Топографическая диаграмма напряжений как строить: Топографическая диаграмма | Электрикам

Топографическая диаграмма | Электрикам

Напряжение на выводах цепи переменного тока или на любом из её участков можно выразить комплексным числом – комплексным напряжением и изобразить на комплексной плоскости вектором. Напряжение между двумя точками электрической цепи представляет собой разность потенциалов между этими точками. Следовательно, потенциалы отдельных точек цепи также можно представить комплексами – комплексными потенциалами и изображать соответствующими векторами. Вектор, изображающие комплексный потенциал, начинается в начале координат; его конец обозначают той же буквой (или цифрой), что в точке цепи, потенциал которой изображает вектор. Например, на рисунке 1 построены векторы комплексных потенциалов  ϕ_а = 10 + j20 В и ϕ_б = 30 – j15 В и разность векторов или вектор напряжения U_аб = ϕ_а — ϕ_б = 10 + j20 – 30 + j15 = -20 + j35 В.

Напряжение U_аб построено по правилу вычитания векторов, так что ϕ_а  = ϕ_б + U_аб рисунок 1. Поэтому напряжение U_аб изображается вектором, направленным от точки б (второй индекс у напряжения  U_аб) к точке а  (первый индекс).

Напряжение U_ба = ϕ_б — ϕ_а  = 30 – j15 -10 — j20 В = 20 – j35 В. Очевидно, U_ба = — U_аб и изображается вектором, направленным от точки а к точке б (штриховая линия на рисунке 1).

Рисунок 1 — Комплексные потенциалы

Такая векторная диаграмма называется топографической; она удовлетворяет двум условиям:

1. Каждой точке электрической цепи соответствует определенная точка на векторной диаграмме и
2. вектор, проведённый из начала координат в какую-либо точку диаграммы изображает комплексный потенциал соответствующей точки цепи.

Построение топографической диаграммы

При построении топографической диаграммы потенциал одной из точек цепи принимают равным нулю и на диаграмме точку нулевого потенциала совмещают с началом координат. На такой диаграмме отрезок, соединяющий любые две точки, также определяет комплексное напряжение между соответствующими точками цепи.

Рисунок 2 а — Неразветвлённая цепь

На рисунке 2, а представлена неразветвлённая цепь.

1) Для построения топографической диаграммы примем, например, потенциал точки д равным нулю, т.е. ϕ_д = 0.

2) Обходим контур в направлении, встречно току, определим потенциалы всех точек цепи. Начальную фазу общего тока примем равной нулю, т. е. I = I, поэтому вектор тока I направлен вдоль положительной полуось действительных величин.

3) Потенциал точки г или ϕ_г  выше потенциала ϕ_д на падение напряжения в сопротивлении R2, т.е. на R2*I или ϕ_г  = ϕ_д  R2*I = 0 + R2*I = R2*I. Построив вектор R2*I, получим на диаграмме точку г.

4) Потенциал точки в или ϕ_в  больше потенциала ϕ_г, на падение напряжения на индуктивном сопротивлении X_L2  или в комплексной форме на jX_L2*I. Построив вектор напряжения U_вг = ϕ_в — ϕ_г = jX_L2*I, начинающийся в точке г и опережающий ток по фазе на 90 градусов (индуктивное сопротивление — вектор направлен вверх), получим точку в.

5) Потенциал точки б или ϕ_б  больше ϕ_в на падение напряжения R1*I. Построив из точки в вектор напряжения U_бв = ϕ_б — ϕ_в = R1*I, параллельный току, находим точку б.

6) Потенциал точки а или ϕ_а  больше ϕ_б на падение напряжения на емкости -jXc1*I. Построив из точки б вектор напряжения U_аб = ϕ_а — ϕ_б = -jXc1*I, отстающий по фазе от тока на угол 90 градусов (емкостное сопротивление — вектор напряжения направлен вниз), получим точку а.

Вектор, соединяющий  точки д и а направленный от точки д к точке  а, изображает напряжение U_ад на выходах цепи.

Необходимо учесть, что векторы напряжений на топографической диаграмме имеют по отношению к точкам цепи направления, обратные положительным направлениям напряжений относительно тех же точек цепи.

Например, напряжение U_вд = ϕ_в — ϕ_д , направленное на схеме от точки в к точке д (по направлению тока), на топографической диаграмме имеет противоположное направление относительно этих точек, что согласуется с правилом вычитания векторов, согласно которому вектор разности всегда направлен в одну сторону с уменьшаемым вектором.

Построение топографической диаграммы — Мегаобучалка

На рис. 2.3 представлена векторная диаграмма токов ветвей рассматриваемой схемы в соответствии с масштабом по току М_I: 1 деление – 0,5 А. Диаграмма токов позволяет проверить графическим путем выполнение соотношений по I закону Кирхгофа.

В соответствии с принятыми на рис. 2.2 обозначениями рассчитываются значения потенциалов точек цепи. Потенциал точки А принимается равным нулю.

проверка 1:

проверка 2:

проверка 3:

Выбираем масштаб по напряжению М_U для построения диаграммы: 1 деление – 20 В.

На рис. 2.4 изображена топографическая диаграмма напряжений, позволяющая проверить графическим путем выполнение соотношений по II закону Кирхгофа.

На рис. 2.5 изображена совмещенная диаграмма токов и напряжений, позволяющая проверить выполнение соотношений по закону Ома в символической форме для всех пассивных элементов цепи.

2.4.6. Метод узловых потенциалов

Для рассматриваемой цепи (рис. 2.6), содержащей 4 узла, система, составленная в соответствии с методом узловых потенциалов, должна содержать 3 уравнения. Выберем в качестве опорного узел 4.

Имеем:

Так как в цепи имеется ветвь с идеальным источником ЭДС, потенциал узла 1 известен и равен . Таким образом, число неизвестных потенциалов сокращается до двух, и, соответственно, число совместно рассматриваемых уравнений в системе сократится до двух:

собственные узловые проводимости:

общие узловые проводимости:

; ;

узловые токи: .

Решив систему уравнений, определим неизвестные и . Далее, используя обобщенный закон Ома, рассчитаем токи ветвей:

Ток определим по I закону Кирхгофа:

.

