Принцип работы пид регулятор: что это такое, регулирование температуры ПИД регулятором

что это такое, регулирование температуры ПИД регулятором

Дифференциальный пропорционально-интегральный регулятор — устройство, которое устанавливают в автоматизированных системах для поддержания заданного параметра, способного к изменениям.

На первый взгляд все запутанно, но можно объяснить ПИД регулирование и для чайников, т.е. людей, не совсем знакомых с электронными системами и приборами.

Что такое ПИД регулятор?

ПИД регулятор — прибор, встроенный в управляющий контур, с обязательной обратной связью. Он предназначен для поддержания установленных уровней задаваемых величин, например, температуры воздуха.

Устройство подает управляющий или выходной сигнал на устройство регулирования, на основании полученных данных от датчиков или сенсоров. Контроллеры обладают высокими показателями точности переходных процессов и качеством выполнения поставленной задачи.

Три коэффициента ПИД регулятора и принцип работы

Работа ПИД-регулятора заключается в подаче выходного сигнала о силе мощности, необходимой для поддержания регулируемого параметра на заданном уровне. Для вычисления показателя используют сложную математическую формулу, в составе которой есть 3 коэффициента — пропорциональный, интегральный, дифференциальный.

Возьмем в качестве объекта регулирования ёмкость с водой, в которой необходимо поддерживать температуру на заданном уровне с помощью регулирования степени открытия клапана с паром.

Пропорциональная составляющая появляется в момент рассогласования с вводными данными. Простыми словами это звучит так — берется разница между фактической температурой и желаемой, умножается на настраиваемый коэффициент и получается выходной сигнал, который должен подаваться на клапан. Т.е. как только градусы упали, запускается процесс нагрева, поднялись выше желаемой отметки — происходит выключение или даже охлаждение.

Дальше вступает интегральная составляющая, которая предназначена для того, чтобы компенсировать воздействие окружающей среды или других возмущающих воздействий на поддержание нашей температуры на заданном уровне. Поскольку всегда присутствуют дополнительные факторы, влияющие на управляемые приборы, в момент поступления данных для вычисления пропорциональной составляющей, цифра уже меняется. И чем больше внешнее воздействие, тем сильнее происходят колебания показателя. Происходят скачки подаваемой мощности.

Интегральная составляющая пытается на основе прошлых значений температуры, вернуть её значение, если оно поменялось. Подробнее процесс описан в видео ниже.

А дальше выходной сигнал регулятора, согласно коэффициенту, подается для повышения или понижения температуры. Со временем подбирается та величина, которая компенсирует внешние факторы, и скачки исчезают.

Интеграл используется для исключения ошибок путем расчета статической погрешности. Главное в этом процессе — подобрать правильный коэффициент, иначе ошибка (рассогласование) будет влиять и на интегральную составляющую.

Третий компонент ПИД — дифференцирующий. Он предназначен для компенсации влияния задержек, возникающих между воздействием на систему и обратной реакцией. Пропорциональный регулятор подает мощность до тех пор, пока температура не достигнет нужной отметки, но при прохождении информации к прибору, особенно при больших значениях, ошибки всегда возникают. Это может привести к перегреву. Дифференциал прогнозирует отклонения, вызванные задержками или воздействием внешней среды, и снижает подаваемую мощность заранее.

Настройка ПИД регулятора

Настройка ПИД-регулятора осуществляется 2 методами:

1. Синтез подразумевает вычисление параметров на основании модели системы. Такая настройка получается точной, но требует глубоких познаний теории автоматического управления. Она подвластна только инженерам и ученым. Так как необходимо снимать расходные характеристики и производить кучу расчетов.
2. Ручной способ основывается на методе проб и ошибок. Для этого за основу берутся данные уже готовой системы, вносятся некоторые коррективы в один или несколько коэффициентов регулятора. После включения и наблюдений за конечным результатом проводится изменение параметров в нужном направлении. И так до тех пор, пока не будет достигнут нужный уровень работоспособности.

Теоретический метод анализа и настройки на практике применяются крайне редко, что связано с незнанием характеристик объекта управления и кучей возможных возмущающих воздействий. Более распространены экспериментальные методы на основе наблюдения за системой.

Современные автоматизированные процессы реализуются как специализированные модули под управлением программ для настройки коэффициентов регулятора.

Назначение ПИД регулятора

ПИД регулятор предназначен для поддержания на требуемом уровне некой величины — температуры, давления, уровня в резервуаре, расхода в трубопроводе, концентрации чего-либо и т.д., изменением управляющего воздействия на исполнительные механизмы, такие как автоматические регулирующие клапана, используя для этого пропорциональную, интегрирующую, дифференцирующую величины для своей настройки.

Целью использования является получение точного управляющего сигнала, который способен контролировать большие производства и даже реакторы электростанций.

Пример схемы регулирования температуры

Часто ПИД регуляторы используются при регулировке температуры, давайте на простом примере подогрева воды в ёмкости рассмотрим данный автоматический процесс.

В емкости налита жидкость, которую нужно подогреть до нужной температуры и поддерживать её на заданном уровне. Внутри бака установлен датчик измерения температуры — термопара или термометр сопротивления и напрямую связан с ПИД-регулятором.

Для подогрева жидкости будем подавать пар, как показано ниже на рисунке, с клапаном автоматического регулирования. Сам клапан получает сигнал от регулятора. Оператор вводит значение температурной уставки в ПИД-регуляторе, которую необходимо поддерживать в ёмкости.

Если настройки коэффициентов регулятора неверны, будут происходить скачки температуры воды, при этом клапан будет то полностью открыт, то полностью закрыт. В этом случае необходимо рассчитать коэффициенты ПИД регулятора и ввести их заново. Если все сделано правильно, через небольшой промежуток времени система выровняет процесс и температура в ёмкости будет поддерживаться на заданной отметке, при этом степень открытия регулирующего клапана будет находиться в среднем положении.

ПИД регулятор | КИПиА Портал

Автоматическое регулирование – это автоматическое обеспечение заданных значений параметров, определяющих требуемое протекание управляемого процесса в соответствии с установленной программой.
Параметры управляемого процесса, подлежащие заданным изменениям или стабилизации — называют регулируемыми параметрами.
Устройство, обеспечивающее автоматическое поддержание заданного значения — регулируемого параметра в управляемом объекте или его изменения по определенному закону, называют регулятором.
Всякий технологический процесс характеризуется определенными физическими величинами. Для обеспечения требуемого режима работы эти величины необходимо поддерживать постоянными или изменять по тому или иному закону.
Физические величины, определяющие ход технологического процесса — называются параметрами технологического процесса.
Так параметрами технологического процесса могут быть давление, температура, уровень жидкости, концентрация вещества, расход вещества или энергии, скорость изменения какой-либо величины и т.п.
Параметр технологического процесса, который необходимо поддерживать постоянным или изменять по определенному закону — называется регулируемой величиной или регулируемым параметром.
Аппарат, машина, агрегат или процесс в котором регулируются те или иные параметры технологического процесса — называются объектом регулирования или регулируемым объектом.
Значение регулируемой величины, которое оператор стремится получить в установившемся режиме от находящейся в равновесии системы регулирования при заранее заданных режимах ее работы — называется заданным значением.
Значение же регулируемой величины в рассматриваемый момент времени — называется ее мгновенным или истинным значением.

Регулятор, как часть системы автоматического регулирования САР

Рисунок 1.

Задатчик — устройство, предназначенное для задания значения регулируемой величины.
Чувствительный элемент (датчик) – устройство, реагирующее на изменение регулируемой величины и предназначенное для преобразования значения регулируемого параметра (температура, давление, расход, уровень) в сигнал понятный регулятору (ток, напряжение, пневмосигнал линейное перемещение).
Регулирующий орган – устройство, с помощью которого регулятор может влиять на изменение величины регулируемого параметра (клапана, шибера, пускатели, реле и т.п.). Регулирующий орган изменяет количество вещества или энергии, подводимых к объекту или отводимых от него
Внешние возмущающие воздействие — это внешние воздействия на систему, т.е. причины, вызывающие отклонения регулируемой величины от заданного значения.

Примеры внешних возмущающих воздействий:

Расход продукта в трубе (F) зависит от разности давлений P1 и P2. Если изменится хотя бы одно давление, то изменится и расход.

При смешении продуктов температура t зависит от температур t1 и t2 и количества Q1 и Q2 смешиваемых продуктов. При изменении одного из этих параметров приведет к изменению температуры продукта t.
На регулятор приходит два сигнала: заданное значение (от задатчика) и истинное значение (от датчика) регулируемого параметра. Разность этих сигналов называется рассогласованием или отклонением (ε). Регулятор определяет величину рассогласования и в соответствии с заложенным в него алгоритмом (см. Алгоритмы работы регуляторов) вырабатывает управляющее воздействие на регулирующий орган. Регулирующий орган влияет на значение регулируемого параметра (приоткрывая или прикрывая регулирующий клапан, увеличивает или уменьшает значение регулируемого параметра). Кроме этого на значение регулируемого параметра влияют также внешние возмущающие воздействия. Очевидно, необходимость в регулировании возникает вследствие появления внешних возмущающих воздействий, так как при их отсутствии регулируемая величина не изменялась бы.
Следовательно, задача регулирования сводится к устранению отклонения регулируемой величины от требуемого значения при любых внешних возмущениях.

Алгоритмы работы регуляторов

Алгоритм работы любого регулятора может быть основан на законах регулирования:
— пропорциональный (П)
— интегральный (И)
— пропорционально — интегральный (ПИ)
— пропорционально — дифференциальный (ПД)
— пропорционально – интегрально – дифференциальный (ПИД)

Пропорциональные регуляторы (П-регуляторы) воздействуют на регулирующий орган пропорционально отклонению регулируемой величины от заданного значения

y=kx,

где y – управляющее воздействие регулятора; x – регулируемая величина; k – коэффициент пропорциональности (передачи).

Интегральные регуляторы (И-регуляторы) воздействуют на регулирующий орган пропорционально интегралу от отклонения регулируемой величины

где kp, — коэффициент передачи регулятора по скорости.
В И-регуляторе скорость перемещения исполнительного механизма (скорость воздействия на регулирующий орган) пропорциональна отклонению регулируемой величины.
Коэффициент передачи регулятора kp численно равен скорости перемещения исполнительного механизма при отклонении регулируемой величины на единицу ее измерения.
Так как интегральный регулятор может иметь два органа настройки (например, скорости перемещения собственно интегрирующего исполнительного механизма и коэффициента механической передачи между исполнительным механизмом и регулирующим органом), то уравнение закона регулирования интегрального регулятора запишется также в виде

Величина k называется коэффициентом пропорциональности, Ти постоянная времени интегрирования.

Пропорционально – интегральный регулятор (ПИ – регулятор) представляет собой совокупность пропорционального и интегрального регуляторов

Постоянная времени Ти определяет величину составляющей регулирующего воздействия, пропорциональной интегралу от отклонения регулируемой величины x , и численно равна времени удвоения регулятора kx0, т.е. времени, в течении которого первоначальное значение выходной величины регулятора равное , удваивается в следствии действия одной только его интегральной части (рисунок 2)

Скорость перемещения исполнительного механизма в ПИ – регуляторе пропорциональна как скорости изменения регулируемой величины, так и самому изменению регулируемой величины.
Если при настройке ПИ – регулятора установить очень большую величину постоянной времени Ти, то он превратится в П – регулятор.
Если при настройке регулятора установить очень малые значения k и Ти, но при этом так, чтобы их отношение k/Ти имело существенную величину, получим И – регулятор с коэффициентом передачи по скорости k/Ти .
Закон регулирования ПИ – регулятора представлен на рисунке 2.
Параметрами настройки ПИ – регулятора являются коэффициент пропорциональности k и постоянная времени интегрирования Ти.

Пропорционально – дифференциальные регуляторы (ПД — регуляторы) оказывают воздействие на регулирующий орган пропорционально отклонению регулируемой величины и скорости ее отклонения

Постоянная времени Тд называется постоянной времени дифференцирования. Она определяет величину составляющей регулирующего воздействия по скорости.

Пропорционально – интегрально – дифференциальные регуляторы (ПИД – регуляторы) воздействуют на регулирующий орган пропорционально отклонению x регулируемой величины, интегралу этого отклонения и скорости изменения регулируемой величины

При скачкообразном изменении регулируемой величины идеальный ПИД – регулятор в начальный момент времени оказывает мгновенное бесконечно большое воздействие на регулирующий орган; затем величина воздействия мгновенно падает до значения, определяемого пропорциональной частью регулятора, после чего, как и в ПИ – регуляторе, постепенно начинает оказывать свое влияние интегральная составляющая регулятора.

