Принцип работы индукционной печи: Конструкция индукторов индукционных печей. — ОКБ Козырев

Индукционные нагреватели и печи своими руками: от теории к реализации

Индукционная печь изобретена давно, еще в 1887 г, С. Фарранти. Первая промышленная установка заработала в 1890 г. на фирме Benedicks Bultfabrik. Долгое время индукционные печи и в индустрии были экзотикой, но не вследствие дороговизны электричества, тогда оно было не дороже теперешнего. В процессах, происходящих в индукционных печах, было еще много непонятного, а элементная база электроники не позволяла создавать эффективные схемы управления ими.

В индукционно-печной сфере переворот произошел буквально на глазах в наши дни, благодаря появлению, во-первых, микроконтроллеров, вычислительная мощность которых превышает таковую персональных компьютеров десятилетней давности. Во-вторых, благодаря… мобильной связи. Ее развитие потребовало появления в продаже недорогих транзисторов, способных отдавать мощность в несколько кВт на высоких частотах. Они, в свою очередь, были созданы на основе полупроводниковых гетероструктур, за исследования которых российский физик Жорес Алферов получил Нобелевскую премию.

В конечном итоге, индукционные печки не только совершенно преобразились в промышленности, но и широко вошли в быт. Интерес к предмету породил массу самоделок, которые, в принципе, могли бы быть полезными. Но большинство авторов конструкций и идей (описаний которых в источниках много больше, чем работоспособных изделий) плоховато представляют себе как основы физики индукционного нагрева, так и потенциальную опасность неграмотно выполненных конструкций. Настоящая статья призвана прояснить некоторые наиболее смутные моменты. Материал построен на рассмотрении конкретных конструкций:

1. Промышленной канальной печи для плавки металла, и возможности ее создания самостоятельно.
2. Тигельных печей индукционного типа, самых простых в исполнении и наиболее популярных среди самодельщиков.
3. Индукционных водогрейных котлов, стремительно вытесняющих бойлеры с ТЭНами.
4. Бытовых варочных индукционных приборов, конкурирующих с газовыми плитами и по ряду параметров превосходящих микроволновки.

Примечание: все рассматриваемые устройства основаны на магнитной индукции, создаваемой катушкой индуктивности (индуктором), поэтому и называются индукционными. В них можно плавить/нагревать только электропроводящие материалы, металлы и т.п. Есть еще электроиндукционные емкостные печи, основанные на электрической индукции в диэлектрике между обкладками конденсатора, они применяются для «нежного» плавления и электротермообработки пластиков. Но распространены они гораздо меньше индукторных, рассмотрение их требует отдельного разговора, поэтому пока оставим.

Принцип действия

Принцип работы индукционной печи иллюстрирует рис. справа. В сущности она – электрический трансформатор с короткозамкнутой вторичной обмоткой:

Принцип действия индукционной печи

• Генератор переменного напряжения G создает в индукторе L (heating coil) переменный ток I1.
• Конденсатор С совместно с L образуют колебательный контур, настроенный на рабочую частоту, это в большинстве случаев повышает техпараметры установки.
• Если генератор G автоколебательный, то С часто исключают из схемы, используя вместо него собственную емкость индуктора. Она у описанных ниже высокочастотных индукторов составляет несколько десятков пикофарад, что как раз соответствует рабочему диапазону частот.
• Индуктор в соответствии с уравнениями Максвелла создает в окружающем пространстве переменное магнитное поле с напряженностью H. Магнитное поле индуктора может как замыкаться через отдельный ферромагнитный сердечник, так и существовать в свободном пространстве.
• Магнитное поле, пронизывая помещенную в индуктор заготовку (или плавильную шихту) W, создает в ней магнитный поток Ф.
• Ф, если W электропроводящая, индуцирует в ней вторичный ток I2, то тем же уравнениям Максвелла.
• Если Ф достаточно массивна и цельная, то I2 замыкается внутри W, образуя вихревой ток, или ток Фуко.
• Вихревые токи по закону Джоуля-Ленца отдает полученную им через индуктор и магнитное поле от генератора энергию, нагревая заготовку (шихту).

Электромагнитное взаимодействие с точки зрения физики достаточно сильно и обладает довольно высоким дальнодействием. Поэтому, несмотря на многоступенчатое преобразование энергии, индукционная печь способна показать в воздухе или вакууме КПД до 100%.

Примечание: в среде из неидеального диэлектрика с диэлектрической проницаемостью >1 потенциально достижимый КПД индукционных печей падает, а в среде с магнитной проницаемостью >1 добиться высокого КПД проще.

Канальная печь

Канальная индукционная плавильная печь – первая из примененных в промышленности. Она и конструктивно похожа на трансформатор, см. рис. справа:

Канальная индукционная печь

1. Первичная обмотка, питаемая током промышленной (50/60 Гц) или повышенной (400 Гц) частоты, выполнена из медной, охлаждаемой изнутри жидким теплоносителем, трубки;
2. Вторичная короткозамкнутая обмотка – расплав;
3. Кольцеобразный тигель из жаростойкого диэлектрика, в котором помещается расплав;
4. Наборный из пластин трансформаторной стали магнитопровод.

Канальные печи используются для переплавки дюраля, цветных спецсплавов, получения высококачественного чугуна. Промышленные канальные печи требуют затравки расплавом, иначе «вторичка» не замкнется накоротко и нагрева не будет. Или между крошками шихты возникнут дуговые разряды, и вся плавка просто взорвется. Поэтому перед пуском печи в тигель наливают немного расплава, а переплавленную порцию выливают не до конца. Металлурги говорят, что канальная печь имеет остаточную емкость.

Канальную печь на мощность до 2-3 кВт можно сделать и самому из сварочного трансформатора промышленной частоты. В такой печи можно расплавить до 300-400 г цинка, бронзы, латуни или меди. Можно переплавлять дюраль, только отливке нужно по остывании дать состариться, от нескольких часов до 2-х недель, в зависимости от состава сплава, чтобы набрала прочность, вязкость и упругость.

Примечание: дюраль вообще был изобретен случайно. Разработчики, обозлившись, что легировать алюминий никак не удается, бросили в лаборатории очередной «никакой» образец и ушли в загул с горя. Протрезвились, вернулись – а никакой изменил цвет. Проверили – а он набрал прочность едва ли не стали, оставшись легким, как алюминий.

«Первичку» трансформатора оставляют штатной, она уже рассчитана на работу в режиме КЗ вторички сварочной дугой. «Вторичку» снимают (ее потом можно поставить обратно и использовать трансформатор по прямому назначению), а вместо нее надевают кольцевой тигель. Но пытаться переделать в канальную печь сварочный ВЧ-инвертор опасно! Его ферритовый сердечник перегреется и разлетится в куски из-за того, что диэлектрическая проницаемость феррита >>1, см. выше.

Проблема остаточной емкости в маломощной печке отпадает: в шихту для затравки кладут проволочку из того же металла, согнутую в кольцо и со скрученными концами. Диаметр проволоки – от 1 мм/кВт мощности печи.

Но появляется проблема кольцевого тигля: единственный подходящий для малого тигля материал – электрофарфор. В домашних условиях обработать его самому невозможно, а где взять покупной подходящий? Прочие огнеупоры не годятся вследствие высоких диэлектрических потерь в них или пористости и малой механической прочности. Поэтому, хотя канальная печь дает плавку высочайшего качества, не требует электроники, а ее КПД уже при мощности 1 кВт превышает 90%, у самодельщиков они не в ходу.

Под обычный тигель

Устройство тигельной индукционной печи

Остаточная емкость раздражала металлургов – сплавы-то плавились дорогие. Поэтому, как только в 20-х годах прошлого века появились достаточно мощные радиолампы, тут же родилась идея: выкинуть на (не будем повторять профессиональные идиомы суровых мужиков) магнитопровод, а обычный тигель засунуть прямо в индуктор, см. рис.

На промышленной частоте так не сделаешь, магнитное поле низкой частоты без концентрирующего его магнитопровода расползется (это т. наз. поле рассеяния) и отдаст свою энергию куда угодно, только не в расплав. Компенсировать поле рассеяния можно повышением частоты до высокой: если диаметр индуктора соизмерим с длиной волны рабочей частоты, а вся система – в электромагнитном резонансе, то до 75% и более энергии ее электромагнитного поля будет сосредоточено внутри «бессердечной» катушки. КПД выйдет соответственный.

Однако уже в лабораториях выяснилось, что авторы идеи проглядели очевидное обстоятельство: расплав в индукторе, хотя бы и диамагнитный, но электропроводящий, за счет собственного магнитного поля от вихревых токов изменяет индуктивность нагревательной катушки. Начальную частоту понадобилось устанавливать под холодную шихту и менять по мере ее плавления. Причем в пределах тем больших, чем больше заготовка: если для 200 г стали можно обойтись диапазоном в 2-30 МГц, то для болванки с железнодорожную цистерну начальная частота будет около 30-40 Гц, а рабочая – до нескольких кГц.

Подходящую автоматику на лампах сделать сложно, «тянуть» частоту за болванкой – нужен высококвалифицированный оператор. Кроме того, на низких частотах сильнейшим образом проявляет себя поле рассеяния. Расплав, который в такой печи еще и сердечник катушки, до некоторой степени собирает магнитное поле возле нее, но все равно, для получения приемлемого КПД понадобилось окружать всю печь мощным ферромагнитным экраном.

Тем не менее, благодаря своим выдающимся достоинствам и уникальным качествам (см. далее) тигельные индукционные печи широко применяются и в промышленности, и самодельщиками. Поэтому остановимся подробнее на том, как правильно сделать такую своими руками.

Немного теории

При конструировании самодельной «индукционки» нужно твердо помнить: минимум потребляемой мощности не соответствует максимуму КПД, и наоборот. Минимальную мощность от сети печка возьмет при работе на основной резонансной частоте, Поз. 1 на рис. Болванка/шихта при этом (и на более низких, дорезонансных частотах) работает как один короткозамкнутый виток, а в расплаве наблюдается всего одна конвективная ячейка.

Режимы работы тигельной индукционной печи

В режиме основного резонанса в печке на 2-3 кВт можно расплавить до 0,5 кг стали, но разогрев шихты/заготовки займет до часа и более. Соответственно, общее потребление электричества от сети будет большим, а общий КПД – низким. На дорезонансных частотах – еще ниже.

Вследствие этого индукционные печи для плавки металла работают чаще всего на 2-й, 3-й и др. высших гармониках (Поз. 2 на рис.) Требуемая для разогрева/расплавления мощность при этом возрастает; для того же полкило стали на 2-й понадобится 7-8 кВт, на 3-ей 10-12 кВт. Но прогрев происходит очень быстро, за минуты или доли минут. Поэтому и КПД выходит высокий: печка не успевает «съесть» много, как расплав уже можно лить.

У печей на гармониках есть важнейшее, даже уникальное достоинство: в расплаве возникает несколько конвективных ячеек, мгновенно и тщательно его перемешивающих. Поэтому можно вести плавку в режиме т. наз. быстрой шихты, получая сплавы, которые в любых других плавильных печах выплавить принципиально невозможно.

Если же «задрать» частоту в 5-6 и более раз выше основной, то КПД несколько (ненамного) падает, но проявляется еще одно замечательное свойство индукционки на гармониках: поверхностный нагрев вследствие скин-эффекта, вытесняющего ЭМП к поверхности заготовки, Поз. 3 на рис. Для плавки этот режим используется редко, но для разогрева заготовок под поверхностную цементацию и закалку – милое дело. Современная техника без такого способа термообработки была бы просто невозможна.

О левитации в индукторе

А теперь проделаем фокус: накрутим первые 1-3 витка индуктора, затем перегнем трубку/шину на 180 градусов, и остальную обмотку навьем в обратном направлении (Поз 4 на рис.) Подключим к генератору, введем в индуктор тигель в шихтой, дадим ток. Дождемся расплавления, уберем тигель. Расплав в индукторе соберется в сферу, которая там останется висеть, пока не выключим генератор. Тогда – упадет вниз.

Эффект электромагнитной левитации расплава используют для очистки металлов путем зонной плавки, для получение высокоточных металлических шариков и микросфер, и т.п. Но для надлежащего результата плавку нужно вести в высоком вакууме, поэтому здесь о левитации в индукторе упомянуто только для сведения.

Зачем индуктор дома?

Как видим, даже маломощная индукционная печка для квартирной проводки и лимитов потребления мощновата. Для чего же стоит ее делать?

Индукционный нагрев для закалки

Во-первых, для очистки и разделения драгоценных, цветных и редких металлов. Берем, к примеру, старый советский радиоразъем с позолоченными контактами; золота/серебра на плакировку тогда не жалели. Кладем контакты в узкий высокий тигелек, суем в индуктор, плавим на основном резонансе (выражаясь профессионально, на нулевой моде). По расплавлении постепенно снижаем частоту и мощность, давая застыть болванке в течение 15 мин – получаса.

По остывании разбиваем тигелек, и что видим? Латунный столбик с ясно различимым золотым кончиком, который остается только отрезать. Без ртути, цианидов и прочих убийственных реагентов. Нагревом расплава извне любым способом этого не добиться, конвекция в нем не даст.

Индуктор для отпусковой индукционной печи

Ну, золото-золотом, а сейчас и черный металлолом на дороге не валяется. Но вот необходимость равномерного, или точно дозированного по поверхности/объему/температуре нагрева металлических деталей для качественной закалки у самодельщика или ИП-индивидуала всегда найдется. И тут опять выручит печка-индуктор, причем расход электричества будет посильным для семейного бюджета: ведь основная доля энергии нагрева приходится на скрытую теплоту плавления металла. А меняя мощность, частоту и расположение детали в индукторе, можно нагреть именно нужное место именно как надо, см. рис. выше.

Наконец, сделав индуктор специальной формы (см. рис. слева), можно отпустить закаленную деталь в нужном месте, на нарушая цементации с закалкой на конце/концах. Затем, где надо – гнем, плющим, а остальное остается твердым, вязким, упругим. В конце можно снова разогреть, где отпускали, и опять закалить.

Приступаем к печке: что нужно знать обязательно

Электромагнитное поле (ЭМП) воздействует на человеческий организм, хотя бы прогревая его во всем объеме, как мясо в микроволновке. Поэтому, работая с индукционной печью в качестве конструктора, мастера или эксплуатанта, нужно четко уяснить себе суть следующих понятий:

ППЭ – плотность потока энергии электромагнитного поля. Определяет общее физиологическое воздействие ЭМП на организм независимо от частоты излучения, т.к. ППЭ ЭМП одной и той же напряженности растет с ростом частоты излучения. По санитарным нормам разных стран допустимое значение ППЭ от 1 до 30 мВт на 1 кв. м. поверхности тела при постоянном (свыше 1 часа в сутки) воздействии и втрое-впятеро больше при однократном кратковременном, до 20 мин.

Примечание: особняком стоят США, у них допустимая ППЭ – 1000 мВт (!) на кв. м. тела. Фактически, американцы считают началом физиологического воздействия внешние его проявления, когда человеку уже становится плохо, а долговременные последствия облучения ЭМП полностью игнорируют.