Напряжение на источнике тока определим по II закону Кирхгофа:

.

Проверка баланса мощностей и расчет потенциалов точек для построения векторной диаграммы ведется в соответствии с алгоритмом, приведенным в пп. 4.2.4, 4.2.5.

Метод наложения

С использованием принципа суперпозиции рассчитывается ток . Поскольку в цепи два источника, для определения искомого тока строятся две подсхемы, каждая из которых содержит только один из источников, а второй исключается в соответствии с правилом, изложенным в п.п. 3.4.

Расчет составляющей по схеме (рис. 2.7)

.

.

Расчет составляющей по схеме (рис. 2.8)

.

Искомый ток

.

Метод эквивалентного генератора

С использованием теоремы об активном двухполюснике определяется ток .

Напряжение холостого хода на зажимах активного двухполюсника определяется по II закону Кирхгофа (рис. 2.9):

, следовательно,

.

Ток определяется по формуле

.

Топографическая векторная диаграмма — Студопедия

Частным случаем векторной диаграммы является топографическая векторная диаграмма, на которой откладываются комплексные потенциалы отдельных точек цепи по отношению к одной точке, потенциал которой принят равным нулю. Порядок расположения векторов на топографической диаграмме соответствует порядку расположения элементов цепи.

Отметим, что по определению топографическая диаграмма используется как геометрическая интерпретация второго закона Кирхгофа (т.е. на ней откладываются векторы напряжений).

Существуют два способа построения топографической диаграммы.

I способ.

Строят, двигаясь по элементам цепи в направлении, совпадающем с направлением тока. В этом случае вектор напряжения на диаграмме и соответствующая стрелка напряжения на схеме ориентированы одинаково – от высшего потенциала к низшему.

Рассмотрим в качестве примера цепь рис. 3.15.

Рис. 3.15

Отложим на комплексной плоскости вектор тока под углом к действительной оси (рис. 3.16).

Рис. 3.16

Обозначим промежуточные точки рассматриваемой цепи буквами a, b, d, h. Обход контура будем совершать по направлению тока (т. е. по часовой стрелке), принимая комплексный потенциал точки а равным нулю. Последнее приводит к тому, что на комплексной плоскости точка а расположена в начале координат (рис. 3.16).

При движении в выбранном направлении по элементам цепи из точки а (рис. 3.15) первым элементом цепи является емкость с. Откладываем на топографической диаграмме из точки а вектор напряжения на емкости , который отстает от тока на угол (рис. 3.17). Конец вектора определяет величину комплексного потенциала точки b на векторной диаграмме.

Следующий элемент цепи при движении по направлению тока – сопротивление r (см. рис. 3.15). Откладываем на топографической диаграмме вектор напря­жения на сопротивлении , который совпадает по направлению с вектором тока (рис. 3.18).

Рис. 3.17

Рис. 3.18

Конец вектора определяет величину комплексного потенциала точки d на векторной диаграмме.

Следующий элемент цепи при движении по направлению тока – индуктивность L (см. рис. 3.15). Откладываем на топографической диаграмме вектор напряжения на индуктивности , который опережает вектор тока (рис. 3.19). Конец вектора определяет величину комплексного потенциала точки h на векторной диаграмме.

Разность потенциалов точек a и h равна входному напряжению цепи (см. рис. 3.15). Для получения соответствующего вектора на диаграмме необходимо соединить прямой линией точки a и h. Конец вектора на диаграмме должен быть направлен так же, как и стрелка напряжения на схеме, – от точки а к точке h (рис. 3.20).

Рис. 3.19

Рис. 3.20

Угол между векторами напряжения и тока (рис. 3.20) равен углу сдвига фаз . В данном случае входное напряжение опережает ток и цепь имеет активно-индуктивный характер.

2 способ.

Строят, двигаясь по элементам цепи в направлении, противоположном направлению тока. В этом случае вектор напряжения на диаграмме направлен от точки низшего потенциала к точке высшего потенциала. Это же напряжение на схеме указывается стрелкой противоположного направления.

Итак, будем совершать обход цепи рис. 3.21 в направлении, противоположном току, принимая комплексный потенциал точки h равным нулю.

Рис. 3.21

Последнее приводит к тому, что на комплексной плоскости точка h расположена в начале координат (рис. 3.22).

Рис. 3.22

При движении в выбранном направлении по элементам цепи из точки h (рис. 3.21) первым элементом цепи является индуктивность L. Откладываем на топографической диаграмме из точки h вектор напряжения на индуктивности , который опережает вектор тока (рис. 3.23). Конец вектора определяет величину комплексного потенциала точки d на векторной диаграмме.

Рис. 3.23

Продолжая движение в выбранном направлении по элементам цепи и осуществляя аналогичные построения, получим результирующую топографическую диаграмму рис. 3.24.

Рис. 3.24

Сравнение векторных диаграмм рис. 3.20 и 3.24, построенных двумя способами, показывает их полную идентичность (векторы одноименных величин на диаграммах имеют одинаковое направление). Область преимущественного использования второго способа – трехфазные цепи.

3. Построение топографической диаграммы напряжений и векторной диаграммы токов

1.
Векторную диаграмму токов строим так
же, как в задаче 1 (рис. 3. 2)

2.
Условно заземляем точку s.

3.
Потенциал точки h
определятся уравнением

4.
Потенциала точки f

.
Для нахождения потенциала точкиf
на топографической диаграмме проводим
вектор
параллельно токув направлении противоположном току
(рис. 3. 2).

5.
Потенциала точки e
.
Для определения потенциала точкиe
на топографической диаграмме проводим
и конца вектора
векторперпендикулярный току,
направленный в сторону опережения
(рис. 3. 2).

6.
Потенциала точки a
.
Потенциал точкиa
на топографической диаграмме определяется
концом вектора
,
который проводим из точкиe
перпендикулярно
току

в сторону отставания (рис. 3. 2).

7.
Потенциалы точек d,
c,
b,
n,
m,
k
определяются
аналогично.

Данные,
необходимые для построения векторной
и топографической диаграмм, сведены в
табл. 3.11 и 3.12.