Параметрами настройки регулятора являются:
коэффициент пропорциональности регулятора k,
постоянная времени интегрирования Ти,
постоянная времени дифференцирования Тд.

Этот регулятор по возможности настройки является более универсальным по сравнению с другими регуляторами. С его помощью можно осуществлять различные законы регулирования.
Так при Тд=0 и бесконечно большой величине Ти , получаем П – регулятор. При Тд=0, устанавливая достаточно малые значения k и Ти , но так, чтобы отношение значения k /Ти имело существенную величину, получаем И – регулятор. Так при Тд=0 и конечных значениях k и Ти имеем ПИ – регулятор. При бесконечно большой величине Ти и конечных значениях k иТд получаем ПД – регулятор.

Приборы — регуляторы

Регуляторы по роду используемого сигнала бывают механическими, пневматическими, гидравлическими, электронными.

Механические регуляторы

В механических регуляторах схемы выполнены на рычагах, пружинах и т.п. В большинстве случаев механический регулятор содержит помимо схемы регулятора еще и датчик, и регулирующий орган. Механические регуляторы являются специализированными – предназначены для регулирования только определенного технологического параметра. Так, например регулятором давления нельзя регулировать расход. Механические регуляторы не имеют информационных выходных каналов, поэтому результаты их работы нельзя вывести на компьютер оператора.
Преимущества механических регуляторов
Механические регуляторы не требуют настройки. Механические регуляторы просты в использовании, необходимо только задать необходимое значение технологического параметра, с помощью задатчика (рычажка, вращающейся рукоятки и т.п.). Механические регуляторы достаточно надежны в эксплуатации.

Пневматические регуляторы

В пневматических регуляторах схемы сделаны из мембран, сильфонов и пневматических элементов логики (УСЭППА). Носителем сигнала в пневматических регуляторах является давление воздуха от 0,2 до 1 кгс/см2 . Конструктивно пневматический регулятор представляет из себя устройство имеющее входы для подключения датчика и выход для подключения регулирующего органа. Эти регуляторы так же, как и механические, не имеют информационных выходных каналов и результаты их работы нельзя вывести на компьютер оператора.
Гидравлические регуляторы
Гидравлические регуляторы по принципу работы идентичны пневматическим, только в качестве сигнала используется давление жидкости.

Электронные регуляторы

Электронный регулятор представляют собой законченное устройство, выполненное на полупроводниковых элементах. Информация в электронном регуляторе представлена в виде ого электрического сигнала (тока или напряжения). Поэтому стало возможным вынести из электронного регулятора датчик и регулирующий орган, а в корпусе регулятора оставить только схемы регулирования. Кроме того в большинстве случаев сигналы от датчика к регулятору и от регулятора к исполнительному органу являются унифицированными (0 — 5 мА, 0 — 20 мА, 4 — 20 мА). Исходя из этого к электронным регуляторам можно подключать датчики, измеряющие разные технологические параметры и имеющие разные шкалы. Кроме этого к электронным регуляторам можно подключать регулирующие органы, имеющие разное конструктивное исполнение. Это делает электронные регулятор более универсальными в отличии от механических. В настоящее время электронные регуляторы оснащены информационными каналами, с помощью которых можно отслеживать их работу с помощью компьютера оператора.
Электронные регуляторы могут быть реализованы двумя способами:
— реализующие алгоритм управления схемотехническим путем (схемные)
— реализующие алгоритм управления программным путем (программные)

Алгоритм регулирования схемных регуляторов закладывается в них при создании на заводе и не может быть изменен в ходе эксплуатации.

С методикой настройки регуляторов вы можете ознакомиться здесь и здесь

Что такое ПИД терморегулятор и его отличия от двухпозиционного терморегулятора

07.02.2017

В настоящее время при необходимости автоматизации процессов нагрева, охлаждения, или поддержания заданной температуры трудно обойтись без терморегулятора. Например, вы хотите установить тёплый пол, или вы собрались построить свой собственный инкубатор, вы без всякого сомнения столкнетесь с выбором терморегулятора. Эта статья описывает основные типы терморегуляторов и их различия.

Принцип работы двухпозиционного терморегулятора.

Терморегуляторы используют для поддержания заданной температуры, исходя из этого можно выделить 2 типа работы терморегулятора — нагрев и охлаждение, рассмотрим подробней на простом примере. Например, у нас есть небольшой ящик, внутри которого нам необходимо поддерживать заданную температуру, скажем 35°C при начальной температуре 25°C. Нам понадобится: терморегулятор, датчик температуры, нагреватель. Для начала убедимся в том, что терморегулятор работает в нужном нам режиме, в данном случае — нагрев. Поместим датчик температуры в наш ящик, и подключим нагрузку — нагреватель. Включаем терморегулятор, выставляем нужную нам температуру и гистерезис. Будем наблюдать следующее:

На данном графике видно, как изменяется температура при регулировании. После преодоления отметки в 35°C терморегулятор выключает нагреватель, но он всё ещё горячий и продолжает нагревать ящик. В результате этого температура поднимается до 38°C, затем плавно снижается до установленной температуры и величину гистерезиса, в нашем случае до 34.5°C. Далее цикл повторяется, включается нагреватель, температура поднимается и колебания продолжаться в небольшом пределе. На этом простом примере продемонстрирована работа обычного двухпозиционного терморегулятора.

Принцип работы ПИД терморегулятора.

Проделаем тот же эксперимент с ПИД терморегулятором:

Можно заметить, что колебания температуры на втором цикле нагрева-охлаждения (18мин), значительно меньше, чем при использовании двухпозиционного терморегулятора. Это связанно с тем, что ПИД регулятор с помощью обратной связи и алгоритмов прогнозирования может за несколько циклов нагрева – охлаждения подстроиться таким образом, чтобы вовремя включать-выключать нагрузку (нагреватель), в результате обеспечивая минимальные отклонения температуры от заданной. На графике видно, как после второго цикла нагрева — охлаждения температура установилась в заданном значении.

Подведём итоги.

Каждый из представленных типов терморегуляторов выполняет свою задачу, если у вас есть необходимость в поддержании температуры в очень узких пределах, то вам стоит остановиться на выборе ПИД терморегулятора, если же точность поддержания температуры для ваших целей не столь важна, можно выбрать двухпозиционный терморегулятор, который стоит значительно дешевле ПИД терморегулятора.

ПИ регулятор принцип работы — Electrik-Ufa.ru

Принцип работы ПИД-регулятора для начинающих

Как следует из названия, в этой статье мы дадим точное представление о структуре и работе ПИД-контроллера. Однако сначала, давайте познакомимся с ПИД-контроллерами.

ПИД-регуляторы находятся в широком диапазоне применений для управления промышленными процессами. Приблизительно 95% операций с замкнутым контуром в промышленной автоматизации используют ПИД-регуляторы. PID обозначает Пропорционально-интегральная-диференциальная составляющая. Эти три контроллера объединены таким образом, что он создает управляющий сигнал.

В качестве контроллера обратной связи он обеспечивает выход управления на желаемых уровнях. ПИД-регулирование осуществлялось с помощью аналоговых электронных компонентов, перед изобретением микропроцессоров. Но сегодня все ПИД-контроллеры обрабатываются микропроцессорами. ПрограммируемыеПрограммируемые логические контроллеры также имеют встроенные настройки ПИД-регулятора. Благодаря гибкости и надежности ПИД-регуляторов, они традиционно используются в системах управления технологическим процессом.

Работа ПИД-регулятора

При использовании недорогого простого контроллера возможны только два состояния управления, например, полностью ВКЛ или полностью ВЫКЛ. Он используется для настроек с ограничением контроля, в котором эти два состояния управления достаточно для целей управления. Однако характер этого контроля ограничивает его использование и, следовательно, заменяется ПИД-контроллерами.

ПИД-регулятор поддерживает выход таким образом, что между переменной процесса и заданной точкой / желаемым выходом с помощью операций замкнутого контура имеется нулевая ошибка. ПИД использует три основных поведения управления, которые объясняются ниже.

П-контроллер:

Пропорциональный или П-регулятор дает выход, который пропорционален текущей ошибке e (t). Он сравнивает желаемую или заданную точку с фактическим значением или значением процесса обратной связи. Полученная ошибка умножается на пропорциональную константу, чтобы получить выход. Если значение ошибки равно нулю, то выход этого контроллера равен нулю.

Этот контроллер требует смещения или ручной сброс при использовании отдельно. Это происходит потому, что он никогда не достигает состояния устойчивого состояния. Он обеспечивает стабильную работу, но всегда поддерживает постоянную ошибку. Скорость реакции возрастает при увеличении пропорциональной константы Kр.

И-контроллер

Из-за ограничения П-контроллера, где всегда существует смещение между переменной процесса и заданным значением, необходим И-контроллер, который обеспечивает необходимые действия для устранения ошибки установившегося состояния. Он интегрирует ошибку в течение периода времени, пока значение ошибки не достигнет нуля. Он содержит значение для конечного устройства управления, при котором ошибка становится равной нулю.

Интегральное управление уменьшает его выход, когда происходит отрицательная ошибка. Он ограничивает скорость реакции и влияет на стабильность системы. Скорость реакции увеличивается за счет уменьшения интегрального усиления Ki.

На приведенном выше рисунке, когда коэффициент усиления И-контроллера уменьшается, ошибка установившегося режима также продолжает уменьшаться. В большинстве случаев контроллер ПИ используется, в частности, когда требуется высокая скорость ответа.

При использовании ПИ-регулятора выход И-контроллера ограничен некоторым диапазоном для преодоления интегральных условий, когда интегральный выход растет даже при нулевом состоянии ошибки из-за нелинейности на установке.

Д-контроллер

И-контроллер не может предсказать будущее поведение ошибки. Поэтому он реагирует нормально после изменения заданного значения. Д-контроллер преодолевает эту проблему, ожидая будущего поведения ошибки. Его выход зависит от скорости изменения погрешности за время, умноженное на постоянную производной. Это дает начало запуска для выхода, тем самым увеличивая системный отклик.

На приведенном выше рисунке ответ контроллера Д больше, по сравнению с контроллером ПИ, а также время установления выходного сигнала уменьшается. Это улучшает стабильность системы за счет компенсации фазового запаздывания, вызванного И-контроллером. Увеличение производного усиления увеличивает скорость реакции..

Итак, наконец, мы заметили, что, объединив эти три контроллера, мы получим желаемый ответ для системы. Различные производители разрабатывают различные алгоритмы ПИД.

Методы настройки ПИД-регулятора

Перед началом работы ПИД-регулятора он должен быть настроен на динамику контролируемого процесса. Дизайнеры дают значения по умолчанию для параметров П, И, Д, и эти значения не могут дать желаемую производительность, а иногда приводят к нестабильности и медленным характеристикам управления. Разработаны различные методы настройки для настройки ПИД-регуляторов и требуют от оператора большого внимания для выбора наилучших значений пропорциональных, интегральных и диференциальных коэффициентов. Некоторые из них приведены ниже.

Метод проб и ошибок: это простой способ настройки ПИД-регулятора. Пока система или контроллер работают, мы можем настроить контроллер. В этом методе сначала нужно установить значения Ki и Kd в нуль и увеличить пропорциональный коэффициент (Kp), пока система не достигнет колебательного поведения. Как только он осциллирует, отрегулируйте Ki (интегральный термин), чтобы колебания остановились и, наконец, отрегулировали Д, чтобы получить быстрый отклик.

Технологическая кривая технологического процесса: это метод настройки с открытым циклом. Он производит ответ, когда к системе применяется шаг ввода. Первоначально мы должны вручную вводить некоторые данные управления в систему и записывать кривую ответа.

После этого нам нужно рассчитать наклон, неподвижное время, время нарастания кривой и, наконец, подставить эти значения в уравнениях П, И и Д, чтобы получить значения коэффициента усиления ПИД.

Метод Zeigler-Nichols: Zeigler-Nichols предложил методы замкнутого контура для настройки ПИД-регулятора. Это метод непрерывного циклирования и метод демпфирования колебаний. Процедуры для обоих методов одинаковы, но поведение колебаний различно. При этом сначала нужно установить постоянную p-контроллера, Kp на определенное значение, а значения Ki и Kd равны нулю. Пропорциональный коэффициент усиления увеличивается до тех пор, пока система не будет колебаться с постоянной амплитудой.

Усиление, при котором система производит постоянные колебания, называется конечным усилением (Ku), а период колебаний называется предельным периодом (Pc). Как только это достигнуто, мы можем ввести значения P, I и D в ПИД-контроллере по таблице Zeigler-Nichols, зависит от контроллера, используемого как P, PI или PID, как показано ниже.