ППЭ при удалении от точечного источника излучения падает по квадрату расстояния. Однослойная экранировка оцинковкой или мелкоячеистой оцинкованной сеткой снижает ППЭ в 30-50 раз. Вблизи катушки по ее оси ППЭ будет в 2-3 раза выше, чем сбоку.

Поясним на примере. Есть индуктор на 2 кВт и 30 МГц с КПД в 75%. Следовательно, наружу из него уйдет 0,5 кВт или 500 Вт. На расстоянии в 1 м от него (площадь сферы радиусом 1 м – 12,57 кв. м.) на 1 кв. м. придется 500/12,57=39,77 Вт, а на человека – около 15 Вт, это очень много. Индуктор нужно располагать вертикально, перед включением печи надевать на него заземленный экранирующий колпак, следить за процессом издали, а по его окончании немедленно выключать печь. На частоте в 1 МГц ППЭ упадет в 900 раз, и с экранированным индуктором можно работать без особых предосторожностей.

СВЧ – сверхвысокие частоты. В радиэлектронике СВЧ считают с т.наз. Q-диапазона, но по физиологии СВЧ начинается примерно со 120 МГц. Причина – электроиндукционный нагрев плазмы клеток и резонансные явления в органических молекулах. СВЧ обладает специфически направленным биологическим действием с долговременными последствиями. Достаточно получить 10-30 мВт в течение получаса, чтобы подорвать здоровье и/или репродуктивную способность. Индивидуальная восприимчивость к СВЧ крайне изменчива; работая с ним, нужно регулярно проходить специальную медкомиссию.

Пресечь СВЧ-излучение очень трудно, оно, как говорят профи, «сифонит» сквозь малейшую щелочку в экране или при малейшем нарушении качества заземления. Эффективная борьба с СВЧ-излучением аппаратуры возможна только на уровне его конструирования высококлассными специалистами.

К счастью, диапазон частот, в котором работают индукционные печи, до СВЧ не простирается. Но при неумелом конструировании или пользовании печь может войти в режим, при котором появляется паразитное СВЧ. Разумеется, этого следует всячески избегать.

Компоненты печи

Индуктор

Важнейшая часть индукционной печи – ее нагревательная катушка, индуктор. Для самодельных печей на мощность до 3 кВт пойдет индуктор из голой медной трубки диаметром 10 мм или медной же голой шины сечением не менее 10 кв. мм. Внутренний диаметр индуктора – 80-150 мм, количество витков – 8-10. Витки не должны соприкасаться, расстояние между ними – 5-7 мм. Также никакая часть индуктора не должна касаться его экрана; минимальный зазор – 50 мм. Поэтому для прохождения выводов катушки к генератору нужно предусмотреть окно в экране, не мешающее его снимать/ставить.

Индукторы промышленных печей охлаждают водой или антифризом, но на мощности до 3 кВт описанный выше индуктор при работе его в продолжении до 20-30 мин принудительного охлаждения не требует. Однако он сам при этом сильно нагревается, а окалина на меди резко снижает КПД печи вплоть до потери ею работоспособности. Сделать самому индуктор с жидкостным охлаждением невозможно, поэтому его придется время от времени менять. Применять принудительное воздушное охлаждение нельзя: пластиковый или металлический корпус вентилятора вблизи катушки «притянут» к себе ЭМП, перегреются, а КПД печи упадет.

Примечание: для сравнения – индуктор для плавильной печи на 150 кг стали согнут из медной трубы 40 мм наружным диаметром и 30 внутренним. Число витков – 7, диаметр катушки по внутри 400 мм, высота тоже 400 мм. Для его раскачки на нулевой моде нужно 15-20 кВт при наличии замкнутого контура охлаждения дистиллированной водой.

Генератор

Вторая главная часть печи – генератор переменного тока. Сделать индукционную печь, не владея основами радиоэлектроники хотя бы на уровне радиолюбителя средней квалификации, не стоит и пытаться. Эксплуатировать – тоже, ведь, если печка не под компьютерным управлением, настроить ее в режим можно, только чувствуя схему.

Схема генератора для индукционной печи, дающая паразитное СВЧ

При выборе схемы генератора следует всячески избегать решений, дающих жесткий спектр тока. В качестве антипримера приводим довольно распространенную схему на тиристорном ключе, см. рис. выше. Доступный специалисту расчет по прилагаемой к ней автором осциллограмме показывает, что ППЭ на частотах свыше 120 МГц от индуктора, запитанного таким образом, превышает 1 Вт/кв. м. на расстоянии 2,5 м от установки. Убийственная простота, ничего не скажешь.

Схема лампового генератора для индукционной печи

В качестве ностальгического курьеза приводим еще схему древнего лампового генератора, см. рис. справа. Такие делали советские радиолюбители еще в 50-х годах, рис. справа. Настройка в режим – воздушным конденсатором переменной емкости С, с зазором между пластинами не менее 3 мм. Работает только на нулевой моде. Индикатор настройки – неоновая лампочка Л. Особенность схемы – очень мягкий, «ламповый» спектр излучения, так что пользоваться этим генератором можно без особых мер предосторожности. Но – увы! – ламп для него сейчас не найдешь, а при мощности в индукторе около 500 Вт энергопотребление от сети – более 2 кВт.

Примечание: указанная на схеме частота 27,12 МГц не оптимальна, она выбрана из соображений электромагнитной совместимости. В СССР она была свободной («мусорной») частотой, для работы на которой разрешения не требовалось, лишь бы устройство помех никому не давало. А вообще-то С можно перестраивать генератор в довольно широком диапазоне.

Самодельная тигельная индукционная печь 50-х годов.

На следующем рис. слева – простейший генератор с самовозбуждением. L2 – индуктор; L1 – катушка обратной связи, 2 витка эмалированного провода диаметром 1,2-1,5 мм; L3 – болванка или шихта. В качестве контурной емкости используется собственная емкость индуктора, поэтому эта схема не требует настройки, она автоматически входит в режим нулевой моды. Спектр мягкий, но при неправильной фазировке L1 мгновенно сгорает транзистор, т.к. он оказывается в активном режиме с КЗ по постоянному току в цепи коллектора.

Схема простейшего генератора для индукционной печи

Также транзистор может сгореть просто от изменения наружной температуры или саморазогрева кристалла – каких-либо мер по стабилизации его режима не предусмотрено. В общем, если у вас завалялись где-то старые КТ825 или им подобные, то начинать эксперименты по индукционному нагреву можно с этой схемки. Транзистор должен быть установлен на радиатор площадью не менее 400 кв. см. с обдувом от компьютерного или ему подобного вентилятора. Регулировка можности в индукторе, до 0,3 кВт – изменением напряжения питания в пределах 6-24 В. Его источник должен обеспечивать ток не менее 25 А. Мощность рассеивания резисторов базового делителя напряжения не менее 5 Вт.

Генератор-мультивибратор для индукционной печи

Схема на след. рис. справа – мультивибратор с индуктивной нагрузкой на мощных полевых тразисторах (450 B Uk, не менее 25 A Ik). Благодаря применению емкости в цепи колебательного контура дает довольно мягкий спектр, но внемодовый, поэтому пригоден для разогрева деталей до 1 кг для закалки/отпуска. Главный недостаток схемы – дороговизна компонент, мощных полевиков и быстродействующих (граничная частота не менее 200 кГц) высоковольтных диодов в их базовых цепях. Биполярные мощные транзисторы в этой схеме не работают, перегреваются и сгорают. Радиатор здесь такой же, как и в предыдущем случае, но обдува уже не нужно.

Следующая схема уже претендует на звание универсальной, мощностью до 1 кВт. Это – двухтактный генератор с независимым возбуждением и мостовым включением индуктора. Позволяет работать на 2-3 моде или в режиме поверхностного нагрева; частота регулируется переменным резистором R2, а диапазоны частот переключаются конденсаторами С1 и С2, от 10 кГц до 10 МГц. Для первого диапазона (10-30 кГц) емкость конденсаторов С4-С7 должна быть увеличена до 6,8 мкФ.

Схема универсального генератора для индукционной печи

Трансформатор между каскадами – на ферритовом кольце с площадью сечения магнитопровода от 2 кв. см. Обмотки – из эмалированного провода 0,8-1,2 мм. Радиатор транзисторов – 400 кв. см. на четверых с обдувом. Ток в индукторе практически синусоидальный, поэтому спектр излучения мягкий и на всех рабочих частотах дополнительных мер защиты не требуется, при условии работы до 30 мин в день через 2 дня на 3-й.

Видео: самодельный индукционный нагреватель в работе

Индукционные котлы

Индукционные водогрейные котлы, без сомнения, вытеснят бойлеры с ТЭНами везде, где электричество обходится дешевле других видов топлива. Но их неоспоримые достоинства породили и массу самоделок, от которых у специалиста иной раз буквально волосы дыбом встают.

Скажем, такая конструкция: пропиленовую трубу с проточной водой окружает индуктор, а он запитан от сварочного ВЧ-инвертора на 15-25 А. Вариант – из термостойкого пластика делают пустотелый бублик (тор), по патрубкам пропускают через него воду, а для нагрева обматывают шиной, образующий свернутый в кольцо индуктор.

ЭМП передаст свою энергию воде хорошо; та обладает неплохой электропроводностью и аномально высокой (80) диэлектрической проницаемостью. Вспомните, как стреляют в микроволновке оставшиеся на посуде капельки влаги.

Но, во-первых, для полноценного обогрева квартиры или частного дома зимой нужно не менее 20 кВт тепла, при тщательном утеплении снаружи. 25 А при 220 В дают всего 5,5 кВт (а сколько это электричество стоит по нашим тарифам?) при 100% КПД. Ладно, пусть мы в Финляндии, где электричество дешевле газа. Но лимит потребления на жилье – все равно 10 кВт, а за перебор нужно платить по увеличенному тарифу. И квартирная проводка 20 кВт не выдержит, нужно тянуть отдельный фидер от подстанции. Во что такая работа обойдется? Если еще электрикам далеко до перебора мощности по району и они ее разрешат.

Затем, сам теплообменник. Он должен быть или металлическим массивным, тогда будет действовать только индукционный нагрев металла, или из пластика с низкими диэлектрическими потерями (пропилен, между прочим, к таким не относится, годится только дорогой фторопласт), тогда вода непосредственно поглотит энергию ЭМП. Но в любом случае выходит, что индуктор греет весь объем теплообменника, а воде тепло отдает только внутренняя его поверхность.

В итоге, ценой больших трудов с риском для здоровья, получаем бойлер с КПД пещерного костра.

Индукционный котел отопления промышленного изготовления устроен совсем по-иному: просто, но в домашних условиях невыполнимо, см. рис. справа:

Схема индукционного водогрейного котла

• Массивный медный индуктор подключается непосредственно к сети.
• Его ЭМП греет также массивный металлический лабиринт-теплообменник из ферромагнитного металла.
• Лабиринт одновременно изолирует индуктор от воды.

Стоит такой бойлер в несколько раз дороже обычного с ТЭНом, и пригоден для установки только на пластиковые трубы, но взамен дает массу выгод:

1. Никогда не сгорает – в нем нет раскаленной электроспирали.
2. Массивный лабиринт надежно экранирует индуктор: ППЭ в непосредственной близости от 30 кВт индукционного бойлера – ноль.
3. КПД – более чем 99,5%
4. Абсолютно безопасен: собственная постоянная времени обладающей большой индуктивностью катушки – более 0,5 с, что в 10-30 раз больше времени срабатывания УЗО или автомата. Его еще ускоряет «отдача» от переходного процесса при пробое индуктивности на корпус.
5. Сам же пробой вследствие «дубовости» конструкции исключительно маловероятен.
6. Не требует отдельного заземления.
7. Безразличен к удару молнии; сжечь массивную катушку ей не под силу.
8. Большая поверхность лабиринта обеспечивает эффективный теплообмен при минимальном температурном градиенте, что почти исключает образование накипи.
9. Огромная долговечность и простота пользования: индукционный бойлер совместно с гидромагнитной системой (ГМС) и фильтром-отстойником работает без обслуживания не менее 30 лет.

О самодельных котлах для ГВС

Схема индукционного водонагревателя для ГВС

Здесь на рис. приведена схема маломощного индукционного нагревателя для систем ГВС с накопительным баком. В ее основе – любой силовой трансформатор на 0,5-1,5 кВт с первичной обмоткой на 220 В. Очень хорошо подходят сдвоенные трансформаторы от старых ламповых цветных телевизоров – «гробов» на двухстержневом магнитопроводе типа ПЛ.

Вторичную обмотку с таких снимают, первичку перематывают на один стержень, увеличив количество ее витков для работы в режиме, близком к КЗ (короткому замыканию) по вторичке. Сама же вторичная обмотка – вода в U-образном колене из трубы, охватывающем другой стержень. Пластиковая труба или металлическая – на промчастоте все равно, но металлическая должна быть изолирована от остальной системы диэлектрическими вставками, как показано на рис, чтобы вторичный ток замыкался только через воду.

В любом случае такая водогрейка опасна: возможная протечка соседствует с обмоткой под сетевым напряжением. Если уж идти на такой риск, то в магнитопроводе нужно насверлить отверстие под болт-заземлитель, и прежде всего наглухо, в грунт, заземлить трансформатор и бак стальной шиной не менее 1,5 кв. см. (не кв. мм!).

Далее трансформатор (он должен располагаться непосредственно под баком), с подключенным к нему сетевым проводом в двойной изоляции, заземлителем и водогрейным витком заливают в одну «куклу» силиконовым герметиком, как моторчик помпы аквариумного фильтра. Наконец, крайне желательно весь агрегат подключить к сети через быстродействующее электронное УЗО.

Видео: “индукционный” котел на основе бытовой плитки

Индуктор на кухне

Варочная индукционная плита

Индукционные варочные поверхности для кухни стали уже привычными, см. рис. По принципу действия это та же индукционная печка, только в роли короткозамкнутой вторичной обмотки выступает днище любой металлической варочной посудины, см. рис. справа, а не только из ферромагнитного материала, как часто не знаючи пишут. Просто алюминиевая посуда выходит из употребления; медики доказали, что свободный алюминий – канцероген, а медная и оловянная давно уже не в ходу по причине токсичности.

Бытовая индукционная плитка – порождение века высоких технологий, хотя идея ее зародилась одновременно с индукционными плавильными печами. Во-первых, для изоляции индуктора от стряпни понадобился прочный, стойкий, гигиеничный и свободно пропускающий ЭМП диэлектрик. Подходящие стеклокерамические композиты появились в производстве сравнительно недавно, и на долю верхней пластины плиты приходится немалая доля ее стоимости.

Схема кухонной индукционной плиты

Затем, все варочные посудины разные, а их содержимое изменяет их электрические параметры, и режимы приготовления блюд тоже разные. Осторожным подкручиванием ручек до нужной моды тут и специалист не обойдется, нужен высокопроизводительный микроконтроллер. Наконец, ток в индукторе должен быть по санитарным требованиям чистой синусоидой, а его величина и частота должны сложным образом меняться сообразно степени готовности блюда. То есть, генератор должен быть с цифровым формированием выходного тока, управляемым тем самым микроконтроллером.