Таблица
3.11

Таблица
3.12

По
данным табл. 3.11 и 3.12 на рис. 3.2 построены
векторная и топографическая диаграммы.

Рис.
3.2. Векторная диаграмма токов и
топографическая диаграмма напряжений

Для
проверки правильности расчетов и
построения топографической диаграммы
в табл. 3.13 приведены результаты расчетов
потенциала точки а
по уравнениям:

по первой ветви

где
;;;

при
,
при.

Аналогично
рассчитывается потенциал точки а
по
второй и третьей ветвям. Результаты
расчетов сведены в табл. 3.13.

Таблица
3.13

Сравнивая
результаты расчетов потенциалов и
результаты построения топографической
диаграммы делаем вывод, что построение
диаграммы проведено без
ошибок.

Топографические диаграммы

Топографические
диаграммы – это изображение на комплексной
плоскости точек, соответствующих концам
векторов комплексных потенциалов точек
схемы. Такая картинка позволяет начертить
комплексные напряжения между точками,
не загромождая чертёж. Такую диаграмму
строят либо по результатам расчёта,
либо качественно.

Построения количественной топографической диаграммы

Примерный
порядок построения количественной
топографической диаграммы.

1. Выбирают масштаб
для тока.

2.
На комплексной плоскости из начала
координат откладывают векторы токов.

3.
Правильность расчета токов схемы
проверяют геометрически по первому
закону Кирхгофа.

4.
Выбирают масштаб для напряжения.

5.
Схему разбивают на участки, содержащие
один элемент. Точки, соответствующие
концам этих участков, обозначают цифрами
(номера узлов не меняют).

6.
Для схемы с одним источником энергии
принимают равным нулю потенциал узла,
в который входит ток самой удаленной
от источника и нагруженной ветви. В
общем случае принимают равным нулю
потенциал любого узла схемы. Точку с
нулевым потенциалом располагают в
начале координат, с нее и начинают
построение диаграммы.

7.
Последовательно обходят все элементы
каждого контура. Обход контура ведут
по возможности против направления тока,
так как это направление возрастания
потенциала. В этом случае для получения
потенциалов соседних точек схемы
необходимо прибавлять напряжение на
элементах, что проще, чем вычитать. На
диаграмме последовательно откладывают
и обозначают векторы напряжений на всех
элементах контура. Указывают номер
потенциала соответствующей точки схемы.

8.
Проверяют правильность расчета напряжений
на элементах схемы геометрически по
второму закону Кирхгофа.

9.
Правильность расчета режима схемы
проверяется по топографической диаграмме
— диаграмма должна быть замкнутой.

Построение диаграммы качественно

Качественное
построение производят только в
сравнительно простых цепях, в которых,
как правило, есть один источник энергии.

Построение
производят в следующем порядке.

1.
Выбирают направление тока ветвей так,
чтобы удобно вести по­строение против
направления тока.

2.
Схему разбивают на участки, включающие
один элемент.

3.
Задают на комплексной плоскости
направление вектора тока в самой дальней
от источника и нагруженной ветви и
помещают вектор в начало комплексной
плоскости.

4.
Потенциал узла, в который ток этой ветви
входит, принимают за ноль. Эту точку
располагают в начале комплексной
плоскости.

5.
Находят с помощью закона Ома и первого
закона Кирхгофа потенциалы соседних
точек и токи соседних ветвей. Процесс
продолжают до тех пор, пока ни получены
все токи ветвей и все потенциалы узлов
схемы.

6. Проверка — диаграмма
должна быть замкнутой.

Задают
направление вектори помещают вектор в начало комплексной
плоскости.

Принимают
(в
этом случае для получения большинства
потенциалов точек схемы надо будет
прибавлять напряжение на элементах
схемы, что проще, чем вычитать их). Точку
4 располагают в начале комплексной
плоскости.

ПОСТРОЕНИЕ ВОЛНОВОЙ И ВЕКТОРНОЙ ДИАГРАММ — Студопедия.Нет

Волновая диаграмма

По найденному комплексному значению тока мы можем записать уравнение его мгновенного значения:

(12.1)

Амплитуду тока мы получаем, умножив на модуль комплекса действующего значения тока, а начальная фаза равна аргументу последнего. Так, мгновенное значение тока первой ветви, определяемое по найденному выше его комплексному значению, имеет вид:

(12.2)

Аналогично:

.

Графическое изображение уравнения (12.1) называется волновой диаг­раммой.

При построении графика прежде всего определяем те значения угла , при которых ток имеет максимальное значение и равен нулю:

= 0 при – 14,7° = 0, т. е. при = 14,7° и

при – 14,7° = 180°, т. е. при = 194,7°;

при – 14,7° = 90°, т. е. при = 104,7°.

Кроме того, необходимо взять еще несколько промежуточных точек. Причем достаточно взять их только для первой полуволны синусоиды, так как остальная часть кривой может быть построена из условий симметрии.

В табл. 12.1 приведены различные значения угла и соответствующие им значения тока, вычисленные по формуле (12.2).

Таблица 12.1

Данные для построения волновой диаграммы тока первой ветви

Построенная по этим данным кривая представлена на рис. 12.1.

Обращаем внимание на то, что при отрицательной начальной фазе синусоида смещается вправо относительно начала координат.

Рис. 12.1. Волновая диаграмма тока первой ветви

Векторная топографическая диаграмма

Обычно векторы напряжений и токов на диаграмме не отделяются друг от друга, а показываются вместе, образуя общую картину. Если расчет ведется в символической форме, то диаграмма строится на комплексной плоскости в осях и . Построение каждого вектора в этом случае затруднений не вызывает.

Прежде всего выбираются масштабы. Требования к ним те же, что и при оформлении графиков. Удобны, например, такие масштабы:

= 20 В/см; = 1 А/см

или

= 50 В/см; = 0,5 А/см и т. д.

Предположим, что построение диаграммы мы начинаем с вектора .