Структура ПИД-регулятора

ПИД-регулятор состоит из трех членов, а именно пропорционального, интегрального и диференциального. Объединенная работа этих трех контроллеров дает стратегию управления процессом контроля. ПИД-регулятор управляет переменными процесса, такими как давление, скорость, температура, расход и т. д. В некоторых приложениях используются ПИД-регуляторы в каскадных схемах, где для достижения контроля используются два или более ПИД.

На приведенном выше рисунке показана структура ПИД-регулятора. Он состоит из блока PID, который дает свой вывод для обработки блока. Процесс / установка состоит из конечных устройств управления, таких как исполнительные механизмы, регулирующие клапаны и другие управляющие устройства для управления различными процессами промышленности / установки.

Сигнал обратной связи от технологической установки сравнивается с уставкой или сигналом u (t), и соответствующий сигнал ошибки e (t) подается на алгоритм ПИД-регулирования. Согласно пропорциональным, интегральным и диференциальным расчетам в алгоритме, контроллер производит комбинированный ответ или управляемый выход, который применяется к устройствам управления установкой.

Все управляющие приложения не нуждаются во всех трех элементах управления. Комбинации, такие как элементы управления PI и PD, очень часто используются в практических приложениях.

Регуляторы технологических процессов

Принцип работы

Регуляторы процесса

Регуляторы процесса (Process Controllers) – это параметрируемые цифровые контроллеры со встроенным набором стандартных функций для регулирования технологических переменных (температуры, давления и т.п.).

В качестве сигналов задания (Reference) могут использоваться как фиксированные уставки (Fixed Setpoints), так и внешние (External).

Аналоговые входы используются для подключения датчиков обратной связи (термометров сопротивления, термопар, манометров и т.п.).

Дискретные входы используются для задания фиксированных уставок и переключения между режимами.

Дискретные выходы используются для сигнализации: готовности, аварий, состояния.

Релейные выходы используются для дискретного управления, а аналоговые выходы – для непрерывного управления.

Дискретное управление

• 2-х позиционный регулятор использует только 2 состояния:
  • включено (открыто)
  • выключено (закрыто) Пример: управление нагреванием или охлаждением.
• 3-х позиционный регулятор использует 3 состояния:
  • выключено
  • вращение по часовой стрелке
  • вращение против часовой стрелки (реверс) Пример: управление реверсивным электродвигателем.
• 5-и позиционный регулятор использует 5 состояний:
  • выключено
  • вращение на первой скорости по часовой стрелке
  • вращение на второй скорости по часовой стрелке
  • вращение на первой скорости против часовой стрелки
  • вращение на второй скорости против часовой стрелки Пример: управление 2-скоростным реверсивным двигателем.

Непрерывное управление

Для непрерывного управления используются ПИД-регуляторы. Возможна реализация каскадного (подчинённого) управления.

Замкнутая система управления

Переходный процесс

Переходный процесс – это реакция системы на внешнее воздействие (задание, возмущение).

Неустойчивый (расходящийся) переходный процесс

Устойчивый (сходящийся) переходный процесс

ПИД-регулятор

С помощью настройки ПИД-регулятора (PID-controller) мы можем скорректировать переходный процесс так, как нам нужно для решения своей задачи.

Х_зад – заданное (желаемое) значение выходной переменной
X_max – верхний допустимый предел выходной переменной
X_min – нижний допустимый предел выходной переменной
Т – период колебаний
Т_н – время нарастания
Т_р – время переходного процесса (последняя точка пересечения кривой с X_min или X_max)
А₁ – первое перерегулирование
А₂ – второе перерегулирование
d=А₁/A₂ – степень (декремент) затухания переходного процесса (отношение первого перерегулирования ко второму)

Рассогласование, перерегулирование, время нарастания, время переходного процесса, степень затухания характеризуют качество регулирования.

Пример

ПИД-регулятор открывает и закрывает регулирующий вентиль на горячей трубе так, чтобы из крана текла вода с температурой +40°С с погрешностью плюс-минус 2 градуса. Регулятор вычисляет рассогласование (ошибку) – отклонение реальной температуры (например, +20°С) от заданного значения (+40°С) и решает – когда и насколько необходимо приоткрыть горячий вентиль, чтобы температура повысилась на 20С. Реальную (фактическую) температуру регулятор узнаёт с помощью датчика температуры (обратная связь), а заданную температуру (уставку) ему сообщает оператор, например, набирая число «40» на своём ПК.

Чтобы настроить ПИД-регулятор, необходимо подобрать правильную комбинацию трёх коэффициентов:

• Пропорционального – K_p
• Интегрального – K_i
• Дифференциального – K_d

Могут использоваться и более простые – П и ПИ-регуляторы.

Формула ПИД-регулятора

где e(t) – ошибка (рассогласование), u(t) – выходной сигнал регулятора (управляющее воздействие).

Чем больше Пропорциональный коэффициент, тем выше быстродействие, но меньше запас устойчивости. Но! простой П-регулятор не может полностью отработать рассогласование, т.е. всегда работает с ошибкой.

ПИ-регулятор позволяет избавиться от статической (установившейся) ошибки, но, чем больше Интегральный коэффициент, тем больше перерегулирование (динамическая ошибка).

ПИД-регулятор позволяет нам уменьшить перерегулирование, но, чем больше Дифференциальный коэффициент, тем больше погрешность из-за влияния шумов.

Если шумы идут по каналу обратной связи, то мы можем их отфильтровать с помощью фильтра низкой частоты, но чем больше постоянная этого фильтра, тем медленнее регулятор будет отрабатывать возмущения.

Настройка ПИД-регулятора по методу Циглера-Николса

Циглер и Николс предложили свой вариант быстрой настройки ПИД-регулятора для периодического переходного процесса, в котором затухание примерно равно 4.

• Обнуляем K_i и K_d
• Постепенно увеличиваем Kp до критического значения K_c, при котором возникают автоколебания
• Измеряем период автоколебаний Т
• Вычисляем значения K_p, K_i и K_d по разным формулам для разных регуляторов:
  • для П-регулятора: K_p=0,50*K_c
  • для ПИ-регулятора: K_p=0,45*K_c, K_i=1,2*K_p/T
  • для ПИД-регулятора: K_p=0,60*K_c, K_i=2,0*K_p/T, K_d=K_p*T/8

Каскадный регулятор (подчинённое управление)

Продолжение примера

Теперь нам захотелось добавить комфорта и сделать так, чтобы уставка задания температуры воды менялась в зависимости от температуры воздуха на улице (на улице мороз – вода горячая, на улице жара – вода прохладная). Можно установить ещё один регулятор комфортной температуры, который по показаниям термометра узнаёт фактическую температура наружного воздуха и решает, что комфортная температура воды должна быть, например, +40°С, поэтому он выдаёт задание регулятору температуры воды – поддерживать температуру на уровне +40С (см. пример выше). Здесь мы имеем каскадное регулирование: контур регулирования температуры воды подчинён контуру регулирования комфортной температуры воды.

С помощью регуляторов процесса мы можем реализовать и более сложные связи. Например, поддерживать постоянный расход и температуру воды, независимо от давления и температуры горячего и холодного трубопроводов.

Упреждающее регулирование (Feedforward Control)

Не всегда простой ПИД-регулятор в системе с обратной связью может обеспечить требуемое быстродействие из-за возникновения нежелательных колебаний или недопустимо большого перерегулирования. Для улучшения характеристик регулирования применяют комбинированное управление – с обратной связью (closed-loop) и без обратной связи (open-loop). К управляющему воздействию (выходу регулятора) добавляется сигнал упреждающего воздействия, который не зависит от рассогласования, а значит, не может вызвать автоколебания в системе.

Продолжение примера

Если измерить возмущение, то можно подать упреждающее воздействие, которое компенсирует влияние этого возмущения на процесс до того, как начнёт изменяться регулируемый параметр.

Как выбрать

Окружающая среда

• Температура
• Влажность
• Класс взрывозащиты
• Степень защиты корпуса.

Регулирование

• Тип регулятора
  • Дискретный
    • 2-х позиционный
    • 3-х позиционный
  • Непрерывный
    • П-регулятор
    • ПИ-регулятор
    • ПИД-регулятор.
• Дополнительные функции:
  • Каскадный регулятор (подчинённое управление)
  • Упреждающее регулирование (Feedforward Control).
• Количество контуров регулирования.

Коммуникационный интерфейс

• HART
• FOUNDATION Fieldbus
• PROFIBUS PA.

Регуляторы

Автоматическое регулирование – это автоматическое обеспечение заданных значений параметров, определяющих требуемое протекание управляемого процесса в соответствии с установленной программой.
Параметры управляемого процесса, подлежащие заданным изменениям или стабилизации — называют регулируемыми параметрами.
Устройство, обеспечивающее автоматическое поддержание заданного значения — регулируемого параметра в управляемом объекте или его изменения по определенному закону, называют регулятором.
Всякий технологический процесс характеризуется определенными физическими величинами. Для обеспечения требуемого режима работы эти величины необходимо поддерживать постоянными или изменять по тому или иному закону.
Физические величины, определяющие ход технологического процесса — называются параметрами технологического процесса.
Так параметрами технологического процесса могут быть давление, температура, уровень жидкости, концентрация вещества, расход вещества или энергии, скорость изменения какой-либо величины и т.п.
Параметр технологического процесса, который необходимо поддерживать постоянным или изменять по определенному закону — называется регулируемой величиной или регулируемым параметром.
Аппарат, машина, агрегат или процесс в котором регулируются те или иные параметры технологического процесса — называются объектом регулирования или регулируемым объектом.
Значение регулируемой величины, которое оператор стремится получить в установившемся режиме от находящейся в равновесии системы регулирования при заранее заданных режимах ее работы — называется заданным значением.
Значение же регулируемой величины в рассматриваемый момент времени — называется ее мгновенным или истинным значением.

Регулятор, как часть системы автоматического регулирования САР

Задатчик — устройство, предназначенное для задания значения регулируемой величины.
Чувствительный элемент (датчик) – устройство, реагирующее на изменение регулируемой величины и предназначенное для преобразования значения регулируемого параметра (температура, давление, расход, уровень) в сигнал понятный регулятору (ток, напряжение, пневмосигнал линейное перемещение).
Регулирующий орган – устройство, с помощью которого регулятор может влиять на изменение величины регулируемого параметра (клапана, шибера, пускатели, реле и т.п.). Регулирующий орган изменяет количество вещества или энергии, подводимых к объекту или отводимых от него
Внешние возмущающие воздействие — это внешние воздействия на систему, т.е. причины, вызывающие отклонения регулируемой величины от заданного значения.

Примеры внешних возмущающих воздействий:

Расход продукта в трубе (F) зависит от разности давлений P1 и P2. Если изменится хотя бы одно давление, то изменится и расход.

При смешении продуктов температура t зависит от температур t1 и t2 и количества Q1 и Q2 смешиваемых продуктов. При изменении одного из этих параметров приведет к изменению температуры продукта t.
На регулятор приходит два сигнала: заданное значение (от задатчика) и истинное значение (от датчика) регулируемого параметра. Разность этих сигналов называется рассогласованием или отклонением (ε). Регулятор определяет величину рассогласования и в соответствии с заложенным в него алгоритмом (см. Алгоритмы работы регуляторов) вырабатывает управляющее воздействие на регулирующий орган. Регулирующий орган влияет на значение регулируемого параметра (приоткрывая или прикрывая регулирующий клапан, увеличивает или уменьшает значение регулируемого параметра). Кроме этого на значение регулируемого параметра влияют также внешние возмущающие воздействия. Очевидно, необходимость в регулировании возникает вследствие появления внешних возмущающих воздействий, так как при их отсутствии регулируемая величина не изменялась бы.
Следовательно, задача регулирования сводится к устранению отклонения регулируемой величины от требуемого значения при любых внешних возмущениях.

Алгоритмы работы регуляторов

Алгоритм работы любого регулятора может быть основан на законах регулирования:
— пропорциональный (П)
— интегральный (И)
— пропорционально — интегральный (ПИ)
— пропорционально — дифференциальный (ПД)
— пропорционально – интегрально – дифференциальный (ПИД)

Пропорциональные регуляторы (П-регуляторы) воздействуют на регулирующий орган пропорционально отклонению регулируемой величины от заданного значения

y=kx,

где y – управляющее воздействие регулятора; x – регулируемая величина; k – коэффициент пропорциональности (передачи).

