты, когда на все катоды приходят положительные импульсы напряжения, способные запереть вентили. Только тогда положительные импульсы схем И передаются дальше.

Через схемы ИЛИ положительный импульс проходит, если он подается хотя бы к одному аноду вентиля.

Схема НЕ заперта отрицательным потенциалом на сетке лампы. При этом потенциал ее анода высок, так как в ее анодном сопротивлении r ток не протекает. Этим потенциалом нормально заперт вентиль И1, и только в этом состоянии через его сопротивление г может пройти положительный импульс на выход С.

При появлении положительного импульса напряжения на сетке лампы она пропускает ток, потенциал на ее аноде падает и схема И1 открывается. В этом случае потенциал анода вентиля И1 при поступлении импульса от схемы ИЛИ1 будет низким, так как ток проходит через лампу схемы НЕ. Потенциал выхода С тоже, будет низким.

Рис. 16-21. Блок-схема работы сумматора.

Теперь можно рассмотреть процесс сложения двух предложенных выше чисел. Триггеры регистра суммы С запоминающего устройства (рис. 16-21) перед началом операции сложения ставятся на нуль. Устройство управления посылает периодически импульсы, которыми и управляется схема. За каждый период складываются цифры одного разряда.

В течение первого импульса из запоминающего устройства (рис. 16-21) выбираются цифры младшего разряда А = 0 и Б = 1. Другими словами, на вход Б сумматора (рис. 16-22) поступает импульс положительного потенциала, а на входе А его нет. Тогда импульс проходит схему ИЛИ 1, сопротивление r схемы И 1, ИЛИ 2, на выход Сив младшем разряде регистра запоминающего устройства суммы С триггер перебрасывается в положения 1. Вторым импульсом из запоминающего устройства выбираются цифры А = 1 и 5 = 0. Импульс через вход (рис. 16-22) проходит схему ИЛИ 1, И1, ИЛИ2 и попадает на выход С. Триггер второго разряда запоминающего устройства перебрасывается в положение 1 (рис. 16-21).

Ряс. 16-22. Схема работы сумматора.

Третий импульс выбирает из запоминающего устройства цифры А = 1 и Б = 1 и на входе сумматора А, Б получаются положительные импульсы. Тогда запирается схема И2 и выдает положительный импульс на схему ИЛИ3. Импульс проходит на схему задержки Я и на сетку лампы схемы НЕ. Лампа отпирается и начинает проводить ток. Диод схемы И 1 отпирается, импульсы А и Б через схему ИЛИ 1 и схему И 1 проходят через лампу схемы НЕ. Потенциал анода схемы И1 низкий и на выход С через схему ИЛИ 2сигнал не поступает. Триггер третьего разряда С запоминающего устройства остается в положении 0.

Импульс напряжения на линии задержки задерживается до момента суммирования цифр четвертого разряда. Это равносильно тому, как человек держит единицу «в уме». Об устройстве линии задержки (З)будет сказано ниже.

В четвертый такт сложения, два импульса А, Б и импульс Я, выходящий из линии задержки, запирают схемы И2, И3, И4, которые через схему ИЛИ3 выдают второй импульс на схему задержки и схему НЕ. В этом случае, как уже указывалось, схемы ИЛИ 1 и И1  не выдают импульса на выход С. Однако поскольку схема И 5 заперта высоким потенциалом входа А, Б и первым импульсом схемы задержки П, то потенциал ее анодов становится высоким и через схему ИЛИ 2 на выход, в запоминающее устройство поступает импульс высокого напряжения. Происходит переброс триггера четвертого разряда в положение 1.

При пятом такте импульсы А, Б отсутствуют, но возникший импульс переноса при суммировании предыдущего разряда через линию задержки схемы ИЛИ 1, И 1, ИЛИ 2 выдается на выход С в пятый разряд сумматора. Триггер этого разряда записывает 1. Таким образом, просуммированы числа 1110 + 1101 = 11011 или в десятичной системе 14 + 13 = 27.

На рис. 16-23 показан один из способов устройства линии задержки, Он основан на акустическом принципе. В стальную трубку 1, заполненную ртутью 2, вставлены две пластины из кварца 3, при помощи резиновых колец 4. Кварц имеет способность изменять свой объем при помещении его в изменяющееся электрическое поле. Если на вход одной пластинки подать импульс напряжения, то он вызовет механические колебания самого кварца и ртути в трубке, которые, с определенной скоростью, будут переданы другой кварцевой пластинке на выходе. Эти механические колебания кварц способен переобразовывать в электрические колебания на выходе. Скорость прохождения механических колебаний в ртути неизмеримо меньше скорости распространения электрических импульсов и поэтому электрический импульс передается с задержкой. Время задержки обычно составляет микросекунды. Меняя длину трубки, можно изменять время задержки.

Рис. 16-23. Устройство акустической линии задержки.

