C логическое и: Логические операторы. Справочник по C#

Руководство C# | Операторы отношения и логические операторы

 Мы запустили ТГ-канал по урокам C#

Toggle navigation

Professor Web

• C# 5.0 и .NET 4.5
  • Руководство C# — Часть 1
  • Руководство C# — Часть 2
  • Основы .NET
  • Сборки .NET
  • Потоки и файлы
  • Работа с сетью
  • Оптимизация приложений
• WPF
  • Основа WPF
  • Элементы управления WPF
  • Привязка и стили
  • Графика и анимация
  • Шаблоны WPF
  • Периферия WPF
• Темы WPF
  • Dark Blue UI
  • Dark Orange UI
• Silverlight 5
• Работа с БД
  • ADO.NET
  • Entity Framework 6
  • SQL Server 2012
  • Оконные функции
• LINQ
  • LINQ to Objects
  • LINQ to XML
  • LINQ to DataSet и SQL
  • LINQ to Entities
  • Parallel LINQ
• ASP.NET
  • Основы ASP.NET
  • Веб-сайты
  • Безопасность
  • Интернет магазин
  • ASP.NET Web Forms 4.5
  • ASP.NET MVC 5
  • Аутентификация
• Windows 8/10
  • WinRT — основы
  • WinRT — расширения
• Программы
  • Expression Blend 4
  • Visual Studio

Логические операции if / else — c++ — Каталог статей

Пока мы рассматривали только простые условия, которые выражали в терминах
операций отношения

и операций проверки на равенство

Каждое решение принималось на основе одного условия. Если мы хотим в процессе
принятия решения проверять несколько условий, мы вынуждены были бы реализовывать
эти проверки отдельными операторами или вложенными структурами

if или if/else.

Например,

#include < iostream.h >
// Необходимо определить принадлежит ли число, введенное пользователем, интервалу (1, 10). 
void main() 
{ 
 int i; 
 cout << "Input i: " << "\n"; 
 cin >> i; 
// Здесь мы используем вложенный оператор if 
 if ( i > 1 ) 
 if (i < 10 ) 
 cout << " i принадлежит интервалу (1, 10)"<< "\n"; 
 else 
 cout << " i не принадлежит интервалу (1, 10)" << "\n"; 
} 

Чтобы избежать подобных вложений, С++ предоставляет нам логические
операции, которые могут использоваться для формирования сложных условий
путем комбинирования простых.

Рассмотрим примеры каждой из них.

Предположим, мы хотим обеспечить в некоторой точке программы, чтобы
определенный путь расчета выбирался только в случае, когда два условия
одновременно истинны. Тогда мы можем применить логическую операцию
&& (логическое И), например:

if (gender == 1 && age >= 65)
++seniorFemales;

Этот оператор if содержит два простых условия. Условие gender ==
1 может проверяться, например, чтобы определить, является ли данное лицо
женщиной.

Условие age >= 65 проверяется, чтобы определить, является ли
человек пожилым гражданином. Проверка этих двух простых условий выполняется
первой, поскольку приоритет обеих операций == и >= выше, чем
приоритет операции & &. Затем оператор if рассматривает
комбинацию этих условий

(gender ==1) && (age >=
65)

и если она истинна, то выполняется оператор ++seniorFemales;

Таблица ниже поясняет действие операции && . Эта таблица
показывает все четыре возможных сочетания комбинаций ложного (false ,
нулевого) и истинного (true, ненулевого) значений первого и второго
выражений. Подобные таблицы часто называются таблицами истинности. C++
воспринимает как 0 или как 1 все выражения, содержащие операции отношения,
проверки на равенство или логические операции. Хотя C++ возвращает 1, если
результат равен true, он воспринимает как true любое ненулевое
значение.

Таким образом,

результат операции логического И ( &
&) будет истинна, тогда и только тогда, когда оба условия
истинны!

Теперь давайте посмотрим, как использование логического И ( & &)
упростит наш пример.