Интегральные регуляторы (И-регуляторы) воздействуют на регулирующий орган пропорционально интегралу от отклонения регулируемой величины

где kp, — коэффициент передачи регулятора по скорости.
В И-регуляторе скорость перемещения исполнительного механизма (скорость воздействия на регулирующий орган) пропорциональна отклонению регулируемой величины.
Коэффициент передачи регулятора kp численно равен скорости перемещения исполнительного механизма при отклонении регулируемой величины на единицу ее измерения.
Так как интегральный регулятор может иметь два органа настройки (например, скорости перемещения собственно интегрирующего исполнительного механизма и коэффициента механической передачи между исполнительным механизмом и регулирующим органом), то уравнение закона регулирования интегрального регулятора запишется также в виде

Величина k называется коэффициентом пропорциональности, Ти постоянная времени интегрирования.

Пропорционально – интегральный регулятор (ПИ – регулятор) представляет собой совокупность пропорционального и интегрального регуляторов

Постоянная времени Ти определяет величину составляющей регулирующего воздействия, пропорциональной интегралу от отклонения регулируемой величины x , и численно равна времени удвоения регулятора kx0, т.е. времени, в течении которого первоначальное значение выходной величины регулятора равное , удваивается в следствии действия одной только его интегральной части (рисунок 2)

Скорость перемещения исполнительного механизма в ПИ – регуляторе пропорциональна как скорости изменения регулируемой величины, так и самому изменению регулируемой величины.
Если при настройке ПИ – регулятора установить очень большую величину постоянной времени Ти, то он превратится в П – регулятор.
Если при настройке регулятора установить очень малые значения k и Ти, но при этом так, чтобы их отношение k/Ти имело существенную величину, получим И – регулятор с коэффициентом передачи по скорости k/Ти .
Закон регулирования ПИ – регулятора представлен на рисунке 2.
Параметрами настройки ПИ – регулятора являются коэффициент пропорциональности k и постоянная времени интегрирования Ти.

Пропорционально – дифференциальные регуляторы (ПД — регуляторы) оказывают воздействие на регулирующий орган пропорционально отклонению регулируемой величины и скорости ее отклонения

Постоянная времени Тд называется постоянной времени дифференцирования. Она определяет величину составляющей регулирующего воздействия по скорости.

Пропорционально – интегрально – дифференциальные регуляторы (ПИД – регуляторы) воздействуют на регулирующий орган пропорционально отклонению x регулируемой величины, интегралу этого отклонения и скорости изменения регулируемой величины

При скачкообразном изменении регулируемой величины идеальный ПИД – регулятор в начальный момент времени оказывает мгновенное бесконечно большое воздействие на регулирующий орган; затем величина воздействия мгновенно падает до значения, определяемого пропорциональной частью регулятора, после чего, как и в ПИ – регуляторе, постепенно начинает оказывать свое влияние интегральная составляющая регулятора.

Параметрами настройки регулятора являются:
коэффициент пропорциональности регулятора k,
постоянная времени интегрирования Ти,
постоянная времени дифференцирования Тд.

Этот регулятор по возможности настройки является более универсальным по сравнению с другими регуляторами. С его помощью можно осуществлять различные законы регулирования.
Так при Тд=0 и бесконечно большой величине Ти , получаем П – регулятор. При Тд=0, устанавливая достаточно малые значения k и Ти , но так, чтобы отношение значения k /Ти имело существенную величину, получаем И – регулятор. Так при Тд=0 и конечных значениях k и Ти имеем ПИ – регулятор. При бесконечно большой величине Ти и конечных значениях k иТд получаем ПД – регулятор.

Приборы — регуляторы

Регуляторы по роду используемого сигнала бывают механическими, пневматическими, гидравлическими, электронными.

Механические регуляторы

В механических регуляторах схемы выполнены на рычагах, пружинах и т.п. В большинстве случаев механический регулятор содержит помимо схемы регулятора еще и датчик, и регулирующий орган. Механические регуляторы являются специализированными – предназначены для регулирования только определенного технологического параметра. Так, например регулятором давления нельзя регулировать расход. Механические регуляторы не имеют информационных выходных каналов, поэтому результаты их работы нельзя вывести на компьютер оператора.
Преимущества механических регуляторов
Механические регуляторы не требуют настройки. Механические регуляторы просты в использовании, необходимо только задать необходимое значение технологического параметра, с помощью задатчика (рычажка, вращающейся рукоятки и т.п.). Механические регуляторы достаточно надежны в эксплуатации.

Пневматические регуляторы

В пневматических регуляторах схемы сделаны из мембран, сильфонов и пневматических элементов логики (УСЭППА). Носителем сигнала в пневматических регуляторах является давление воздуха от 0,2 до 1 кгс/см2 . Конструктивно пневматический регулятор представляет из себя устройство имеющее входы для подключения датчика и выход для подключения регулирующего органа. Эти регуляторы так же, как и механические, не имеют информационных выходных каналов и результаты их работы нельзя вывести на компьютер оператора.
Гидравлические регуляторы
Гидравлические регуляторы по принципу работы идентичны пневматическим, только в качестве сигнала используется давление жидкости.

Электронные регуляторы

Электронный регулятор представляют собой законченное устройство, выполненное на полупроводниковых элементах. Информация в электронном регуляторе представлена в виде ого электрического сигнала (тока или напряжения). Поэтому стало возможным вынести из электронного регулятора датчик и регулирующий орган, а в корпусе регулятора оставить только схемы регулирования. Кроме того в большинстве случаев сигналы от датчика к регулятору и от регулятора к исполнительному органу являются унифицированными (0 — 5 мА, 0 — 20 мА, 4 — 20 мА). Исходя из этого к электронным регуляторам можно подключать датчики, измеряющие разные технологические параметры и имеющие разные шкалы. Кроме этого к электронным регуляторам можно подключать регулирующие органы, имеющие разное конструктивное исполнение. Это делает электронные регулятор более универсальными в отличии от механических. В настоящее время электронные регуляторы оснащены информационными каналами, с помощью которых можно отслеживать их работу с помощью компьютера оператора.
Электронные регуляторы могут быть реализованы двумя способами:
— реализующие алгоритм управления схемотехническим путем (схемные)
— реализующие алгоритм управления программным путем (программные)

Алгоритм регулирования схемных регуляторов закладывается в них при создании на заводе и не может быть изменен в ходе эксплуатации.

С методикой настройки регуляторов вы можете ознакомиться здесь и здесь

П-, ПИ-, ПД-, ПИД – регуляторы

В данном разделе приведены описания алгоритмов работы и законы регулирования непрерывных П-, ПИ-, ПД-, ПИД-регуляторов с различными структурами выходного сигнала – аналоговым выходом, дискретным (импульсным) выходом или ШИМ-выходом (широтно импульсным модулированным сигналом).

Типовые регуляторы и регулировочные характеристики

Д ля регулирования объектами управления, как правило, используют типовые регуляторы, названия которых соответствуют названиям типовых звеньев (описание типовых звеньев представлено в разделе 2.4):

1. П-регулятор, пропорциональный регулятор
   Передаточная функция П-регулятора: W_п(s) = K₁. Принцип действия заключается в том, что регулятор вырабатывает управляющее воздействие на объект пропорционально величине ошибки (чем больше ошибка Е, тем больше управляющее воздействие Y).
2. И-регулятор, интегрирующий регулятор
   Передаточная функция И-регулятора: W_и(s) = К_/s. Управляющее воздействие пропорционально интегралу от ошибки.
3. Д-регулятор, дифференцирующий регулятор
   ПередаточнаяфункцияД-регулятора: W_д(s) = К₂*s. Д-регуляторгенерирует управляющее воздействие только при изменении регулируемой веричины: Y= K2 * dE/dt.

На практике данные простейшие П, И, Д регуляторы комбинируются в регуляторы вида ПИ, ПД, ПИД (см. рис.1):

В зависимости от выбранного вида регулятор может иметь пропорциональную характеристику (П), пропорционально-интегральную характеристику (ПИ), пропорционально-дифференциальную характеристику (ПД) или пропорционально-интегральную (изодромную) характеристику с воздействием по производной (ПИД-регулятор).

1. ПИ-регулятор, пропорционально-интегральный регулятор (см. рис.3.18.а)
   ПИ-регулятор представляет собой сочетание П- и И-регуляторов. Передаточная функция ПИ-регулятора: W_пи(s) = K₁ + K_/s.
2. ПД-регулятор, пропорционально-дифференциальный регулятор (см. рис.3.18.б)
   ПД-регулятор представляет собой сочетание П- и Д-регуляторов. Передаточная функция ПД-регулятора: W_пд(s) = K₁ + K₂ s.
3. ПИД-регулятор, пропорционально-интегрально-дифференциальный регулятор (см. рис.3.18.в)

ПИД-регулятор представляет собой сочетание П-, И- и Д-регуляторов. Передаточная функция ПИД-регулятора: W_пид(s) = K₁ + K _{/ s + K2 s}.

Наиболее часто используется ПИД-регулятор, поскольку он сочетает в себе достоинства всех трех типовых регуляторов.

Структурные схемы непрерывных регуляторов

В данном разделе приведены структурные схемы непрерывных регуляторов с аналоговым выходом -рис.2, с импульсным выходом – рис.3 и с ШИМ (широтно импульсным модулированным) выходом -рис.4.

В процессе работы система автоматического регулирования АР (регулятор) сравнивает текущее значение измеряемого параметра Х, полученного от датчика Д, с заданным значением (заданием SP) и устраняет рассогласование регулирования E (B=SP-PV). Внешние возмущающие воздействия Z также устраняются регулятором. Работа приведенных структурных схем отличается методом формирования выходного управляющего сигнала регулятора.

Непрерывный регулятор с аналоговым выходом

Структурная схема непрерывного регулятора с аналоговым выходом приведена на рис.2.

Выход Y регулятора АР (например, сигнал 0-20мА, 4-20мА, 0-5мА или 0-10В) воздействует через электропневматический преобразователь Е/Р сигналов (например, с выходным сигналом 20-100кПа) или электропневматический позиционный регулятор на исполнительный элемент К (регулирующий орган).

где:
АР – непрерывный ПИД-регулятор с аналоговым выходом,
SP – узел формирования заданной точки,
PV=X- регулируемый технологический параметр,
Е – рассогласование регулятора,
Д – датчик,
НП – нормирующий преобразователь (в современных регуляторах является входным устройством)
Y – выходной аналоговый управляющий сигнал Е/Р – электропневматический преобразователь,
К – клапан регулирующий (регулирующий орган).

Непрерывный регулятор с импульсным выходом

Структурная схема непрерывного регулятора с импульсным выходом приведена на рис.3.

Выходные управляющие сигналы регулятора – сигналы Больше и Меньше (транзистор, реле, симистор) через контактные или бесконтактные управляющие устройства (П) воздействуют на исполнительный элемент К (регулирующий орган).

где:
АР – непрерывный ПИД-регулятор с импульсным выходом,
SP – узел формирования заданной точки,
PV=X- регулируемый технологический параметр,
Е – рассогласование регулятора,
Д – датчик,
НП – нормирующий преобразователь (в современных регуляторах является входным устройством) ИМП – импульсный ШИМ модулятор, преобразующий выходной сигнал Y в последовательность импульсов со скважностью, пропорциональной выходному сигналу: Q=Y/100. Сигналы Больше и Меньше – управляющие воздействия,
П – пускатель контактный или бесконтактный,
К – клапан регулирующий (регулирующий орган).

Непрерывный регулятор с ШИМ (широтно импульсным модулированным) выходом

Структурная схема непрерывного регулятора с ШИМ (широтно импульсным модулированным) выходом приведена на рис.4.

Выходной управляющий сигнал регулятора (транзистор, реле, симистор) через контактные или бесконтактные управляющие устройства (П) воздействуют на исполнительный элемент К (регулирующий орган).

Непрерывные регуляторы с ШИМ выходом широко применяются в системах регулирования температуры, где выходной управляющий симисторный элемент (или твердотельное реле, пускатель) воздействуют на термоэлектрический нагреватель ТЭН, или вентилятор.

АР – непрерывный ПИД-регулятор с импульсным ШИМ выходом,
SP – узел формирования заданной точки,
PV=X- регулируемый технологический параметр,
Е – рассогласование регулятора,
Д – датчик,
НП – нормирующий преобразователь (в современных регуляторах является входным устройством) ШИМ – импульсный ШИМ модулятор, преобразующий выходной сигнал Y в последовательность импульсов со скважностью, пропорциональной выходному сигналу: Q=Y/100.
П – пускатель контактный или бесконтактный,
К – клапан регулирующий (регулирующий орган).

Согласование выходных устройств непрерывных регуляторов

В ыходной сигнал регулятора должен быть согласован с исполнительным механизмом и исполнительным устройством.