Делать кухонную индукционную плиту самому нет смысла: на одни только электронные компоненты по розничным ценам денег уйдет больше, чем на готовую хорошую плитку. И управлять этими приборами пока еще сложновато: у кого есть, тот знает, сколько там кнопочек или сенсоров с надписями: «Рагу», «Жаркое» и т.п. Автор этой статьи видал плитку, где значилось отдельно «Борщ флотский» и «Суп претаньер».

Тем не менее, индукционные плиты имеют массу преимуществ перед прочими:

• Почти нулевая, в отличие от микроволновок, ППЭ, хоть сам на эту плитку садись.
• Возможность программирования для приготовления самых сложных блюд.
• Растопка шоколада, вытапливание рыбьего и птичьего жира, приготовление карамели без малейших признаков пригорания.
• Высокая экономичность как следствие быстрого нагрева и почти полного сосредоточения тепла в варочной посуде.

Разогрев варочной посуды на индукционной плите и газовой конфорке

К последнему пункту: взгляните на рис. справа, там графики разогрева стряпни на индукционной плите и газовой конфорке. Кто знаком с интегрированием, тот сразу поймет, что индуктор на 15-20% экономичнее, а с чугунным «блином» его можно и не сравнивать. Затраты денег на энергоноситель при приготовлении большинства блюд для индукционной плиты сравнимы с газовой, а на тушение и варку густых супов даже меньше. Индуктор пока уступает газу только при выпечке, когда необходим равномерный прогрев со всех сторон.

Видео: неудавшийся индукционный нагреватель из кухонной плиты

В заключение

Итак, индукционные электроприборы для подогрева воды и приготовления пищи лучше покупать готовые, дешевле и проще выйдет. А вот завести самодельную индукционную тигельную печку в домашней мастерской не помешает: станут доступными тонкие способы плавки и термообработки металлов. Нужно только помнить о ППЭ с СВЧ и строго соблюдать правила конструирования, изготовления и эксплуатации.

Загрузка…

Обсуждение темы «Индукционная печь»

Ниже Вы можете поделиться своими мыслями и результатами с нашими читателями и постоянными посетителями.

Также можно задать вопросы автору*, он постарается на них ответить.

Индукционная печь | Индукционные нагреватели

Для нагрева и плавки железной руды и металлов сталелитейная промышленность применяет различные типы печей для переработки металла. По виду применяемого топлива индукционные печи бывают – пламенные, к ним относятся мартеновские, доменные, шахтные, газовые тигельные, и печи для плавки металла с электрическим нагревом. Электропечи имеют классификацию, которая зависит от метода конвертации электрической энергии в тепловую. Одним из таких методов является плавка металлов в среде индуктивного магнитного поля.

Устройство и принцип работы индукционных печей

Впервые, свойство индуктивного нагрева было описано уравнением Максвелла, а затем разработано на практике английским физиком Майклом Фарадеем. Пионерами постройки индуктивных плавильных печей были англичане, в 1890 году была возведена ИП печь, но из-за отсутствия мощных источников электроэнергии не имели широкого распространения.
 Вначале ΧΧ века происходит скачок индустрии, появляются мощные генераторы электроэнергии с токами высокой частоты, которые смогли полностью обеспечивать все параметры индукционных печей.
 Конструкция индукционного нагревателя представляет собой многовитковую катушку цилиндрической формы, которая называется индуктором, через него пропускается электрическое напряжение переменного тока, вследствие чего возникают магнитные поля, возбуждающие вихревые токи.
 Во внутреннее пространство индуктора помещается сосуд, или емкость, в которой находится металл или руда. Под воздействием магнитного поля и вихревых токов в металле повышается сопротивление, что по всем законам физики вызывает его нагрев и за счет этого происходит процесс плавки.
 Мощность индукционных плавильных печей зависит от величины подаваемого напряжения и частоты электрического тока. Эта зависимость применяется в типах индукционных печей – нагревательные установки для термической обработки и плавильные печи.

Особенности применения индуктивных нагревателей

Конструктивная схема индуктивных печей имеет свои особенности, которых нет в других конструкциях печей.

1. Передача электрической энергии к нагреваемому объекту происходит без контакта с электроустановкой.
2. Выделение тепла происходит непосредственно в месте нагрева, что позволяет максимально использовать энергию образующегося тепла.
3. Высокая скорость нагрева объекта, помещенного в индуктор.

 Индукционные печи для плавки металлов значительно меньше потребляют электроэнергию. Так как этот метод нагрева происходит непосредственно в среде металла, это позволяет получать их сплавы различных марок и свойств фактически не имеющих примесей и получать отливки равномерные по химическому составу.
 В индукционных печах можно плавить различные типы металлов, это стали различных марок, высококачественный чугун, цветные металлы.
Особенность конструкции ИП нагревателей, это малая масса футеровки индукционной печи по сравнению с массой металла, в связи, с чем снижается тепловая энергия печи, позволяет производить плавку периодически, что исключается в печах других конструкций.

 К недостаткам индукционных печей можно отнести следующие факторы:

• дорогое и сложное в изготовление электрическое оборудование;
• наличие «холодных» шлаков, которые затрудняют процесс рафинации металла, этот метод термообработки используется при изготовлении высококачественных сталей.
• от резкого перепада температур, низкая долговечность футеровки.

 Применение индукционных нагревательных печей позволяет автоматизировать процессы плавки, получать высоко легирующие металлы, обеспечивать хорошие условия труда для обслуживающего персонала. К тому же максимально снижается загрязнение окружающей среды.

Если заметили ошибку, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter

Индукционные печи – принцип работы индукционной печи. Лабораторные индукционные печи

Принцип действия индукционных печей основан на токах, возникающих в расплаве с помощью специальных устройств — индукторов. При этом наведенные токи позволяют достигать температуры плавления в металлах, достигается высокая равномерность расплавов за счет перемешивания. Все элементы расплавов подвергаются вихревому воздействию токов, таким образом происходит движение слоев и достигается максимально возможное смешивание различных присадок и металлов. К основным достоинствам индукционных печей следует отнести простейший ремонт, высокий КПД, возможность получения сплавов, обладающих заданными характеристиками и выполнять термообработку в любом режиме.

Навигация:

1. Промышленная печь индукционная
2. Лабораторная индукционная печь

Индуктор, помимо создания электрического тока в обрабатываемом металле, воспринимает механические вибрационные и температурные нагрузки, поэтому при проектировании предусматривается необходимая прочность и тугоплавкость как токопроводящей, так и изолирующей части. В качестве изоляции может применяться воздушная прослойка, при этом должно быть обеспечено необходимое расстояние между витками и жесткое закрепление проводника.

Также применяют ленточную изоляцию, которая наносится поверх лакового покрытия. Лента должна обладать хорошими диэлектрическими свойствами, обеспечивающими надежную изоляцию витков.

Другим способом обеспечения необходимой диэлектрической изоляции витков индуктора является применение специального прокладочного материала, устанавливаемого между витками. Крепление прокладок осуществляется с помощью специального клея. Такой способ обычно применяется для изоляции индуктора большой мощности.

Компаундирование также служит для обеспечения нужного уровня изоляции. Данный способ не нашел широкого применения, поскольку индуктор в этом случае очень сложно отремонтировать.

Токопроводящая часть индуктора должна обладать хорошей электропроводностью, снижающей потери мощности. Кроме того, материал, используемый в электрической части индуктора должен быть немагнитным. Для того, чтобы обеспечить максимальную площадь со стороны, обращенной к обрабатываемому металлу и меньшую массу, используются различные сечения с внутренними полостями.

Каркас печи должен обеспечить жесткость всей конструкции и исключить поглощение мощности деталями. В промышленных печах обычно применяется цилиндрический каркас из листов стали со специальными технологическими отверстиями, обеспечивающими свободный доступ к индуктору.

Плавка металла в индукционной печи позволяет точно регулировать температурные режимы, поддерживать необходимую температуру в течение определенного времени. КПД индукционных печей очень высокий, поскольку отсутствуют дополнительно нагреваемые элементы, нагревается только обрабатываемый металл. По экологическим характеристикам индукционные печи являются наиболее безопасными, так как отсутствуют продукты сгорания топлива и вредные вещества, выделяющиеся при других способах плавки.

Индукционные печи применяются для выплавки цветных и черных металлов, закалки, отпуска, отжига, нормализации сталей. Конструктивно индукционные печи бывают канального типа и тигельные. Выпускаются печи, позволяющие производить плавку с доступом воздуха, в определенной газовой среде с избыточным давлением или вакууме.

Помимо цветных металлов, индукционные печи используют для плавки драгоценных металлов. При этом обычно требуется более низкая температура, чем для черных металлов. Плавка палладия в индукционной печи требует окислительной атмосферы, в отличие от других драгоценных металлов.

Выплавка стали в индукционных печах позволяет получать высоколегированные сорта, отвечающие самым жестким требованиям. В некоторых случаях применяется плавка стали в определенной газовой среде или вакууме, что позволяет получать дополнительные качества.

Плавка титана в индукционных печах дает возможность получения слитков или заготовок, обладающих равномерным составом по всему объему. Недостатком плавки в индукционных печах является сравнительно высокое содержание углерода в конечной продукции. Для уменьшения воздействия газов, выплавку титана производят в аргоновой среде или вакууме.

Следует учесть, что плавка влажных или содержащих лед металлов очень опасна, поэтому рекомендуется предварительная сушка. Наличие влаги в рабочей камере печи при появлении расплава вызовет разбрызгивание раскаленного металла, что может повлечь за собой травмы и выход из строя оборудования.

Схема простейшей индукционной печи:

Отлив металла из индукционной печи:

Промышленная печь индукционная

Проектирование промышленных печей осуществляется исходя из требований к технологическому процессу. Проект определяет максимально возможную температуру нагрева, возможность создания определенной газовой среды или вакуума, применение тиглей или канальное устройство рабочей части, степень автоматизации. Промышленные печи должны оборудоваться системами, обеспечивающими максимальную безопасность в процессе работы. Кроме того, так печи работают с применением переменного электрического тока, на мощность печи влияет его частота.

От того, какие температурные режимы требуются, какие виды металлов или сплавов планируется выплавлять, применяют различные виды футеровки. Футеровка индукционных печей может выполняться из огнеупорного материала, содержащего свыше 90% окиси кремния с небольшим количеством других окислов. Такая футеровка получила название кислой и может выдержать до 100 плавок.

Основная или щелочная футеровка изготавливается из магнезита с добавлением других окислов и жидкого стекла. Такая футеровка может выдержать до 50 плавок, в печах большого объема износ происходит намного быстрее.

Нейтральная футеровка применяется чаще других видов и может выдерживать свыше 100 плавок. Наиболее часто она применяется в тигельных печах. Следует учесть, что в результате проведения плавок происходит неравномерный износ футеровки. Таким образом изменяется рабочий объем и толщина стенки футеровки. Больший износ происходит в местах с большей температурой, обычно в нижней части печи.

Так как промышленные индукционные печи работают с большими нагрузками, обмотка индуктора в процессе работы может значительно нагреваться. Для предотвращения негативных последствий перегрева, обычно предусматривается водяная система охлаждения, отводящая излишки тепла от витков индуктора. При проектировании вопрос охлаждения индуктора является одним из важнейших, поскольку от эффективности системы зависит надежность и срок службы всей печи.

Максимально возможная автоматизация процессов термообработки является необходимым условием для нормальной работы промышленных индукционных печей. Правильно подобранная автоматика обеспечит различные режимы, позволяющие наиболее точно выполнить требования технологических процессов.

Производство промышленных печей осуществляется в строгом соответствии с требованиями заказчика и регулирующей НТД. Промышленные печи могут изготавливаться по типовым проектам или индивидуальным заказам. Обязательным условием является аттестация оборудования, которая должна выполняться не реже 1 раза в год.

Плавильная индукционная печь:

Лабораторная индукционная печь

Исследования, проводимые с различными металлами и сплавами, требуют создания определенных условий в процессе плавки или термообработки. Индукционная печь лабораторная служит для обеспечения заданных условий, поэтому степень автоматизации такого устройства очень высока. В зависимости от того, какие материалы планируется исследовать, лабораторные печи снабжаются дополнительным оборудованием. Некоторые модели предусматривают возможность плавки при избыточном давлении или вакууме.

В лабораторных печах для футеровки, помимо указанных выше материалов, могут применяться более современные теплоизолирующие материалы, такие как:

• корунд, выдерживающий до 300 плавок;

• различные термостойкие волоконные материалы;

• керамические теплоизолирующие пластины.

К лабораторным печам можно отнести также ювелирные печи, служащие для обработки драгоценных металлов и стоматологические, предназначенные для изготовления протезов. Печи такого типа обычно не предназначены для получения высоких температур и обработки больших объемов металла, поэтому мощность их не высока.

Каркас лабораторных печей обычно имеет форму куба или параллелепипеда. Для изготовления ребер применяют различные немагнитные материалы (дюралюминий, специальная сталь, медь). Элементы каркаса закрываются асбоцементными листами, обеспечивающими дополнительную теплоизоляцию. Для уменьшения нагрева элементов каркаса применяют специальные изолирующие прокладки. Также они служат для предотвращения возникновения блуждающих токов. Крепление индуктора в этом случае осуществляется к верхним и нижним плитам.

Лабораторные индукторные печи, как и промышленные, требуют эффективного охлаждения обмотки. В некоторых моделях достаточно воздушного охлаждения, в работающих с высокими температурами индукторах применяется водяное.

Наличие необходимого уровня защиты от токов индукции в лабораторных печах является необходимым условием, обеспечивающим безопасность персонала. Для обеспечения нужного уровня безопасности, используются специальные электромагнитные экраны. Обычно они изготавливаются из листового алюминия или меди.

Небольшая индукционная печь:

Принцип работы индукционных печей и индукционный нагрев

Нагреваемый объект помещают внутрь индуктора или рядом с ним. Изменяющийся (во времени) поток вектора магнитной индукции, созданной индуктором, пронизывает нагреваемый объект и индуктирует электрическое поле. Электрические линии этого поля расположены в плоскости, перпендикулярной направлению магнитного потока, и замкнуты, т. е. электрическое поле в нагреваемом объекте носит вихревой характер. Под действием электрического поля, согласно закону Ома, возникают токи проводимости (вихревые токи). Это — второе превращение энергии электромагнитного поля, описываемое вторым уравнением Максвелла.

В нагреваемом объекте энергия индуктированного переменного электрического поля необратимо переходит в тепловую. Такое тепловое рассеивание энергии, следствием чего является нагрев объекта, определяется существованием токов проводимости (вихревых токов). Это — третье превращение энергии электромагнитного поля, причем энергетическое соотношение этого превращения описывается законом Ленца—Джоуля.

Описанные превращения энергии электромагнитного поля дают возможность:

1. передать электрическую энергию индуктора в нагреваемый объект, не прибегая к контактам (в отличие от печей сопротивления)
2. выделить тепло непосредственно в нагреваемом объекте (так называемая «печь с внутренним источником нагрева» по терминологии проф. Н. В. Окорокова), в результате чего использование тепловой энергии оказывается наиболее совершенным и скорость нагрева значительно увеличивается (по сравнению с так называемыми «печами с внешним источником нагрева»).