С помощью транспортира мы можем отложить его аргумент. Так как он отрицательный, то откладывается по часовой стрелке (рис. 12.2). Длина вектора определяется делением величины тока на масштаб:

Так как транспортир недостаточно точный инструмент, то для построения вектора лучше пользоваться алгебраической формой комплексного числа. Разделив его вещественную и мнимую составляющие на масштаб, найдем проекции вектора тока на оси:

Так как вещественная часть комплекса тока ( ) положительна, то величину откладываем вправо от начала координат, т.е. в положительном направлении вещественной оси. Мнимая часть ( ) отрицательна, поэтому направляется вниз.

Рис. 12.2. Построение вектора на комплексной плоскости

Правильно построенная векторная диаграмма токов должна отражать первый закон Кирхгофа. На рис. 12.5 видно, что для рассматриваемой цепи этот закон выполняется: сумма векторов и дает вектор .

Обычно мы имеем дело со свободными векторами, когда каждый из них может переноситься параллельно самому себе. Поэтому возможны различные варианты одной и той же диаграммы (рис. 12.3). Все эти варианты характеризуются тем, что, во-первых, каждый вектор имеет одни и те же длину и направление, и во-вторых, на диаграмме выполняется первый закон Кирхгофа: сумма первого и второго токов равна третьему.

Аналогично (из свободных векторов) может строиться и векторная диаграмма напряжений. Однако, очень часто последнюю строят так, что каждой точке электрической цепи соответствует точка на комплексной плоскости. Векторы напряжений в этом случае оказываются привязанными к этим точкам и уже не являются свободными. Векторная диаграмма такого типа называется топографической. Для ее построения необходимо, приняв потенциал одной из точек равным нулю, рассчитать потенциалы остальных точек.

Примем, как и в расчете,

Так как в емкости ток протекает от точки к точке , то потенциал точки меньше потенциала точки на величину падения напряжения на конденсаторе (сопротивление токовой обмотки ваттметра мы принимаем равным нулю и падение напряжения на ней не учитываем):

.

Рис. 12.3. Варианты диаграммы токов

Аналогично:

Потенциалы всех точек первой ветви мы определили. Однако с целью проверки желательно рассчитать и потенциал точки :

Здесь величина прибавляется к , так как по ходу стрелки ЭДС внутри источника потенциал повышается (мы идем от минуса источника к плюсу).

Найденное по последней формуле значение должно совпадать с тем, которое мы нашли при расчете цепи методом узловых потенциалов.

Аналогичный проверочный расчет потенциала точки следует выполнять и при обходе остальных ветвей.

В рассматриваемом примере комплексные потенциалы всех точек цепи имеют следующие значения:

;

Порядок построения топографической диаграммы.

1. Выбираем масштаб напряжения .

2. Разделив комплексные потенциалы на этот масштаб, находим отрезки в сантиметрах, определяющие положение каждой точки на диаграмме. Отмечаем эти точки на комплексной плоскости. Например, при = 20 В/см точка находится на 116,7 : 20 = 5,8 см правее

вертикальной оси и на 40,4 : 20 = 2 см ниже горизонтальной (рис. 12.5).

3. Соединяем отрезками прямых точки, обозначающие на схеме зажимы каждого отдельного элемента ( и , и , и , и и т. д.).

4. Даем наименование каждому вектору ( и т. д.) и указываем его направление.

На последнем пункте следует остановиться подробнее.

Рассмотрим фрагмент диаграммы, содержащей точки и (рис. 12.4).

Рис. 12.4. Определение направления вектора напряжения

На схеме электрической цепи (см. рис. 11.1) эти точки определяют зажимы сопротивления ,

поэтому на векторной диаграмме (рис. 12.5) соединяющий их вектор мы обозначаем символом . Но куда этот вектор должен быть направлен?

Так как по сопротивлению ток протекает в направлении от точки к точке , то (порядок следования индексов и у буквы U определяется направлением стрелки , а последняя всегда направляется по направлению

тока).

Но .

Рис. 12.5. Векторная топографическая диаграмма

Комплексным числам и на комплексной плоскости соответствуют векторы, начинающиеся в начале координат и оканчивающиеся соответственно в точках и . На рис. 12.4 эти векторы изображены пунктирными линиями, а на топографической диаграмме (см. рис. 12.5) они не показаны. По правилу вычитания векторов вектор-разность направляется из конца вектора-вычитаемого в конец вектора-уменьшаемого , т. е. из точки в точку (от второго индекса в обозначении напряжения к первому). Аналогично, вектор (см. рис. 11.1 и 12.5) должен быть направлен на диаграмме от точки к точке и т.д.

ЭДС на схеме направлена от к (от минуса к плюсу), поэтому потенциал точки выше потенциала точки на величину ЭДС. Следовательно, , и на векторной диаграмме вектор направляется точно так же, как и , т. е. от к .

По аналогичной причине вектор направлен от к .

Проверка диаграммы.

1. Сопоставляем направления вектора напряжения на каждом элементе и вектора тока, протекающего по этому элементу. Для активного сопротивления эти векторы параллельны и направлены в одну сторону как совпадающие по фазе ( и , и , и ).

На участке с индуктивностью ток отстает от напряжения по фазе на угол 90° (при вращении векторной диаграммы против часовой стрелки), а в емкости ток опережает напряжение на этот же угол. Проверим, например, правильность проведения вектора . Перенесем мысленно вектор

параллельно самому себе так, чтобы его начало оказалось в точке (в начале вектора тока

). При вращении этой пары векторов против часовой стрелки вектор будет отставать от

как раз на 90°. Сравните подобным же образом взаимные направления векторов и ,

и с .

2. На векторной диаграмме должен выполняться второй закон Кирхгофа.

Посмотрим на рис. 11.1. Напряжение между точками и равно сумме напряжений на элементах третьей ветви и :

На топографической диаграмме мы видим, что вектор , направленный от к , равен сумме

векторов , и (чтобы попасть из точки в точку , мы сначала идем вправо вниз от

к – по стрелке напряжения , затем по к точке , и наконец, замыкаем многоугольни

к вектором ).

Для контура, образованного первой ветвью и стрелкой

А для контура, включающего напряжение и вторую ветвь,

Рассмотрите внимательно топографическую диаграмму и убедитесь, что она удовлетворяет последним двум уравнениям.