В соответствии с видом привода и исполнительным механизмом необходимо использовать выходное устройство непрерывного регулятора соответствующего типа, см. таблицу 1.

Таблица 1 – Согласование выходных устройств непрерывных регуляторов

Реакция регулятора на единичное ступенчатое воздействие

О дной из динамических характеристик обьекта управления является его переходная характеристика -реакция обьекта на единичное ступенчатое воздействие (см. Динамические характеристики), например, изменение заданной точки регулятора.

В данном разделе приведены переходные процессы системы управления при единичном ступенчатом изменении заданной точки при использовании регуляторов с различным законом регулирования.

Если на вход регулятора подается скачкообразная функция изменения заданной точки – см. рис. 5, то на выходе регулятора возникает реакция на единичное ступенчатое воздействие в соответствии с характеристикой регулятора в функции времени.

П-регулятор, реакция на единичное ступенчатое воздействие

П араметрами П-регулятора являются коэффициент усиления Кр и рабочая точка Y_{. Рабочая точка Y определяется как значение выходного сигнала, при котором рассогласование регулируемой величины равно нулю. При влиянии возмущающих воздействий возникает, в зависимости от Y, отклонение регулирования.}

Рисунок 6 – П-регулятор. Реакция на единичное ступенчатое воздействие

ПИ-регулятор, реакция на единичное ступенчатое воздействие

В отличие от П-регулятора у ПИ-регулятора, благодаря интегральной составляющей, исключается отклонение регулирования.

Параметром интегральной составляющей является время интегрирования Ти.

ПД-регулятор, реакция на единичное ступенчатое воздействие

У ПД-регуляторов пропорциональная составляющая накладывается на затухающую дифференциальную составляющую.

Д-составляющая определяется через усиление упреждения Уд и время дифференцирования Тд.

ПИД-регулятор, реакция на единичное ступенчатое воздействие

Б лагодаря дополнительному подключению Д-составляющей ПИД-регулятор достигает улучшения динамического качества регулирования.

Регуляторы технологических процессов

Принцип работы

Регуляторы процесса

Регуляторы процесса (Process Controllers) – это параметрируемые цифровые контроллеры со встроенным набором стандартных функций для регулирования технологических переменных (температуры, давления и т.п.).

В качестве сигналов задания (Reference) могут использоваться как фиксированные уставки (Fixed Setpoints), так и внешние (External).

Аналоговые входы используются для подключения датчиков обратной связи (термометров сопротивления, термопар, манометров и т.п.).

Дискретные входы используются для задания фиксированных уставок и переключения между режимами.

Дискретные выходы используются для сигнализации: готовности, аварий, состояния.

Релейные выходы используются для дискретного управления, а аналоговые выходы – для непрерывного управления.

Дискретное управление

• 2-х позиционный регулятор использует только 2 состояния:
  • включено (открыто)
  • выключено (закрыто) Пример: управление нагреванием или охлаждением.
• 3-х позиционный регулятор использует 3 состояния:
  • выключено
  • вращение по часовой стрелке
  • вращение против часовой стрелки (реверс) Пример: управление реверсивным электродвигателем.
• 5-и позиционный регулятор использует 5 состояний:
  • выключено
  • вращение на первой скорости по часовой стрелке
  • вращение на второй скорости по часовой стрелке
  • вращение на первой скорости против часовой стрелки
  • вращение на второй скорости против часовой стрелки Пример: управление 2-скоростным реверсивным двигателем.

Непрерывное управление

Для непрерывного управления используются ПИД-регуляторы. Возможна реализация каскадного (подчинённого) управления.

Замкнутая система управления

Переходный процесс

Переходный процесс – это реакция системы на внешнее воздействие (задание, возмущение).

Неустойчивый (расходящийся) переходный процесс

Устойчивый (сходящийся) переходный процесс

ПИД-регулятор

С помощью настройки ПИД-регулятора (PID-controller) мы можем скорректировать переходный процесс так, как нам нужно для решения своей задачи.

Х_зад – заданное (желаемое) значение выходной переменной
X_max – верхний допустимый предел выходной переменной
X_min – нижний допустимый предел выходной переменной
Т – период колебаний
Т_н – время нарастания
Т_р – время переходного процесса (последняя точка пересечения кривой с X_min или X_max)
А₁ – первое перерегулирование
А₂ – второе перерегулирование
d=А₁/A₂ – степень (декремент) затухания переходного процесса (отношение первого перерегулирования ко второму)

Рассогласование, перерегулирование, время нарастания, время переходного процесса, степень затухания характеризуют качество регулирования.

Пример

ПИД-регулятор открывает и закрывает регулирующий вентиль на горячей трубе так, чтобы из крана текла вода с температурой +40°С с погрешностью плюс-минус 2 градуса. Регулятор вычисляет рассогласование (ошибку) – отклонение реальной температуры (например, +20°С) от заданного значения (+40°С) и решает – когда и насколько необходимо приоткрыть горячий вентиль, чтобы температура повысилась на 20С. Реальную (фактическую) температуру регулятор узнаёт с помощью датчика температуры (обратная связь), а заданную температуру (уставку) ему сообщает оператор, например, набирая число «40» на своём ПК.

Чтобы настроить ПИД-регулятор, необходимо подобрать правильную комбинацию трёх коэффициентов:

• Пропорционального – K_p
• Интегрального – K_i
• Дифференциального – K_d

Могут использоваться и более простые – П и ПИ-регуляторы.

Формула ПИД-регулятора

где e(t) – ошибка (рассогласование), u(t) – выходной сигнал регулятора (управляющее воздействие).

Чем больше Пропорциональный коэффициент, тем выше быстродействие, но меньше запас устойчивости. Но! простой П-регулятор не может полностью отработать рассогласование, т.е. всегда работает с ошибкой.

ПИ-регулятор позволяет избавиться от статической (установившейся) ошибки, но, чем больше Интегральный коэффициент, тем больше перерегулирование (динамическая ошибка).

ПИД-регулятор позволяет нам уменьшить перерегулирование, но, чем больше Дифференциальный коэффициент, тем больше погрешность из-за влияния шумов.

Если шумы идут по каналу обратной связи, то мы можем их отфильтровать с помощью фильтра низкой частоты, но чем больше постоянная этого фильтра, тем медленнее регулятор будет отрабатывать возмущения.

Настройка ПИД-регулятора по методу Циглера-Николса

Циглер и Николс предложили свой вариант быстрой настройки ПИД-регулятора для периодического переходного процесса, в котором затухание примерно равно 4.

• Обнуляем K_i и K_d
• Постепенно увеличиваем Kp до критического значения K_c, при котором возникают автоколебания
• Измеряем период автоколебаний Т
• Вычисляем значения K_p, K_i и K_d по разным формулам для разных регуляторов:
  • для П-регулятора: K_p=0,50*K_c
  • для ПИ-регулятора: K_p=0,45*K_c, K_i=1,2*K_p/T
  • для ПИД-регулятора: K_p=0,60*K_c, K_i=2,0*K_p/T, K_d=K_p*T/8

Каскадный регулятор (подчинённое управление)

Продолжение примера

Теперь нам захотелось добавить комфорта и сделать так, чтобы уставка задания температуры воды менялась в зависимости от температуры воздуха на улице (на улице мороз – вода горячая, на улице жара – вода прохладная). Можно установить ещё один регулятор комфортной температуры, который по показаниям термометра узнаёт фактическую температура наружного воздуха и решает, что комфортная температура воды должна быть, например, +40°С, поэтому он выдаёт задание регулятору температуры воды – поддерживать температуру на уровне +40С (см. пример выше). Здесь мы имеем каскадное регулирование: контур регулирования температуры воды подчинён контуру регулирования комфортной температуры воды.

С помощью регуляторов процесса мы можем реализовать и более сложные связи. Например, поддерживать постоянный расход и температуру воды, независимо от давления и температуры горячего и холодного трубопроводов.

Упреждающее регулирование (Feedforward Control)

Не всегда простой ПИД-регулятор в системе с обратной связью может обеспечить требуемое быстродействие из-за возникновения нежелательных колебаний или недопустимо большого перерегулирования. Для улучшения характеристик регулирования применяют комбинированное управление – с обратной связью (closed-loop) и без обратной связи (open-loop). К управляющему воздействию (выходу регулятора) добавляется сигнал упреждающего воздействия, который не зависит от рассогласования, а значит, не может вызвать автоколебания в системе.

Продолжение примера

Если измерить возмущение, то можно подать упреждающее воздействие, которое компенсирует влияние этого возмущения на процесс до того, как начнёт изменяться регулируемый параметр.

Как выбрать

Окружающая среда

• Температура
• Влажность
• Класс взрывозащиты
• Степень защиты корпуса.

Регулирование

• Тип регулятора
  • Дискретный
    • 2-х позиционный
    • 3-х позиционный
  • Непрерывный
    • П-регулятор
    • ПИ-регулятор
    • ПИД-регулятор.
• Дополнительные функции:
  • Каскадный регулятор (подчинённое управление)
  • Упреждающее регулирование (Feedforward Control).
• Количество контуров регулирования.

Коммуникационный интерфейс

• HART
• FOUNDATION Fieldbus
• PROFIBUS PA.

ПИД-регулятор — PID controller — qaz.wiki

механизм обратной связи контура управления

Пропорционально-интегрально-дифференциальный регулятор ( ПИД — регулятор или три перспективе контроллер ) представляет собой контур управления с использованием механизма обратной связи , который широко используется в промышленных системах управления и множество других приложений , требующих непрерывного модулированного контроля. ПИД-регулятор непрерывно вычисляет значение ошибки как разность между желаемой уставкой (SP) и измеряемой переменной процесса (PV) и применяет коррекцию на основе пропорциональных , интегральных и производных членов (обозначенных P ,е(т){\ Displaystyle е (т)}I и D соответственно), отсюда и название.

На практике он автоматически применяет точную и отзывчивую коррекцию к функции управления. Обычным примером является круиз-контроль в автомобиле, где подъем на холм снизил бы скорость, если бы использовалась только постоянная мощность двигателя. Алгоритм ПИД-регулятора восстанавливает измеренную скорость до желаемой скорости с минимальной задержкой и выбросом за счет увеличения выходной мощности двигателя.

Первый теоретический анализ и практическое применение были в области систем автоматического рулевого управления для судов, разработанных с начала 1920-х годов. Затем он использовался для автоматического управления процессами в обрабатывающей промышленности, где он широко применялся в пневматических, а затем и в электронных контроллерах . Сегодня концепция PID повсеместно используется в приложениях, требующих точного и оптимизированного автоматического управления.

Фундаментальная операция

Блок — схема контроллера ПИД — регулятора в контуре обратной связи. r ( t ) — это желаемое значение процесса или уставка (SP), а y ( t ) — это измеренное значение процесса (PV).

Отличительной особенностью ПИД-регулятора является возможность использовать три элемента управления : пропорциональное, интегральное и производное влияние на выходной сигнал регулятора для обеспечения точного и оптимального управления. На блок-схеме справа показаны принципы создания и применения этих терминов. Он показывает ПИД-регулятор, который непрерывно вычисляет значение ошибки как разность между желаемой уставкой и измеренной переменной процесса : , и применяет поправку на основе пропорциональных , интегральных и производных членов. Контроллер пытается минимизировать ошибку с течением времени, регулируя управляющую переменную , такую ​​как открытие регулирующего клапана , до нового значения, определяемого взвешенной суммой управляющих условий.
е(т){\ Displaystyle е (т)} SPзнак равнор(т){\ Displaystyle {\ текст {SP}} = г (т)} PVзнак равноy(т){\ displaystyle {\ text {PV}} = y (t)}е(т)знак равнор(т)-y(т){\ Displaystyle е (т) = г (т) -у (т)} ты(т){\ Displaystyle и (т)}

В этой модели:

• Член P пропорционален текущему значению ошибки SP — PV . Например, если ошибка большая и положительная, управляющий выходной сигнал будет пропорционально большим и положительным с учетом коэффициента усиления «K». Использование одного только пропорционального управления приведет к ошибке между заданным значением и фактическим значением процесса, потому что для создания пропорционального отклика требуется ошибка. Если ошибки нет, нет и корректирующего ответа.е(т){\ Displaystyle е (т)}
• Член I учитывает прошлые значения ошибки SP — PV и объединяет их с течением времени для получения члена I. Например, если есть остаточная ошибка SP — PV после применения пропорционального управления, интегральный член стремится устранить остаточную ошибку, добавляя управляющий эффект из-за исторического кумулятивного значения ошибки. Когда ошибка будет устранена, интегральный член перестанет расти. Это приведет к уменьшению пропорционального эффекта по мере уменьшения ошибки, но это компенсируется растущим интегральным эффектом.
• Член D — это наилучшая оценка будущей тенденции ошибки SP — PV, основанная на ее текущей скорости изменения. Его иногда называют «упреждающим контролем», поскольку он эффективно направлен на уменьшение влияния ошибки SP-PV путем оказания управляющего воздействия, создаваемого скоростью изменения ошибки. Чем быстрее изменение, тем больше регулирующий или демпфирующий эффект.