На величину напряженности электрического поля в нагреваемом объекте оказывают влияние два фактора: величина магнитного потока, т. е. число магнитных силовых линий, пронизывающих объект (или сцепленных с нагреваемым объектом), и частота питающего тока, т. е. частота изменений (во времени) магнитного потока, сцепленного с нагреваемым объектом.

Это дает возможность выполнить два типа установок индукционного нагрева, которые различаются и по конструкции и по эксплуатационным свойствам: индукционные установки с сердечником и без сердечника.

По технологическому назначению установки индукционного нагрева подразделяют на плавильные печи для плавки металлов и нагревательные установки для термической обработки (закалки, отпуска), для сквозного нагрева заготовок перед пластической деформацией (ковкой, штамповкой), для сварки, пайки и наплавки, для химико-термической обработки изделий и т. д.

По частоте изменения тока, питающего установку индукционного нагрева, различают:

1. установки промышленной частоты (50 Гц), питающиеся от сети непосредственно или через понижающие трансформаторы;
2. установки повышенной частоты (500-10000 Гц), получающие питание от электромашинных или полупроводниковых преобразователей частоты;
3. высокочастотные установки (66 000-440 000 Гц и выше), питающиеся от ламповых электронных генераторов.

Индукционный нагрев – установка с сердечником

В плавильной печи (рис. 1) цилиндрический многовитковый индуктор, изготовленный из медной профилированной трубки, насаживают на замкнутый сердечник, набранный из листовой электротехнической стали (толщина листов 0,5 мм). Вокруг индуктора размещают огнеупорную керамическую футеровку с узким кольцевым каналом (горизонтальным или вертикальным), где находится жидкий металл. Необходимым условием работы является замкнутое электропроводное кольцо. Поэтому невозможно расплавить отдельные куски твердого металла в такой печи. Для пуска печи приходится в канал заливать порцию жидкого металла из другой печи или оставлять часть жидкого металла от предыдущей плавки (остаточная емкость печи).

принцип действия, схема и отзывы

Благодаря появлению в современном производстве доступных электронних и изоляционных компонентов поле применения индукционного нагрева становится все более широким. Данная технология применяется не только в металургии, но и при разработке бытовой техники.

В основе работы индукционной печи лежит трансформаторный принцип обмена энергией. Индуктор изготавливается из медной трубки, которая затем закручивается в многовитковую катушку. К первичной цепи индуктора подводится переменный ток, что приводит к формированию вокруг него переменного магнитного поля. Под воздействием магнитного поля в теле, размещенном внутри индуктора, возникает электрическое поле, что впоследствии приводит к процессу нагрева. Мощность, а соответственно, и тепло, выделяемое индукционной тигельной плавильной печью, напрямую зависят от частоты переменного магнитного поля. Следовательно, для эффективной эксплуатации печь нуждается в токах высокой частоты.

Применение индукционных печей

Индукционный нагрев может использоваться для работы с любым материалом: металл, шлак, газ и т. д. Главное преимущество его применения — бесконтактная передача тепла. Также индукционный нагрев позволяет достичь практически любых скоростей нагрева — все зависит от мощности генератора, питающего печь. Тепловые потери при таком нагреве минимальны. Максимальная температура, до которой можно разогреть предмет в печи, ограничивается только стойкостью огнеупорного материала. Процесс бесконтактной передачи тепла к нагреваемому материалу дает возможность производить нагрев в вакуумной среде.

Согласно отзывам металлургов, сфера применения индукционных печей несколько ограничена в связи с имеющимися недостатками. К минусам тигельной печи относятся:

• высокая цена на электрооборудование;
• холодные шлаки, осложняющие рафинировочный процесс;
• пониженная устойчивость футеровки во время температурных скачков между плавками.

Схема тигельной индукционной печи

Индукционная тигельная печь имеет следующую конструкцию.

Главным элементом печи выступает тигель (7), накрытый крышкой (1). Тигель располагается внутри нагревательного индуктора (3), изготовленного в форме многовитковой катушки. Катушка представляет собой медную трубку, внутри которой, с целью охлаждения, постоянно циркулирует вода. Магнитный поток от индуктора проходит по магнитопроводам (4), которые изготовлены из специальной трансформаторной стали. Поворотный узел (2) предусмотрен для наклона печи во время разлива расплавленной жидкости. Печь установлена на меллоконструкции (5). Охлаждение производится с помощью шлангов водяного охлаждения (6). Для обслуживания печи используется вспомогательная площадка (8).

Также схема тигельной печи включает в себя трансформатор, конденсаторы, блок управления и систему откачки газов. Питание тигельной электрической печи производится токами с частотой 50 Гц.

Особенности внутренних элементов конструкции

Чаще всего индуктор выполняется из трубки круглого сечения. Но бывают ситуации, в которых круглая медная трубка не применима. В определенных случаях для конструирования индукционной тигельной печи используют профилированные элементы, благодаря которым уменьшается магнитный поток рассеивания. Трубки индуктора изолируют между собой стеклотканью, пропитанной специальным лаком. Защищенные витки сжимаются блоками, изготовленными из диэлектрического материала. Индуктор и тигель, размещенный внутри катушки, устанавливается на поддон, изготовленный из огнеупорных кирпичей или жаропрочного бетона. В промышленных условиях процесс изготовления тигля происходит прямо в печи. При этом индуктор в собранном состоянии устанавливают на поддон и изолируют асбестом. После этого поддон засыпается огнеупорным порошком, который уплотняется с помощью пневматической установки. Зазор между установленным на днище шаблоном и индуктором заполняется порошками из огнеупорных материалов.

Футеровку зоны над индуктором обеспечивает огнеупорный кирпич. Воротник и сливной желоб также футеруют жаропрочным кирпичом. Работа индукционной тигельной печи происходит в тяжелейших условиях, поэтому к качеству используемых жаропрочных материалов предъявляются повышенные требования. На долговечность футеровки влияет состав огнеупорной массы, режим работы и применяемая частота электрического тока. Как правило, тигель выдерживает до 100 плавок, а затем выходит из строя.

Конструкция наружных элементов

Каркас плавильной тигельной печи представляет собой базу, к которой крепятся все ее элементы. На крупных промышленных устройствах каркас имеет вид сплошного кожуха. Все детали каркаса должны иметь высокую прочность, в связи с влиянием на них электромагнитного поля индуктора. Оболочка при определенных условиях может нагреваться так же, как и материал в печи. Чтобы уменьшить нагрев, каркас рационально изготавливать из неэлектропроводных материалов. Однако, поскольку диэлектрические материалы имеют высокую цену, материалом для каркаса обычно служит сталь. Стальная конструкция разбивается на несколько элементов, которые, в свою очередь, изолируются друг от друга. Для снижения электромагнитного поля вблизи каркаса используются экраны. Защитный экран устанавливается между индуктором и корпусом печи. Экран имеет форму цилиндра и выполняется из алюминия или меди.

Поворотный узел — важный элемент конструкции. Главное требование к механизму поворота — обеспечение наклона для полного слива металла. Механизмы поворота могут использоваться разные. В печах небольшого объема используется ручная или электрическая лебедка. Промышленные печи наклоняют с помощью кран-балки. Печи большого объема могут оборудоваться гидравлическим приводом наклона.

Крышка, которой накрывается тигельная печь для плавки, служит для поддержания температуры внутри агрегата на более высоком уровне. Однако учитывая, что накрывать печь можно только после полного расплавления шихты, применение крышки не является обязательным.

Изготовление печи своими руками

Индукционные печи нашли широкое применение не только в промышленности, но и в быту. Можно найти схемы большого количества самодельных устройств, однако часть из них в лучшем случае просто не заработает, а в худшем — нанесет вред здоровью своего создателя. О таких последствиях предостерегают многие любители. В повседневной жизни метод индукционного нагрева применяется в таких устройствах:

• канальная печь для плавки металла;
• тигельная индукционная печь — наиболее простая в конструировании, и в связи с этим наиболее популярная среди энтузиастов, судя по отзывам;
• водонагревательный котел, работа которого основана на методе индукции;
• индукционные варочные поверхности, составляющие конкуренцию популярным газовым плитам.

Канальная печь

Данный тип печей применяется для получения чугуна высокого качества, а также при плавке дюраля и цветных спецсплавов. Канальная печь мощностью до 3 кВт изготавливается самостоятельно из сварочного трансформатора, частота которого соответствует промышленной. Такая печь позволяет расплавить болванку бронзы или меди весом до полукилограмма. Канальная печь также позволяет переплавлять дюраль, только обязательно нужно учитывать, что за плавкой должен следовать процесс «состаривания». Время этого процесса может составлять до 2 недель и зависит от состава сплава.

Для изготовления печи первичную обмотку сварочного трансформатора оставляют без изменений, а на место вторичной обмотки помещают тигель кольцевого типа. Лучшим материалом для тигля небольшой канальной печи является электрофарфор. Другие варианты не подойдут из-за низкой прочности и диэлектрических потерь. По отзывам металлургов-любителей, проблема состоит в том, что обработать электрофарфор самостоятельно не представляется возможным, а найти подходящий элемент в продаже очень маловероятно. Именно из-за дефицитного тигля, канальная печь у энтузиастов широкого применения не нашла, хотя данный тип печи и обладает КПД более 90 %.

Тигельная индукционная печь

Изготовленная своими руками тигельная печь используется прежде всего при очистке ценных металлов. К примеру, имея в наличии радиоразъем, изготовленный в Советском Союзе, можно добыть из его контактов определенное количество золота. Используя внешний нагрев, такого результата добиться невозможно.

Кроме золотодобычи, такая печь часто используется с целью равномерного нагрева металла, что требуется для качественной закалки. Меняя положение детали в индукторе и корректируя его мощность, можно добиться заданной температуры на конкретном участке металла. Важно, что использование такой печи будет достаточно бюджетным, ведь практически все энергия направлена на процесс нагрева детали.

Индукционные котлы

Индукционные водонагревательные котлы имеют все шансы в будущем вытеснить обычные бойлеры. Минусом такого водонагревателя пользователи считают высокую цену, но при этом, систематизируя многочисленные отзывы, можно выделить несколько преимуществ:

• Надежность. В котле нет электроспирали, которая является слабым звеном обычного бойлера.
• Коэффициент полезного действия почти 100 %.
• Безопасность. Доступ электричества к корпусу котла невозможен благодаря особенностям конструкции.
• Устройство не нуждается в специальном заземлении.
• Устойчив к скачку напряжения в электрической сети.
• Не образует накипь.
• Долговечность. Котел способен отработать без обслуживания около 30 лет.

Самодельный водонагревательный котел

Основой такого водонагревателя служит силовой трансформатор мощностью до 1,5 кВт, первичная обмотка которого рассчитана на напряжение 220 В. Отлично подойдет трансформатор от лампового цветного телевизора. Вторичную обмотку следует снять, а количество витков первичной необходимо увеличить.

Умельцы советуют и предостерегают: использование такого самодельного устройства небезопасно, поэтому трансформатор следует заземлить, а сам прибор подключать через быстродействующее УЗО.

Индуктор на кухне

Индукционные кухонные варочные поверхности уже не вызывают удивления и широко применяются в быту. В основе работы устройства лежат те же принципы, что и у индукционной печи, с тем лишь отличием, что вторичную обмотку собой представляет металлическое дно посуды.

Использование таких плит стало возможным благодаря появлению в производстве диэлектрика, который, кроме выполнения задачи изолирования индуктора, должен обладать еще прочностными и гигиеничными характеристиками. Удовлетворяющий всем требованиям материал появился относительно недавно, и его стоимость составляет значительную часть в общей цене плиты.

Пользователи в одни голос утверждают: самостоятельное изготовление индукционной плиты не имеет смысла по двум причинам. Первая — приготовление блюд на такой варочной поверхности требует тонкой настройки для каждого типа пищи. Для необходимой корректировки всех электрических параметров в процессе приготовления потребуется микроконтроллер. Вторая причина — цена электронных деталей, из которых состоит плита. В сумме все элементы обойдутся гораздо дороже, чем стоимость уже готового прибора.

Индукционная кухонная плита имеет такие положительные качества:

• отсутствие, в отличие от микроволновых печей, стороннего излучения;
• возможность программирования плиты под свою манеру приготовления пищи;
• приготовление таких блюд, как карамель, без перегрева и пригорания;
• экономичность, благодаря рациональному использованию энергии нагрева.

схема, свойства, принцип работы сталеплавильного оборудования

Нагревание тел с помощью электромагнитного поля, возникающего от воздействия индуцированным током, называется индукционным нагревом. Электротермическое оборудование, или индукционная печь, имеет разные модели, предназначенные для выполнения задач разного назначения.

Конструкция и принцип действия

По техническим характеристикам устройство является частью установки, используемой в металлургической промышленности. Принцип работы индукционной печи зависит от переменного тока, мощность установки формируется назначением прибора, в конструкцию которого входит:

1. индуктор;
2. каркас;
3. плавильная камера;
4. вакуумная система;
5. механизмы перемещения объекта нагревания и другие приспособления.

Современный потребительский рынок располагает большим количеством моделей приборов, работающих по схеме образования вихревых токов. Принцип работы и конструкционные особенности промышленной индукционной печи позволяет выполнять ряд специфических операций, связанных с плавкой цветного металла, термической обработкой изделий из металла, спекания синтетических материалов, очисткой драгоценных и полудрагоценных камней. Бытовые приборы используются для дезинфекции предметов быта и обогрева помещений.

Работа ИП (индукционной печи) заключается в нагревании помещенных в камеру предметов вихревыми токами, излучаемыми индуктором, представляющим собой катушку индуктивности, выполненную в форме спирали, восьмерки или трилистника с обмоткой проводом большого поперечного сечения. Работающий от переменного тока индуктор создает импульсное магнитное поле, мощность которого изменяется в соответствии с частотой тока. Предмет, помещенный в магнитное поле, нагревается до точки закипания (жидкости) или плавления (металл).

Установки, работающие с помощью магнитного поля, производятся в двух типах: с магнитным проводником и без магнитопровода. Первый тип приборов имеет в конструкции индуктор, заключенный в металлический корпус, обеспечивающий быстрое повышение температуры внутри обрабатываемого объекта. В печах второго типа магнитотрон находится снаружи установки.

Особенности индукционных приборов

Промышленные и бытовые агрегаты производятся в нескольких видах, каждый из которых обладает индивидуальными характеристиками и свойствами. Одним из видов приборов для термической обработки материалов являются индукционные тигельные печи, основными рабочими компонентами которых служат индукторы и генераторы.

Наиболее распространенной формой устройства является цилиндр, для изготовления которого используется огнестойкий материал. В конструкции отсутствует сердечник, индуктор тигельных ИП состоит из 8−10 витков медной трубки, тигель расположен в его полости. Установка работает от переменной сети. Для безопасности эксплуатации ИП оснащается системой звукового и светового оповещения, термометрами, датчиками давления, электронной панелью управления.

Достоинства тигельной установки

К положительным свойствам тигельной печи индукционного типа относится выделение тепловой энергии непосредственно при загрузке материала, однородность сплава при нагревании компонентов, возможность создания реакции окисления и восстановления без регулировки величины давления. Производительность прибора формируется удельной мощностью установки вне зависимости от частоты электромагнитного импульса.