Топографическая диаграмма позволяет очень легко находить напряжение между двумя любыми точками электрической цепи. Например, напряжение (напряжение между точками m и n)

определяется длиной вектора, направленного из точки n в точку m :

U_mn = mnּm_U = 4,3 см ּ 20 В/см = 86 В.

Расчет дает для следующее значение:

т. е. = 85,4 В.

Построение топографической диаграммы — Студопедия

На рис. 2.3 представлена векторная диаграмма токов ветвей рассматриваемой схемы в соответствии с масштабом по току М_I: 1 деление – 0,5 А. Диаграмма токов позволяет проверить графическим путем выполнение соотношений по I закону Кирхгофа.

В соответствии с принятыми на рис. 2.2 обозначениями рассчитываются значения потенциалов точек цепи. Потенциал точки А принимается равным нулю.

проверка 1:

проверка 2:

проверка 3:

Выбираем масштаб по напряжению М_U для построения диаграммы: 1 деление – 20 В.

На рис. 2.4 изображена топографическая диаграмма напряжений, позволяющая проверить графическим путем выполнение соотношений по II закону Кирхгофа.

На рис. 2.5 изображена совмещенная диаграмма токов и напряжений, позволяющая проверить выполнение соотношений по закону Ома в символической форме для всех пассивных элементов цепи.

2.4.6. Метод узловых потенциалов

Для рассматриваемой цепи (рис. 2.6), содержащей 4 узла, система, составленная в соответствии с методом узловых потенциалов, должна содержать 3 уравнения. Выберем в качестве опорного узел 4.

Имеем:

Так как в цепи имеется ветвь с идеальным источником ЭДС, потенциал узла 1 известен и равен . Таким образом, число неизвестных потенциалов сокращается до двух, и, соответственно, число совместно рассматриваемых уравнений в системе сократится до двух:

собственные узловые проводимости:

общие узловые проводимости:

; ;

узловые токи: .

Решив систему уравнений, определим неизвестные и . Далее, используя обобщенный закон Ома, рассчитаем токи ветвей:

Ток определим по I закону Кирхгофа:

.

Напряжение на источнике тока определим по II закону Кирхгофа:

.

Проверка баланса мощностей и расчет потенциалов точек для построения векторной диаграммы ведется в соответствии с алгоритмом, приведенным в пп. 4.2.4, 4.2.5.

Диаграмма деформации

| MATHalino

Предположим, что металлический образец помещается в машину для испытания на растяжение-сжатие. Поскольку осевая нагрузка постепенно увеличивается, общее удлинение по измерительной длине измеряется при каждом приращении нагрузки, и это продолжается до тех пор, пока не произойдет разрушение образца. Зная исходную площадь поперечного сечения и длину образца, можно получить нормальное напряжение σ и деформацию ε. График этих величин с напряжением σ по оси y и деформацией ε по оси x называется диаграммой напряжения-деформации.Диаграмма «напряжение-деформация» отличается по форме для разных материалов. На приведенной ниже диаграмме показана конструкционная сталь со средним содержанием углерода.

Металлические конструкционные материалы классифицируются как пластичные и хрупкие. Пластичный материал — это материал, имеющий относительно большие деформации при растяжении до точки разрыва, как конструкционная сталь и алюминий, тогда как хрупкие материалы имеют относительно небольшую деформацию до точки разрыва, например, чугун и бетон. Произвольная деформация 0.05 мм / мм часто используется как разделительная линия между этими двумя классами.

Диаграмма деформирования среднеуглеродистой конструкционной стали

Предел пропорциональности (закон Гука)
От начала координат O до точки, называемой пределом пропорциональности, кривая напряжения-деформации представляет собой прямую линию. Эта линейная зависимость между удлинением и вызывающей осевой силой была впервые замечена сэром Робертом Гук в 1678 году и называется законом Гука, согласно которому в пределах пропорционального предела напряжение прямо пропорционально деформации или

$ \ sigma \ propto \ varepsilon $ или $ \ sigma = k \ varepsilon $

Константа пропорциональности k называется модулем упругости E или модулем Юнга и равна наклону диаграммы напряжения-деформации от O до P.Тогда

$ \ sigma = E \ varepsilon

$

Предел упругости
Предел упругости — это предел, за которым материал больше не будет возвращаться к своей исходной форме при снятии нагрузки, или это максимальное напряжение, которое может возникнуть, так что не будет остаточной или остаточной деформации. когда нагрузка полностью снята.

Диапазон упругости и пластичности
Область на диаграмме «напряжение-деформация» от O до E называется диапазоном упругости.Область от E до R называется пластической областью.

Предел текучести
Предел текучести — это точка, при которой материал будет иметь заметное удлинение или податливость без увеличения нагрузки.

Предел прочности
Максимальная ордината на диаграмме напряжение-деформация — это предел прочности или предел прочности при растяжении.

Rapture Strength
Rapture Strength — это прочность материала при разрыве.Это также известно как предел прочности на разрыв.

Модуль упругости
Модуль упругости — это работа, выполняемая на единицу объема материала при постепенном увеличении силы от O до P, в Н · м / м ³ . Это можно рассчитать как площадь под кривой зависимости напряжения от деформации от начала координат O до предела упругости E (заштрихованная область на рисунке). Устойчивость материала — это его способность поглощать энергию, не создавая постоянных искажений.

Модуль ударной вязкости
Модуль ударной вязкости — это работа, выполняемая на единицу объема материала при постепенном увеличении силы от O до R, в Н · м / м ³ .Это можно рассчитать как площадь под всей кривой напряжения-деформации (от O до R). Прочность материала — это его способность поглощать энергию, не вызывая разрушения.

Рабочее напряжение, допустимое напряжение и коэффициент безопасности
Рабочее напряжение определяется как фактическое напряжение материала при заданной нагрузке. Максимальное безопасное напряжение, которое может выдержать материал, называется допустимым напряжением. Допустимое напряжение должно быть ограничено значениями, не превышающими предела пропорциональности.Однако, поскольку пропорциональный предел трудно определить точно, допустимая прядь берется как предел текучести или предел прочности, деленный на коэффициент безопасности. Отношение этой прочности (предела текучести) к допустимой прочности называется запасом прочности.