Статья на тему Двоичная система счисления

Двоичная система счисления

Содержание:
Что такое двоичная система счисления
Как перевести целое десятичное число в двоичную систему счисления
Как перевести десятичную дробь в двоичную систему счисления
Как перевести число из двоичной системы счисления в десятичную
Как перевести дробное двоичное число в десятичное
Таблица значений десятичных чисел от 0 до 100 в двоичной системе счисления

Что такое двоичная система счисления

Двоичная система счисления, является позиционной системой счисления, то есть имеется зависимость от позиции цифры в записи числа.
Для записи числа в двоичной системе счисления используется две цифры 0 и 1.
Для определения в какой системе счисления записано число, внизу, справа от числа ставят цифру, которая называется основанием системы счисления.
Например, 1001₂ или 1000101₂

Если вам необходимо перевести число любой системы счисления в другую систему счисления, воспользуйтесь
калькулятором систем счисления с подробным решением онлайн.

Как перевести целое десятичное число в двоичную систему счисления

Для того, чтобы перевести целое десятичное число в двоичную систему счисления нужно десятичное число делить на 2 до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю.
В результате будет получено число из остатков деления записанное справа налево.

Например, переведем число 173₁₀ в двоичную систему счисления:

173 : 2 = 86 остаток: 1

86 : 2 = 43 остаток: 0

43 : 2 = 21 остаток: 1

21 : 2 = 10 остаток: 1

10 : 2 = 5 остаток: 0

5 : 2 = 2 остаток: 1

2 : 2 = 1 остаток: 0

1 : 2 = 0 остаток: 1

173₁₀ = 10101101₂

Как перевести десятичную дробь в двоичную систему счисления

Для того чтобы перевести десятичную дробь в двоичную систему счисления необходимо сначала перевести целую часть десятичной дроби в двоичную систему счисления,
а затем дробную часть, последовательно умножать на 2, до тех пор, пока в дробной части произведения не получиться ноль (результатом произведения будет целое число)
или не будет достигнуто необходимое количество знаков после запятой. Если в результате умножения целая часть не равна нулю, тогда необходимо заменить значение целой части на ноль.
В результате будет получено число из целых частей произведений, записанное слева направо.

Например, переведем десятичное число 5.74₁₀ в двоичную систему счисления:

Переведем целую часть

5 : 2 = 2 остаток: 1

2 : 2 = 1 остаток: 0

1 : 2 = 0 остаток: 1



5₁₀ = 101₂

Переведем дробную часть

0.74 · 2 = 1.48

0.48 · 2 = 0.96

0.96 · 2 = 1.92

0.92 · 2 = 1.84

0.84 · 2 = 1.68

0.68 · 2 = 1.36

0.36 · 2 = 0.72

0.72 · 2 = 1.44

0.44 · 2 = 0.88

0.88 · 2 = 1.76

0.74₁₀ = 0.1011110101₂

5.74₁₀ = 101.1011110101₂

Двоичные дроби, как и десятичные могут быть как конечными, так и бесконечными. Не всегда конечная десятичная дробь может быть представлена конечной двоичной.
В данном примере получается бесконечная периодическая двоичная дробь, поэтому умножение на 2 можно производить бесконечное число раз и все равно дробная часть частного не будет равна нулю.
В данном случае десятичная дробь 5.74 не может быть точно представлена в двоичной системе счисления.
К примеру, дробь 2.5₁₀ может быть представлена в двоичной системе счисления в виде конечной 2.5₁₀ = 10.1₂.

Как перевести число из двоичной системы счисления в десятичную

Для того, чтобы перевести число из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления, необходимо записать позиции каждой цифры в числе с права на лево начиная с нуля.
Каждая позиция цифры будет степенью числа 2, так как система счисления 2-ичная. Необходимо последовательно умножить каждое число на 2 в
степени соответствующей позиции числа и затем сложить с последующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.

Например, переведем теперь обратно число 10101101₂ в десятичную систему счисления:

10101101₂ = 1 ⋅ 2⁷ + 0 ⋅ 2⁶ + 1 ⋅ 2⁵ + 0 ⋅ 2⁴ + 1 ⋅ 2³ + 1 ⋅ 2² + 0 ⋅ 2¹ + 1 ⋅ 2⁰ = 173₁₀

Как перевести дробное двоичное число в десятичное

Для того, чтобы перевести дробное двоичное число в десятичное, необходимо записать дробное двоичное число, убрав точку и затем сверху расставить индексы.
Индексы в дробной части числа начинаются от -1 и продолжаются на уменьшение вправо, индексы в целой части начинаются с 0 и ставятся с права на лево по возрастанию.
Каждая позиция цифры (индекс) будет степенью числа 2, так как система счисления 2-ичная. Необходимо последовательно умножить каждое число на
2 в степени соответствующей позиции числа и затем сложить с последующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.

Например, переведем дробное двоичное число 110.101 в десятичное:

110.101₂ = 1 ⋅ 2² + 1 ⋅ 2¹ + 0 ⋅ 2⁰ + 1 ⋅ 2^-1 + 0 ⋅ 2^-2 + 1 ⋅ 2^-3 = 6.625₁₀

Таблица значений десятичных чисел от 0 до 100 в двоичной системе счисления

Калькулятор систем счисления

Данный конвертер переводит числа между наиболее популярными системами счисления: десятичной, двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной.

Система счисления — это способ представления числа. Одно и то же число может быть представлено в различных видах. Например, число 200 в привычной нам десятичной системе может иметь вид 11001000 в двоичной системе, 310 в восьмеричной и C8 в шестнадцатеричной.