При разогреве материала не требуется большого количества энергии, прерванный процесс плавки металла не влияет на качество конечного продукта. Оборудование просто в управлении и эксплуатации, выравнивание температуры в камере происходит по всему объему. Основным достоинством установки является экологическая безопасность для персонала и окружающей среды, электромагнитные волны не распространяются за пределы корпуса прибора.

Недостатки тигельной ИП

К отрицательным факторам устройства относится недостаточная температура шлака, применяемого при обработке зеркала расплава, невысокая стойкость футеровки при изменении температурного режима.

Несмотря на отрицательные качества, тигельные печи нашли применение в быту, а также разных областях производства и промышленности.

Самодельная индукционная печь

Для мастера, умеющего читать проектную документацию и собрать индукционную плавильную печь своими руками, схема доступна в интернете. Прибор может стать как помощником, так и опасным соседом, если в процессе сборки были допущены ошибки в выборе комплектующих деталей или расходных материалов. Основным условием создания функционального аппарата является знание основ физических свойств индукционного оборудования и меди для трубки.

От мастера также требуются навыки конструирования и монтажа электроприборов. Безопасность устройства индивидуальной сборки заключается в ряде особенностей:

1. емкости оборудования;
2. рабочей частоты импульса;
3. мощности генератора;
4. вихревых потерь;
5. гистерезисных потерь;
6. интенсивности тепловой отдачи;
7. способа футеровки.

Обеспечить стабильную работу плавильного агрегата поможет профессиональная отделка или футеровка индукционной печи с целью возможных повреждений химическими средствами, термическими, механическими или физическими воздействиями. Для выполнения футеровки выбираются материалы с высокими огнеупорными свойствами с учетом метода нанесения облицовки.

Защитный слой обеспечивает качество плавильного процесса и химическую чистоту конечного продукта. Плавка стали в индукционных печах должна проводиться в безопасном для обслуживающего персонала режиме, иметь экономические показатели, мало потреблять электрической энергии, работать с недефицитными рабочими материалами, выделять минимальные отходы в производственном процессе.

Вакуумная плавильная установка

Для производства плавки и литья подходит вакуумный прибор индукционного типа, состоящий из камеры, индукционной печи и литейной формы. К положительным качествам устройства относится возможность получения высококачественной продукции при минимальных затратах на производство. Принцип действия вакуумной печи основан на усовершенствованной технологии плавки металлов с повышенной дегазацией, возможностью дозаргузки установки, регулировки температурного режима, изменения химического состава и раскисления материала в рабочем процессе.

Технологический процесс позволяет получать сплавы высокой чистоты, сокращать время нагрева и плавки, использовать любую форму сырья. Приборы вакуумного типа могут работать от переменной сети, конечным продуктом является сплав с пониженным процентом водорода и азота, чистота материала получается за счет откачки воздуха из плавильной камеры и очистки металла от летучих компонентов, присутствующих в шихте.

Канальное плавильное устройство

Канальный тип индукционной сталеплавильной печи имеет в конструкции электромагнитный сердечник. Принцип действия прибора заключается в движении переменного магнитного потока через магнитопровод. В кольце с жидким металлом происходит возбуждение электрического тока, разогревает шихту до заданной температуры. Технология применяется в литейном производстве, миксерах, пищевых раздаточных столах. Для увеличения магнитного потока используется магнитный проводник замкнутого вида из трансформаторной стали.

Свое название канальные печи получили за наличие в пространстве агрегата двух отверстий с каналом, образующим замкнутый контур. По конструкционным особенностям прибор не может работать без контура, благодаря которому жидкий алюминий находится в непрерывном движении. При несоблюдении рекомендаций завода изготовителя оборудование самопроизвольно отключается, прерывая процесс плавки.

По расположению каналов индукционные плавильные агрегаты бывают вертикальными и горизонтальными с барабанной или цилиндрической формой камеры. Барабанная печь, в которой можно плавить чугун, выполнена из листовой стали. Поворотный механизм оснащен приводными роликами, электродвигателем на две скорости и цепной передачей.

Жидкая бронза заливается через сифон, расположенный на торцевой стенке, присадки и шлаки загружаются и удаляются через специальные отверстия. Выдача готовой продукции осуществляется через V -образный сливной канал, сделанный в футеровке по шаблону, который расплавляется в рабочем процессе. Охлаждение обмотки и сердечника осуществляется воздушной массой, температура корпуса регулируется при помощи воды.

Принцип индукции — Conservapedia

Эта статья посвящена термину, который используется в науке. Для математической индукции см. Доказательство индукцией .

Принцип индукции , пожалуй, наиболее кратко описывается как причина, по которой мы верим, что Солнце взойдет завтра. Это форма рассуждения, при которой общие утверждения выводятся из набора единичных наблюдений.

Если кажется, что что-то происходит постоянно, например, яблоко падает на землю, когда оно покидает дерево, можно использовать это предшествующее поведение, чтобы предсказать, что произойдет дальше.Причина, по которой мы верим в то, что Солнце взойдет завтра, заключается в том, что оно происходило так, без исключения, бесчисленное количество раз в прошлом.

Дэвид Фостер Уоллес заявил об этом так:

Принцип индукции гласит, что если что-то x произошло в определенных конкретных обстоятельствах n раз в прошлом, мы можем обоснованно полагать, что те же обстоятельства произведут x в (n + 1) -м случае. ^[1]

Интернет-энциклопедия философии говорит об этом так:

Индукция и дедукция в естествознании

Индукция, также известная как индуктивное рассуждение, занимает центральное место в научных исследованиях.Чистый вывод можно использовать при доказательстве математических теорем, потому что теоремы касаются исключительно абстрактных понятий. Но его нельзя использовать для создания научных теорий, потому что нам не дали фундаментальных аксиом или постулатов о том, как устроена природа .

Как правило, научные открытия работают следующим образом:

• Наблюдения за природными явлениями производятся, например, за движением светящихся точек, которые мы видим в небе и которые мы называем «планетами».
• Люди используют свою изобретательность и способность к рассуждению, чтобы сформулировать теорий или моделей для объяснения этих наблюдений.

Эти теории и модели иногда приобретают чрезвычайно элегантные характеристики, которые делают их эквивалентными математическим постулатам. Но это не так.

• Рассматривая эти теории как математические постулаты, люди «доказывают теоремы» на их основе, часто предсказывая другие явления.
• Если позже обнаружится, что предсказанные явления верны, доверие к теории значительно возрастет. Например, выводы, сделанные из уравнений в теории гравитации Ньютона, привели к открытию Нептуна, было обнаружено, что общая теория относительности объясняет прецессию перигелия Меркурия, а квантовая механика объясняет атомные спектры чрезвычайно подробно.

Но на самом деле это не теорем . Они основаны на индуктивных рассуждениях из наблюдений.

Самые известные физические теории описывают явления в терминах простых и элегантных математических уравнений. Затем эти уравнения приобретают статус математически установленного факта. Например, теория гравитации Ньютона может быть описана в терминах притяжения обратных квадратов, а его «законы движения» могут быть описаны уравнением F = ma. Из них можно вывести множество «теорем», например, о сохранении количества движения.

Но это не настоящие теоремы, и они могут быть «опровергнуты» наблюдениями, несовместимыми с предсказаниями.Когда возникают такие несоответствия, они, как правило, довольно незначительны: если бы мы завтра наблюдали, как яблоки падают вверх, это катастрофически нарушило бы наше мировоззрение. Вселенная действительно кажется, что ведет себя последовательно; это то, что в первую очередь заставляет научную индукцию работать. Но, в конце концов, это вопрос человеческой веры.

Наблюдения, опровергающие устоявшиеся научные теории, обычно довольно незначительны и часто приводят к расширению теорий.Квантовая механика опровергла нашу интерпретацию F = ma, но эта формула по-прежнему считается чрезвычайно важной и почти верной.

Опровержимость

Важным аспектом научной теории является понятие «фальсифицируемости», ставшее известным благодаря философу Карлу Попперу. Проще говоря, теорию можно опровергнуть, если можно представить себе обстоятельства, при которых она не будет верной. Если нет, то теория может быть неприемлема с научной точки зрения. Например, гравитация могла быть законом обратного куба.Были выполнены наблюдения, которые привели Исаака Ньютона к выводу, что это закон обратных квадратов. Закон обратного куба привел бы к другим наблюдениям. Теория, которая говорит, например, что «синий — это треугольный цвет», неопровержима. Невозможно представить эксперимент, чтобы проверить это. Неопровержимые «научные теории» обычно вызывают большой скептицизм.

См. Также

Список литературы

1. ↑ «Все и даже больше, компактная история бесконечности» Дэвида Фостера Уоллеса (Вайденфельд, 2003)
2. ↑ Дедуктивные и индуктивные аргументы, Интернет-энциклопедия философии

GH INDUCTION | Об индукционном нагреве

Индукционный нагрев — это процесс, который используется для склеивания, упрочнения или размягчения металлов или других проводящих материалов.Для современных производственных процессов индукционный нагрев предлагает привлекательное сочетание скорости, стабильности, контроля и энергоэффективности.

Основные принципы индукционного нагрева применяются в производстве с 1920-х годов. Во время Второй мировой войны технология быстро развивалась, чтобы удовлетворить насущные потребности военного времени в быстром и надежном процессе упрочнения металлических деталей двигателя.

В последнее время упор на бережливое производство и упор на улучшенный контроль качества привели к новому открытию индукционной технологии, наряду с разработкой точно регулируемых твердотельных индукционных источников питания.

Как работает индукционный нагрев?

Когда переменный электрический ток подается на первичную обмотку трансформатора, создается переменное магнитное поле. Согласно закону Фарадея, если вторичная обмотка трансформатора находится в магнитном поле, индуцируется электрический ток.

В базовой установке индукционного нагрева источник питания пропускает переменный ток через индуктор (часто медную катушку), а нагреваемая деталь (заготовка) помещается внутри индуктора.Индуктор служит первичной обмоткой трансформатора, а нагреваемая часть становится вторичной обмоткой короткого замыкания. Когда металлическая деталь помещается в индуктор и попадает в магнитное поле, внутри детали индуцируются циркулирующие вихревые токи.

Основы индукционного нагрева

Как показано на схеме, эти вихревые токи протекают против удельного электрического сопротивления металла, генерируя точное и локализованное тепло без какого-либо прямого контакта между деталью и индуктором. Это нагревание происходит как с магнитными, так и с немагнитными частями, и его часто называют «эффектом Джоуля », ссылаясь на первый закон Джоуля — научную формулу, выражающую взаимосвязь между производимым теплом и электрическим током, протекающим через проводник.

Преимущества индукционного нагрева

Почему предпочтительнее индукционный нагрев конвекционному, лучистому, открытому пламени или другому методу нагрева?

Вот краткое изложение основных преимуществ индукционного нагрева для производства:

Максимальная производительность

Производительность можно увеличить, потому что индукция работает очень быстро; тепло выделяется непосредственно и мгновенно (например,> 1000 ° C за <1 секунду) внутри детали.Запуск практически мгновенный; цикл разогрева или охлаждения не требуется. Процесс индукционного нагрева можно завершить на производственном участке, рядом с машиной для холодной или горячей штамповки, вместо того, чтобы отправлять партии деталей в удаленную зону печи или субподрядчику.

Энергоэффективность

Этот уникально энергоэффективный процесс преобразует до 90% затраченной энергии в полезное тепло; Периодические печи обычно энергоэффективны только на 45%. А поскольку индукция не требует цикла нагрева или охлаждения, тепловые потери в режиме ожидания сводятся к минимуму.

Управление и автоматизация процесса

Индукционный нагрев устраняет несоответствия и проблемы качества, связанные с открытым пламенем, факельным нагревом и другими методами. После того, как система правильно откалибрована и настроена, не будет никаких догадок или изменений; Схема нагрева повторяема и последовательна.

С источниками питания GH точный контроль температуры обеспечивает однородные результаты; питание можно мгновенно включить или выключить. Благодаря контролю температуры с обратной связью современные системы индукционного нагрева могут измерять температуру каждой отдельной детали.Могут быть установлены определенные скорости нарастания, удержания и замедления, и данные могут быть записаны для каждой выполняемой части.

Качество продукции

При индукции нагреваемая часть никогда не вступает в прямой контакт с пламенем или другим нагревательным элементом; тепло индуцируется внутри самой детали переменным электрическим током. В результате вероятность коробления, искажения и брака продукта сводится к минимуму. Для обеспечения максимального качества продукта деталь может быть изолирована в закрытой камере с вакуумной, инертной или восстановительной атмосферой, чтобы исключить эффекты окисления.

Зеленая энергия

В системах индукционного нагрева не используются традиционные ископаемые виды топлива; индукция — это чистый, не загрязняющий окружающую среду процесс, который поможет защитить окружающую среду. Индукционная система улучшает условия труда ваших сотрудников за счет устранения дыма, избыточного тепла, вредных выбросов и громкого шума. Нагревание является безопасным и эффективным, без открытого огня, который может подвергнуть опасности оператора или затруднить процесс. Непроводящие материалы не подвержены влиянию и могут находиться в непосредственной близости от зоны нагрева без повреждений.

Использование решений для индукционного нагрева GH означает улучшение эксплуатации и технического обслуживания установки, предотвращение остановок производства, снижение потребления энергии и повышение контроля качества деталей.

Проектирование и строительство индукционной печи (система охлаждения)

Презентация на тему: «Проектирование и строительство индукционной печи (системы охлаждения)» — стенограмма презентации:

1

Проектирование и строительство индукционной печи (система охлаждения)
Представлено MG THANT ZIN WIN Номер ролика: Ph.D-M-7 4-й семинар

2

Краткое содержание презентации
Объективные характеристики индукционной плавильной печи Тепловой баланс индукционной печи Меры по энергосбережению для индукционной печи Заключение

3

Цель Знать особенности индукционной печи, тепловой баланс по сравнению с низкочастотной индукционной печью и высокочастотной индукционной печью, а также меры по энергосбережению.

4

Характеристики индукционной плавильной печи
Тепловая эффективность высокая. Нет CO2, мало дыма и копоти. Незначительное окисление / загрязнение. Контроль температуры прост. Уменьшается место для установки.

5

Тепловой баланс индукционной печи
Общий КПД Рис. — Диаграмма теплового баланса индукционной печи тигельного типа

6

Меры по энергосбережению для индукционной печи
Повышение тепловой эффективности за счет улучшения печи Повышение тепловой эффективности при предварительном нагреве материала

8

Повышение теплоэффективности при эксплуатации
Крышка печи должна быть по возможности закрыта.Расплавленный металл следует выдерживать при низкой температуре и в течение короткого времени. Вытяжной колпак. Очистка от песка, ржавчины и других загрязнений.