.

Введение в материаловедение

Убедитесь, что в вашем браузере включен JavaScript. Если вы оставите отключенным JavaScript, вы получите доступ только к части предоставляемого нами контента. Вот как.

Коллаж из 8 фотографий с текстом «Что общего у всех этих фотографий?» над центром коллажа. На фотографиях по часовой стрелке слева вверху: падающая башня Пизы, безрукая статуя Венеры Милосской, банка с газировкой, которую вот-вот открывают, сломанный карандаш, собака, жующая кость, треснувший Колокол Свободы, Tacoma Narrows Мост, когда его палуба обрушивается, и разбитое лицо и разрушенное тело Сфинкса.

Коллаж, состоящий из 8 изображений, по часовой стрелке от верхнего левого угла: падающая башня Пизы, безрукая статуя Венеры Милосской, банка из-под газировки, которую вот-вот открывают, щелкнувший карандаш, собака, жующая кость, треснувший Колокол Свободы, мост через пролив Такома, когда его палуба рушится, а также разбитое лицо и разрушенное тело Сфинкса.

Коллаж из 8 фотографий с текстом «Каждая — пример того, как вещи ломаются!» по центру изображения.На фотографиях по часовой стрелке слева вверху: падающая башня Пизы, безрукая статуя Венеры Милосской, банка с газировкой, которую вот-вот открывают, сломанный карандаш, собака, жующая кость, треснувший Колокол Свободы, Tacoma Narrows Мост, когда его палуба обрушивается, и разбитое лицо и разрушенное тело Сфинкса.

Как вещи ломаются!

Иногда мы хотим, чтобы что-то сломалось. . .

Взлом — не всегда плохо. Например, в случае банок с газировкой мы хотим, чтобы ободок вокруг отверстия сломался раньше всего.У вас когда-нибудь отрывался язычок перед открытием банки? Разве вы не ненавидите, когда это происходит? Подумайте о двух разных объяснениях отказа такого вида газированных банок.

Иногда мы этого не делаем!

По очевидным причинам мы хотим, чтобы мосты были прочными и выдерживали множество различных условий окружающей среды.

Для получения дополнительной информации о катастрофе на Tacoma Narrows Bridge, эти онлайн-ссылки — хорошее место для начала:

Вопросы

• Как определить, сломается ли конструкция?
• Из чего состоят разные конструкции и каковы их свойства?
• Какие слова мы используем для описания этих свойств?
• Как мы проверяем эти свойства?

Словарь

Звездная величина

В США мы используем английскую систему, но все остальные в мире (включая Англию!) Используют метрическую систему. Вы наверняка уже видели некоторые из этих метрических префиксов раньше, например: милли, метров, гига, байт, нано, секунд.

Для интересного упражнения с величинами вещей попробуйте придумать различные измерения, для которых каждый из вышеуказанных префиксов был бы удобен.Вот несколько ссылок:

Напряжение

Это стресс ??

Что вы обычно думаете, когда слышите слово «стресс»?

Нет, это стресс!

Диаграмма напряжений при растяжении и сжатии. Напряжение — это сила, действующая на материал, деленная на площадь поперечного сечения материала. Если сила растягивает материал (груз, подвешенный к объекту), это называется растягивающим напряжением.Если сила сжимает материал (груз, помещенный на верхнюю часть объекта), это называется сжимающим напряжением.

С точки зрения материаловедения и машиностроения, напряжение определяется как сила, действующая на материал, деленная на площадь поперечного сечения материала ( A на диаграмме выше). Мы можем говорить о разных типах стресса, в зависимости от того, как прилагается сила. Например, если сила стремится растянуть материал (как на диаграмме слева), мы называем это растягивающим напряжением .Если сила стремится сдавить материал (как на диаграмме справа), мы называем это напряжением сжатия , .

Что происходит, когда вы подвергаете что-то стрессу?

На фото и чертежах деформация показана как изменение длины материала, деленное на исходную длину материала. При растяжении материал может постепенно увеличиваться в длине. При сжатии материал может постепенно уменьшаться в длине.Человек, поднимающий автомобиль, испытывает растягивающее напряжение при вытягивании рук.

Деформация — это реакция материала на напряжение. Он определяется как изменение длины материала под нагрузкой ( L ‘ — L ₀ ), деленное на исходную длину ( L ₀ ). Для материала, находящегося под напряжением, длина материала может постепенно увеличиваться. Для сжатого материала длина материала может постепенно уменьшаться.

Один из способов продемонстрировать напряжение — использовать сжимаемую упаковочную пену (балки) или изоляцию (трубы). Нарисуйте на поролоне правильные сетки (как показано ниже). Что происходит с шагом сетки, когда вы сжимаете, растягиваете и сгибаете пену? Когда вы изгибаете пенопласт, вы можете увидеть сочетание сжимающих и растягивающих напряжений на противоположных сторонах изгиба.

Механические свойства материалов

Диаграмма описывает модуль упругости и коэффициент Пуассона относительно напряжения и деформации в материале.Модуль упругости равен напряжению, разделенному на деформацию, и обозначается заглавной буквой E. Коэффициент Пуассона равен изменению напряжения вдоль оси x, деленному на изменение напряжения вдоль оси z или изменение напряжения вдоль оси y. делится на изменение напряжения по оси z.

Как инженеры-механики описывают поведение материала при нагрузке? Одно измерение называется модулем упругости и определяется как напряжение, деленное на деформацию.Это мера того, какая деформация создается при данной нагрузке на материал. Еще одна мера — это коэффициент Пуассона, который описывает, как напряжение, приложенное вдоль одного измерения материала, влияет на другие измерения.

Вот демонстрация, которую вы можете попробовать сами. В качестве одного из примеров сравните детские роллы и веселых владельцев ранчо. Какая разница? Как каждый реагирует на растягивающие и сжимающие силы? Что с этим произойдет, если сжать зубочистку? Такие материалы, как рулеты, ириска и карамель , пластически деформируются (постоянно меняют форму).Они также становятся намного шире, когда становятся короче, или уже, если растягиваются дольше. Как насчет веселого владельца ранчо? Они хрупкие, поэтому не деформируются пластически до того, как сломаются. Другие материалы, которые вы можете попробовать, — это глупая замазка (см.
Химия слизи
для рецепта приготовления самостоятельно) и кубиками льда.