#include < iostream.h >
// Необходимо определить принадлежит ли число, введенное пользователем, интервалу (1, 10). 
void main() 
{ 
 int i; 
 cout << "Input i: " << "\n"; 
 cin >> i; 

 if ( i > 1 && i < 10 ) 
 cout << " i принадлежит интервалу (1, 10)"<< "\n"; 
 else 
 cout << " i не принадлежит интервалу (1, 10)" << "\n"; 
} 

Логическая операция || (логическое ИЛИ). Предположим, мы хотим обеспечить в
некоторой точке программы, чтобы определенный путь расчета выбирался только в
случае, когда хотя бы одно из двух условий истинно. В этом случае мы можем
применить логическую операцию ||. Например,

if (semesterAverage >= 90 || finalExam >= 90) cout << «Оценка
студента — A \n»;

Этот оператор также содержит два простых условия. Условие semesterAverage
>= 90 проверяется, чтобы определить, заслужил ли студент оценки «А» за курс в
результате постоянной работы в течение семестра. Условие finalExam >== 90
проверяется, чтобы определить, заслужил ли студент оценки «А» за курс вследствие
выдающихся результатов на заключительном экзамене. Затем оператор if
рассматривает комбинацию этих условий

(semesterAverage >= 90) || (finalExam >= 90)

и присуждает студенту оценку «А», если любое из этих условий или оба они
истины. Отметим, что сообщение «Оценка студента — А» не печатается только, если
оба простых условия ложны (если их значения равны 0). Ниже приводится таблица
истинности для логической операции ИЛИ (||).

Таким образом, результат операции логического ИЛИ (||) будет истинна, когда
хотя бы одно из двух условий истинна!

Операция && имеет более высокий приоритет, чем операция ||. Обе эти
операции имеют ассоциативность слева направо. Выражение, содержащее операции
&& и ||, оценивается только до тех пор, пока его истинность или ложность
не станет очевидной. Таким образом, анализ выражения

gender ==1 && age >= 65

будет немедленно остановлен, если значение gender не равно 1 (т.е. условие в
целом заведомо ложно), и продолжится, если значение gender равно 1 (т.е. в целом
может оказаться истинным, если будет истинным условие age >= 65).

C++содержит логическую операцию ! (логическое отрицание), чтобы программист
мог изменить значение условия на «противоположное». В отличие от операций
&& и ||, которые комбинируют два условия (и, следовательно, являются
бинарными операциями), операция отрицания имеет в качестве операнда только одно
условие (и, следовательно, является унарной операцией). Операция логического
отрицания помещается перед соответствующим условием, когда мы хотим выбрать
некоторый вариант расчета в случае, если первоначально (без учета операции
логического отрицания) это условие ложно. Приведем пример фрагмента программы:

if ( !(grade == sentineValue) ) cout << «Следующая оценка — » <<
grade <<«\n «;

Скобки, в которые помещено условие grade == sentineValue необходимы, так как
операция логического отрицания имеет более высокий приоритет, чем операция
проверки равенства. Ниже приводится таблица истинности операции логического
отрицания.

В большинстве случаев программист может избежать применения логического
отрицания, изменив выражение условия с помощью соответствующих операций
отношения и проверки равенства. Например, предыдущий оператор может быть записан
в виде

if ( grade != sentineValue ) cout << «Следующая оценка — » <<
grade << «\n «;

Подобная гибкость часто может помочь программисту выразить условие в наиболее
естественном и удобном виде. 

ЕГЭ по информатике — Задание 2 (Мощнейший метод)

Здравствуйте, дорогие друзья! Сегодня разберём, как решать второе задание из ЕГЭ по информатике 2020.

Во втором задании ЕГЭ по информатике у нас обычно есть логическая функция, которая зависит от логических переменных. Логические переменные могут принимать только два значения: 0 (Ложь) или 1 (Истина).

С логическими переменными можно производить логические операции. При решении второго задания из ЕГЭ по информатике необходимо твёрдо знать каждую логическую операцию, и давайте рассмотрим их.

Порядок выполнения логических операций:

1. () — операции в скобках
2. ¬ — логическое отрицание
3. ∧ — логическое умножение
4. ∨ — логическое сложение
5. ⟶ — следование
6. ≡ — равнозначность

Так же на ЕГЭ по информатике будет полезно знать логические формулы :
Ещё соотношения:

Передём к решению задач из ЕГЭ по информатике

Задача 1 (лёгкая)

Логическая функция F задаётся выражением z ∧ ¬y ∧ (w → x).
Дан частично з

правила построения и преобразования логических выражений

Алгебра логики позволяет легко преобразовывать логические выражения, что бывает очень полезно. В этой заметке я хочу максимально просто, без математических обозначений, которые непривычны большинству людей, рассказать об этих простых и мощных правилах.