Настройка — баланс этих эффектов достигается настройкой контура для получения оптимальной функции управления. Константы настройки показаны ниже как «K» и должны быть получены для каждого приложения управления, поскольку они зависят от характеристик отклика всего контура, внешнего по отношению к контроллеру. Они зависят от поведения измерительного датчика, конечного элемента управления (например, регулирующего клапана), любых задержек управляющего сигнала и самого процесса. Приблизительные значения констант обычно могут быть изначально введены, зная тип приложения, но они обычно уточняются или настраиваются путем «ускорения» процесса на практике путем введения изменения уставки и наблюдения за реакцией системы.

Управляющее воздействие . Математическая модель и практический цикл, описанные выше, используют «прямое» управляющее воздействие для всех членов, что означает, что увеличение положительной ошибки приводит к увеличению выходного положительного управляющего сигнала для суммированных членов для применения коррекции. {t} e (t ‘) \, dt’ + K_ {\ text {d}} {\ frac {de (t)} {dt}},}

где , и , все неотрицательные, обозначают коэффициенты для пропорционального , интегрального и производного членов соответственно (иногда обозначаются P , I и D ).
Kп{\ displaystyle K _ {\ text {p}}}Kя{\ displaystyle K _ {\ text {i}}}Kd{\ displaystyle K _ {\ text {d}}}

В стандартной форме уравнения (см. Далее в статье) и соответственно заменены на и ; Преимущество этого состоит в том, что и имеют некоторый понятный физический смысл, поскольку они представляют время интегрирования и время производной соответственно.
Kя{\ displaystyle K _ {\ text {i}}}Kd{\ displaystyle K _ {\ text {d}}}Kп/Тя{\ Displaystyle К _ {\ текст {p}} / Т _ {\ текст {я}}}KпТd{\ displaystyle K _ {\ text {p}} T _ {\ text {d}}}Тя{\ displaystyle T _ {\ text {i}}}Тd{\ displaystyle T _ {\ text {d}}}

ты(т)знак равноKп(е(т)+1Тя∫0те(т′)dт′+Тddе(т)dт),{\ displaystyle u (t) = K _ {\ text {p}} \ left (e (t) + {\ frac {1} {T _ {\ text {i}}}}} \ int _ {0} ^ {t } e (t ‘) \, dt’ + T _ {\ text {d}} {\ frac {de (t)} {dt}} \ right),}

Выборочное использование контрольных терминов

Хотя у ПИД-регулятора есть три элемента управления, в некоторых приложениях требуется только один или два элемента для обеспечения соответствующего управления. Это достигается установкой неиспользуемых параметров на ноль и называется контроллером PI, PD, P или I при отсутствии других управляющих воздействий. ПИ-регуляторы довольно распространены в приложениях, где действие по производной будет чувствительно к шуму измерения, но интегральный член часто необходим для того, чтобы система достигла целевого значения.

Применимость

Использование алгоритма PID не гарантирует оптимального управления системой или ее устойчивости управления (см. § Ограничения ниже) . Могут возникнуть ситуации, когда возникают чрезмерные задержки: измерение значения процесса задерживается или управляющее воздействие применяется недостаточно быстро. В этих случаях требуется эффективная компенсация опережения и запаздывания . Реакцию контроллера можно описать с точки зрения его реакции на ошибку, степени превышения системой заданного значения и степени любых колебаний системы . Но ПИД-регулятор широко применим, поскольку он полагается только на реакцию измеряемой переменной процесса, а не на знания или модель базового процесса.

История

Ранняя теория PID была разработана путем наблюдения за действиями рулевых, удерживающих судно на курсе перед лицом различных воздействий, таких как ветер и состояние моря.

Пневматический ПИД-регулятор (трехчленный). Величины «трех членов» P, I и D регулируются циферблатами вверху.

Происхождение

Непрерывное управление до того, как ПИД-регуляторы были полностью поняты и реализованы, одним из источников был центробежный регулятор , который использует вращающиеся грузы для управления процессом. Он был изобретен Христианом Гюйгенсом в 17 веке, чтобы регулировать зазор между жерновами в ветряных мельницах в зависимости от скорости вращения и тем самым компенсировать переменную скорость подачи зерна.

С изобретением стационарного парового двигателя низкого давления возникла необходимость в автоматическом регулировании скорости, и появился самодельный регулятор «конического маятника» Джеймса Ватта , набор вращающихся стальных шариков, прикрепленных к вертикальному шпинделю с помощью рычажных рычагов. быть отраслевым стандартом. Это было основано на концепции контроля зазора между жерновами.

Однако регулирование скорости вращения с помощью регулятора скорости оставалось переменным в условиях изменяющейся нагрузки, где был очевиден недостаток того, что сейчас известно как пропорциональное регулирование. Ошибка между желаемой скоростью и фактической скоростью будет увеличиваться с увеличением нагрузки. В 19 веке теоретические основы деятельности губернаторов были впервые описаны Джеймсом Клерком Максвеллом в 1868 году в его теперь известной статье « О губернаторах» . Он исследовал математические основы устойчивости управления и продвинулся в поиске решения, но призвал математиков изучить проблему. Проблема была дополнительно исследована в 1874 году Эдвардом Раусом , Чарльзом Штурмом и в 1895 году Адольфом Гурвицем , которые внесли свой вклад в установление критериев стабильности управления. В последующих приложениях регуляторы скорости были дополнительно усовершенствованы, в частности, американским ученым Уиллардом Гиббсом , который в 1872 году теоретически проанализировал конический маятниковый регулятор Ватта.

Примерно в это же время изобретение торпеды Уайтхеда поставило задачу управления, которая требовала точного контроля глубины спуска. Использование одного только датчика давления глубины оказалось недостаточным, и маятник, который измерял продольный и поперечный наклон торпеды, был объединен с измерением глубины, чтобы стать средством управления маятником и гидростатом . Регулирование давления обеспечивало только пропорциональное регулирование, которое при слишком высоком усилении управления становилось нестабильным и перескакивало с существенной нестабильностью удержания глубины. Маятник добавил то, что теперь известно как производное управление, которое гасит колебания, определяя угол пикирования / набора высоты торпеды и тем самым скорость изменения глубины. Эта разработка (названная Уайтхедом «Секретом», чтобы не объяснить ее действия) была произведена примерно в 1868 году.

Другой ранний пример ПИД-регулятора был разработан Элмером Сперри в 1911 году для управления кораблем, хотя его работа была интуитивной, а не математической.

Однако только в 1922 году формальный закон управления для того, что мы сейчас называем PID или трехчленным управлением, был впервые разработан с использованием теоретического анализа русско-американским инженером Николасом Минорски . Минорский занимался исследованием и проектированием системы автоматического управления кораблем для ВМС США и основывал свой анализ на наблюдениях за рулевым . Он отметил, что рулевой управлял кораблем, основываясь не только на текущей ошибке курса, но и на прошлой ошибке, а также на текущей скорости изменения; Затем Минорский дал ему математическую трактовку. Его целью была стабильность, а не общий контроль, что значительно упростило задачу. Хотя пропорциональное управление обеспечивало устойчивость к небольшим возмущениям, его было недостаточно для борьбы с устойчивыми возмущениями, особенно с сильным штормом (из-за стационарной ошибки ), что требовало добавления интегрального члена. Наконец, для повышения стабильности и контроля был добавлен производный член.

Испытания проводились на авианосце « Нью-Мексико» с контроллерами, контролирующими угловую скорость (а не угол) руля направления. ПИ-регулирование давало устойчивый рыскание (угловая погрешность) ± 2 °. Добавление элемента D дало ошибку по рысканью ± 1/6 °, что лучше, чем может достичь большинство рулевых.

В конечном итоге ВМС не приняли эту систему из-за сопротивления личного состава. Аналогичная работа была проведена и опубликована несколькими другими в 1930-х годах.

Промышленный контроль

Пропорциональное управление с использованием форсунки и заслонки усилителя с высоким коэффициентом усиления и отрицательной обратной связи

Широкое использование контроллеров обратной связи не стало возможным до тех пор, пока не были разработаны широкополосные усилители с высоким коэффициентом усиления, использующие концепцию отрицательной обратной связи. Он был разработан Гарольдом Блэком в телефонной инженерной электронике в конце 1920-х годов, но не опубликован до 1934 года. Независимо, Клессон Э. Мейсон из компании Foxboro в 1930 году изобрел широкополосный пневматический контроллер, объединив сопло и заслонку пневматического механизма с высоким коэффициентом усиления. усилитель, изобретенный в 1914 году, с отрицательной обратной связью с выхода контроллера. Это резко увеличило линейный диапазон работы усилителя сопла и заслонки, а также можно было бы добавить интегральное управление за счет использования прецизионного спускного клапана и сильфона, образующего интегральный член. Результатом стал контроллер «Stabilog», обеспечивающий как пропорциональные, так и интегральные функции с помощью сильфона обратной связи. Интегральный член получил название Reset . Позже к производному члену добавился дополнительный сильфон и регулируемое отверстие.

Примерно с 1932 года использование широкополосных пневматических контроллеров быстро увеличивалось в различных приложениях управления. Давление воздуха использовалось для генерации выходного сигнала контроллера, а также для питания устройств регулирования процесса, таких как регулирующие клапаны с диафрагменным приводом . Это были простые устройства, не требующие особого обслуживания, которые хорошо работали в суровых промышленных условиях и не представляли опасности взрыва в опасных местах . Они были отраслевым стандартом на протяжении многих десятилетий, пока не появились дискретные электронные контроллеры и распределенные системы управления .

Для этих контроллеров был установлен стандарт пневматической промышленной сигнализации 3–15 фунтов на кв. Дюйм (0,2–1,0 бар), который имел повышенный ноль, чтобы гарантировать, что устройства работают в пределах своей линейной характеристики, и представлял собой диапазон регулирования 0–100%.

В 1950-х годах, когда электронные усилители с высоким коэффициентом усиления стали дешевыми и надежными, стали популярны электронные ПИД-регуляторы, и пневматический стандарт был эмулирован сигналами токовой петли 10-50 мА и 4-20 мА (последний стал промышленным станда

ПИД-регулятор- полное описание, применение

ПИД (или английская аббревиатура — PID) – это регулятор, осуществляющий пропорциональное, интегрирующее и дифференциальное управление. ПИД регуляторы находят широкое применение в современных системах точного контроля, таких как управление термосистемами и системами позиционирования. Использование ПИД регуляторов помогает уменьшить энергетические потери на настройку системы и обеспечивают более быстрый выход на требуемые параметры.

В общем случае ПИД регулятор получает значение определяющего параметра от объекта (Рис. 1) и воздействует на управление, состояние которого влияет на исходный параметр. Классическим примером применения ПИД регулятора являются управление термосистемой, будь это нагреватель или холодильная установка. Данный пример интересен тем, что нагрев или охлаждение процессы достаточно инертные и зачастую снижение температуры получается естественным путем из-за потерь

Рис. 1

ПИД регуляторы применяются в системах, математическое описание которых трудоемко, или не может быть получено из-за случайного характера воздействия внешней среды или помех. Для термосистемы информация о состоянии объекта представляет собой значение температуры с датчика, а объект управления – нагреватель системы. Размерности графиков приведены условно, так как точная модель регулятора зависит от конкретных особенностей термосистемы.

Рис. 2

Пропорциональное управление рассчитывается как произведение постоянного коэффициента К_pна текущую ошибку отклонения. Если включить в обратную связь нагревателя термосистемы только пропорциональное управление, требуемую температуру вообще невозможно достичь (Рис. 2). Это связано с инерционностью системы, так как управление нагревателем должно осуществляется с учетом динамики повышения температуры объекта.

Интегральное регулирование реализуется умножениясуммы ошибок температурдо текущего момента временина интегральный коэффициент K_I. Для термосистем интегрирующее управление вполне может поддерживать заданную температуру(Рис. 3). Такое управление компенсирует запаздывание нагревание объекта и позволяет приблизиться к требуемому значению с большей или меньшей точностью. Для систем с меньшей инерционностью применения только интегрального управления неприменимо, так как запаздывание процесса накопления ошибки приведет к «вылетанию» регулируемого параметра и появлению колебаний.