9

Заключение Спасибо. Многие особенности есть у индукционной плавильной печи.
Общий КПД высокочастотной индукционной печи предпочтительнее низкочастотной индукционной печи. Вы должны тщательно повышать тепловую эффективность при эксплуатации. Спасибо

Индукционная

Раздел 2.5Индукция

¶

Математическая индукция — это метод доказательства, мало чем отличающийся от прямого доказательства или доказательства от противного или комбинаторного доказательства. Другими словами, индукция — это стиль аргументации, который мы используем, чтобы убедить себя и других в том, что математическое утверждение всегда верно. Многие математические утверждения можно доказать, просто объяснив, что они означают. Другие очень трудно доказать — на самом деле есть относительно простые математические утверждения, которые еще никто не знает, как доказать. Чтобы облегчить поиск доказательств, важно знать некоторые стандартные стили аргументов.Индукция — один из таких стилей. Начнем с примера:

Подраздел Марки

¶

Расследуй! 22

Вам нужно отправить посылку по почте, но вы еще не знаете, сколько вам потребуется. У вас есть большой запас марок по 8 центов и марок по 5 центов. Какие именно почтовые расходы вы можете получить, используя эти марки? Какие суммы сделать невозможно?

Возможно, при исследовании проблемы, описанной выше, вы выбрали определенное количество почтовых услуг, а затем выяснили, можно ли получить эту сумму, используя только 8-центовые и 5-центовые марки.Возможно, вы сделали это по порядку: можно ли заработать 1 цент с почтовых расходов? Вы можете заработать 2 цента? 3 цента? И так далее. Если это то, что вы сделали, вы на самом деле отвечали на последовательность вопросов и вопросов. У нас есть методы работы с последовательностями. Посмотрим, поможет ли это.

На самом деле, мы будем составлять не последовательность вопросов, а последовательность утверждений. Пусть \ (P (n) \) будет утверждением «вы можете заработать \ (n \) центов почтовых расходов, используя только 8-центовые и 5-центовые марки». Поскольку каждое значение \ (n \ text {,} \) \ (P (n) \) является утверждением, оно либо истинно, либо ложно.Итак, если мы сформируем последовательность операторов

\ begin {уравнение *}
P (1), P (2), P (3), P (4), \ ldots
\ end {уравнение *}

последовательность будет состоять из \ (T \) (для истины) и \ (F \) (для ложного). В нашем конкретном случае последовательность начинается с

\ begin {уравнение *}
F, F, F, F, T, F, F, T, F, F, T, F, F, T, \ ldots
\ end {уравнение *}

, потому что \ (P (1), P (2), P (3), P (4) \) все ложны (вы не можете сделать 1, 2, 3 или 4 цента почтовых расходов), но \ (P (5 ) \) верно (используйте одну марку в 5 центов) и так далее.

Давайте немного подумаем, как мы могли бы найти значение \ (P (n) \) для некоторого конкретного \ (n \) («значение» будет либо \ (T \), либо \ (F \)).Как мы нашли значение \ (n \) -го члена последовательности чисел? Как мы нашли \ (a_n \ text {?} \). Это можно было сделать двумя способами: либо существовала закрытая формула для \ (a_n \ text {,} \), чтобы мы могли вставить \ (n \) в формулу и получаем наше выходное значение, или у нас было рекурсивное определение последовательности, поэтому мы могли использовать предыдущие члены последовательности для вычисления \ (n \) -го члена. Имея дело с последовательностями операторов, мы также можем использовать любой из этих методов. Возможно, есть способ использовать \ (n \) сам по себе, чтобы определить, можем ли мы заработать \ (n \) центов за пересылку по почте.Это было бы что-то вроде закрытой формулы. Или вместо этого мы могли бы использовать предыдущие термины в последовательности (утверждений), чтобы определить, можем ли мы сделать \ (n \) центов почтовых расходов. То есть, если мы знаем значение \ (P (n-1) \ text {,} \), можем ли мы получить от него значение \ (P (n) \ text {?} \) Это будет что-то как рекурсивное определение последовательности. Помните, что найти рекурсивные определения для последовательностей часто было проще, чем найти замкнутые формулы. То же самое и здесь.

Предположим, я сказал вам, что \ (P (43) \) было правдой (это так).Можете ли вы определить из этого факта значение \ (P (44) \) (истинно оно или ложно)? Да, ты можешь. Даже если мы не знаем, как именно мы заработали 43 цента на 5- и 8-центовых марках, мы знаем, что каким-то образом это можно было сделать. Что, если бы таким образом использовались как минимум три 5-центовые марки (что составляет 15 центов)? Мы могли бы заменить эти три марки по 5 центов двумя марками по 8 центов (что составляет 16 центов). Общие почтовые расходы увеличились на 1, так что у нас есть способ заработать 44 цента, так что \ (P (44) \) верно. Конечно, мы предполагали, что у нас есть как минимум три 5-центовых марки.Что, если мы этого не сделаем? Тогда у нас должно быть не менее трех марок по 8 центов (что составляет 24 цента). Если мы заменим эти три марки по 8 центов на пять марок по 5 центов (что составляет 25 центов), мы снова увеличим нашу общую сумму на 1 цент, так что мы можем заработать 44 цента, так что \ (P (44) \) истинно.

Обратите внимание, что мы не сказали, как заработать 44 цента, просто мы можем, исходя из того, что мы можем заработать 43 цента. Как мы узнаем, что можем заработать 43 цента? Возможно, потому что мы знаем, что можем заработать \ (42 \) цента, а мы знаем, что можем сделать, потому что знаем, что можем заработать 41 цент, и так далее.Это рекурсия! Как и в случае с рекурсивным определением числовой последовательности, мы должны указать наше начальное значение. В этом случае начальное значение — «\ (P (1) \) ложно». Это нехорошо, поскольку наше рекуррентное соотношение просто говорит, что \ (P (k + 1) \) истинно , если \ (P (k) \) также истинно. Нам нужно начать процесс с истинным \ (P (k) \ text {.} \). Поэтому вместо этого мы можем захотеть использовать «\ (P (31) \) is true» в качестве начального условия.

Собирая все это вместе, мы приходим к следующему факту: можно (точно) произвести любую сумму почтовых расходов, превышающую 27 центов, используя только 5-центовые и 8-центовые марки.Другими словами, \ (P (k) \) истинно для любого \ (k \ ge 28 \ text {.} \). Чтобы доказать это, мы могли бы сделать следующее:

1. Продемонстрируйте, что \ (P (28) \) верно.

2. Докажите, что если \ (P (k) \) истинно, то \ (P (k + 1) \) истинно (для любого \ (k \ ge 28 \)).

Предположим, мы это сделали. Тогда мы знаем, что 28-й член приведенной выше последовательности — это \ (T \) (с использованием шага 1, начального условия или базового случая ), и что каждый член после 28-го также является \ (T \) (используя шаг 2, рекурсивная часть или индуктивный корпус ).Вот как могло бы выглядеть доказательство.

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением «можно сделать ровно \ (n \) центов почтовых расходов, используя 5-центовые и 8-центовые марки». Мы покажем, что \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 28 \ text {.} \)

.

Сначала мы покажем, что \ (P (28) \) истинно: \ (28 = 4 \ cdot 5+ 1 \ cdot 8 \ text {,} \), поэтому мы можем получить \ (28 \) центов, используя четыре 5 марки и одну марку 8 центов.

Теперь предположим, что \ (P (k) \) верно для некоторого произвольного \ (k \ ge 28 \ text {.} \) Тогда можно сделать \ (k \) центов, используя 5-центовые и 8-центовые марки. Обратите внимание, что, поскольку \ (k \ ge 28 \ text {,} \) не может быть, чтобы мы использовали менее трех марок по 5 центов и менее трех марок по 8 центов: использование двух марок каждой даст только 26 центов. Теперь, если мы сделали \ (k \) центов, используя по крайней мере три марки по 5 центов, замените три марки по 5 центов двумя марками по 8 центов. Это заменяет 15 центов почтовых расходов на 16 центов, с переходом с \ (k \) центов на \ (k + 1 \) центов. Таким образом, \ (P (k + 1) \) верно.С другой стороны, если мы сделали \ (k \) центов, используя по крайней мере три марки по 8 центов, то мы можем заменить три марки по 8 центов на пять марок по 5 центов, переместившись с 24 центов на 25 центов, давая всего \ (k + 1 \) центов почтовых расходов. Так что и в этом случае \ (P (k + 1) \) верно.

Следовательно, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 28 \ text {.} \)

Подраздел Формирование доказательств

¶

То, что мы сделали в приведенном выше примере штампа, работает для многих типов проблем.Доказательство по индукции полезно при попытке доказать утверждения обо всех натуральных числах или всех натуральных числах, превышающих некоторый фиксированный первый случай (например, 28 в приведенном выше примере), а также в некоторых других ситуациях. В частности, индукцию следует использовать, когда есть способ перейти от одного случая к другому — когда вы можете видеть, как всегда «делать еще один».

Это большая идея. Индуктивное размышление о проблеме , , может дать новое понимание проблемы. Например, чтобы по-настоящему понять проблему с маркой, вы должны подумать о том, как может быть произведена любая сумма почтовых расходов (более 28 центов) (это неиндуктивное рассуждение), а также о том, как можно произвести почтовые расходы изменения по мере увеличения суммы (индуктивное рассуждение).Когда вас просят предоставить доказательство по индукции, вас просят подумать о проблеме динамически ; как увеличение \ (n \) меняет проблему?

Но у доказательств по индукции есть и другая сторона. В математике недостаточно понимать проблему, вы также должны уметь сообщить о проблеме другим. Как и любая дисциплина, математика имеет стандартный язык и стиль, что позволяет математикам эффективно делиться своими идеями. Доказательства по индукции имеют определенный формальный стиль, и очень важно уметь писать в этом стиле.Это позволяет нам систематизировать наши идеи и может даже помочь нам сформулировать доказательство.

Вот общая структура доказательства математической индукцией:

Индуктивно-испытательная конструкция

Для начала скажите, какое утверждение вы хотите доказать: «Пусть \ (P (n) \) будет утверждением…» Чтобы доказать, что \ (P (n) \) истинно для всех \ (n \ ge 0 \ text {,} \) вы должны доказать два факта:

1. Базовый случай: Докажите, что \ (P (0) \) истинно. Вы делаете это напрямую. Часто это легко.

2. Индуктивный случай: докажите, что \ (P (k) \ imp P (k + 1) \) для всех \ (k \ ge 0 \ text {.} \). То есть докажите, что для любого \ (k \ ge 0 \) если \ (P (k) \) истинно, то \ (P (k + 1) \) также истинно. Это доказательство утверждения if… then…, поэтому вы можете предположить, что \ (P (k) \) истинно (\ (P (k) \) называется индуктивной гипотезой ). Затем вы должны объяснить, почему \ (P (k + 1) \) также верно с учетом этого предположения.

Предполагая, что вы успешно справились с обеими вышеуказанными частями, вы можете заключить: «Следовательно, по принципу математической индукции утверждение \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 0 \ text {.} \) ”

Иногда утверждение \ (P (n) \) будет истинным только для значений, например, \ (n \ ge 4 \ text {,} \) или некоторого другого значения. В таких случаях замените все 0, указанные выше, на 4 (или другое значение).

Другое преимущество формализации индуктивных доказательств состоит в том, что это позволяет нам проверить, верна ли логика, лежащая в основе этого стиля аргументации. Почему работает индукция? Представьте себе ряд домино, стоящих на краях. Мы хотим возразить, что через минуту все костяшки домино упадут.Для этого вам нужно будет толкнуть первое домино. Это базовый вариант. Также должно быть, чтобы домино было достаточно близко друг к другу, чтобы при падении какого-либо конкретного домино выпало следующее домино. Это индуктивный случай. Если оба эти условия соблюдены, вы толкаете первое домино, и каждое домино вызывает падение следующего, тогда все домино выпадают.

Индукция — это мощно! Подумайте, насколько легче опрокидывать костяшки домино, если не нужно толкать каждое домино самому.Вы просто запускаете цепную реакцию, и полагаетесь на относительную близость домино, чтобы позаботиться обо всем остальном.

Подумайте о нашем исследовании последовательностей. Для последовательностей легче найти рекурсивные определения, чем закрытые формулы. Переходить от одного дела к другому легче, чем сразу к конкретному делу. Вот что такого замечательного в индукции. Вместо того, чтобы переходить непосредственно к (произвольному) случаю для \ (n \ text {,} \), нам просто нужно сказать, как перейти от одного случая к другому.

Когда вас просят доказать утверждение с помощью математической индукции, вы должны сначала подумать о , почему утверждение истинно, используя индуктивные рассуждения.Объясните, почему индукция — это правильно, и примерно почему индуктивный случай будет работать. Затем сядьте и напишите аккуратное формальное доказательство, используя приведенную выше структуру.

Подраздел Примеры

¶

Вот несколько примеров доказательства с помощью математической индукции.

Пример2.5.1

Докажите для каждого натурального числа \ (n \ ge 1 \), что \ (1 + 2 + 3 + \ cdots + n = \ frac {n (n + 1)} {2} \ text {.} \)

Решение

Во-первых, давайте индуктивно подумаем об этом уравнении.На самом деле, мы знаем, что это правда, по другим причинам (на ум приходит обратное и сложение). Но почему может быть применима индукция? Левая часть складывает числа от 1 до \ (n \ text {.} \). Если бы мы знали, как это сделать, добавить еще один член (\ (n + 1 \)) было бы не так сложно. Например, если \ (n = 100 \ text {,} \) предположим, что мы знаем, что сумма первых 100 чисел равна \ (5050 \) (поэтому \ (1 + 2 + 3 + \ cdots + 100 = 5050 \ текст {,} \), что верно). Теперь, чтобы найти сумму первых 101 числа, имеет смысл просто прибавить 101 к 5050, вместо того, чтобы заново вычислять всю сумму.У нас было бы \ (1 + 2 + 3 + \ cdots + 100 + 101 = 5050 + 101 = 5151 \ text {.} \) На самом деле всегда было бы легко добавить еще один член. Вот почему мы должны использовать индукцию.

Теперь формальное доказательство:

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением \ (1 + 2 + 3 + \ cdots + n = \ frac {n (n + 2)} {2} \ text {.} \) Мы покажем, что \ (P (n) \) верно для всех натуральных чисел \ (n \ ge 1 \ text {.} \)

Базовый случай: \ (P (1) \) — это утверждение \ (1 = \ frac {1 (1 + 1)} {2} \), которое явно верно.

Индуктивный случай: пусть \ (k \ ge 1 \) — натуральное число. Предположим (для индукции), что \ (P (k) \) истинно. Это означает \ (1 + 2 + 3 + \ cdots + k = \ frac {k (k + 1)} {2} \ text {.} \). Мы докажем, что \ (P (k + 1) \) является правда тоже. То есть мы должны доказать, что \ (1 + 2 + 3 + \ cdots + k + (k + 1) = \ frac {(k + 1) (k + 2)} {2} \ text {.} \) Чтобы доказать это уравнение, начните с добавления \ (k + 1 \) к обеим сторонам индуктивной гипотезы:

\ begin {уравнение *}
1 + 2 + 3 + \ cdots + k + (k + 1) = \ frac {k (k + 1)} {2} + (k + 1).
\ end {уравнение *}

Теперь, упрощая правую часть, получаем:

\ begin {align *}
\ frac {k (k + 1)} {2} + k + 1 \ amp = \ frac {k (k + 1)} {2} + \ frac {2 (k + 1)} {2} \\
\ amp = \ frac {k (k + 1) + 2 (k + 1)} {2} \\
\ amp = \ frac {(k + 2) (k + 1)} {2}.\ end {выровнять *}

Таким образом, \ (P (k + 1) \) истинно, поэтому по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех натуральных чисел \ (n \ ge 1 \ text {.} \)

Обратите внимание, что в части доказательства, в которой мы доказали \ (P (k + 1) \) из \ (P (k) \ text {,} \), мы использовали уравнение \ (P (k) \ text { .} \) Это была индуктивная гипотеза. Увидеть, как использовать индуктивные гипотезы, обычно просто при доказательстве факта о такой сумме. В других доказательствах это может быть менее очевидно, где оно подходит.