Оборудование для испытаний на растяжение

Фотография машины для испытания на растяжение показывает чертежи металлического стержня, который помещается в центре машины для проверки ее прочности.Машина имеет две головки, одна подвешенная над другой, которые удерживают материал, в то время как боковые рычаги машины толкают или стягивают головки вместе для испытания материала. Под фотографией приведены уравнения для напряжения (сила / площадь поперечного сечения) и деформации (изменение длины / исходной длины).

Материаловеды и инженеры-механики используют специальное испытательное оборудование, такое как машина для испытания на растяжение на диаграмме выше, для измерения реакции материала на нагрузку. Испытательное оборудование может прикладывать большое количество силы.Как величину, так и продолжительность действия силы можно точно измерить. На диаграмме также показаны типичные характеристики пластичных материалов при растяжении.

Как нетрудно догадаться, такое специализированное испытательное оборудование стоит дорого. Есть гораздо более дешевые методы, которые вы можете использовать для измерения стресса и напряжения для своего научного проекта. Например, см. Сила в цифрах?

Зачем тестировать материалы?

Хорошие вопросы:

• Как выбирать материалы?
• Как убедиться, что то, что мы делаем, хорошо?
• Как убедиться, что он безопасен, когда мы его построим?
• Как убедиться, что он прослужит долго?

Это некоторые из многих веских причин для тщательного тестирования материалов.

• Исследования. Нам нужны точные измерения свойств существующих материалов, чтобы инженеры могли выбрать правильный материал для конкретного проекта. Материаловедам, разрабатывающим новые материалы, нужны способы измерения прогресса.
• Контроль качества при производстве. Тестирование гарантирует, что производственный процесс работает должным образом. Когда материалы не проходят проверку качества, причину дефекта (ов) можно отследить, а проблему на производственной линии можно устранить.
• Характеристики зданий / устройств в заводском состоянии. Когда инженеры проектируют продукт, они ожидают, как его конструкция будет работать (на основе моделей и прототипов, известных свойств материалов и опыта). Взяв реальный продукт, только что сошедший с конвейера, и протестировав его, мы можем измерить, насколько дизайн выдерживает реальный мир.
• Тестирование жизненного цикла. Автоматическое тестирование с повторяющимися циклами нагрузки может дать информацию о том, как долго материалы могут прослужить в различных условиях окружающей среды.

Результаты испытаний на растяжение

График напряжения-деформации для пластичных материалов

Примерный график зависимости напряжения от деформации показывает приложенное напряжение и измеренную деформацию в пластичном материале до разрушения материала. Пластичный материал — это материал, который перед разрушением может сгибаться или сгибаться. График показывает неуклонное увеличение напряжения и деформации перед небольшим провалом, при котором материал больше не может изгибаться и внутри материала начинает расти напряжение.Напряжение продолжает медленно увеличиваться, пока не достигает пика, и медленно уменьшается, в то время как напряжение постоянно нарастает. В конце концов, напряжение и напряжение становятся слишком большими, и объект разрывается или ломается. Напряжение, измеренное в точке разрыва, является точкой напряжения разрушения.

Вот пример того, как инженеры по обработке данных используют при оценке пластичных материалов. Приложенное напряжение откладывается по оси y, а измеренная деформация в ответ на это напряжение откладывается по оси x.Приведенные ниже определения помогут вам понять схему.

• Материал, который может подвергаться большой пластической деформации перед разрушением, называется пластичным материалом .
• Материал, который демонстрирует небольшую пластическую деформацию или не проявляет ее при разрушении, называется хрупким материалом .
• Точка, до которой напряжение и деформация линейно связаны, называется пределом пропорциональности .
• Наибольшее напряжение на кривой «напряжение-деформация» называется пределом прочности .
• Напряжение в точке разрыва называется напряжением разрыва или разрывом .
• Область кривой «напряжение-деформация», в которой материал возвращается к недеформированному напряжению при снятии приложенных сил, называется упругой областью .
• Область, в которой материал постоянно деформируется, называется пластической областью .
• Точка, отделяющая резину от области пластика, называется предел текучести .Напряжение в пределе текучести называется пределом текучести .
• Остаточная деформация при нулевых напряжениях называется пластической деформацией .
• Напряжение текучести смещения — это напряжение, которое вызовет пластическую деформацию, соответствующую заданной деформации смещения .
• Твердость — устойчивость к вдавливанию.
• Повышение предела текучести с увеличением деформации называется деформационным упрочнением .
• Внезапное увеличение площади поперечного сечения после предельного напряжения называется сужением . На рисунке ниже показан пример сужения.

Моменты и моменты

Моменты и крутящие моменты — это на инженерном языке напряжения, которые мы обычно называем «изгибом» и «скручиванием». Это все те же идеи напряжения и напряжения, о которых мы говорили, и те же единицы измерения.Разница в оси приложения напряжения.

На диаграмме видно, что моменты создают как сжимающие (−σ), так и растягивающие (+ σ) напряжения, в зависимости от того, какую часть материала вы исследуете. Вы можете использовать балки и трубы из пенопласта с сеткой (из сжимаемого пенопласта и изоляции труб соответственно), чтобы визуализировать влияние моментов и крутящих моментов. Проведите линии сетки через 2-3 интервала.

Пластичный или хрупкий?

Материалы с разными свойствами ломаются по-разному.Вспомните веселых владельцев ранчо и сладких булочек. Какой пластичный, а какой хрупкий? Подумайте о скрепке. Пластичный или хрупкий? Вы можете использовать его на небольшой стопке бумаги много раз, и она вернется к своей первоначальной форме. Но если вы откроете скрепку, как показано выше, вы деформируете ее пластически, и она навсегда сохранит новую форму после превышения предела текучести. Как насчет лобового стекла?

Как вещи ломаются?

Коррозия

Металлы прочные, но они ржавеют или ржавеют.Краска помогает защитить металл от воды и воздуха, которые являются ингредиентами коррозии.