Рис. 3

С применением дифференциального управления система получает возможность компенсировать возможную будущую ошибку параметра. Расчет дифференциальной составляющей численно выглядит как разность между текущим и предыдущим значением параметра, умноженную на коэффициент регулирования K_D. Так как используется измерения, выполненные в небольшом интервале времени, ошибки и внешнее воздействие сильно влияет на процесс регулирования. Дифференциальное управление в чистом виде трудно реализуется для большинства систем из-за указанных факторов.

Рис. 4

В сумме, три компоненты ПИД регулятора обеспечивает получение эффективного результата в коротком промежутке времени (Рис. 4).

На практике лучшие результаты достигаются подбором констант для каждого компонента регулирования. Также находят применения саморегулирующие ПИД контроллеры, для которых коэффициенты рассчитываются программным путем внутри системы.

Пишите комментарии, дополнения к статье, может я что-то пропустил. Загляните на карту сайта, буду рад если вы найдете на моем сайте еще что-нибудь полезное.

Поделиться ссылкой:

Похожее

Как работают ПИД-регуляторы

text.skipToContent
text.skipToNavigation

переключить

• Услуги

  • Конфигурируемые

    • Конфигурируемые

    • Датчик термопары

      • Зонд термопары

    • Датчики RTD

      • Датчики RTD

    • Датчики давления

      • Датчики давления

    • Термисторы

      • Термисторы

  • Калибровка

    • Калибровка

    • Инфракрасный датчик температуры

      • Инфракрасная температура

    • Относительная влажность

      • Относительная влажность

    • Давление

      • Давление

    • Сила / деформация

      • Сила / деформация

    • Поток

      • Поток

    • Температура

      • Температура

  • Обслуживание клиентов

    • Обслуживание клиентов

  • Заказное проектирование

    • Индивидуальное проектирование

  • Заказ по номеру детали

    • Заказ по номеру детали

• Ресурсы

Чат

Чат

Тележка

• • Услуги

    • Услуги

    • Конфигурируемые

      • Конфигурируемые

      • Зонд термопары

      • Датчики RTD

      • Датчики давления

      • Термисторы

    • Калибровка

      • Калибровка

      • Инфракрасная температура

      • Относительная влажность

      • Давление

      • Сила / деформация

      • Поток

      • Температура

    • Обслуживание клиентов

      • Обслуживание клиентов

    • Заказное проектирование

      • Индивидуальное проектирование

    • Заказ по номеру детали

      • Заказ по номеру детали

  • Ресурсы

    • Ресурсы

  • Справка

    • Справка

  • Измерение температуры

    • Измерение температуры

    • Датчики температуры

      • Температурные датчики

      • Зонды датчика воздуха

      • Ручные зонды

      • Зонды с промышленными головками

      • Зонды со встроенными разъемами

      • Зонды с выводами

      • Профильные зонды

      • Санитарные зонды

      • Зонды с вакуумным фланцем

      • Реле температуры

    • Калибраторы температуры

      • Калибраторы температуры

      • Калибраторы Blackbody

      • Калибраторы сухих блоков и ванн

      • Ручные калибраторы

      • Калибраторы точки льда

      • Тестеры точки плавления

    • Инструменты для измерения температуры и кабеля

      • Инструменты для измерения температуры и кабеля

      • Обжимные инструменты

      • Сварщики

      • Инструмент для зачистки проводов

    • Термометры циферблатные и стержневые

      • Термометры с циферблатом и стержнем

      • Термометры циферблатные

      • Цифровые термометры

      • Стеклянные термометры

    • Температура провода и кабеля

      • Температура провода и кабеля

      • Удлинительные провода и кабели

      • Монтажные провода

      • Кабель с минеральной изоляцией

      • Провода для термопар

      • Нагревательный провод и кабели

    • Бесконтактное измерение температуры

      • Бесконтактное измерение температуры

      • Фиксированные инфракрасные датчики температуры

      • Портативные инфракрасные промышленные термометры

      • Измерение температуры человека

      • Тепловизор

    • Этикетки, лаки и маркеры температуры

      • Этикетки, лаки и маркеры температуры

      • Необратимые температурные этикетки

      • Реверсивные температурные этикетки

      • Температурные маркеры и лаки

    • Защитные гильзы, защитные трубки и головки

      • Защитные гильзы, защитные трубки и головки

      • Защитные головки и трубки

      • Защитные гильзы

    • Чувствительные элементы температуры

      • Элементы датчика температуры

    • Датчики температуры поверхности

      • Датчики температуры поверхности

    • Датчики температуры проволочные

      • Проволочные датчики температуры

    • Температурные соединители, панели и блоки в сборе

      • Температурные соединители, панели и блоки в сборе

      • Проходы

      • Панельные соединители и узлы

      • Разъемы температуры

      • Клеммные колодки и наконечники

    • Регистраторы данных температуры и влажности

      • Регистраторы данных температуры и влажности

    • Измерители температуры, влажности и точки росы

      • Измерители температуры, влажности и точки росы

  • Контроль и мониторинг

    • Контроль и мониторинг

    • Движение и положение

      • Движение и положение

      • Двигатели переменного и постоянного тока

      • Акселерометры

      • Датчики смещения

      • Захваты

      • Датчики приближения

      • Поворотные смещения и энкодеры

      • Регуляторы скорости

      • Датчики скорости

      • Шаговые приводы

      • Шаговые двигатели

    • Сигнализация

      • Сигнализация

    • Счетчики

      • Метры

      • Счетчики и расходомеры

      • Многоканальные счетчики

      • Счетчики процесса

      • Счетчики специального назначения

      • Тензометры

      • Измерители температуры

      • Таймеры

      • Универсальные измерители ввода

    • Переключатели процесса

      • Переключатели процесса

      • Реле потока

      • Реле уровня

      • Ручные выключатели

      • Реле давления

      • Реле температуры

    • Контроллеры

      • Контроллеры

      • Контроллеры влажности и влажности

      • Контроллеры уровня

      • Контроллеры пределов

      • Многоконтурные контроллеры

      • ПИД-регуляторы

      • ПЛК

      • Регуляторы давления

      • Термостаты

    • Дополнительные платы

      • Дополнительные платы

    • Реле

      • Реле

      • Программируемые реле

      • Модули твердотельного ввода-вывода

      • Твердотельные реле

    • Воздух, почва, жидкость и газ

      • Воздух, почва, жидкость и газ

      • Преобразователи воздуха и газа

      • Контроллеры качества воды

      • Датчики качества воды

      • Датчики качества воды

    • Клапаны

      • Клапаны

      • Поршневые клапаны с угловым корпусом

      • Сливные клапаны

      • Предохранительные клапаны блокировки

      • Игольчатые клапаны

      • Пропорциональные клапаны

      • Электромагнитные клапаны

  • Проверка и проверка

    • Проверка и проверка

    • Бороскопы

      • Бороскопы

    • Портативные счетчики

      • Портативные счетчики

      • Токоизмерительные клещи

      • Децибел-метры

      • Газоанализаторы

      • Детекторы утечки газа

      • Метры Гаусса

      • Твердость

      • Светомеры

      • Мультиметры

      • Скорость

      • Измерители температуры, влажности и точки росы

      • Измерители вибрации

      • Анемометры

      • Манометры

    • Аэродинамические трубы

      • Аэродинамические трубы

    • Весы и весы

      • Весы и весы

    • Тепловизор

      • Тепловизор

    • Воздух, почва, жидкость и газ

      • Воздух, почва, жидкость и газ

      • Газоанализаторы

      • Решения для калибровки

      • Анализаторы хлора

      • Бумага для измерения pH

      • pH-метры

      • Измерители вязкости

      • Счетчики качества воды

      • Наборы для проверки воды

  • Сбор данных

    • Сбор данных

    • Модули сбора данных

      • Модули сбора данных

    • Преобразователи данных и переключатели

      • Преобразователи данных и переключатели

      • Преобразователи данных

      • Коммутаторы Ethernet

    • Формирователи сигналов

      • Формирователи сигналов

      • Преобразователи сигналов на DIN-рейку

      • Формирователи сигналов для монтажа на голове

      • Специальные кондиционеры

      • Датчики температуры и влажности

      • Универсальные программируемые передатчики

    • Регистраторы данных

      • Регистраторы данных

      • Регистрация данных по Ethernet и беспроводной сети

      • Многоканальные программируемые и универсальные регистраторы входных данных

      • Регистраторы давления, деформации и ударов

      • Регистраторы данных напряжения и тока процесса

      • Специальные регистраторы данных

      • Регистраторы данных состояния, событий и импульсов

      • Регистраторы данных температуры и влажности

    • Регистраторы

      • Регистраторы

      • Гибридные бумажные регистраторы

      • Безбумажные регистраторы

    • Программное обеспечение

      • Программное обеспечение

    • Интернет вещей и беспроводные системы

      • Интернет вещей и беспроводные системы

  • Измерение давления

    • Измерение давления

    • Манометры

      • Манометры

      • Аналоговые манометры

      • Цифровые манометры

    • Манометры

      • Манометры

    • Принадлежности для измерения давления

      • Принадлежности для измерения давления

      • Давление охлаждения Элементы

      • Кабели и соединители давления и усилия

      • Воздушные фильтры

      • Лубрикаторы для воздушных линий

      • Трубопроводная арматура

      • Демпферы давления

      • Труба по длине

    • Датчики давления

      • Датчики давления

    • Калибраторы давления

      • Калибраторы давления

    • Регуляторы давления

      • Регуляторы давления

    • Реле давления

      • Реле давления

  • Измерение силы и деформации

    • Измерение силы и деформации

    • Весы и весы

      • Весы и весы

    • Тензодатчики

      • Тензодатчики

      • Тензодатчики мембранные

      • Двойные параллельные тензодатчики

      • Тензодатчики линейные

      • Розеточные тензодатчики

      • Принадлежности для тензодатчиков

      • Кручение и сдвиг

ПИД-регулятор: типы, что это такое и как работает

текст.перейти к содержанию
text.skipToNavigation

переключить

• Услуги

  • Конфигурируемые

    • Конфигурируемые

    • Датчик термопары

      • Зонд термопары

    • Датчики RTD

      • Датчики RTD

    • Датчики давления

      • Датчики давления

    • Термисторы

      • Термисторы

  • Калибровка

    • Калибровка

    • Инфракрасный датчик температуры

      • Инфракрасная температура

    • Относительная влажность

      • Относительная влажность

    • Давление

      • Давление

    • Сила / деформация

      • Сила / деформация

    • Поток

      • Поток

    • Температура

      • Температура

  • Обслуживание клиентов

    • Обслуживание клиентов

  • Заказное проектирование

    • Индивидуальное проектирование

  • Заказ по номеру детали

    • Заказ по номеру детали

• Ресурсы

Чат

Чат

Тележка

• • Услуги

    • Услуги

    • Конфигурируемые

      • Конфигурируемые

      • Зонд термопары

      • Датчики RTD

      • Датчики давления

      • Термисторы

    • Калибровка

      • Калибровка

      • Инфракрасная температура

      • Относительная влажность

      • Давление

      • Сила / деформация

      • Поток

      • Температура

    • Обслуживание клиентов

      • Обслуживание клиентов

    • Заказное проектирование

      • Индивидуальное проектирование

    • Заказ по номеру детали

      • Заказ по номеру детали

  • Ресурсы

    • Ресурсы

  • Справка

    • Справка

  • Измерение температуры

    • Измерение температуры

    • Датчики температуры

      • Температурные датчики

      • Зонды датчика воздуха

      • Ручные зонды

      • Зонды с промышленными головками

      • Зонды со встроенными разъемами

      • Зонды с выводами

      • Профильные зонды

      • Санитарные зонды

      • Зонды с вакуумным фланцем

      • Реле температуры

    • Калибраторы температуры

      • Калибраторы температуры

      • Калибраторы Blackbody

      • Калибраторы сухих блоков и ванн

      • Ручные калибраторы

      • Калибраторы точки льда

      • Тестеры точки плавления

    • Инструменты для измерения температуры и кабеля

      • Инструменты для измерения температуры и кабеля

      • Обжимные инструменты

      • Сварщики

      • Инструмент для зачистки проводов

    • Термометры циферблатные и стержневые

      • Термометры с циферблатом и стержнем

      • Термометры циферблатные

      • Цифровые термометры

      • Стеклянные термометры

    • Температура провода и кабеля

      • Температура провода и кабеля

      • Удлинительные провода и кабели

      • Монтажные провода

      • Кабель с минеральной изоляцией

      • Провода для термопар

      • Нагревательный провод и кабели

    • Бесконтактное измерение температуры

      • Бесконтактное измерение температуры

      • Фиксированные инфракрасные датчики температуры

      • Портативные инфракрасные промышленные термометры

      • Измерение температуры человека

      • Тепловизор