Пример 2.2 \) на единицу больше, чем 5). Как выглядят числа, которые на единицу больше, чем кратные 5? У них должна быть последняя цифра 1 или 6. Что произойдет, если вы умножите такое число на 6? Зависит от числа, но в любом случае последняя цифра нового числа должна быть 6. А затем, если вы вычесть 1, вы получите последнюю цифру 5, то есть кратную 5.

Дело в том, что каждый раз, когда мы умножаем еще на одну шестерку, мы все равно получаем число с последней цифрой 6, поэтому вычитание 1 дает нам число, кратное 5.{k + 1} \ text {,} \) другими словами, \ (P (k + 1) \ text {.} \) Следовательно, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для все \ (n \ ge 5 \ text {.} \)

Предыдущий пример может напомнить вам принцип ипподрома из исчисления, который гласит, что если \ (f (a) \ lt g (a) \ text {,} \) и \ (f ‘(x) \ lt g ‘(x) \) для \ (x> a \ text {,} \), затем \ (f (x) \ lt g (x) \) для \ (x> a \ text {.} \) Та же идея: большая функция увеличивается с большей скоростью, чем меньшая функция, поэтому большая функция останется большей.В дискретной математике у нас нет производных, поэтому мы смотрим на различия. Таким образом, индукция — это правильный путь.

Предупреждение:

С большой мощностью приходит большая ответственность. Индукция — это не волшебство. Возможность предположить, что \ (P (k) \) истинна, кажется очень сильной. В конце концов, мы пытаемся доказать, что \ (P (n) \) истинно, и единственная разница заключается в переменной: \ (k \) vs. \ (n \ text {.} \). Предполагаем ли мы, что то, что мы хотите доказать верно? На самом деле, нет. Мы предполагаем, что \ (P (k) \) истинно только ради доказательства того, что \ (P (k + 1) \) истинно.

Тем не менее вы можете начать верить, что с помощью индукции можно доказать что угодно. Рассмотрим это неверное «доказательство» того, что у всех канадцев один и тот же цвет глаз: Пусть \ (P (n) \) будет утверждением, что все \ (n \) канадцы имеют одинаковый цвет глаз. \ (P (1) \) верно, поскольку у всех такой же цвет глаз, как и у них самих. Теперь предположим, что \ (P (k) \) истинно. То есть предположим, что в любой группе \ (k \) канадцев у всех одинаковый цвет глаз. Теперь рассмотрим произвольную группу \ (k + 1 \) канадцев. У первых \ (k \) из них должен быть один и тот же цвет глаз, поскольку \ (P (k) \) истинно.Кроме того, последний \ (k \) из них должен иметь тот же цвет глаз, поскольку \ (P (k) \) истинно. Фактически, у всех в группе должен быть один и тот же цвет глаз. Таким образом, \ (P (k + 1) \) верно. Таким образом, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ text {.} \)

Очевидно, что-то пошло не так. Проблема в том, что доказательство того, что \ (P (k) \) влечет \ (P (k + 1) \), предполагает, что \ (k \ ge 2 \ text {.} \) Мы показали только \ (P (1 )\) правда. На самом деле \ (P (2) \) ложно.

Подраздел Сильная индукция

¶

Расследуй! 23

Начните с квадратного листа бумаги.Вы хотите разрезать этот квадрат на более мелкие квадраты, не оставляя мусора (каждый лист бумаги, который у вас получится, должен быть квадратом). Очевидно, что можно разрезать квадрат на 4 квадрата. Вы также можете разрезать его на 9 квадратов. Оказывается, квадрат можно разрезать на 7 квадратов (хотя и не все одинакового размера). Какое еще количество квадратов могло бы получиться?

Иногда, чтобы доказать, что \ (P (k + 1) \) истинно, было бы полезно знать, что \ (P (k) \) и \ (P (k-1) \) и \ (P (k-2) \) все верны.Рассмотрим следующую загадку:

У вас есть прямоугольная плитка шоколада, состоящая из \ (n \) одинаковых квадратов шоколада. Вы можете взять такую ​​планку и разбить ее по любому ряду или столбцу. Сколько раз вам придется ломать плитку, чтобы уменьшить ее до \ (n \) кусочков шоколада?

Сначала этот вопрос может показаться невозможным. Возможно, я хотел попросить наименьшее количество необходимых перерывов ? Давайте разбираться.

Начнем с небольших случаев.Если \ (n = 2 \ text {,} \), у вас должен быть прямоугольник \ (1 \ times 2 \), который можно уменьшить на отдельные части за один разрыв. С \ (n = 3 \ text {,} \) у нас должен быть столбик \ (1 \ times 3 \), для которого требуется два разрыва: первый разрыв создает один квадрат и столбик \ (1 \ times 2 \). , который, как мы знаем, занимает один (более) перерыв.

А как насчет \ (n = 4 \ text {?} \) Теперь у нас может быть полоса \ (2 \ times 2 \) или полоса \ (1 \ times 4 \). В первом случае разбейте столбик на два \ (2 \ times 2 \) столбца, каждый из которых требует еще одного разрыва (всего требуется три разрыва).Если мы начали с бара \ (1 \ times 4 \), у нас есть выбор для нашего первого перерыва. Мы можем сломать планку пополам, создав две полосы \ (1 \ times 2 \), или мы можем сломать один квадрат, оставив полосу \ (1 \ times 3 \). Но в любом случае нам нужно еще два перерыва, а всего три.

Это начинает выглядеть так, как будто независимо от того, как мы ломаем планку (и как бы квадраты \ (n \) не выстраивались в прямоугольник), у нас всегда будет одинаковое количество необходимых разрывов. Также похоже, что это число на единицу меньше, чем \ (n \ text {:} \)

Гипотеза 2.5,4

Для \ (n \) квадратной прямоугольной плитки шоколада всегда требуется \ (n-1 \) разрывов, чтобы уменьшить плитку до отдельных квадратов.

Имеет смысл доказать это индукцией, потому что, сломав плитку один раз, вы получите плиток меньшего размера, шоколадок. Сведение к меньшим случаям — вот что такое индукция. Мы можем индуктивно предположить, что уже знаем, как обращаться с этими меньшими барами. Проблема в том, что если мы пытаемся доказать индуктивный случай с \ ((k + 1) \) — квадратным стержнем, мы не знаем, что после первого разрыва на оставшемся баре будет \ (k \) квадратов.Поэтому нам действительно нужно предположить, что наша гипотеза верна для всех случаев, меньших чем \ (k + 1 \ text {.} \)

.

Верно ли это более сильное предположение? Помните, что по индукции мы пытаемся доказать, что \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ text {.} \). Что, если бы это было не так? Тогда будет некоторый первый \ (n_0 \), для которого \ (P (n_0) \) было ложным. Поскольку \ (n_0 \) является первым контрпримером , мы знаем, что \ (P (n) \) истинно для всех \ (n \ lt n_0 \ text {.} \). Теперь мы переходим к доказательству того, что \ (P (n_0) \) действительно верно, основываясь на предположении, что \ (P (n) \) верно для всех меньших \ (n \ text {.} \)

Это большое преимущество: теперь у нас есть более сильная индуктивная гипотеза. Можно считать, что \ (P (1) \ text {,} \) \ (P (2) \ text {,} \) \ (P (3) \ text {,} \)… \ (P (k) \) верно, просто чтобы показать, что \ (P (k + 1) \) верно. Ранее для этой цели мы просто предполагали \ (P (k) \).

Будет немного проще, если мы изменим наши переменные на сильную индукцию. Вот как могло бы выглядеть формальное доказательство:

Прочная конструкция для защиты от индукции

Опять же, начните с того, что вы хотите доказать: «Пусть \ (P (n) \) будет утверждением…» Затем установите два факта:

1. Базовый случай: Докажите, что \ (P (0) \) истинно.

2. Индуктивный случай: Предположим, что \ (P (k) \) верно для всех \ (k \ lt n \ text {.} \). Докажите, что \ (P (n) \) верно.

Сделайте вывод: «Следовательно, по сильной индукции \ (P (n) \) истинно для всех \ (n \ gt 0 \ text {.} \)»

Конечно, можно заменить 0 на при необходимости более крупный базовый вариант.

Докажем нашу догадку о загадке плитки шоколада:

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением, «требуется \ (n-1 \) перерывов, чтобы уменьшить \ (n \) — квадратную плитку шоколада до отдельных квадратов.”

Базовый случай: рассмотрим \ (P (2) \ text {.} \) Квадраты должны быть расположены в прямоугольник \ (1 \ times 2 \), и нам нужны \ (2-1 = 1 \) разрывы, чтобы уменьшить это на отдельные квадраты.

Индуктивный случай: зафиксируйте произвольный \ (n \ ge 2 \) и предположите, что \ (P (k) \) истинно для всех \ (k \ lt n \ text {.} \). Рассмотрим \ (n \) — квадратная прямоугольная плитка шоколада. Разорвите полосу один раз вдоль любой строки или столбца. В результате получается две плитки шоколада, скажем, размеров \ (a \) и \ (b \ text {.} \), То есть у нас есть \ (a \) — квадратная прямоугольная плитка шоколада, a \ (b \) — квадратная прямоугольная плитка шоколада и \ (a + b = n \ text {.} \)

Мы также знаем, что \ (a \ lt n \) и \ (b \ lt n \ text {,} \), поэтому по нашей индуктивной гипотезе \ (P (a) \) и \ (P (b) \) верны. Чтобы уменьшить полосу \ (a \) — sqaure до отдельных квадратов, требуется \ (a-1 \) разрыв; чтобы уменьшить \ (b \) — квадратную полосу до отдельных квадратов, требуется \ (b-1 \) перерыв. В результате наша исходная полоса уменьшится до отдельных квадратов. Все вместе это взяло начальный перерыв, плюс перерывы \ (a-1 \) и \ (b-1 \), в общей сложности \ (1 + a-1 + b-1 = a + b-1 = n -1 \) ломается. Таким образом, \ (P (n) \) верно.

Следовательно, по сильной индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 2 \ text {.} \)

Вот более математически релевантный пример:

Пример2.5.5

Докажите, что любое натуральное число больше 1 либо простое, либо может быть записано как произведение простых чисел.

Решение

Во-первых, идея: если мы возьмем какое-то число \ (n \ text {,} \), возможно, оно будет простым. Если так, то все готово. Если нет, то оно составное, то есть произведение двух меньших чисел. Каждый из этих факторов меньше, чем \ (n \) (но не менее 2), поэтому мы можем повторить рассуждение с этими числами.Мы свели к меньшему случаю.

Теперь формальное доказательство:

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением: «\ (n \) либо простое, либо может быть записано как произведение простых чисел». Мы докажем, что \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 2 \ text {.} \)

Базовый случай: \ (P (2) \) верно, потому что \ (2 \) действительно простое число.

Индуктивный случай: предположим, что \ (P (k) \) истинно для всех \ (k \ lt n \ text {.} \). Мы хотим показать, что \ (P (n) \) истинно. То есть мы хотим показать, что \ (n \) либо простое число, либо произведение простых чисел.Если \ (n \) простое число, все готово. Если нет, то \ (n \) имеет более двух делителей, поэтому мы можем записать \ (n = m_1 \ cdot m_2 \ text {,} \) с \ (m_1 \) и \ (m_2 \) меньше \ ( п \) (и больше 1). По предположению индукции, \ (m_1 \) и \ (m_2 \) либо простые, либо могут быть записаны как произведение простых чисел. В любом случае \ (n \) записывается как произведение простых чисел.

Таким образом, по сильной индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 2 \ text {.} \)

Используете ли вы обычную индукцию или сильную индукцию, зависит от утверждения, которое вы хотите доказать.Если вы хотите быть в безопасности, вы всегда можете использовать сильную индукцию. Это действительно сильнее , поэтому может сделать все, что «слабая» индукция. Тем не менее, использовать регулярную индукцию часто проще, поскольку есть только одно место, где вы можете использовать гипотезу индукции. Также есть что сказать о elegance в пруфах. Если вы можете доказать утверждение, используя более простые инструменты, это будет хорошо.

В качестве последнего контраста между двумя формами индукции рассмотрим еще раз проблему штампа.Регулярная индукция работала, показывая, как увеличить почтовые расходы на один цент (либо заменяя три марки по 5 центов двумя марками по 8 центов, либо три марки по 8 центов на пять марок по 5 центов). Мы могли бы дать несколько иное доказательство, используя сильную индукцию. Во-первых, мы могли бы показать пять базовых случаев : можно получить 28, 29, 30, 31 и 32 цента (мы бы фактически сказали, как создается каждый из них). Теперь предположим, что можно сделать \ (k \) центов почтовых расходов для всех \ (k \ lt n \) до тех пор, пока \ (k \ ge 28 \ text {.2 \ amp \ text {по фактору}
\ end {выровнять *}

Таким образом, \ (P (k + 1) \) выполняется, поэтому по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 1 \ text {.} \)

4

Докажите, что \ (F_0 + F_2 + F_4 + \ cdots + F_ {2n} = F_ {2n + 1} — 1 \), где \ (F_n \) — это \ (n \) -е число Фибоначчи.

Решение

Доказательство

Пусть \ (P (n) \) будет выражением \ (F_0 + F_2 + F_4 + \ cdots + F_ {2n} = F_ {2n + 1} — 1 \ text {.} \). Мы покажем, что \ ( P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 0 \ text {.} \) Во-первых, базовый случай прост, потому что \ (F_0 = 0 \) и \ (F_1 = 1 \), поэтому \ (F_0 = F_1 — 1 \ text {.} \) Теперь рассмотрим индуктивный случай. Предположим, что \ (P (k) \) истинно, то есть предположим \ (F_0 + F_2 + F_4 + \ cdots + F_ {2k} = F_ {2k + 1} — 1 \ text {.} \), Чтобы установить \ (P (k + 1) \) работаем слева направо:

\ begin {align *}
F_0 + F_2 + \ cdots + F_ {2k} + F_ {2k + 2} ~ \ amp = F_ {2k + 1} — 1 + F_ {2k + 2} \ amp \ text {по инд. hyp.} \\
\ amp = F_ {2k + 1} + F_ {2k + 2} — 1 \ amp \\
\ amp = F_ {2k + 3} — 1 \ amp \ text {по рекурсивному определению}
\ end {выровнять *}

Следовательно, \ (F_0 + F_2 + F_4 + \ cdots + F_ {2k + 2} = F_ {2k + 3} — 1 \ text {,} \), то есть \ (P (k + 1) \) выполняется .{k + 1} \ lt (k + 1)! \), поэтому мы установили \ (P (k + 1) \ text {.} \) Таким образом, по принципу математической индукции \ (P (n) \) равно верно для всех \ (n \ ge 4 \ text {.} \)

6

Докажите математической индукцией, что \ (F_0 + F_1 + F_2 + \ cdots + F_ {n} = F_ {n + 2} — 1 \ text {,} \), где \ (F_n \) — это \ (n \) -е число Фибоначчи (\ (F_0 = 0 \ text {,} \) \ (F_1 = 1 \) и \ (F_n = F_ {n-1} + F_ {n-2} \)).