Существуют и другие системы счисления, но мы не стали включать их в конвертер из-за низкой популярности.

Для указания системы счисления при записи числа используется нижний индекс, который ставится после числа:
200₁₀ = 11001000₂ = 310₈ = C8₁₆

Кратко об основных системах счисления

Десятичная система счисления. Используется в повседневной жизни и является самой распространенной. Все числа, которые нас окружают представлены в этой системе. В каждом разряде такого числа может использоваться только одна цифра от 0 до 9.

Двоичная система счисления. Используется в вычислительной технике. Для записи числа используются цифры 0 и 1.

Восьмеричная система счисления. Также иногда применяется в цифровой технике. Для записи числа используются цифры от 0 до 7.

Шестнадцатеричная система счисления. Наиболее распространена в современных компьютерах. При помощи неё, например, указывают цвет. #FF0000 — красный цвет. Для записи числа используются цифры от 0 до 9 и буквы A,B,C,D,E,F, которые соответственно обозначают числа 10,11,12,13,14,15.

Перевод в десятичную систему счисления

Преобразовать число из любой системы счисления в десятичную можно следующим образом: каждый разряд числа необходимо умножить на Xⁿ, где X — основание исходного числа, n — номер разряда. Затем суммировать полученные значения.

abc_x = (a*x² + b*x¹ + c*x⁰)₁₀

Примеры:

567₈ = (5*8² + 6*8¹ + 7*8⁰)₁₀ = 375₁₀

110₂ = (1*2² + 1*2¹ + 0*2⁰)₁₀ = 6₁₀

A5₁₆ = (10*16¹ + 5*16⁰)₁₀ = 165₁₀

Перевод из десятичной системы счисления в другие

Делим десятичное число на основание системы, в которую хотим перевести и записываем остатки от деления. Запишем полученные остатки в обратном порядке и получим искомое число.

Переведем число 375₁₀ в восьмеричную систему:

375 / 8 = 46 (остаток 7)

46 / 8 = 5 (остаток 6)

5 / 8 = 0 (остаток 5)

Записываем остатки и получаем 567₈

Перевод из двоичной системы в восьмеричную

Способ 1:

Для перевода в восьмеричную систему нужно разбить двоичное число на группы по 3 цифры справа налево. В последней (самой левой) группе вместо недостающих цифр поставить слева нули. Для каждой полученной группы произвести умножение каждого разряда на 2ⁿ, где n — номер разряда.

1101₂ = (001) (101) = (0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰) (1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰) = (0+0+1) (4+0+1) = (1) (5) = 15₈

Способ 2:

Так же как и в первом способе разбиваем число на группы. Но вместо преобразований в скобках просто заменим полученные группы (триады) на соответствующие цифры восьмеричной системы, используя таблицу триад:

10111010₂ = (010) (111) (010) = 272₈

Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную

Способ 1:

Разбиваем число на группы по 4 цифры справа налево. Последнюю (левую) группу дополним при необходимости ведущими нулями. Внутри каждой полученной группы произведем умножение каждой цифры на 2ⁿ, где n — номер разряда, и сложим результаты.

11010₂ = (0001) (1010) = (0*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰) (1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 0*2⁰) = (0+0+0+1) (8+0+2+0) = (1) (10) = 1A₁₆

Способ 2:

Также как и в первом способе разбиваем число на группы по 4 цифры. Заменим полученные группы (тетрады) на соответствующие цифры шестнадцатеричной системы, используя таблицу тетрад:

101111100₂ = (0001) (0111) (1100) = 17C₁₆

Перевод из восьмеричной системы в двоичную

Способ 1:

Каждый разряд восьмеричного числа будем делить на 2 и записывать остатки в обратном порядке, формируя группы по 3 разряда двоичного числа. Если в группе получилось меньше 3 разрядов, тогда дополняем нулями. Записываем все группы по порядку, отбрасываем ведущие нули, если имеются, и получаем двоичное число.

Возьмем число 43₈.

Делим последовательно 4 на 2 и получаем остатки 0,0,1. Записываем их в обратном порядке. Получаем 100.

Делим последовательно 3 на 2 и получаем остатки 1,1. Записываем их в обратном порядке и дополняем ведущими нулями до трех разрядов. Получаем 011.

Записываем вместе и получаем 100011₂

Способ 2:

Используем таблицу триад:

Каждую цифру исходного восьмеричного числа заменяется на соответствующие триады. Ведущие нули самой первой триады отбрасываются.

351₈ = (011) (101) (001) = 011101001₂ = 11101001₂

Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную

Способ 1:

Аналогично переводу из восьмеричной в двоичную, только группы по 4 разряда.

Способ 2:

Используем таблицу тетрад:

Каждую цифру исходного числа заменяется на соответствующие тетрады. Ведущие нули самой первой тетрады отбрасываются.

D8₁₆ = (1101) (1000) = 11011000₂

Перевод из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и наоборот

Такую конвертацию можно осуществить через промежуточное десятичное или двоичное число. То есть исходное число сначала перевести в десятичное (или двоичное), и затем полученный результат перевести в конечную систему счисления.

Binary Tutorial — Понятие и управление двоичными числами

Системы счисления!

Теория чисел и принцип работы двоичных чисел.