Обозначения
Я буду придерживаться обозначений, ясных большинству людей и привычных для программистов.
• «Истина» — true
• «Ложь» — false
• Логическое «и» — and
• Логическое «или» — or
• Логическое отрицание — not

Порядок операций я буду обозначать скобками и буду предполагать, что отрицание имеет наибольший приоритет. То есть выражение

A and not B

следует понимать как

A and (not B)

Таблицы истинности
Коротко напомню правила выполнения операций

not true = false
false and false = false
false or false = false
not false = true
true and false = false
true or false = true
false and true = false
false or true = true
true and true = true
true or true = true

Свойства операций
Логические операции во многом аналогичны привычным математическим, но имеют и свою специфику.

Коммутативность — «от перестановки слагаемых сумма не изменяется»

A and B = B and A
A or B = B or A

Идемпотентность

X and X = X
X or X = X

Ассоциативность — порядок выполнения операций не важен

(A and B) and C = A and (B and C)
(A or B) or C = A or (B or C)

Дистрибутивность — раскрытие скобок

C or (A and B) = (C or A) and (C or B)
C and (A or B) = (C and A) or (C and B)

Законы де Моргана (ударение на «о»):

not (A and B) = (not A) or (not B)
not (A or B) = (not A) and (not B)

Законы поглощения:

A and (A or B) = A
A or (A and B) = A

Другие полезные закономерности, в которых фигурируют константы true и false:

A and true = A
A or true = true
A and false = false
A or false = A

A and (not A) = false
A or (not A) = true

Пример
Например, вам надо выполнить некое действие с файлом, «если дата его создания T меньше времени L, а если время T больше L, то требуется выполнение дополнительного условия P». Дословно это можно записать так:

T L and P)

Используем дистрибутивность — раскрываем скобки:

(T L) and (T

Первая скобка всегда «истина», а «истина и что-то — равно что-то». Получаем выражение:

T

Даже в таком простом выражении нам удалось вдвое уменьшить количество операций.

Про что здесь не рассказано
Строго говоря, алгебра логики рассматривает не только операции «и», «или» и «не». Другие операции не обладают всем перечисленными свойствами и заслуживают отдельного рассказа. Но я не стал здесь их рассматривать, так как в прикладном программировании используются преимущественно только три операции, а любые другие можно выразить через эти три.

Например, «исключающее или» можно выразить так:

A xor B = (A or B) and (not A or not B)
или
A xor B = (A and not B) or (B and not A)

C ++ Реляционные и логические операторы (с примерами)

В C ++ реляционные и логические операторы сравнивают два или более операндов и возвращают истинных или ложных значений.

Мы используем этих операторов при принятии решений.

Операторы отношения C ++

Оператор отношения используется для проверки связи между двумя операндами. Например,

  // проверяет, больше ли a, чем b
а> б;  

Здесь > — оператор отношения.Он проверяет, превышает ли a b или нет.

Если отношение истинно , оно возвращает 1 , тогда как если отношение ложно , оно возвращает 0 .

В следующей таблице перечислены операторы отношения, используемые в C ++.

== Оператор

Оператор "равно == " возвращает

.

• true - если оба операнда равны или одинаковы
• false - если операнды не равны

Например,

  int x = 10;
int y = 15;
int z = 10;

x == y // ложь
x == z // правда  

Примечание: Оператор отношения == - это не то же самое, что оператор присваивания = .Оператор присваивания = присваивает значение переменной, константе, массиву или вектору. Он не сравнивает два операнда.

! = Оператор

Оператор не равно ! = возвращает

• true - если оба операнда не равны
• false - если оба операнда равны.

Например,

  int x = 10;
int y = 15;
int z = 10;

x! = y // верно
x! = z // ложь  

> Оператор

Оператор больше > возвращает

• true - если левый операнд больше правого
• false - если левый операнд меньше правого

Например,

  int x = 10;
int y = 15;

x> y // ложь
y> x // истина  

<Оператор

Оператор «меньше» < возвращает

• true - если левый операнд меньше правого
• ложь - если левый операнд больше правого

Например,

  int x = 10;
int y = 15;

x  

> = Оператор

Оператор больше или равно > = возвращает

• true - если левый операнд больше или равен правому
• false - если левый операнд меньше правого

Например,

  int x = 10;
int y = 15;
int z = 10;

x> = y // ложь
y> = x // правда
z> = x // правда  

<= Оператор

Оператор «меньше или равно» <= возвращает

.