Усталость

Повторяющаяся нагрузка открывает и закрывает крошечные дефекты снова и снова, и в конечном итоге эти дефекты становятся трещинами, которые распространяются и разрушаются или разрываются. При повторяющейся нагрузке конструкции в конечном итоге разрушаются при гораздо более низких нагрузках, чем предполагалось изначально. Возьмите скрепку и попробуйте развернуть и сложить ее в разных направлениях (вращая или сгибая).Попробуйте ездить на велосипеде с разными диапазонами отклонения и подсчитайте количество циклов, необходимых для разрыва скрепки. Есть ли связь между углом отклонения и количеством циклов до поломки?

Человек из пластика или человек из стали?

Пластмассы дешевы, им легко придать форму, они легкие и довольно прочные для своего веса, но они легко размягчаются при температуре. Их соотношение прочности к весу не так хорошо, как у стали, популярного конструкционного материала.Однако сталь довольно тяжелая и подвержена коррозии.

А как насчет этих материалов?

Керамика хрупкая, алюминий пластичный. Бетон обычно армируют внутри металлическими прутьями, поэтому вся конструкция имеет смешанные свойства.

Объединяем материалы

Насколько прочны разные конструкции? Какие преимущества у разных форм?

Прочность зависит от:

• Свойства материала
• Геометрия (e.г., форма поперечного сечения материала)
• Характер и размещение опоры

Чем материалы на иллюстрации выше отличаются по свойствам материала, геометрии и размещению опор?

А что насчет этих структур?

Эти продукты были разработаны с использованием композитов из углеродного волокна, чтобы быть легкими, но очень прочными. Как свойства материала, геометрия и размещение опор придают каждому изделию прочность?

Для проектов, которые исследуют силу vs.геометрию см .:

Делаем вещи прочными и легкими

Как сделать вещи сильными и легкими?

• Геометрия: умные формы выдерживают большие нагрузки.
• Материалы: выбор подходящего материала для работы.

Требуется сочетание качественных материалов и правильной формы.

Отношение прочности к массе

Как мы можем измерить, чтобы увидеть, что работает лучше всего?

• Мы можем сравнивать различные конструкции и материалы, сравнивая соотношение прочности к весу каждой из них с другими.
• Возьмем прочность материала (сила или разрывное напряжение) и разделим на его вес , ​​чтобы получить отношение прочности к весу.

Сильный и легкий: галерея изображений

Геометрия — Здания

Эта галерея изображений может вдохновить вас на создание прочных и легких конструкций. Для проекта, в котором вы можете применить эти идеи, см.:
Падающая башня макаронных изделий.

Здание банка Гонконга и Шанхая имеет треугольные рамы вокруг высоких стержней, чтобы стержни могли поддерживать здание и не сгибались.Архитекторы часто играют с геометрией при проектировании зданий. Использование простых форм помогает снизить стоимость и вес материала, сохраняя при этом безопасность и поддержку здания.
Эйфелева башня достигает большого отношения прочности к весу за счет использования несущей конструкции фермы.
Строительный кран — это высокая башня с ферменной рамой, предназначенная для подъема и перемещения тяжелых предметов.Высота конструкции по сравнению с ее весом очень хороша по сравнению с тем, какой вес она может поднять.

Конструкционные пластмассы

Различные материалы обладают разными свойствами. Многие металлы, например сталь, очень прочные, но при этом очень тяжелые. Конструкционные твердые пластмассы прочны и долговечны, им можно придать любую форму и они легкие.

Канаты и шнуры

Даже простые вещи, такие как веревки и шнуры, могут обладать огромной прочностью для своего веса.Они используют тот факт, что материалы, из которых они сделаны, очень прочны на растяжение.

Superstrong: материалы и геометрия

Углеродное волокно — еще один материал, устойчивый к растяжению. Если скомбинировать его с сотовой формой, которая хорошо поддается сжатию, получается очень прочная структура.

Как материалы (например, полая рама из титана или углеродного волокна), так и геометрическая треугольная форма велосипеда позволяют ему быть очень прочным при небольшом весе.

Натуральные материалы

Паучий шелк обладает удивительными свойствами.

• По ощущениям он похож на шелк и эластичен, как нейлон.
• Он в 3 раза легче кевлара (самого прочного искусственного волокна, используемого в пуленепробиваемых жилетах) и до 30 раз прочнее!
• Если бы волокна паучьего шелка были созданы диаметром с маленький карандаш и скручены в паутину, они смогли бы остановить самолет Боинг 747 в воздухе (как вы видите в Человеке-пауке)!

Многие материалы, встречающиеся в природе, обладают очень интересными свойствами, которые люди не могут скопировать.

Древесина имеет высокое отношение прочности к массе благодаря своей ячеистой микроструктуре. То, как растут клетки дерева (в зернах), делает древесину прочной.

Даже разные породы дерева обладают разными свойствами. Например, древесина бальзы чрезвычайно легкая, но при формовании правильной формы она также чрезвычайно прочна. Эта конструкция из пробкового дерева и суперклея весила всего 18 грамм, но выдержала 990 кг перед тем, как сломаться !!

Фотографии моста из бамбука и бамбука, растущего в природе.Стебель бамбукового растения называется стеблем, он легкий и прочный из-за стеновых перегородок, которые перемещаются и укрепляют весь стебель. Бамбук также быстро растет, его можно найти разных форм и размеров, он отлично подходит для строительства, мостов и инструментов.

Бамбук — еще один природный ресурс для изготовления строительных материалов.

Страницы «Напряжение, деформация и сила» были адаптированы из программы семинаров, разработанной в Стэнфордском университете для учащихся 7-х классов, интересующихся инженерными науками.Первокурсники Стэнфордского университета были наставниками программ. Мастерская разработана:

Профессор Бет Прюитт, Машиностроение, Стэнфордский университет
Тори Бейли, доктор философии. Кандидат технических наук, Стэнфордский университет
Алекс Тунг, Ph.D. Кандидат электротехники, Стэнфордский университет

Разработчики дали разрешение на публикацию этих материалов на сайте Science Buddies.

Отредактировал Эндрю Олсон, доктор философии, приятели науки.

Видео о нашей науке

.