Введение

Числа окружают нас повсюду, и по большей части мы принимаем их как должное. Если бы я предложил вам 1337 долларов, вы были бы счастливы, потому что знаете, что это довольно разумная сумма. Система счисления — это средство представления количества вещей.Десятичная дробь — это лишь одна из нескольких систем счисления, а другие, в типичной двоичной системе, важны для понимания в различных областях, особенно в вычислительной технике.

В нашем введении для начинающих в двоичные, шестнадцатеричные и восьмеричные числа вы изучите двоичные преобразования и арифметику с интерактивными демонстрациями и подробными объяснениями.

Наброски

Это двоичное руководство разделено на 3 раздела. В общем, я рекомендую вам проработать их по порядку, но если вы пришли сюда только для того, чтобы узнать о конкретной теме, тогда кто я такой, чтобы вас тормозить, просто идите прямо вперед.

1. Системы счисления — Прочтите ниже, чтобы узнать о теории чисел.
2. Преобразования — Как преобразовать двоичное в десятичное, шестнадцатеричное и восьмеричное числа.
3. Арифметика — Узнайте, как выполнять различные арифметические операции с двоичными числами.
4. Отрицательные числа — Узнайте, как работать с отрицательными числами в двоичном формате.
5. Плавающая точка и дроби — Узнайте, как преобразовывать десятичные числа в двоичные дроби и числа с плавающей запятой и обратно.

Шаблоны и ярлыки

Когда вы работаете с системами счисления, вы можете сделать много сокращений по адресу:

• упрощают работу с ними.
• поможет проверить вашу работу / выявить глупые ошибки, которые вы могли совершить.

Я буду указывать на некоторые из них, когда мы прорабатываем материал, но вы всегда должны искать их самостоятельно (не только при работе с числами, но и в других областях).

В общем, вы хотите следить за шаблонами, а затем думать о том, как вы можете использовать эти шаблоны для своей выгоды. Со временем вы научитесь их замечать.

Десятичная система

Десятичная система счисления — это та, с которой мы наиболее знакомы, мы используем ее каждый день. Десятичная дробь — это то, что мы называем позиционной системой счисления. То есть положение цифр придает значение представляемому ими значению. Другие системы счисления (двоичная, шестнадцатеричная и восьмеричная) также являются позиционными, поэтому, как только мы поймем основную теорию десятичной системы, мы сможем легко применить ее для понимания других систем.

Давайте посмотрим на пример:

Если у меня есть число 31415, на самом деле это означает:

30 000 + 1000 + 400 + 10 + 5

А точнее:

Десятичное число — по основанию 10 .Это означает, что у нас есть 10 символов для представления значений (0–9). При перемещении по каждой позиции мы умножаем это число на 10 в степень этой позиции (начиная с 0 в крайнем правом углу).

Помните: любое значение в степени 0 всегда равно 1.

Десятичная дробь удобна в качестве системы счисления, поскольку каждый раз, когда мы увеличиваем степень, все, что нам нужно сделать, это добавить еще 0. Для каждой цифры в числе добавьте количество нулей, требуемых для позиции, и вы получите ее позиционное значение.Затем каждая цифра естественным образом совпадает с общим числом.

двоичный

Binary следует тому же шаблону, что и Decimal, за исключением того, что вместо основания 10 это base 2 . Вместо 10 символов для представления значений у нас есть два (0 и 1).

Итак, Decimal — это система счисления с основанием 10, у нас есть 10 символов и умножается на степень 10. Отсюда следует, что Binary — это система счисления с основанием 2, у нас есть два символа и умножается на степени 2.

Давайте посмотрим на пример:

Если у меня есть двоичное число 101010, оно переводится в десятичное как:

32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = 42

или:

Как видно из этого примера, двоичный код не так удобен для чтения и работы, как десятичный.Вы можете спросить, зачем тогда вообще использовать двоичный код? Ответ заключается в том, что это более простой формат для работы с компьютерами. Его также можно использовать в других областях как ярлык для представления настроек.

Поскольку все степени двойки, кроме 0, приводят к четному числу, единственный способ получить нечетное число — это иметь самую правую цифру, равную 1. Это можно использовать в качестве быстрой проверки при выполнении преобразований, которые вы еще не сделали. глупая ошибка.

Шестнадцатеричный и восьмеричный

Две другие системы счисления, которые обычно используются в вычислениях, — это шестнадцатеричная и восьмеричная.Это обе системы счисления.

• Шестнадцатеричная система счисления по основанию 16
• Восьмеричное число — основание 8

Оба они тесно связаны с двоичным кодом. Вы заметите, что:

Это не относится к десятичным (нет степени 2, равной 10). Это дает шестнадцатеричные и восьмеричные характеристики по отношению к двоичным, которых нет у десятичных. Мы исследуем их в следующем разделе, преобразования.

Для шестнадцатеричного числа мы увеличиваем до 15 (помните, что мы начинаем с 0).Когда мы дойдем до 9, мы добавим буквы алфавита A — F, чтобы представить 10-15 (см. Справочную таблицу ниже).

Возьмем десятичное число 27.

В шестнадцатеричном формате это будет 1B, что в десятичном формате означает:

1 * 16 ¹ + 11 * 16 ⁰ = 16 + 11

В восьмеричном формате это будет 33, что в десятичном виде означает:

.