    • Этикетки, лаки и маркеры температуры

      • Этикетки, лаки и маркеры температуры

      • Необратимые температурные этикетки

      • Реверсивные температурные этикетки

      • Температурные маркеры и лаки

    • Защитные гильзы, защитные трубки и головки

      • Защитные гильзы, защитные трубки и головки

      • Защитные головки и трубки

      • Защитные гильзы

    • Чувствительные элементы температуры

      • Элементы датчика температуры

    • Датчики температуры поверхности

      • Датчики температуры поверхности

    • Датчики температуры проволочные

      • Проволочные датчики температуры

    • Температурные соединители, панели и блоки в сборе

      • Температурные соединители, панели и блоки в сборе

      • Проходы

      • Панельные соединители и узлы

      • Разъемы температуры

      • Клеммные колодки и наконечники

    • Регистраторы данных температуры и влажности

      • Регистраторы данных температуры и влажности

    • Измерители температуры, влажности и точки росы

      • Измерители температуры, влажности и точки росы

  • Контроль и мониторинг

    • Контроль и мониторинг

    • Движение и положение

      • Движение и положение

      • Двигатели переменного и постоянного тока

      • Акселерометры

      • Датчики смещения

      • Захваты

      • Датчики приближения

      • Поворотные смещения и энкодеры

      • Регуляторы скорости

      • Датчики скорости

      • Шаговые приводы

      • Шаговые двигатели

    • Сигнализация

      • Сигнализация

    • Счетчики

      • Метры

      • Счетчики и расходомеры

      • Многоканальные счетчики

      • Счетчики процесса

      • Счетчики специального назначения

      • Тензометры

      • Измерители температуры

      • Таймеры

      • Универсальные измерители ввода

    • Переключатели процесса

      • Переключатели процесса

      • Реле потока

      • Реле уровня

      • Ручные выключатели

      • Реле давления

      • Реле температуры

    • Контроллеры

      • Контроллеры

      • Контроллеры влажности и влажности

      • Контроллеры уровня

      • Контроллеры пределов

      • Многоконтурные контроллеры

      • ПИД-регуляторы

      • ПЛК

      • Регуляторы давления

      • Термостаты

    • Дополнительные платы

      • Дополнительные платы

    • Реле

      • Реле

      • Программируемые реле

      • Модули твердотельного ввода-вывода

      • Твердотельные реле

    • Воздух, почва, жидкость и газ

      • Воздух, почва, жидкость и газ

      • Преобразователи воздуха и газа

      • Контроллеры качества воды

      • Датчики качества воды

      • Датчики качества воды

    • Клапаны

      • Клапаны

      • Поршневые клапаны с угловым корпусом

      • Сливные клапаны

      • Предохранительные клапаны блокировки

      • Игольчатые клапаны

      • Пропорциональные клапаны

      • Электромагнитные клапаны

  • Проверка и проверка

    • Проверка и проверка

    • Бороскопы

      • Бороскопы

    • Портативные счетчики

      • Портативные счетчики

      • Токоизмерительные клещи

      • Децибел-метры

      • Газоанализаторы

      • Детекторы утечки газа

      • Метры Гаусса

      • Твердость

      • Светомеры

      • Мультиметры

      • Скорость

      • Измерители температуры, влажности и точки росы

      • Измерители вибрации

      • Анемометры

      • Манометры

    • Аэродинамические трубы

      • Аэродинамические трубы

    • Весы и весы

      • Весы и весы

    • Тепловизор

      • Тепловизор

    • Воздух, почва, жидкость и газ

      • Воздух, почва, жидкость и газ

      • Газоанализаторы

      • Решения для калибровки

      • Анализаторы хлора

      • Бумага для измерения pH

      • pH-метры

      • Измерители вязкости

      • Счетчики качества воды

      • Наборы для проверки воды

  • Сбор данных

    • Сбор данных

    • Модули сбора данных

      • Модули сбора данных

    • Преобразователи данных и переключатели

      • Преобразователи данных и переключатели

      • Преобразователи данных

      • Коммутаторы Ethernet

    • Формирователи сигналов

      • Формирователи сигналов

      • Преобразователи сигналов на DIN-рейку

      • Формирователи сигналов для монтажа на голове

      • Специальные кондиционеры

      • Датчики температуры и влажности

      • Универсальные программируемые передатчики

    • Регистраторы данных

      • Регистраторы данных

      • Регистрация данных по Ethernet и беспроводной сети

      • Многоканальные программируемые и универсальные регистраторы входных данных

      • Регистраторы давления, деформации и ударов

      • Регистраторы данных напряжения и тока процесса

      • Специальные регистраторы данных

      • Регистраторы данных состояния, событий и импульсов

      • Регистраторы данных температуры и влажности

    • Регистраторы

      • Регистраторы

      • Гибридные бумажные регистраторы

      • Безбумажные регистраторы

    • Программное обеспечение

      • Программное обеспечение

    • Интернет вещей и беспроводные системы

      • Интернет вещей и беспроводные системы

  • Измерение давления

    • Измерение давления

    • Манометры

      • Манометры

      • Аналоговые манометры

      • Цифровые манометры

    • Манометры

      • Манометры

    • Принадлежности для измерения давления

      • Принадлежности для измерения давления

      • Давление охлаждения Элементы

      • Кабели и соединители давления и усилия

      • Воздушные фильтры

      • Лубрикаторы для воздушных линий

      • Трубопроводная арматура

      • Демпферы давления

      • Труба по длине

    • Датчики давления

      • Датчики давления

    • Калибраторы давления

      • Калибраторы давления

    • Регуляторы давления

      • Регуляторы давления

    • Реле давления

      • Реле давления

  • Измерение силы и деформации

    • Измерение силы и деформации

    • Весы и весы

      • Весы и весы

    • Тензодатчики

      • Тензодатчики

      • Тензодатчики мембранные

      • Двойные параллельные тензодатчики

      • Тензодатчики линейные

      • Розеточные тензодатчики

      • Принадлежности для тензодатчиков

      • Тензодатчики кручения и сдвига

      • Тензодатчики с Т-образной розеткой

    • Манометры

      • Манометры

    • Принадлежности для измерения силы и деформации

      • Принадлежности для измерения силы и деформации

      • Оборудование для тензодатчиков

      • Кабели и соединители давления и усилия

    • Тензодатчики

      • Тензодатчики

    • Весы для резервуаров

Стабилизация и отслеживание управления перевернутым маятником с использованием ПИД-регуляторов дробного порядка

В данной работе основное внимание уделяется использованию дробного исчисления для разработки надежного ПИД-регулятора дробного порядка (PI ^λ D ^μ ) контроллер для стабилизации и сопровождения системы перевернутого маятника (ИП).Метод прямой настройки на основе оптимизации роя частиц (PSO) используется для разработки двух контроллеров PI ^λ D ^μ для IP-системы без линеаризации фактической нелинейной модели. Функция пригодности минимизируется путем запуска модели SIMULINK IP-системы в соответствии с программой PSO в MATLAB. Производительность предлагаемых контроллеров PI ^λ D ^μ сравнивается с двумя ПИД-регуляторами. Результаты моделирования также получаются путем добавления возмущений в модель, чтобы показать надежность предложенных контроллеров.

1. Введение

Система перевернутого маятника (ИП), нелинейная и нестабильная система, широко используется в лабораториях для реализации и проверки новых идей, возникающих в технике управления. Управление IP-системой можно условно разделить на три части: управление поворотом, стабилизация и отслеживание. Регулировка поворота вверх в основном используется для поворота стержня маятника из положения ожидания в зону стабилизации. Тогда необходим контроль балансировки или стабилизации, чтобы удерживать его в вертикальном положении в течение длительного времени.Для эффективного управления необходим механизм переключения между зоной качания и стабилизацией [1, 2]. Для управления подъемом вверх была предложена техника, основанная на контроле энергии, Острём и Фурута [3].

В литературе доступно несколько различных методов стабилизации и отслеживания управления IP-системой, например, линейно-квадратичный регулятор (LQR), ПИД-управление, управление нейронной сетью, управление нечеткой логикой, нейронно-нечеткое управление, управление скользящим режимом и так далее. LQR, оптимальный контроллер с обратной связью по состоянию, разработанный путем минимизации индекса производительности, обычно используется в качестве контроллера для IP-системы, моделируемой в форме пространства состояний [4].Здесь модель пространства состояний IP-системы неизбежно линеаризуется, что приводит к ошибке моделирования. ПИД-регулятор, наиболее широко используемый для решения ряда задач промышленного управления, является одним из любимых контроллеров для IP-систем. Сравнение ПИД-регулятора с другими методами управления IP-системой проводилось во многих исследованиях [5, 6]. Основная задача проектирования ПИД-регулятора — выбор параметров управления для желаемого отклика. Некоторые методы настройки ПИД-регулятора для IP-системы можно найти в литературе [7–9].В [10] была исследована стабилизация, а также отслеживающее управление IP-системой с помощью реальной нелинейной модели с использованием ПИД-регуляторов, но не было разъяснено, как выбирать параметры регуляторов. Существуют также различные методы, кроме PID [11–15].

За последние два десятилетия дробное исчисление стало очень популярным среди исследователей различных направлений, но его происхождение так же древнее, как и у классического исчисления целого порядка. Дробное исчисление раньше не было популярным из-за его очень сложных математических выражений.Но с развитием вычислительных технологий стало возможным заниматься дробным исчислением. Дробное исчисление обеспечивает гораздо более точное и обобщенное решение по сравнению с исчислением целочисленного порядка. Применения дробного исчисления включают моделирование и управление физическими системами [16–18]. Одним из таких приложений является моделирование двухэлектрического маятника [19].

В области техники управления применением дробного исчисления является ПИД-регулятор дробного порядка (PI ^λ D ^μ ), который является усовершенствованной формой ПИД-регулирования.В некоторых недавних исследованиях [20–24] контроллер PI ^λ D ^μ дает лучшие результаты, чем ПИД-регулятор. Хотя есть некоторые применения контроллера PI ^λ D ^μ для IP-системы [25, 26], PI ^λ D ^μ контроллер не получил значительного внимания для нестабильных систем, подобных в систему IP.

Следовательно, в настоящей работе ПИД-регулятор дробного порядка разработан во временной области для управления углом маятника, а также положением тележки.ПИД-регулятор дробного порядка сложно разработать из-за использования дробного исчисления с очень сложными вычислениями. Поэтому используется прямой подход для расчета параметров обоих ПИД-регуляторов дробного порядка с помощью многокритериальной функции пригодности (функция приспособленности состоит из суммы интегральных квадратов угла маятника, положения тележки и управляющего напряжения). Функция приспособленности минимизируется путем запуска модели в соответствии с программой оптимизации роя частиц (PSO) [27–29] в MATLAB.В этой работе используется PSO, поскольку он обеспечивает большую сходимость к оптимальным значениям по сравнению с другими методами оптимизации и имеет простой алгоритм.

Остальная часть статьи разделена на следующие разделы. В разделе 2 дается описание системы перевернутого маятника и вывод уравнений системы в форме пространства состояний. В разделе 3 описывается дробное исчисление и структура контроллера PI ^λ D ^μ . Раздел 4 дает подробную информацию о PSO.Раздел 5 дает полное описание стратегии контроля. В разделе 6 сравниваются результаты моделирования для контроллера PI ^λ D ^μ и ПИД-регулятора с помехами и без них. Статья завершается выводами в разделе 7, за которым следуют ссылки.

2. Система перевернутого маятника

Как показано на рисунке 1, система IP имеет тележку, которая может перемещаться горизонтально. Один конец стержня маятника соединен с центром верхней поверхности тележки, которая называется точкой поворота, а другой конец может свободно перемещаться в вертикальной плоскости (-плоскости).Этот стержень маятника устойчив в крайнем нижнем положении и известен как нормальный маятник. Но когда стержень маятника остается в вертикальном положении, это известно как система IP. Это нестабильное состояние, при котором требуется постоянная балансирующая сила () на тележке, чтобы оставаться в вертикальном положении.

На рисунке 1 горизонтальная сила используется в качестве управляющего воздействия для смещения оси вращения вокруг оси, а общая кинетическая энергия (), обусловленная массой оси () в направлении, массой стержня маятника () в направлении и направлении, и потенциалом энергии () системы ИП [10], которые

где
= расстояние от оси поворота до центра масс маятника, () = положение оси в координате, () = скорость в координате, () = положение в координате, () = скорость в координата и = постоянная ускорения свободного падения.