• true - если левый операнд меньше или равен правому
• ложь - если левый операнд больше правого

Например,

  int x = 10;
int y = 15;

x> y // ложь
y> x // истина  

Чтобы узнать, как реляционные операторы могут использоваться со строками, обратитесь к нашему руководству здесь.

Логические операторы C ++

Мы используем логические операторы, чтобы проверить, является ли выражение истинным или ложным . Если выражение истинно , оно возвращает 1 , тогда как если выражение ложно , оно возвращает 0 .

Оператор логического И в C ++

Оператор логического И && возвращает

.

• true - если и только если все операнды true .
• false - если один или несколько операндов являются false .

Таблица истинности оператора &&

Пусть a и b будут двумя операндами. 0 представляет ложных , а 1 представляет истинных . Затем

Как видно из приведенной выше таблицы истинности, оператор && возвращает истину только в том случае, если оба значения a и b истинны.

Примечание. Оператор логического И && не следует путать с оператором побитового И &.

Пример 1: C ++ Оператор OR

  // Программа на C ++, демонстрирующая таблицу истинности оператора &&

#include 
используя пространство имен std;

int main () {
    int a = 5;
    int b = 9;
  
    // ложь && ложь = ложь
    cout << ((a == 0) && (a> b)) << endl;
  
    // ложь && истина = ложь
    cout << ((a == 0) && (a  b)) << endl;

    // истина && истина = истина
    cout << ((a == 5) && (a  

Выход

  0
0
0
1  

В этой программе мы объявляем и инициализируем две переменные int a и b со значениями 5 и 9 соответственно.Затем выводим логическое выражение

  ((a == 0) && (a> b))  

Здесь a == 0 оценивается как false , поскольку значение a равно 5 . a> b также является ложным , поскольку значение a меньше, чем значение b . Затем мы используем оператор И && , чтобы объединить эти два выражения.

Из таблицы истинности оператора && мы знаем, что false && false (т.е. 0 && 0 ) приводит к оценке ложного ( 0 ). Это результат, который мы получаем на выходе.

Аналогичным образом мы вычисляем три других выражения, которые полностью демонстрируют таблицу истинности оператора && .

Оператор логического ИЛИ в C ++

Оператор логического ИЛИ || возвращает

• true - если один или несколько операндов равны true .
• false - если и только если все операнды false .

Таблица истинности || Оператор

Пусть a и b будут двумя операндами. Затем

Как видно из приведенной выше таблицы истинности, || Оператор возвращает false, только если оба значения a и b ложны.

Пример 2: Оператор OR в C ++

  // Демонстрация программы на C ++ || таблица истинности операторов

#include 
используя пространство имен std;

int main () {
    int a = 5;
    int b = 9;
  
    // ложь && ложь = ложь
    cout << ((a == 0) || (a> b)) << endl;
  
    // ложь && истина = истина
    cout << ((a == 0) || (a  b)) << endl;

    // истина && истина = истина
    cout << ((a == 5) || (a  

Выход

  0
1
1
1  

В этой программе мы объявляем и инициализируем две переменные int a и b со значениями 5 и 9 соответственно.Затем выводим логическое выражение

  ((a == 0) || (a> b))  

Здесь a == 0 оценивается как false , поскольку значение a равно 5 . a> b также является ложным , поскольку значение a меньше, чем значение b . Затем мы используем оператор ИЛИ || , чтобы объединить эти два выражения.

Из таблицы истинности || , мы знаем, что ложь || ложный (т.е. 0 || 0 ) приводит к оценке ложных ( 0 ). Это результат, который мы получаем на выходе.

Аналогичным образом мы вычисляем три других выражения, которые полностью демонстрируют таблицу истинности || оператор.

Оператор логического НЕ в C ++!

Логический оператор НЕ ! - унарный оператор, т.е. принимает только один операнд.

Он возвращает true , когда операнд false , и false , когда операнд true .

Таблица Правды! Оператор

Пусть a будет операндом. Затем

Пример 3: C ++! Оператор

  // Демонстрация программы на C ++! таблица истинности операторов
#include 
используя пространство имен std;

int main () {
    int a = 5;
  
    //! false = true
    cout < 

Выход

  1
0  

В этой программе мы объявляем и инициализируем переменную int a со значением 5 .Затем выводим логическое выражение

 ! (А == 0)  

Здесь a == 0 оценивается как false , поскольку значение a равно 5 . Однако мы используем оператор НЕ ! по а == 0 . Поскольку a == 0 оценивается как false , ! Оператор инвертирует результаты a == 0 , и окончательный результат будет true .