3 * 8 ¹ + 3 * 8 ⁰ = 24 + 3

Префиксы

Как видно из приведенных выше примеров, числа потенциально могут выглядеть одинаково, независимо от того, являются ли они двоичными, десятичными, восьмеричными или шестнадцатеричными.Если бы я дал вам число 2F7, вы бы сразу узнали, что оно шестнадцатеричное, но если бы я дал вам число 101, оно будет:

• 101 в двоичном формате и 5 в десятичном формате
• 101 в десятичной системе счисления
• 101 в шестнадцатеричной системе и 257 в десятичной системе счисления
• 101 в восьмеричной системе и 65 в десятичной системе счисления

??

Как видите, количество, которое представляет 101, сильно зависит от используемой нами базы. Чтобы избежать этой двусмысленности, мы добавляем префиксы к номерам, чтобы идентифицировать их основу.

• Decimal не имеет префикса.
• Шестнадцатеричный код имеет префикс Ox, например: Ox1B

.

• Octal имеет префикс O, например: O421
• Binary имеет префикс Ob, например: Ob1101

Некоторые люди вместо этого используют суффикс, но они не так популярны:

• Десятичное число не имеет суффикса.
• Шестнадцатеричный имеет суффикс H, например: 1BH
• Octal имеет суффикс O, например: 421O
• Binary имеет суффикс B, например: 1101B

Примечание: для префиксов и суффиксов выше это заглавная буква o, а не ноль.

На протяжении большей части этого урока я не буду использовать префиксы, а буду указывать базу напрямую, чтобы было понятнее.

Справочная таблица

Вот справочная таблица для различных систем счисления.

Вы заметите, что в двоичном файле есть шаблон.Крайний правый столбец чередуется между 0 и единицей. Следующий столбец делает то же самое, но по два за раз. Третий столбец делает то же самое, но по четыре за раз. Крайний левый столбец делает то же самое, но по 8 за раз. Этот шаблон позволяет легко проверить, что он написан правильно.

Если вы сдаете экзамен по двоичной системе, вам часто не разрешают зачитывать материал, но ничто не мешает вам самостоятельно составить эту таблицу после начала экзамена. Это может быть хороший справочник, особенно для преобразований, которые мы рассмотрим в следующем разделе.

Совет

Этот материал может быть немного трудным для понимания. Если вы обнаружите, что чтение материала немного напрягает, вот что я предлагаю:

• Проработайте примеры на бумаге. Изучение двоичного кода похоже на езду на велосипеде. Лучший способ — просто сделать это.
• Оставьте это на день или два, затем вернитесь и попробуйте еще раз.

.

Двоичный преобразователь в десятичный

Чтобы использовать этот новый инструмент для преобразования двоичных чисел в десятичные числа ,
введите любое двоичное значение, например 1010, в левое поле ниже, а затем нажмите кнопку «Преобразовать».
Вы можете увидеть результат в правом поле ниже.
В десятичные числа можно преобразовать до 63 двоичных символов.

Результат преобразования двоичного числа в десятичный в базовых числах

Двоичная система

Двоичная система счисления использует число 2 в качестве основания (основание).Как система счисления с основанием 2, она состоит только из двух чисел: 0 и 1.

Хотя она применялась в Древнем Египте, Китае и Индии для различных целей, двоичная система стала языком электроники и компьютеров в мире. современный мир. Это наиболее эффективная система для обнаружения состояния выключения (0) и включения (1) электрического сигнала. Это также основа для двоичного кода, который используется для компоновки данных в компьютерных машинах. Даже цифровой текст, который вы сейчас читаете, состоит из двоичных чисел.

Двоичное число читать проще, чем кажется: это позиционная система; следовательно, каждая цифра в двоичном числе возводится в степень двойки, начиная с самого правого с 2 ⁰ . В двоичной системе каждая двоичная цифра относится к 1 биту.

Десятичная система

Десятичная система счисления является наиболее часто используемой и стандартной системой в повседневной жизни. В качестве основы (системы счисления) используется число 10. Следовательно, в нем 10 символов: числа от 0 до 9; а именно 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.

Как одна из старейших известных систем счисления, десятичная система счисления использовалась многими древними цивилизациями. Сложность представления очень больших чисел в десятичной системе была преодолена с помощью индийско-арабской системы счисления. Индусско-арабская система счисления определяет позиции цифр в числе, и этот метод работает с использованием степеней основания 10; цифры возводятся в степень n ^th в соответствии с их положением.

Например, возьмите номер 2345.67 в десятичной системе:

• Цифра 5 стоит в позиции единиц (10 ⁰ , что равно 1),
• 4 находится на позиции десятков (10 ¹ )
• 3 находится в позиции сотен (10 ² )
• 2 в тысячах (10 ³ )
• Между тем, цифра 6 после десятичной запятой находится в десятых долях (1/10, что составляет 10 ^-1 ), а 7 — в сотых (1/100, что составляет 10 ^-2 ) позиции
• Итак, число 2345.67 также можно представить следующим образом:
  (2 * 10 ³ ) + (3 * 10 ² ) + (4 * 10 ¹ ) + (5 * 10 ⁰ ) + (6 * 10 ^-1 ) + (7 * 10 ^-2 )

Как читать двоичное число

При преобразовании двоичного числа в десятичное могут помочь базовые знания о том, как читать двоичное число. Как упоминалось выше, в позиционной системе двоичного числа каждый бит (двоичная цифра) является степенью 2. Это означает, что каждое двоичное число может быть представлено как степень двойки, причем крайнее правое число находится в позиции 2 ⁰ .