7

Зомби Эйлер и Зомби Коши, два известных математика-зомби, только что зарегистрировались в Твиттере.Через день у Зомби Коши больше последователей, чем у Зомби Эйлера. Каждый день после этого количество новых последователей Зомби Коши точно такое же, как количество новых последователей Зомби Эйлера (и ни один из них не теряет последователей). Объясните, как доказательство с помощью математической индукции может показать, что каждый день после первого дня у Зомби Коши будет больше последователей, чем у Зомби Эйлера. То есть объясните, что такое базовый случай и индуктивный случай, и почему они вместе доказывают, что у Зомби Коши будет больше последователей на 4-й день.2 = \ гидроразрыва {n (n + 1) (2n + 1)} {6}
\ end {уравнение *}

10

Что не так со следующим «доказательством» того «факта», что \ (n + 3 = n + 7 \) для всех значений \ (n \) (помимо, конечно, того, что оно претендует на доказательство, ложно )?

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением, что \ (n + 3 = n + 7 \ text {.} \). Мы докажем, что \ (P (n) \) истинно для всех \ (n \ in \ N \ text {.} \) Предположим для индукции, что \ (P (k) \) верно. То есть \ (k + 3 = k + 7 \ text {.} \) Мы должны показать, что \ (P (k + 1) \) истинно.Теперь, поскольку \ (k + 3 = k + 7 \ text {,} \) прибавьте 1 к обеим сторонам. Это дает \ (k + 3 + 1 = k + 7 + 1 \ text {.} \) Перегруппировка \ ((k + 1) + 3 = (k + 1) + 7 \ text {.} \) Но это просто \ (P (k + 1) \ text {.} \) Таким образом, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ in \ N \ text {.} \)

Решение

Единственная проблема в том, что мы никогда не устанавливали базовый вариант. Конечно, когда \ (n = 0 \ text {,} \) \ (0 + 3 \ ne 0 + 7 \ text {.} \)

11

Доказательство в предыдущей задаче не работает. Но если мы изменим «факт», мы сможем получить работающее доказательство.Докажите, что \ (n + 3 \ lt n + 7 \) для всех значений \ (n \ in \ N \ text {.} \). Это доказательство можно провести с помощью алгебры (без индукции), но цель этого упражнения состоит в том, чтобы выписать верное индукционное доказательство.

Решение

Доказательство

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением, что \ (n + 3 \ lt n + 7 \ text {.} \) Мы докажем, что \ (P (n) \) истинно для всех \ (n \ in \ N \ text {.} \) Во-первых, обратите внимание, что выполняется базовый случай: \ (0 + 3 \ lt 0 + 7 \ text {.} \) Теперь предположим для индукции, что \ (P (k) \) правда. То есть \ (k + 3 \ lt k + 7 \ text {.} \) Мы должны показать, что \ (P (k + 1) \) истинно. Теперь, поскольку \ (k + 3 \ lt k + 7 \ text {,} \) прибавляем 1 к обеим сторонам. Это дает \ (k + 3 + 1 \ lt k + 7 + 1 \ text {.} \) Перегруппировка \ ((k + 1) + 3 \ lt (k + 1) + 7 \ text {.} \) Но это просто \ (P (k + 1) \ text {.} \) Таким образом, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ in \ N \ text {.} \ )

12

Найдите изъян в следующем «доказательстве» того «факта», что \ (n \ lt 100 \) для каждого \ (n \ in \ N \ text {.} \)

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет выражением \ (n \ lt 100 \ text {.} \) Мы докажем, что \ (P (n) \) истинно для всех \ (n \ in \ N \ text {.} \) Сначала мы установим базовый случай: когда \ (n = 0 \ text {,} \) \ (P (n) \) истинно, потому что \ (0 \ lt 100 \ text {.} \) Теперь для индуктивного шага предположим, что \ (P (k) \) истинно. То есть \ (k \ lt 100 \ text {.} \) Теперь, если \ (k \ lt 100 \ text {,} \), то \ (k \) — какое-то число, например 80. Конечно \ (80+ 1 = 81 \), что по-прежнему меньше 100. Итак, \ (k +1 \ lt 100 \) тоже. Но это то, что утверждает \ (P (k + 1) \), поэтому мы показали, что \ (P (k) \ imp P (k + 1) \ text {.} \) Таким образом, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ in \ N \ text {.} \)

Решение

Проблема здесь в том, что пока \ (P (0) \) истинно, а пока \ (P (k) \ imp P (k + 1) \) для , некоторые значений \ (k \ text {, } \) существует по крайней мере одно значение \ (k \) (а именно \ (k = 99 \)), когда эта импликация не выполняется. Для правильного доказательства по индукции \ (P (k) \ imp P (k + 1) \) должно быть истинным для всех значений \ (k \), больших или равных базовому случаю.

13

Хотя приведенное выше доказательство не работает (лучше, поскольку утверждение, которое оно пытается доказать, ложно!), Мы можем доказать нечто подобное.Докажите, что существует строго возрастающая последовательность \ (a_1, a_2, a_3, \ ldots \) ​​чисел (не обязательно целых) такая, что \ (a_n \ lt 100 \) для всех \ (n \ in \ N \ text {. } \) (Под строго увеличивающимся мы подразумеваем \ (a_n \ lt a_ {n + 1} \) для всех \ (n \ text {.} \), Поэтому каждый член должен быть больше предыдущего.)

Решение

Доказательство

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением «существует строго возрастающая последовательность \ (a_1, a_2, \ ldots, a_n \) с \ (a_n \ lt 100 \ text {.} \)». Мы докажем \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 1 \ text {.} \) Сначала мы устанавливаем базовый случай: \ (P (1) \) говорит, что существует единственное число \ (a_1 \) с \ (a_1 \ lt 100 \ text {.} \) Это правда — возьмите \ ( a_1 = 0 \ text {.} \) Теперь для индуктивного шага предположим, что \ (P (k) \) истинно. То есть существует строго возрастающая последовательность \ (a_1, a_2, a_3, \ ldots, a_k \) с \ (a_k \ lt 100 \ text {.} \). Теперь рассмотрим эту последовательность плюс еще один член \ (a_ { k + 1} \), которое больше \ (a_k \), но меньше \ (100 \ text {.} \) Такое число существует, например, среднее между \ (a_k \) и 100.2 + n \) четно ».

16

Докажите, что существует последовательность положительных действительных чисел \ (a_0, a_1, a_2, \ ldots \) ​​такая, что частичная сумма \ (a_0 + a_1 + a_2 + \ cdots + a_n \) строго меньше, чем \ (2 \ ) для всех \ (n \ in \ N \ text {.} \) Подсказка: подумайте, как вы можете определить, что такое \ (a_ {k + 1} \), чтобы аргумент индукции работал.

Решение

Идея состоит в том, чтобы определить последовательность так, чтобы \ (a_n \) было меньше расстояния между предыдущей частичной суммой и 2. Таким образом, когда вы добавляете ее в следующую частичную сумму, частичная сумма все равно меньше 2.Вы можете сделать это заранее или использовать умный \ (P (n) \) в доказательстве индукции.

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением: «существует последовательность положительных действительных чисел \ (a_0, a_1, a_2, \ ldots, a_n \) такая, что \ (a_0 + a_1 + a_2 + \ cdots + a_n \ lt 2 \ text {.} \) ”

Базовый случай: выберите любой \ (a_0 \ lt 2 \ text {.} \)

Индуктивный случай: Предположим, что \ (a_1 + a_2 + \ cdots + a_k \ lt 2 \ text {.} \) Теперь пусть \ (a_ {k + 1} = \ frac {2- a_1 + a_2 + \ cdots + a_k } {2} \ text {.} \) Затем \ (a_1 + a_2 + \ cdots + a_k + a_ {k + 1} \ lt 2 \ text {.} \)

Следовательно, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ in \ N \)

17

Докажите, что каждое положительное целое число является степенью двойки или может быть записано как сумма различных степеней 2.

Решение

Доказательство проводится с помощью сильной индукции.

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением «\ (n \) является либо степенью двойки, либо может быть записано как сумма различных степеней двойки». Мы покажем, что \ (P (n) \) истинно для всех \ (n \ ge 1 \ text {.x \) мы записали \ (n \) как сумму различных степеней 2.

Следовательно, по принципу (сильной) математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 1 \ text {.} \)

18

Докажите, используя сильную индукцию, что каждое натуральное число является либо числом Фибоначчи, либо может быть записано как сумма различных чисел Фибоначчи .

19

Используйте индукцию, чтобы доказать, что если \ (n \) люди пожимают друг другу руки, общее количество рукопожатий равно \ (\ frac {n (n-1)} {2} \ text {.} \)

Решение

Обратите внимание: мы уже доказали это без использования индукции, но индуктивное рассмотрение проливает свет на проблему (и это весело).

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением «когда \ (n \) люди пожимают друг другу руки, в общей сложности происходит \ (\ frac {n (n-1)} {2} \) рукопожатий. . »

Базовый случай: Когда \ (n = 2 \ text {,} \) будет одно рукопожатие, и \ (\ frac {2 (2-1)} {2} = 1 \ text {.} \) Таким образом \ (P (2) \) верно.

Индуктивный случай: Предположим, что \ (P (k) \) верно для произвольного \ (k \ ge 2 \) (что количество рукопожатий среди \ (k \) людей равно \ (\ frac {k (k-1) } {2} \ text {.} \) Что произойдет, если появится \ (k + 1 \) -й человек? Сколько происходит новых рукопожатий? Новый человек должен обменяться рукопожатием со всеми присутствующими, то есть \ (k \) новых рукопожатий. Таким образом, общая сумма теперь равна \ (\ frac {k (k-1)} {2} + k = \ frac {(k + 1) k} {2} \ text {,} \) по мере необходимости.

Следовательно, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 2 \ text {.} \)

20

Предположим, что конкретное действительное число \ (x \) обладает тем свойством, что \ (x + \ frac {1} {x} \) является целым числом.к) + \ журнал (а) = к \ журнал (а) + \ журнал (а)
\ end {уравнение *}

с последним равенством по индуктивной гипотезе. Но это упрощается до \ ((k + 1) \ log (a) \ text {,} \), устанавливающего \ (P (k + 1) \ text {.} \) Следовательно, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 2 \ text {.} \)

24

Пусть \ (f_1, f_2, \ ldots, f_n \) — дифференцируемые функции. Докажите с помощью индукции, что

\ begin {уравнение *}
(f_1 + f_2 + \ cdots + f_n) ‘= f_1’ + f_2 ‘+ \ cdots + f_n’
\ end {уравнение *}

Вы можете принять \ ((f + g) ‘= f’ + g ‘\) для любых дифференцируемых функций \ (f \) и \ (g \ text {.} \)

Подсказка

Вы можете принять базовый вариант. Для индуктивного случая сгруппируйте все функции, кроме последней, как одну сумму функций, затем примените обычное правило суммы производных, а затем индуктивную гипотезу.

25

Предположим, что \ (f_1, f_2, \ ldots, f_n \) — дифференцируемые функции. Используйте математическую индукцию, чтобы доказать обобщенное правило произведения:

\ begin {уравнение *}
(f_1 f_2 f_3 \ cdots f_n) ‘= f_1’ f_2 f_3 \ cdots f_n + f_1 f_2 ‘f_3 \ cdots f_n + f_1 f_2 f_3’ \ cdots f_n + \ cdots + f_1 f_2 f_3 \ cdots f_n ‘
\ end {уравнение *}

Вы можете предположить, что правило продукта для двух функций верно.

Подсказка

Для индуктивного шага мы знаем по правилу произведения для двух функций, что

\ begin {уравнение *}
(f_1f_2f_3 \ cdots f_k f_ {k + 1}) ‘= (f_1f_2f_3 \ cdots f_k)’ f_ {k + 1} + (f_1f_2f_3 \ cdots f_k) f_ {k + 1} ‘
\ end {уравнение *}

Затем используйте индуктивную гипотезу о первом слагаемом и распределите.

индукционный — γγλοελληνικό Λεξικό WordReference.com

индукционная печь — Add Furnace Co., ООО

индукционный
печь в основном используется для изготовления
стали и состоят из таких устройств, как огнеупорной футеровкой емкости и
электроды. электроды обычно круглого сечения и входят в
сегменты с резьбовыми соединениями, так что по мере износа электродов новые
сегменты могут быть добавлены. дуга образуется между заряженным материалом и
электрод. образованный таким образом заряд нагревается как за счет прохождения тока
через заряд и лучистую энергию, выделяемую дугой.

Этот тип печи широко используется в новейших литейных цехах.
особенно чугун, где теперь муфты заменены индукционными печами, чтобы
плавить чугун.использование муфт приводит к выбросу большого количества
пыль и другие загрязняющие вещества, но использование индукционной печи сведено к минимуму
эта проблема в большей степени. печь индукционного нагрева входит в
различные размеры и конфигурации. однако у индукционной печи есть своя
ограничение. индукционный процесс, используемый в литейных цехах, не требует очистки
вместимость. шихтовые материалы должны быть чистыми от продуктов окисления и
известный состав, и некоторые легирующие элементы могут быть потеряны из-за
окисление (и необходимо повторно добавить в расплав).

индукционная печь производительность от менее одного килограмма до одного
емкостью 100 тонн, и используются для плавки чугуна и стали, меди,
алюминий и драгоценные металлы. один главный недостаток индукции
использование печи в литейном цехе — недостаток рафинировочной мощности; плата
материалы должны быть чистыми от продуктов окисления и известных
состав, а некоторые легирующие элементы могут быть потеряны из-за окисления
(и его необходимо снова добавить в расплав).

Частота работы индукционной печи также различается. обычно это
зависит от плавящегося материала, мощности печи и
требуется скорость плавления. высокочастотная печь обычно быстрее
плавить заряд, тогда как более низкие частоты создают большую турбулентность в
металл, уменьшая мощность, которую можно приложить к расплаву.

при работе индукционной печи издает гул или воет (из-за
магнитострикция), шаг которой может использоваться операторами для
определить, правильно ли работает печь или на какой мощности
уровень.

характеристики
следующие характеристики индукционной печи:

• наивысшая химическая стойкость.
• наименьшие потери сплава.
• обеспечивает высочайшее качество металла по содержанию примесей.
• высокая огнеупорность.
• доступны в различных размерах.
• бывает разной мощности.

приложений
эти печи предназначены для различных приложений.для приложений
такие как отверждение клея и сушка краски, детали просто вставляются
в камеру нагрева, и печь активируется. Ниже приведены
применение индукционной печи:

• отверждение
• сушка
• медь
• пайка
• пайка
• плавка
• нержавеющая сталь
• отливки чугунные
• литейных

примечание: gwt-1t, gwt-1.