Аналогично, выражение ! (A == 5) в конечном итоге возвращает false , потому что a == 5 равно true .

Логические операторы в C # .Net

В этом посте asp.net c # мы изучим логические операторы на примере.

Логические операторы в C # .Net

Язык C # поддерживает три основных логических оператора. Логические операторы возвращают true или false в качестве вывода.
Логические операторы используются, когда у нас есть условный оператор, такой как оператор if.

C # Поддерживает следующие логические операторы

Предположим, что переменная X истинна, а переменная Y ложна, тогда

Логический оператор &&

Логический оператор && произносится как оператор И.Он возвращает истину, если оба или все условия истинны, и возвращает ложь, если одно из условий ложно.

Предположим, что переменная int X = 10 и переменная Y = 5, тогда

, если (X = 10 && Y = 4)
{
Результат = «Истина»;
}
else
{
Результат = «Ложь»;
}

Здесь вывод: Результат = «Ложь» , потому что второе условие Y = 4 неверно.

Пример логического оператора && в Visual Studio с языком C #.

Создайте веб-форму, как показано на экране ниже, с двумя текстовыми полями, кнопкой и надписью.Текстовое поле для имени пользователя и пароля и управление меткой для отображения результата.

Здесь мы предполагаем, что имя пользователя = «meera» и пароль = «123 ″, когда мы пытаемся войти в систему с тем же именем пользователя и паролем, которые мы предполагали, затем возвращаем сообщение, такое как добро пожаловать в систему, другое мудрое сообщение об ошибке, такое как недопустимые учетные данные.

Логический пример оператора && AND в C #

Здесь мы используем оператор && в условии if для проверки правильности или неправильности имени пользователя и пароля. В приведенном выше примере c # .net сначала мы вводим username = meera и password = 123 , затем результат: Welcome to System , и когда мы пытаемся username = meera и password = 234 , результатом будет Invalid Credential , потому что значение пароля неверно, как мы предполагаем.

Код C # для примера выше:

Пример логического оператора && в логическом операторе C #

||

Логический || оператор произносится как оператор ИЛИ в C #.

Как мы узнали выше, если мы используем оператор &&, тогда оба условия должны быть истинными, но в || или оператор одно из условий истинно из всех, он отобразит сообщение «Добро пожаловать в систему».

Логический || Пример оператора ИЛИ в C #

Код C # для примера выше

  с использованием системы;
используя System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Web;
using System.Web.UI;
using System.Web.UI.WebControls;

открытый частичный класс Opertorss: System.Web.UI.Page
{
    protected void Page_Load (отправитель объекта, EventArgs e)
    {

    }
    protected void btnlogin_Click (отправитель объекта, EventArgs e)
    {
        если (txtuname.Text == "meera" || txtupass.Text == "123")
        {
            lblmsg.Text = "Добро пожаловать в систему";
        }
        еще
        {
            lblmsg.Text = "Недействительные учетные данные";
        }
    }
}  

Логический оператор!

Логический оператор! произносится как оператор НЕ в C #.

Если условие истинно, то оператор логического НЕ возвращает ложь.

Предположим, что переменная int X = 10 и переменная Y = 5, тогда

if (X! = Y)
{
result = «X не равно Y»;
}
else
{
result = «X равно Y»;
}

Здесь вывод: результат = «X не равно Y» , потому что значения X и Y не совпадают, поэтому верните блок true.

Мы надеемся, что это руководство по asp.net помогло вам разобраться в логических операторах в C #.

В следующем туториале asp.net мы узнаем об операторах отношения.