Пример : Двоичное число (1010) ₂ также можно записать следующим образом: (1 * 2 ³ ) + (0 * 2 ² ) + (1 * 2 ¹ ) + (0 * 2 ⁰ )

Как преобразовать двоичное в десятичное

Существует два метода преобразования двоичного числа в десятичное. Первый использует позиционное представление двоичного файла, описанное выше. Второй метод называется double dabble и используется для более быстрого преобразования длинных двоичных строк.Он не использует позиции.

Метод 1: Использование позиций

Шаг 1 : Запишите двоичное число.

Шаг 2 : Начиная с младшего разряда (LSB — крайний правый), умножьте цифру на значение позиции. Продолжайте делать это, пока не дойдете до самой значащей цифры (MSB — крайняя левая).

Шаг 3 : сложите результаты, и вы получите десятичный эквивалент данного двоичного числа.

Теперь применим эти шаги, например, к приведенному выше двоичному числу (1010) ₂

• Шаг 1 : Запишите (1010) ₂ и определите позиции, а именно степени двойки, которым принадлежит цифра.
• Шаг 2 : Представьте число с точки зрения его позиций. (1 * 2 ³ ) + (0 * 2 ² ) + (1 * 2 ¹ ) + (0 * 2 ⁰ )
• Шаг 3 : (1 * 8) + (0 * 4) + (1 * 2) + (0 * 1) = 8 + 0 + 2 + 0 = 10
• Следовательно, (1010) ₂ = (10) ₁₀

(Обратите внимание, что цифры 0 в двоичном формате дают нулевые значения и в десятичном.)

Метод 2: Двойное прикосновение

Также называемый удвоением, этот метод на самом деле является алгоритмом, который может применяться для преобразования любого заданного основания в десятичное. Double dabble помогает преобразовывать более длинные двоичные строки в голове, и единственное, что нужно помнить, — это «удвоить сумму и добавить следующую цифру».

• Шаг 1: Запишите двоичное число. Начиная слева, вы будете удваивать предыдущую сумму и добавлять текущую цифру. На первом этапе предыдущая сумма всегда равна 0, потому что вы только начинаете.Следовательно, удвойте сумму (0 * 2 = 0) и добавьте самую левую цифру.
• Шаг 2: Удвойте сумму и добавьте следующую крайнюю левую цифру.
• Шаг 3: Удвойте сумму и добавьте следующую крайнюю левую цифру. Повторяйте это, пока у вас не закончатся цифры.
• Шаг 4: Результат, который вы получите после добавления последней цифры к предыдущей удвоенной сумме, является десятичным эквивалентом.

А теперь применим метод двойного приближения к тому же двоичному числу (1010) ₂

• Ваша предыдущая сумма 0.Ваша крайняя левая цифра 1. Удвойте сумму и добавьте крайнюю левую цифру
  (0 * 2) + 1 = 1

.

• Шаг 2: Удвойте предыдущую сумму и добавьте следующую крайнюю левую цифру.
  (1 * 2) + 0 = 2
• Шаг 3: Удвойте предыдущую сумму и добавьте следующую крайнюю левую цифру.
  (2 * 2) + 1 = 5
• Шаг 4: Удвойте предыдущую сумму и добавьте следующую крайнюю левую цифру.
  (5 * 2) + 0 = 10

Именно здесь в этом примере у вас заканчиваются цифры. Следовательно, (1010) ₂ = (10) ₁₀

Примеры преобразования двоичного числа в десятичное

Пример 1 : (1110010) ₂ = (114) ₁₀

Метод 1:
(0 * 2 ⁰ ) + (1 * 2 ¹ ) + (0 * 2 ² ) + (0 * 2 ³ )
+ (1 * 2 ⁴ ) + (1 * 2 ⁵ ) + (1 * 2 ⁶ )
= (0 * 1) + (1 * 2) + (0 * 4) + (0 * 8) + (1 * 16) + (1 * 32) + (1 * 64)
= 0 + 2 + 0 + 0 + 16 + 32 + 64 = 114

Метод 2:
0 (предыдущая сумма в начальной точке)
(0 + 1) * 2 = 2
2 + 1 = 3
3 * 2 = 6
6 + 1 = 7
7 * 2 = 14
14 + 0 = 14
14 * 2 = 28
28 + 0 = 28
28 * 2 = 56
56 + 1 = 57
57 * 2 = 114

Пример 2 : (11011) ₂ = (27) ₁₀

Метод 1:
(0 * 2 ⁰ ) + (1 * 2 ¹ ) + (0 * 2 ² ) + (1 * 2 ³ )
+ (1 * 2 ⁴ )
= (1 * 1) + (1 * 2) + (0 * 4) + (1 * 8) + (1 * 16)
= 1 + 2 + 0 + 8 + 16 = 27

Метод 2:
(0 * 2) + 1 = 1
(1 * 2) + 1 = 3
(3 * 2) + 0 = 6
(6 * 2) + 1 = 13
(13 * 2) + 1 = 27

Сопутствующие преобразователи:
Десятичный преобразователь в двоичный

Таблица двоичных десятичных преобразований

00275 00000100

00002902 9027 11902 9027 11902

2

9011

96

9011

119

01

902

100003

10000

2

10100000

8

8

902 75 166

902 902

902 902

902 902

191

8

.

Двоичный преобразователь в шестнадцатеричный

Чтобы использовать этот инструмент преобразования двоичного кода в шестнадцатеричный , вы должны ввести двоичное значение, например 11011011, в левое поле ниже и нажать кнопку «Преобразовать». Конвертер выдаст вам шестнадцатеричный (base-16) эквивалент заданного значения.

Результат преобразования двоичного в шестнадцатеричный в базовых числах

0

Двоичная система

Двоичная система счисления использует число 2 как основание (основание).Как система счисления с основанием 2, она состоит только из двух чисел: 0 и 1.

Хотя она применялась в Древнем Египте, Китае и Индии для различных целей, двоичная система стала языком электроники и компьютеров в мире. современный мир. Это наиболее эффективная система для обнаружения состояния выключения (0) и включения (1) электрического сигнала. Это также основа для двоичного кода, который используется для компоновки данных в компьютерных машинах. Даже цифровой текст, который вы сейчас читаете, состоит из двоичных чисел.

Двоичное число читать проще, чем кажется: это позиционная система; следовательно, каждая цифра в двоичном числе возводится в степень двойки, начиная с самого правого с 2 ⁰ . В двоичной системе каждая двоичная цифра относится к 1 биту.

Шестнадцатеричная система (шестнадцатеричная система)

Шестнадцатеричная система (сокращенно шестнадцатеричная) использует число 16 в качестве основы (системы счисления). В системе счисления с основанием 16 используется 16 символов. Это 10 десятичных цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и первые шесть букв английского алфавита (A, B, C, D, E, F).Буквы используются из-за необходимости представлять значения 10, 11, 12, 13, 14 и 15 каждое в одном символе.

Hex используется в математике и информационных технологиях как более удобный способ представления двоичных чисел. Каждая шестнадцатеричная цифра представляет четыре двоичных цифры; следовательно, шестнадцатеричный — это язык для записи двоичного кода в сокращенной форме.

Четыре двоичных разряда (также называемых полубайтами) составляют полбайта. Это означает, что один байт может нести двоичные значения от 0000 0000 до 1111 1111.В шестнадцатеричном формате они могут быть представлены более дружелюбно, от 00 до FF.

В программировании html цвета могут быть представлены шестизначным шестнадцатеричным числом: FFFFFF представляет белый цвет, тогда как 000000 представляет черный.

Как преобразовать двоичное в шестнадцатеричное

Преобразование из двоичного в шестнадцатеричное легко, поскольку шестнадцатеричные числа являются упрощенными версиями двоичных строк. Вам просто нужно помнить, что каждая шестнадцатеричная цифра представляет четыре двоичных цифры.Отсюда следует, что четыре двоичных цифры будут равны одной шестнадцатеричной цифре. Этот метод проще, чем кажется, но для экономии времени всегда полезно использовать двоичную таблицу преобразования в шестнадцатеричную.

Шаг 1: Запишите двоичное число и сгруппируйте цифры (0 и 1) в наборы по четыре. Начните делать это справа. Если в крайней левой группе недостаточно цифр, чтобы составить набор из четырех, добавьте дополнительные 0, чтобы создать группу.

Шаг 2: Напишите 8, 4, 2 и 1 под каждой группой.Это веса позиций или заполнителей в номере (2 ³ , 2 ² , 2 ¹ и 2 ⁰ ).

Шаг 3: Каждая группа из четырех двоичных чисел даст вам одну цифру в шестнадцатеричном формате. Умножьте 8, 4, 2 и 1 на цифру выше.

Шаг 4: Добавьте продукты в каждый набор из четырех. Напишите суммы под группами, к которым они принадлежат.

Шаг 5: Цифры, которые вы получаете из сумм в каждой группе, дают вам шестнадцатеричное число слева направо.

Теперь давайте применим эти шаги, например, к двоичному числу (10101010) ₂

Шаг 1: 10101010 имеет восемь цифр и поэтому может быть сгруппирован в наборы по четыре без добавления нулей.
Думайте о числе как (1010) (1010)

Шаг 2: Напишите 8, 4, 2 и 1 под каждой группой.

1010 1010

8421 8421

Шаг 3: Умножьте 8, 4, 2 и 1 на цифру выше.

1010 1010

8421 8421

8020 8020

Шаг 4: Добавьте продукты в каждый набор из четырех.

В первой группе 8 + 2 = 10

Во второй группе 8 + 2 = 10

Запишите эти цифры под группами, к которым они принадлежат.