Математические операции и элементарные функции · Язык Julia

• Julia Документация
• Руководство
  • Начало работы
  • Переменные
  • Целые числа и числа с плавающей запятой
  • Математические операции и элементарные функции
  • Побитовые операторы
  • Арифметические операции
  • Операторы обновления
  • Векторизованные операторы с точками
  • Числовые сравнения
  • Приоритет и ассоциативность операторов
  • Числовые преобразования
• Комплексные и рациональные числа
• Строки
• Параметры
• Функции
• Управление потоком функций Типы
• Методы
• Конструкторы
• Преобразование и продвижение
• Интерфейсы
• Модули
• Документация
• Метапрограммирование
• Многомерные массивы
• Отсутствующие значения 90 146
• Сеть и потоки
• Параллельные вычисления
• Асинхронное программирование
• Многопоточность
• Многопроцессорность и распределенные вычисления
• Запуск внешних программ
• Вызов кода среды C и Fortran
• Обработка вариаций операционной системы14
• Встраивание кода Julia
• Загрузка кода
• Профилирование
• Трассы стека
• Советы по производительности
• Советы по рабочему процессу
• Руководство по стилю
• Часто задаваемые вопросы
• Заслуживающие внимания отличия от других языков
• 143 Входные данные Unicode

Essentials

90 ation

Версия

Logical Graphs - OeisWiki 9000 Logical Graphs (OeisWiki)

Логический граф - это теоретико-графовая структура в одной из систем графического синтаксиса, разработанных Чарльзом Сандерсом Пирсом для логики.

В своих работах по качественной логике, , энтуитивных графах, и экзистенциальных графах, , Пирс разработал несколько версий графического формализма или теоретико-графического формального языка, предназначенного для интерпретации в логике.

За столетие, прошедшее после того, как Пирс инициировал эту линию развития, множество формальных систем разветвились от того, что абстрактно является той же самой формальной базой теоретико-графовых структур. В этой статье исследуется общая основа этих формальных систем с высоты птичьего полета, уделяя особое внимание тем аспектам формы, которые являются общими для всего семейства алгебр, исчислений или языков, независимо от того, как они используются в данном приложении.

Абстрактная точка зрения

	Wollust ward dem Wurm gegeben…
	- Фридрих Шиллер, An die Freude

Рассматриваемая точка зрения с высоты птичьего полета более формально известна как перспектива формальной эквивалентности, убрав ее, невозможно увидеть многие различия, которые кажутся важными на более низких уровнях абстракции. В частности, выражения различных формализмов, синтаксические структуры которых изоморфны с точки зрения алгебры или топологии, не признаются как отличные друг от друга в каком-либо значимом смысле.Хотя мы можем мимоходом отметить такие исторические подробности, как то обстоятельство, что Чарльз Сандерс Пирс использовал символ с лентой и крестом , а Джордж Спенсер Браун использовал квадратный маркер плотника , тема, представляющая основной интерес на абстрактном уровне формы, нейтральна. что касается вариаций этого порядка.

Вместо начала

Рассмотрим формальные уравнения, показанные на рисунках 1 и 2.

	(1)
	(2)

В настоящее время эти две формы преобразования могут называться аксиомами или исходными уравнениями .

Двойственность: логическая и топологическая

Есть два типа двойственности, которые следует учитывать отдельно при использовании логических графов - логическая двойственность и топологическая двойственность.

Существует стандартный способ, которым графы того порядка, который рассматривал Пирс, встроенные в непрерывное многообразие, подобное тому, которое обычно представляет собой плоский лист бумаги, - с бумажными мостиками, которые Пирс использовал для расширения своего топологического рода или без них, - могут быть представлены в линейном тексте как так называемые строки синтаксического анализа или строки обхода и проанализированы в структуры указателей в памяти компьютера.{\ prime \ prime} \!} или выделите на текстовом дисплее следующим образом:

(~ (~) ~) {\ displaystyle {\ texttt {(~ (~) ~)}} \!}

= {\ displaystyle = \!}

Когда мы переходим к представлению соответствующих выражений в памяти компьютера, где ими можно манипулировать с максимальной легкостью, мы начинаем с преобразования плоских графов в их топологические двойники. Плоские области исходного графа соответствуют узлам (или точкам) двойного графа, а границы между плоскими областями исходного графа соответствуют ребрам (или линиям) между узлами двойного графа.

Например, наложив соответствующие дуальные графы на показанные выше плоские графы, мы получим следующую составную картину:

(4)

Хотя на самом деле этого нет в самой абстрактной топологии вопроса, по разным прагматическим причинам мы вынуждены выделять наиболее удаленную область плоскости отличительным образом и отмечать ее как корневой узел . соответствующего дуального графа.В настоящем стиле рисунка корневые узлы отмечены горизонтальными сквозными штрихами.

Извлекая двойственные графы из их составных матриц, мы получаем такую ​​картину:

.