1010 1010

8421 8421

8020 8020

10 10

Шаг 5: Обратите внимание, что для представления значений выше 9 будут использоваться буквы. 10 отображается как буква А в шестнадцатеричной системе. Следовательно, (10101010) ₂ = (AA) ₁₆

Примеры преобразования двоичного числа в шестнадцатеричное

Пример 1 : (10001110) ₂ = (8E) ₁₆

1000 1110

8421 8421

8000 8420

8 15

8 E

Пример 2 : (111011.111) ₂ = (3B.E) ₁₆

(Обратите внимание, что это двоичное число имеет десятичную точку и не может быть автоматически сгруппировано в наборы по четыре. Вам нужно добавить 0 как в крайнюю левую, так и в крайнюю правую части.)

0011 1011. 1110

8421 8421 8421

0021 8021 8420

3 11. 14

3 Б. E

Таблица преобразования двоичного числа в шестнадцатеричный

Следующая таблица преобразования двоичного кода в шестнадцатеричный показывает, какие четыре двоичные цифры эквивалентны какому шестнадцатеричному символу:

901 74 27

Двоичный	Шестнадцатеричный
00000001	1
00000010	2
00000011	3
00000100	4 00167	00000100	4
				00000111	7
00001000	8
00001001	9
00001010	A
00001010	A
0000174 0000174
0000172	D
00001110	E
00001111	F
00010000	10
00010001					13
0001010 0	14
00010101	15
00010110	16
00010111	17
000114000	000114		1A
00011011	1B
00011100	1C
00011101	1D
00011117 9017 9017 9017	00011110
00100001	21
00100010	22
00100011	23
00100100	24100
	24100
00100111
00101000	28
00101001	29
00101010	2A
00101011 001011
2B
00101110	2E
00101111	2F
00110000	30
00110001
00110001
00110100	34
00110101	35
00110110	36
00110111	37167
00111010	3A
00111011	3B
00111100	3C
00111101	3D
00111110
00111110	3E
0 Двоичный Шестнадцатеричный 01000001 41 01000010 42 01000011 43 01000100 44000 0175 01000111 47 +01001 тысячу 48 01001001 49 +01001010 4A 01001011 4B 01001100 4C 01001101 4D 01001110 4E 01001111 4F 01010000 50 010172 53 01010100 54 01010101 55 01010110 56 01010111 57 01011000 58 01011001 59 01011010 5A 01011011 5B 01011100 5C 01011101 5D 01011110 5E 01011111 5F 01100000 60 01100001 61 01100010 62 01100011 63 01100100 0110 0111 67 01101000 68 01101001 69 01101010 01101010 6A 6A 6D 01101110 6E 01101111 6F 01110000 70 01110004 01110004 01110100 74 01110101 75 01110110 76 01110111 01110111 01110111 01111010 7A 01111011 7B 01111100 7C 01111101 7D 01111110 7E 01111111 7F 10000000 80 10000100 7 7 11 1 1 1 Двоичный Шестнадцатеричный 10000001 81 10000010 82 10000011 83 10000100 84 84 10000111 87 10001000 88 10001001 89 10001010 8A 8A 8A 1000174 8D 10001110 8E 10001111 8F 10010000 10010004 93 10010100 94 10010101 95 10010110 96 10010111 97 97 97 100174 9A 10011011 9B 10011100 9C 10011101 9D 9D 10011110 A0 10100001 A1 10100010 A2 10100011 A3 A4 A4 1010 0111 A7 10101000 A8 10101001 A9 10101010 AA AD 10101110 AE 10101111 AF 10110000 B0 10110004 B0 10110001 10110100 В4 10110101 В5 10110110 В6 10110111 В7 10111000 В8 10111001 В9 10111010 BA 10111011 BB 10111100 BC 10111101 BD 10111110 1 Двоичный Шестнадцатеричный 11000001 C1 11000010 C2 11000011 C3 11000100 C4 +11000111 C7 11001000 С8 11001001 С9 11001010 CA 11001011 СВ 11001100 CC 11001101 CD 11001110 CE 11001111 CF 11010000 D0 11010016 D0 110174 D3 11010100 Д4 11010101 Д5 11010110 D6 11010111 Д7 11011000 D8 11011001 D9 11011010 DA 11011011 DB 11011100 постоянного тока 11011101 DD 11011110 DE E0 11100001 E1 11100010 E2 11100011 E3 11100100 9017 9017 9017 9017 9017 9017 9017 9017 E4 1110 0111 E7 11101000 E8 11101001 E9 11101010 EA 11101010 EA ED 11101110 EE 11101111 EF 11110000 F0 11110004 F0 111100016 11110100 F4 11110101 F5 11110110 F6 11110111 F7 11111000 F8 11111001 F9 11111010 FA 11111011 FB 11111100 FC 11111101 FD 1111114 FD 1111114 FE . alexxlab Посмотреть все записи автора alexxlab → Вам также может понравиться Амперметр вольтметр цифровой схема: Все своими руками Цифровой амперметр и вольтметр для блока питания • Все своими руками 02.07.197324.01.2022 Щиты учета электроэнергии наружной установки: Щит учета электроэнергии уличный ЩУ IP54 на столб, с трехфазным счетчиком 380В и розеткой на 220В 16.10.197215.01.2022 При выполнении искусственного дыхания для удаления воздуха из желудка необходимо: При выполнении искусственного дыхания для удаления воздуха из желудка необходимо 16.09.202130.11.2020 Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт